小升初思维拓展：工程问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：工程问题 1．修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？ 2．一项工程，乙队先单独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成．已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍．甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？ 3．希望小学用部分捐款给同学们买体育用品，如果只买篮球可以买50个，如果只买足球或只买排球都可以买40个．现在买篮球和足球各15个，剩下的钱可以买多少个排球？ 4．甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半．问：这批零件共多少个？ 5．一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 6．加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成．已知甲每天比乙多做3个零件．求这批零件共有多少个？ 7．2个师傅和4个徒弟一天可做完一批零件的，8个师傅和10个徒弟一天就能完成任务，如果这批零件全由徒弟一天完成，需要多少个徒弟？ 8．某仓库内有一批货物，如果用3辆大卡车，4天可以运完；如果用4辆小卡车，5天可以运完；如果用20辆手推车，6天可以运完．现在先用2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后，全部改用手推车运，必须在两天内运完，那么后两天每天至少需要多少辆手推车？ 9．一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 10．一水库原有存水量一定，河水每天入库．5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？ 11．一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？ 12．一项工程，甲单独完成要10天，丙和乙单独完成各要20天，现三人一起合做，但甲途中因事离开，完成这项工程共用了6天．求甲做了几天？ 13．一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的，乙只能完成原来的，现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 14．甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资。按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元。实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元。那么两队原计划完成修路任务要多少天？ 15．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成。现在甲先做小时，然后乙做小时，再由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？ 16．做一批儿童玩具，甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？ 17．一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？ 18．师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 19．一项工程，45人可以若干天完成。现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。这样，完成这项工程就比原来计划多用了4天。原计划完成这项工程用多少天？ 20．某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？ 21．一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 22．某库房有一批钢材，原计划每天用 12 吨，由于提高技术，实际每天比原计划多用 3 吨，这样比原计划少用 8 天，这批钢材有多少吨？ 23．一件工作，由甲单独做要14小时完成，乙单独做要20小时完成。如果按甲先乙后，每人每次1小时轮流工作，需要多少小时完成任务？ 24．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天，问这项工程由甲独做需要多少天？ 25．一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前6天完成。已知乙的工作效率是丙的3倍。请问：原计划工期是多少天？ 26．甲、乙、两三人共加工735个零件，已知甲加工的零件个数是乙的，乙加工的零件个数是丙的．甲、乙、丙三人各加工零件多少个？ 27．师徒两人合作一件工作，要20天完成，如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，师傅单独做这件工作需要多少天完成？ 28．甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？ 29．师徒两人一直加工200个零件，师傅加工一个零件要用3分钟，徒弟加工一个零件要用5分钟．试问，当完成任务时，两人各加工多少个零件？ 30．某建筑工地有一大一小两个水池，用同样的输水管给两个水池注水，大水池需6小时注满，小水池需4小时注满。