思维拓展《工程问题》（专项练习）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

思维拓展—— 工程问题 【知识导航】 1. 工程问题是研究工作效率、工作总量以及工作时间之间相互关系的一类分数应用题。这种类型的应用题，工作总量不再是具体的数量，我们通常用单位“1”来表示，工作效率用完成工作时间的倒数来表示，解答此类问题，主要利用三个数量之间的关系解题。 2.基本公式: 工作总量=工作效率×工作时间; 工作时间=工作总量÷工作效率; 工作效率=工作总量÷工作时间。 3.比例关系: 工作总量相同，工作效率和工作时间成反比; 工作时间相同，工作效率和工作总量成正比; 工作效率相同，工作时间和工作总量成正比。 【例题精讲】 例1、填空题。 (1) 完成一条长150千米的铁路的铺设任务，甲工程队要用12天，乙工程队要用15天。甲队每天可以铺设( )千米;乙队每天可以铺设( )千米。如果两队合作，每天可以铺设( )千米。 (2)单独完成一项工程，甲队要用12天，乙队要用15天。如果两队合作，每天可以完成工程的( )，这样完成全部工程需要( )天。 例2、修一条公路，甲队独修15天完工，乙队独修12天完工。两队合修4天后，乙队调走，剩下的路由甲队继续修完。甲队一共修了多少天? 例3、一项工程，甲、乙两队合作需12天完成，乙、丙两队合作需15天完成，甲、丙两队合作需20天完成，如果由甲、乙、丙三队合作需几天完成? 例4、甲、乙两辆汽车分别从A、B两镇同时相向出发，2小时后两车相遇，已知相遇时甲、乙两车所行路程的比是5:4。如果走完全程，两车分别要用多少时间? 例5、完成一项工程，甲队要用20天，乙队要用30天。两队合作期间甲队休息了3天，乙队也休息了几天，这样共用了16天完成。乙队休息了几天? 例6、加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，剩下这批零件的没有完成。已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个? 例7、甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是:甲、乙两人合做6天完成了工程的；因甲中途有事，由乙、丙合做2天，完成了余下工程的;之后三人合做5天完成了这项工程，如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元? 例8、甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多，已知甲队单独完成A工程要40天，乙、丙两队单独完成B工程分别需要60天、75天。开始时甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程;几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下乙队单独做B工程，结果两个工程同时完成。请问:丙队与乙队合做了多少天? 例9、甲、乙两人合干一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的，后来乙又单独做了6小时，还留下这件工作的品尚未完成。如果这件工作始终由甲一人来做，需要多少小时? 例10、一部书稿，甲单独打字需要14小时完成，乙单独打字需要20小时完成。如果先由甲单独打字1小时，然后再由乙接替甲单独打字1小时;再由甲接替乙单独单子1小时......两人如此交替工作，打完这部书稿共需要多少小时? 【综合练习】 1、一项工程，如甲队单独做，可6天完成。甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做了2天后，由乙队单独做，乙队还需做多少天才能完成? 2、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问:甲队实际工作了几天? 3、 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水? 4、 有一批工人完成某项工程，如果能增加8个人，则10天就能完成;如果能增加3个人，就要20天才能完成。现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天? 5、 甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时? 6、甲、乙、丙三人合作完成一项工程，约定了每次两人干，一人休息。先由甲、乙两人合作5天完成该工程的，接着乙、丙两人合作2天完成该工程余下的，最后甲、丙两人合作5天全部完工。整个工程的劳务费是4000元，若按工作量来分，甲应分得多少钱? 7、一项工程，甲、乙两队合作每天能完成全部工程的.甲队先独做2天，乙队再独做4天后，可完成全部工程的。如果全部工程由乙队单独做，多少天可以完成? 8、蓄水池有一条进水管和一条排水管，要注满一池水，单开进水管甲需要5小时;排光一池水，单开排水管乙需3小时。现在池内有半池水，如果按甲、乙、甲、乙......的顺序轮流各开1小时，问:多长时间后水池的水刚好排完? 思维拓展—— 工程问题 答案 【知识导航】 2. 工程问题是研究工作效率、工作总量以及工作时间之间相互关系的一类分数应用题。这种类型的应用题，工作总量不再是具体的数量，我们通常用单位“1”来表示，工作效率用完成工作时间的倒数来表示，解答此类问题，主要利用三个数量之间的关系解题。 2.基本公式: 工作总量=工作效率×工作时间; 工作时间=工作总量÷工作效率; 工作效率=工作总量÷工作时间。 3.比例关系: 工作总量相同，工作效率和工作时间成反比; 工作时间相同，工作效率和工作总量成正比; 工作效率相同，工作时间和工作总量成正比。 【例题精讲】 例1、填空题。 (1) 完成一条长150千米的铁路的铺设任务，甲工程队要用12天，乙工程队要用15天。甲队每天可以铺设( 12.5 )千米;乙队每天可以铺设( 10 )千米。