现在为了施工的需要，同时往两个水池注水，但在注水的过程中，电路出现问题，两个水池的注水被迫同时停止，经过测量发现大水池剩余的需注水量是小水池需注水量的2倍，你能推测出输水用时多久吗？ 31．一件工作，甲、乙两人合作30天完成。如果甲单独做20天后，乙再加入工作，两人合作12天后，甲因事离开，由乙继续做了15天才完成，这件工作如果由甲单独完成，需要多少天？ 32．张师傅加工540个零件。他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务。当他完成任务的45％时，恰好是上午9点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？ 33．某工厂的一个车间，组装一批电脑．当每个工人在自己的岗位上工作时，9个小时可完成这项任务；如果交换工人A与B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项任务；如果交换工人C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项任务．问：如果同时交换A与B及C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前多少时间完成这项任务？ 34．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ 35．一项工程，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要12天。现在甲、乙两人合作若干天后，乙有事请假，由甲单独干了3天完成，甲共干了多少天？ 36．某服装厂编制组有12名工人，他们加工一批毛衣，预定15天完成，工作7天后，又增加了4名工人，请计算，可以提前几天完成任务？（假定工人的工作效率相同） 37．一项工程，甲独做要30天完成，乙独做要20天完成，若由甲做了若干天后，由乙继续做完，从开始到完工共用了26天，求甲、乙两人各做了多少天？ 38．修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？ 39．甲、乙装订练习本，甲装订 2 小时后乙才开始，因此，前 3 小时甲比乙多装订了 120 本，又同时装订了 3 小时后，乙比甲多装了 600 本，求甲、乙每小时各装订多少本？ 40．我国是水资源比较贫乏的国家之一，保护水资源，节约用水是每个公民应尽的责任。为确保农田灌溉水渠安全畅通，张家村准备修一条应急水渠，工程队修路原计划用52人可按预定的期限完成任务，后来采用新技术使得工作效率提高50%，因此少派了12人，结果还提前了6天完成任务，那么如果要提前5天完成，需要派多少人？ 41．一件工作，甲独做要50天完成，乙独做要60天完成。现在甲、乙两人合作，乙中途休息了若干天，到完成工作时，用了30天，求乙中途休息了几天。 42．一个没有盖的水箱，在其侧面高和高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不变。现在以一定的速度从上面给水箱注水。如果打开关闭，那么分钟可将水箱注满；如果关闭打开，那么分钟可将水箱注满。如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注满？ 43．甲、乙两队合修一条264米的公路，甲队先修4天，又和乙队合修了8天才完成任务，已知甲队比乙队每天少修3米。求乙队每天修几米？ 44．一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．若甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲先做3小时后再由乙接着做，还需要多少小时完成？ 45．有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定时间的，再把打开的水管增加1倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？ 46．制造一个零件，甲需8分钟，乙需6分钟，丙需5分钟。现在有1180个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 47．一项工程，甲队独做需要天完成，乙队独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙合作这项工作，在工作过程中，甲休息了天，乙休息了天，丙没有休息，最后把工作完成了．问完成这项工作一共用了多少天？ 48．一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天．求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？ 49．甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现领工资共180元，按工作量分配，甲、乙、丙应各领多少元？ 50．甲、乙两队合修一条公路。甲队单独修要15天修完，乙队单独修要20天修完，现在两队同时修了几天后，由甲队单独修了8天修完，求乙队修了几天。 51．甲、乙两队合修一段公路，要12天完成，如果甲队先修8天后，剩下的乙独修，乙还要14天修完，则乙独修这条公路要多少天？ 52．小雅、小贝和小周共从图书馆搬出1110本书，其中小雅工作3小时，小贝工作4小时，小周工作5小时。他们三人的工作效率都不一样，小雅搬5本书所需的时间，小贝只能搬3本书，而小周只能搬2本书。请问小雅一共搬了多少本书？ 53．一件工作，甲单独做12小时完成，现在甲、乙合作2小时后甲因事外出，剩的工作乙又用了5小时做完，如果这项工作由乙单独做需要几小时？ 54．一件工作，甲做了5小时以后由乙来做，3小时可以完成．乙做9小时后由甲来做，也是3小时可以完成，那么甲做1小时后由乙来做，乙多少小时可以完成？ 55．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天? 56．有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人来完成；乙组的3人工作，丙组需要8人来完成．一项工作，需要甲组13人来完成，乙组15人3天来完成．如果让丙组10人去做，需要多少天来完成？ 57．规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？ 58．某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天多加工 6 个零件，这样，不仅提前 3 天完成原计划加工零件的任务，而且多加工了 120 个零件，这个车间实际加工了多少个零件？ 59．有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 60．刘军、王强、李明三人合修一面墙。刘、王合修，6天修好围墙的；王、李合修，2天修好余下的；剩下的三人又合修5天才完成。他们共得工资1800元，根据按劳分配的原则，每人应分多少钱？ 61．师、徒两人合做 264 个零件，徒弟先做 4 小时后又和师傅合做了 8 小时才完成了任务．已知徒弟每小时比师傅少做 3 个，师傅每小时做多少个？ 62．有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次．每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？ 63．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成。问甲休息了几天？ 64．有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．7.5小时 【分析】修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成，则甲队单独完成需要6×4＝24（小时），乙队每天修8小时，5天可以完成，则乙队单独完成需要8×5＝40（小时），甲的工作效率是，乙的工作效率是 ，根据工作量÷工作效率和＝合作完成的工作时间，求出甲、乙合作需要多少小时，再除以2天即可解答。 【详解】（小时） 答：每天应修7.5小时 2．甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天 【分析】已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，按“甲、乙、丙三队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几．然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几：即甲、乙、丙各自的工作量，分别除以各自的工作时间，就可得到他们各自的工作效率，进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天． 【详解】解：设甲队完成了x，则乙队完成了，丙队完成了． 　　 因此，甲队独做时间为：； 乙队独做时间为：； 丙队独做时间为：． 答：甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天． 3．13个 【详解】解法一：买15个篮球的钱可以买足球：15×40÷50=12（个） 等于只买足球：15+12=27（个） 40-27=13（个） 答：剩下的钱可以买13个排球． 解法二：[1-（+）×15] ÷ =[1-] ÷ =×40 =13（个） 答：剩下的钱可以买13个排球． 4．360个 【详解】甲完成时乙完成了一半，效率比为6：5．所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个．占．所以甲的总任务180个．这批零件为360个． 5．90天 【详解】略 6．360个 【详解】解：设甲、乙工作效率分别为x与y， 代入其中一个方程可得，    =360个 答：这批零件有360个． 7．30个 【详解】设师傅与徒弟的工作效率为x与y， 解得，    所以如果让徒弟一天完成，需要的人数为： 8．15辆 【分析】本题考查工程问题，一般将工作总量看为单位1，工作时间×工作效率=工作总量 只要先求出2天后还剩余多少工作量就可以求得还每天至少需要手推车的辆数． 【详解】大卡车工作效率是1÷3÷4= 小卡车工作效率是1÷4÷5= 手推车工作效率是1÷20÷6= 2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天的工作量为： ×2×2+×3×2+×7×2= 那么剩余工作量为1-= 则2天后全部改用手推车运，需要的手推车数量为÷÷2=15（辆） 答：后两天每天至少需要15辆手推车． 9．11天 【详解】解法一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量×8＋×2= 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是             2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天. 解法二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天 解法三：甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 4=3+1 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天 10．