如果两队合作，每天可以铺设( 22.5 )千米。 (2)单独完成一项工程，甲队要用12天，乙队要用15天。如果两队合作，每天可以完成工程的( )，这样完成全部工程需要()天。 例2、修一条公路，甲队独修15天完工，乙队独修12天完工。两队合修4天后，乙队调走，剩下的路由甲队继续修完。甲队一共修了多少天? 解析：本题是有关分数的工程问题，把一条公路看成“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是。先求出甲乙合修4天剩下的工作总量为，。 例1、 一项工程，甲、乙两队合作需12天完成，乙、丙两队合作需15天完成，甲、丙两队合作需20天完成，如果由甲、乙、丙三队合作需几天完成? 解析：本题是有关分数的工程问题，把一项工程看成“1”，甲、乙两队合作的工作效率是，乙、丙两队合作的工作效率是，甲、丙两队合作的工作效率是，。先求甲乙丙三队合作的工作效率，工作时间。 例4、甲、乙两辆汽车分别从A、B两镇同时相向出发，2小时后两车相遇，已知相遇时甲、乙两车所行路程的比是5:4。如果走完全程，两车分别要用多少时间? 解析：甲: 乙： 例5、完成一项工程，甲队要用20天，乙队要用30天。两队合作期间甲队休息了3天，乙队也休息了几天，这样共用了16天完成。乙队休息了几天? 解析：本题是有关分数的工程问题，把一项工程看成“1”。甲完成工作总量，乙的工作时间，甲的工作时间。 例6、加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，剩下这批零件的没有完成。已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个? 解析：本题是有关分数的工程问题，把一批零件看成“1”。甲、乙合作的工作效率，，甲的工作效率，乙的工作效率，。 例5、 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是:甲、乙两人合做6天完成了工程的；因甲中途有事，由乙、丙合做2天，完成了余下工程的;之后三人合做5天完成了这项工程，如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元? 解析：本题是有关分数的工程问题，把一项工程看成“1”。甲乙合做的工作效率，甲、乙两人合做6天剩余的工作总量；乙、丙合做2天的工作总量，乙、丙合做工作效率；甲乙丙合做5天的工作总量，甲乙丙合做5天的工作效率。 乙效：，甲效：，丙效：； 甲： 乙： 丙：。 例8、甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多，已知甲队单独完成A工程要40天，乙、丙两队单独完成B工程分别需要60天、75天。开始时甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程;几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下乙队单独做B工程，结果两个工程同时完成。请问:丙队与乙队合做了多少天? 解析：本题是有关分数的工程问题，把A项工程看成“1”。乙效：，丙效：，甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程的工作时间，，36-6=30（天）。 例9、甲、乙两人合干一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的，后来乙又单独做了6小时，还留下这件工作的品尚未完成。如果这件工作始终由甲一人来做，需要多少小时? 解析：本题是有关分数的工程问题，把一件工作看成“1”。 乙的工作效率： 甲的工作效率： 。 例10、一部书稿，甲单独打字需要14小时完成，乙单独打字需要20小时完成。如果先由甲单独打字1小时，然后再由乙接替甲单独打字1小时;再由甲接替乙单独单子1小时......两人如此交替工作，打完这部书稿共需要多少小时? 解析：本题是有关分数的工程问题，把一部书稿看成“1”。甲的工作效率，乙的工作效率。此题转化成找规律，甲乙合作的工作效率，，，，，。 【综合练习】 1、一项工程，如甲队单独做，可6天完成。甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做了2天后，由乙队单独做，乙队还需做多少天才能完成? 解析： 2、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问:甲队实际工作了几天? 解析： 3、一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水? 解析： 4、有一批工人完成某项工程，如果能增加8个人，则10天就能完成;如果能增加3个人，就要20天才能完成。现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天? 解析： 5、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时? 解析： 6、甲、乙、丙三人合作完成一项工程，约定了每次两人干，一人休息。先由甲、乙两人合作5天完成该工程的，接着乙、丙两人合作2天完成该工程余下的，最后甲、丙两人合作5天全部完工。整个工程的劳务费是4000元，若按工作量来分，甲应分得多少钱? 解析：甲、乙两人合作工效，乙、丙两人合作工效， 1、 丙两人合作工效。 1、 乙、丙三人合作工效； 甲效： 甲： 7、一项工程，甲、乙两队合作每天能完成全部工程的.甲队先独做2天，乙队再独做4天后，可完成全部工程的。如果全部工程由乙队单独做，多少天可以完成? 解析：乙单独做的工程量，乙效：，。 8、蓄水池有一条进水管和一条排水管，要注满一池水，单开进水管甲需要5小时;排光一池水，单开排水管乙需3小时。现在池内有半池水，如果按甲、乙、甲、乙......的顺序轮流各开1小时，问:多长时间后水池的水刚好排完? 解析： 学科网（北京）股份有限公司 $