12台 【详解】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 原有的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 若6天抽完，共需抽水机多少台？(台). 11．5天半 【详解】解法一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了5天半. 解法二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是（3+2）×16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 解法三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5（天）. 12．4天 【详解】1 ÷（++）=5（天） 6-5=1（天） （+）÷=1（天） 5-1=4（天） 答：甲做了4天． 13．5天 【详解】设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成3×0.8+2×0.9=4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）. 14．12天 【分析】开始时甲队拿到8400—5040＝3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360∶5040＝2∶3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为（3360＋960）∶（5040—960）＝18∶17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务。有（2×4＋4a）∶（3×4＋3a）＝18∶17，求出天数，然后求出共有的工程量，进而求出原计划需要的天数。 【详解】原来甲乙的工作效率比为： （8400－5040）∶5040 ＝3360∶5040 ＝2∶3 甲提高工效后，甲乙的工作效率比为： （3360＋960）∶（5040－960） ＝4320∶4080 ＝18∶17 设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务，得：（2×4＋4a）∶（3×4＋3a）＝18∶17， 解得：a＝ 于是共有工程量为： （2×4＋4×）∶（3×4＋3×） ＝（8＋）＋（12＋） ＝20＋40 ＝60 所以原计划修好这条路的天数为： 60÷（2＋3） ＝60÷5 ＝12（天） 答：两队原计划完成修路任务要12天。 【点睛】根据甲、乙前后工效比求出共有工程量是解决本题的关键。 15．小时 【分析】先求出甲、乙的工作效率，按照每次交替工作的时间，先大概估算出完成工作所需要的时间，再求出具体的时间。 【详解】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：，， 此时剩下的工作量为： 还需甲做（小时）， 所以共需（小时） 答：完成任务共需小时。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，需要注意的是甲、乙每次工作的时间是不一样的。 16．4天 【详解】1-（+）×4 =1- = 256÷=960（件） 960÷（960÷10+960÷12+64） =960÷（96+80+64） =960÷240 =4（天） 17．天 【分析】对比两种情况，可以发现甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量；根据二者的关系，转化成一个人求解。 【详解】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图： 从图中可以直观地看出：于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要（天）完成，即乙的工作效率是。 又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，为； 那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为： （天） 答：甲、乙合作，天可以完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，求解问题的关键是找出甲、乙工作效率的关系。 18．100个 【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件个。 19．22天 【详解】前6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要天完成。剩余的工作按照45人进行和实际的人进行相差4天，表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人天的工作量。则为36×4÷9＝16天。原计划用16＋6＝22天。 原计划用22天完成。 20．3天 【详解】略 21．20天 【详解】略 22．480吨 【详解】12×8÷3×（12+3） =12×8÷3×15 =480（吨） 答：这批钢材有480吨． 23．16.4小时 【分析】甲单独做要14小时完成，乙单独做要20小时完成，因此甲的效率为，乙的效率为。按甲先乙后，每人每次1小时轮流工作，因此可以将甲1个小时，乙1个小时看做一个周期，求出一个周期的工作量为：。然后再估算单位“1”中有8个周期，即还剩余的工作量为：。由于，因此剩余的工作量甲单独即可完成，用剩余的工作量除以甲的工作效率，就可以求出剩余需要的时间。再加上8个周期的时间，即可求出总时间。 【详解】一个周期： 8个周期： 余下工作量： 余下所需时间：（小时） 总时间： （小时） 答：需要16.4小时完成任务。 24．26天 【分析】根据题意，这项工程由甲、乙、丙三人合作需要13天完成，因此三人的工作效率之和为（即每天完成工程的）。如果丙休息2天，乙就要多做4天，丙休息2天，意味着丙在这2天内没有工作，损失的工作量为2×丙的效率 。乙多做4天恰好能补偿这个损失，4×乙的效率＝2×丙的效率，简化得：丙的效率＝2×乙的效率。 或者由甲、乙两人合作1天，这个条件与上一个条件相关，意思是丙休息2天后，损失的工作量也可以由甲和乙合作1天来补偿，1×（甲的效率＋乙的效率）＝2×丙的效率。据此解答。 【详解】解：设乙的效率为b（每天完成工程的几分之几）。 丙的效率是2b 甲的效率＋b＝2×2b＝4b 甲的效率＝4b－b＝3b 三人效率之和为 甲的效率＋乙的效率＋丙的效率＝3b＋b＋2b＝6b＝ b＝ 甲的效率＝ 甲单独做需要的时间：1÷＝26（天） 答：这项工程由甲单独做需要26天。 【点睛】本题主要考查了多人的工程问题，假设出乙的效率是解题的关键，利用乙的效率算出甲、丙的效率。 25．30天 【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，依据题意可得：若丙不来帮忙，乙完成工作总量的（﹣）÷4＝需要天，那么乙完成工作总量的就需要÷×＝20天，若甲单独干后面的＋＝就需要20﹣6＝14天，即甲单独完成整个工程就需要14÷＝24天，此时间应该比计划工期提前6天，最后依据计划需要的时间＝甲单干需要的时间＋6天即可解答。 【详解】解：乙完成工作总量的需要的时间： ÷[（﹣）÷4]× ＝6× ＝20（天） 甲单干完成整个工程需要的时间： （20﹣6）÷[＋（﹣）÷4） ＝14÷ ＝24（天） 原计划工期： 24＋6＝30（天） 答：原计划工期是30天。 【点睛】解答本题的关键是求出甲单干完成工期需要的时间。 26．甲：210个  乙：245个  丙：280个 【详解】乙加工：735÷（+1+1÷） =735÷3 =245（个） 甲：245×=210（个） 丙：245÷=280（个） 答：甲加工零件210个，乙加工零件245个，丙加工零件280个． 27．30天 【分析】师徒两人合作一件工作要20天完成，因此师徒的合作效率为。如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，可以看作师徒合作8天，师傅再单独工作：26－8＝18（天），由此即可求出师傅这18天的工作量为：，再用师傅的工作量除以工作时间即可求出师傅的工作效率，由此即可解决。 【详解】 （天） 答：师傅单独做这件工作需要30天完成。 28．元 【分析】丙村出的360元钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。 【详解】甲、乙两村共派出了人，而这80人，按照原计划应是甲村派出人，乙村派出32人，丙村派出12人； 所以，实际上甲村帮丙村派出了人，乙村帮丙村派出了人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得： ＝360÷4×3 ＝270（元） 乙村应分得：元。 答：甲村分到270元，乙村分到90元。 【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，注意这里是按照工程量分配，而不是按照人数分配。 29．师傅：125个   徒弟：75个 【分析】由已知，师傅加工一个零件用3分钟，那么他每分钟可以加工个零件；徒弟加工一个零件要用5分钟，所以他每分钟可以加工个零件．从而师徒二人的工作效率之比为．在本题中，师徒二人的工作时间一样，是题中的不变量，由，所以工作量和工作效率成正比例关系． 【详解】解法一：由于师徒两人工作效率的比是．在本题中，所以他们的工作量之比也是．因此师傅加工的零件个数是，徒弟加工的零件个数是200-125=75（个）． 解法二：设师傅加工x个零件，则徒弟加工（200-x）个零件．当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例的关系，得 解法三：因为师傅每分钟加工个零件，徒弟每分钟加工个零件，所以每分钟师徒二人可加工个零件，因此当完成任务时，师徒二人所用的时间是． 师傅每分钟加工个零件，因此最终师傅加工的零件数是，徒弟加工的零件数是200-125=75（个）． 30．2小时 【分析】可设输水速度为v，输水时间为t小时，根据大水池剩余的需注水量是小水池需注水量的2倍，列出方程计算即可求解。 【详解】解：设输水速度为v，输水时间为t 列方程：6v－vt＝2（4v－vt） 解方程：6－t＝8－2t t＝2 答：测出输水用时为2小时。 31．50天 【分析】把这件工作看作单位“1”，则甲、乙两人合作的工作效率和为，甲单独做20天，乙单独做15天，相当于甲、乙合做15天，甲再单独做（20－15）天，所以可以看作甲、乙合作（12＋15）天，另外甲再单独做（20－15）天完成这件工作，用1减去甲、乙合作（12＋15）天的工作量，等于甲单独做（20－15）天的工作量，再除以（20－15）即等于甲单独做的工作效率，用1除以甲单独做的效率即等于甲单独完成这件工作需要的天数，据此即可解答。 【详解】[1－×（12＋15）]÷（20－15） ＝[1－]÷5 ＝÷5 ＝ 1÷＝50（天） 答：这件工作甲单独完成需要50天。 32．8时30分45秒 【详解】平均每分加工（8＋12）÷2＝10（件），加工540件共需54分。由题意知，前27分加工了8×27＝216（件），540件的45％是243件，243－216＝27（件），这27件是以每分12件的速度加工的，所用时间为27÷12＝（分）。到9点时加工所用的时间为27＋＝（分）＝29分15秒。所以开始时是8时30分45秒。 33．小时 【分析】工作效率问题的基本关系式，即工作效率×工作时间=工作量 虽然很简单，但是实际的生产问题要复杂得多．这是因为实际生产中一项任务的完成要涉及诸多环节，某一环节的工作效率发生变化后，其他环节的工作效率也相应地随之发生改变． 在本例题中，我们不可由已知“A与B交换工作岗位后，可提前1小时完成任务；C与D交换工作岗位后，也可提前1小时完成任务”，简单地得出，同时交换A与B及C与D的工作岗位，可提前1＋l=2（小时）完成这项任务．事实上，A与B交换工作岗位后，还有一个条件是“其他工人的生产效率不变”，也就是说，交换岗位的工人们是两两互相影响对方的，而对其他工人的效率不发生影响；C与D交换岗位的情形也一样．同时交换A与B及C与D的工作岗位后，其整个生产计划与分别只交换A与B，或者只交换C与D的情形是不一样的．下面我们给出本题的三种解法． 【详解】☆解法一：（1）设总工作量为1，原来全车间每小时完成． （2）A与B交换后，8小时完成．全车间每小时完成．由于其他工人工作效率不变，所以，A与B每小时多了；同时，C与D交换后，每小时也多干了． （3）A与B、C与D同时交换后，这四人每小时多干，全车间每小时完成，所以，完成这项任务需要 （小时） 比原来提前（小时） ☆解法二：题目中8和9的最小公倍数是72，所以把这项任务分成72份，原来每小时全车间完成72÷9＝8（份），每份需要60÷8=7．5（分钟） A与B交换后，每小时完成72÷8=9（份），比原来多干了1份，由于其他工人工作效率不变，所以这一份是A、B两人干的． 同理，C与D交换后，这两人每小时也多干了1份任务． 同时交换后，A与B、C与D每小时都多干1份任务，故全车间工人每小时干了8+l+1＝10（份）任务，每份任务只要60÷10=6（分钟）即可完成．所以，每干1份任务，可提前7．5-6=1．5（分钟），72份任务一共可提前72×1．5＝108（分钟）（小时）． ☆解法三：A与B交换后，全车间在8小时内完成原来9小时的工作．由于其他工人工作效率不变，所以A、B二人在8小时中多干了原来全车间1小时的工作；同时，C与D交换后，这二人在8小时中也多干了原来全车间1小时的工作． A与B、C与D同时交换后，他们四人就在4小时内多干了原来全车间1小时的工作．这就是说，A与B、C与D同时交换后，全车间在4小时内干了原来全车间在5小时内干的工作，缩短工作时间． 原来9小时的工作，在A与B、C与D同时交换后，就可以缩短（小时） 答：可以提前小时完成这项任务． 34．10名生产螺钉，12名生产螺母 【详解】解：设分配x名工人生产螺钉，那么生产螺母的工人有22-x名，根据题意得： 2×1200x=2000（22-x） 解得，x=10 22-x=22-10=12（名） 答：分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母． 35．6天 【分析】根据题意可知，工程总量看作单位“1”，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲、乙的工作效率和为（＋）， 1减去甲独干3天的工程量等于甲、乙两人合作完成的工程量，再除以甲、乙的工作效率和等于甲、乙合作干的天数，再加上甲单独干的3天，即等于甲一共干的天数，据此即可解答。 【详解】（1－×3）÷（＋）＋3 ＝÷＋3 ＝3＋3 ＝6（天） 答：甲共干了6天。 36．根据有12名工人，预定15天完成，已经工作了7天三个已知条件，可以求出剩余的工作量；又根据有12名工人，又增加了4名工人，可求出完成剩余工作量的工人总数．求出了剩余工作量和完成剩余工作量的工人总数，实际完成剩余工作量所需的时间久比较容易求出了．利用预定15天完成，已工作7天两个已知条件，可求出计划完成剩余工作量的时间；又知实际完成剩余工作量的时间，实际比计划提前几天完工，就很容易求出了． （15-7）-[12×（15-7）÷（12+4）]=8-12×8÷16=8-96÷16=8-6=2天 【详解】略 37．18天；8天 【分析】甲独做要30天完成，乙独做要20天完成，因此甲的效率为，乙的效率为。若由甲做了若干天后，由乙继续做完，从开始到完工共用了26天，因此可以设甲做了x天，则乙做了（26－x）天，然后根据“工作量＝工作效率×工作时间”即可表示出甲乙的工作量，由此即可列出方程来解决。 【详解】解：设甲做了x天，则乙做了（26－x）天。 26－18＝8（天） 答：甲做了18天，乙做了8天。 38．天 【分析】设这项工程为单位“1”，则甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为，据此可以求出甲和乙的工作效率之和，然后求出甲、乙合作36天后，剩下的工程量是多少，再除以甲、乙、丙、丁的工作效率之和即可。 【详解】甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为； 那么甲＋乙的工作效率为： 甲＋乙＋丙＋丁的工作效率为； 因此剩下的工程还需要： （天） 答：还需60天可完工。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题中，工作时间＝工作总量÷工作效率。 39．甲：180本，乙：420本 【详解】甲每小时比乙少装订（600+120）÷3=240（本） 甲3小时,乙1小时,甲比乙多装订120本, 那么甲每小时装订：（240+120）÷2=180（本） 乙每小时装订：180+240=420（本） 答：甲每小时装订180本，乙每小时装订420本。 40．39人 【分析】本题可以用方程来解决，设预定完成任务的期限为x天。将每人每天完成的工作量当成1份，根据工作量不会发生变化可以列出方程：。据此即可求出预定完成任务的天数。再用预定完成任务的天数乘52，可以求出总工作量的份数。最后再用总工作量的份数除以提高后的工作效率，再除以如果要提前5天完成任务需要的时间，即可求出需要派多少人。 【详解】解：设预定完成任务的期限为x天。 （人） 答：如果要提前5天完成，需要派39人。 41．6天 【分析】甲独做要50天完成，乙独做要60天完成，则甲的工作效率为，乙的工作效率为。现在甲、乙两人合作，乙中途休息了若干天，到完成工作时，用了30天，即可知道甲工作了30天，因此可以求出甲一共的工作量。再用单位“1”减去甲的工作量，即可求出乙的工作量。最后再根据“工作量÷工作效率＝工作时间”即可求出乙工作了几天，从而再求出乙休息了几天。 【详解】 （天） （天） 答：乙中途休息了6天。 42．分钟 【分析】对比题目给出的两种情况，求出注水的效率以及排水孔排水的效率，再分阶段考虑两个孔都打开时首先要的时间。 【详解】根据题意可知，要注水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用分钟； 那么不开出水孔时注满水箱需分钟； 如果一直开一个出水孔需要分钟； 说明每分钟注水量为，一个孔每分钟排水量为。 如果两个孔都打开，需要： （分钟） 答：需要55分钟才能将水箱注满。 【点睛】本题考查的是工程问题中的注水问题，求出注水效率和排水效率是求解问题的关键。 43．15米 【分析】由题可知，甲队修了4＋8＝12天，乙队修了8天，根据甲队比乙队每天少修3米，如果都是乙队修，则多修12×3＝36米，则总数是264＋36＝300米，相当于乙修了12＋8＝20天，相除即可求解。 【详解】4＋8＝12（天） （264＋12×3）÷（8＋12） ＝（264＋36）÷20 ＝300÷20 ＝15（米） 答：乙队每天修15米。 【点睛】本题考查替换法的应用，注意替换时总量也发生变化。 44．21小时 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，， （小时） 45．6根 【详解】增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-=，是的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量是前一段时间注水量的4倍．设水池容量是1，预定时间的（前一段时间）的注水量是1-= 10根水管同时打开，能按预定时间注满水池，每根水管的注水量是，预定时间的，每根水管注水量是=， 要注满水池的，需要水管÷=6（根）．　　 答：开始时打开6根水管. 46．甲分配到300个零件；乙分配到400个零件；丙分配到480个零件。 【分析】根据工作时间×工作效率＝工作总量，加工同样的零件时，工作总量一定，工作时间和工作效率成反比，根据时间的比，推导出效率的比，再结合工作时间一定，工作效率和工作总量成正比，从而得出三者工作量之比，从而根据工作量比将总1180个零件分配下去即可。 【详解】甲乙丙的时间比＝8∶6∶5 根据工作总量一定，工作效率和工作时间成反比，可得： 甲乙丙的效率比＝15∶20∶24 当时间相同时，工作效率和工作总量成正比 因此，甲乙丙的工作量比＝15∶20∶24 1180÷（15＋20＋24）＝20（个） 甲：20×15＝300（个） 乙：20×20＝400（个） 丙：20×24＝480（个） 答：甲应该分配300个，乙分配400个，丙分配480个。 47．完成这项工作一共用了天． 【详解】略 48．15天 【详解】×(3+2)= (1-)÷（+） =÷ =10（天） 10+3+2=15（天） 答：他们完成这项工程从开工到结束一共花了15天． 49．甲：33元    乙：91元    丙：56元 【分析】此题看上去有点复杂，其实问题的关键在于求出甲、乙、丙三个各自的工作效率． 由已知条件，甲、乙合作6天完成了，故可求出甲、乙两人的工作效率和，即，同样可求出乙、丙两人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和．从而可求出甲、乙、丙三人各自的工作效率，进而根据他们各自完成的工作天数（即工作量）求出他们应领到的工资． 【详解】因为甲、乙合修了6天完成工作的，所以甲、乙两人的工作效率和为． 剩下的工作量为，剩下工作量的为，由乙、丙两天完成，所以乙、丙的工作效率和为． 最后剩下的工作量为，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三个的工作效率和为．因此，甲的工作效率为． 因此，甲的工作效率为，丙的工作效率为，乙的工作效率为．进而，甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，丙完成的工作量为． 所以，甲应领工资，乙应领工资，丙应领工资 50．4天 【分析】甲队单独修要15天修完，则甲队的工作效率为。乙队单独修要20天修完，则乙队的工作效率为。现在两队同时修了几天后，由甲队单独修了8天修完，可以先求出甲队8天的工作量即为：，则两队合作的工作量为：。最火再用合作的工作量除以合作效率，即可求出合作的工作时间，即为乙队的工作时间。 【详解】 （天） 答：乙队修了4天。 51．18天 【分析】把这条公路看作单位“1”，甲、乙两队合修的工作效率为，甲队先修8天，乙再修14天，可以看作甲、乙两队合修8天，乙再修（14－8）天修完这条公路，用1减甲、乙两队合修8天的工作量等于乙修（14－8）天的工作量，再除以（14－8）即等于乙独修的工作效率，用1除以乙独修的工作效率即等于乙独修这条公路需要的天数，据此即可解答。 【详解】（1－×8）÷（14－8） ＝÷6 ＝ 1÷＝18（天） 答：乙独修这条公路要18天。 52．450本 【分析】先求出小雅、小贝和小周三人的工作效率之比为：，三人的工作效率之比为：，因此三人的工作量之比为：，化简为，最后再按比例分配即可求出小雅搬得书的数量为：（本）。 【详解】三人的工作量之比为： 小雅搬得书的数量为：（本） 答：小雅一共搬了450本书。 53．9小时 【详解】解：设甲乙工作效率分别为x，y． 得 1÷=9（小时） 答：乙单独做需要9小时． 54．15小时 【分析】我们根据题目条件可以利用下面两个等式来解题： 甲5小时的工作量+乙3小时的工作量=“1” （1） 甲3小时的工作量+乙9小时的工作量=“1” （2） 比较（1）式、（2）式可得：甲的工作效率是乙的3倍．因此，甲做了5小时工作后，由乙接做3小时可以完成．可以看作甲单独做6小时完成全部工作，所以甲的工作效率为，那么乙的工作效率为． 【详解】解法一：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），甲的工作效率是． 所以，乙要完成全部工作还需 解法二：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），乙的工作效率是． 所以，乙要完成全部工作还需． 55． 【详解】见下表：说明在第五天没有全天干活，那么第四天干完以后剩下：300－231.25＝68.75米， 那么共用时间为4+68.75÷210.625＝天． 天数 1 2 3 4 5 甲 10 20 40 80 160 乙 10 15 22.5 33.75 50.625 已挖 20 35 62.5 113.75 210.625 共挖 20 55 117.5 231.25 441.375 56．25 【详解】设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为，丙组每人每天的工作量为：×=3/10． 这项工作的总工作量为：（1×13+×15）×3=75 丙组10人需要干：75÷÷10=25（天）． 57．小时 【分析】每人轮流做1小时，如果甲、乙轮流做，需要9.8小时，那么甲做了5小时，乙做了4.8小时；如果乙、甲轮流做，需要9.6小时，那么甲做了4.6小时，乙做了5小时；也就是甲做0.4小时完成的工程量乙需要0.2小时，可以求出二者工作效率的关系，进而求出乙的工作效率是多少，然后求工作时间。 【详解】根据题意，有： 可知，甲做小时与乙做小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量。 所以，乙单独工作需要小时。 答：乙单独做这个工程需要7.3小时。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，求解问题的关键是找出两个人工作效率的关系，然后转化成一个人的工程问题。 58．2520个 【详解】如果一样的生产天数（按计划的天数），实际上的零件总数：120+3×56=288（个） 按计划的天数：288÷6=48（天） 实际加工：50×48+120=2520（个） 答：这个车间实际加工了2520个零件。 59．12天 【详解】很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天. 60．李明分得560元；刘军分得330元；王强分得910元 【分析】把这项工程看作单位“1”，已知刘、王合修，6天修好围墙的，则剩余这项工程的（1－），王、李合修，2天修好余下的，根据分数乘法的意义，得王、李2天修好这项工程的（1－）×，也就是；剩下的三人又合修5天才完成，三人5天完成了这项工程的（1－－），也就是，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷6即可求出刘、王的工作效率和，用÷2即可求出王、李的工作效率和，用÷5即可求出三人的工作效率和；然后用三人的工作效率和减去刘、王的工作效率和，即可求出李的工作效率；用王、李的工作效率和减去李的工作效率，即可求出王的工作效率；用刘、王的工作效率和减去王的工作效率，即可求出刘的工作效率；又已知刘军工作了（6＋5）天，王强工作了（6＋2＋5）天，李明工作了（2＋5）天，根据工作总量＝工作时间×工作效率，代入数据分别求出三人各自的工作量占总工作量的几分之几；然后把总工资看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总工资分别乘每个人工作量对应的分率，即可求出三人各自应得的工资。 【详解】（1－）× ＝× ＝ 1－－＝ 刘、王的工作效率和： ÷6 ＝× ＝ 王、李的工作效率和： ÷2 ＝× ＝ 三人的工作效率和： ÷5 ＝× ＝ 李的工作效率：－＝ 王的工作效率：－＝ 刘的工作效率：－＝ 李的工作量： ×（2＋5） ＝×7 ＝ 王的工作量： ×（6＋2＋5） ＝×13 ＝ 刘的工作量： ×（6＋5） ＝×11 ＝ 李分得的工资：1800×＝560（元） 王分得的工资：1800×＝910（元） 刘分得的工资：1800×＝330（元） 答：李明分得560元；刘军分得330元；王强分得910元。 【点睛】解答本题的关键是求出每个人各自的工作量占总工作量的分率，然后根据分数乘法进行按劳分配。 61．15个 【详解】3×8=24（个） 264-24=240（个） 徒弟每小时做：240÷（4+8+8）=12（个） 师傅每小时做：12+3=15（个）． 答：师傅每小时做15个． 62．400吨 【分析】把一堆黄沙的重量看作单位“1”，用大卡车装要50辆，如果用小卡车装要80辆．一辆大卡车装黄沙的，小卡车装货物的，3对应的分率是（-），用3除以（-）就是黄沙的总吨数． 【详解】解：3÷（-） =3× =400（吨） 答：这堆黄沙有400吨． 63．天 【分析】在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了27天，可以求出乙完成了多少，剩下的即为甲完成的，用甲完成的工程量除以甲的工作效率，得到甲工作的时间，进而求得甲休息的时间。 【详解】乙完成了全部工程的 还有是甲做的 所以甲干了（天） 休息了（天） 答：甲休息了5天。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以假设甲没有休息，求出甲乙合作27天完成的工程量，求出多完成的部分，除以甲的工作效率，得到甲休息的时间。 64．24个 【详解】40分钟＝小时，乙车间一共比甲车间少用了小时，乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－＝3小时，但都完成了120个零件。如果乙和甲的是一样的话，那么乙就会多完成240个零件，也就是说乙在3小时内可做240个零件，所以乙每小时完成的零件个数为240÷3＝72个，甲每小时完成72÷3＝24个零件。 甲每小时能加工24个零件。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $