精品解析：广西壮族自治区崇左市2026届高三下学期一模数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的一个真子集可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得. 3. 将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分法种数为（ ） A. 210 B. 1200 C. 4800 D. 5040 【答案】D 【解析】 【详解】依题意可得不同的分法种数为. 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，结合余弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，则. 因为，所以， 由余弦定理得，则. 5. 若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最小值为6 C. 最大值为4 D. 最大值为6 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立， 所以的最小值为6，无最大值. 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 7. 已知向量，，则函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 且， 当且仅当与同向，即，即时，等号成立， 故的最大值为. 8. 在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的最大值为3，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【详解】因为的最大值为3，所以，得， 则的最小值为，的最小正周期为，A正确，B错误. 因为，所以的图象关于点对称，C正确. 因为，所以的图象不关于直线对称，D错误. 10. 已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为7 C. 的最大值为8 D. 的最大值为9 【答案】BD 【解析】 【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可. 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 11. 已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ） A. 若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D. 若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 【答案】ABC 【解析】 【分析】A 选项通过推导可得，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入前式求得，故正确；B 选项可通过联立两个回归方程的截距公式解出样本均值和​，故正确；C 选项利用回归斜率乘积与相关系数的关系，结合斜率符号确定，故正确；D 选项因残差平方和需要原始数据或更多统计量，仅靠x的标准差无法计算，故错误。 【详解】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确. 对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，， ，， 标准差， 变形可得， 将其代入到得， 整理得，将其代入到， 整理得，代入已知数据得， 即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，经验回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，解得，， 故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确. 对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中）， 则变量x的残差平方和为 ， 由于样本量n未知，故无法算出残差平方和的具体数值，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，所以，故. 13. 若正三棱锥的高为3，，二面角为，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】通过二面角的几何求法与长度关系先确定二面角的平面角为，再结合垂直关系求解即可. 【详解】如图，取棱的中点D，连接，， 过点P作底面的垂线，垂足为E，则E在线段上，且， 因为，，所以，， 所以二面角的平面角为. 因，所以，所以， 即，故. 14. 已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由弦长求出的值，的最大值转化为的最大值求解. 【详解】将代入，得， 因为，所以. 设，，则，， 则， 因为，所以. 故抛物线C的焦点为，点在C的上方， 由抛物线的定义知，，则， 当P，F，M三点共线且F位于P，M之间时，取得最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. （1）证明：平面平面. （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，，所以平面平面. 【小问2详解】 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设（），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. 16. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望为1 【解析】 【小问1详解】 单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为， 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. 【小问2详解】 由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， 分别计算概率得，， ，， 因此的分布列为： 所以数学期望为. 17. 已知双曲线（，）的左顶点为，离心率为. （1）求C的方程； （2）过点A作直线l（斜率不为0）与C交于另一点B，过点B作l的垂线与x轴交于点D，若，求l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立求出点的坐标，进而求出点的横坐标即可列式求解. 【小问1详解】 依题意，，由，得，则， 所以C的方程为. 【小问2详解】 由直线l的斜率不为0，设l的方程为， 由消去得，解得或， 则点的纵坐标，横坐标， 过点B且与l垂直的直线方程为， 令，得点的横坐标，由，得，即， 当时，，该方程无解；当时，解得， 所以直线l的方程为或. 18. 已知函数. （1）求的单调区间. （2）讨论零点的个数. （3）若（）对恒成立，试问存在最大值还是最小值？说明你的理由. 【答案】（1）单调递减区间为，，单调递增区间为 （2）当时，无零点，当或时，只有1个零点，当或时，有2个零点，当时，有3个零点. （3）有最大值，无最小值. 【解析】 【分析】（1）求导后结合指数函数恒正的性质，通过分析二次函数的符号确定单调区间； （2）将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，结合函数的极值与趋势判断交点个数； （3）利用不等式恒成立的条件，结合参数关系分析​的最值情况. 【小问1详解】 . 令，得；令，得. 故的单调递减区间为，，单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得. 设，则. 由（1）知，在处取得极小值，在处取得极大值， 且的极小值为，极大值为. 若，则.若，则， 当时，. 当时，无零点， 当或时，只有1个零点， 当或时，有2个零点， 当时，有3个零点. 【小问3详解】 若（）对恒成立，则对恒成立， 则图象上的每个点都不在直线的上方. 因为直线在轴上的截距为， 且的正零点为，所以结合的图象可知，， 即，所以有最大值（当时，)，无最小值. 19. 若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. （1）已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. （2）已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）明确数列的递推公式，根据递推公式求数列的项； （ii）分为奇数和偶数讨论，分别求奇数项的和与偶数项的和即可. （2）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和，即可证明所给不等式. 【小问1详解】 （i）由为1阶跳跃等差数列，得， 则，，. （ii）当为偶数时，设（），前项包含个奇数项和个偶数项. 奇数项和， 偶数项和， 所以，则. 当n为奇数时，. 综上，. 【小问2详解】 因为数列为k阶跳跃等差数列，且，所以. 因为，， 所以，， ，， 当时，. 设（），则，则单调递增， 则，则， 所以的前（）项中不大于的项数为，则， 则. 设， 则， 则 ， 所以， 所以. 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的一个真子集可以为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分法种数为（ ） A. 210 B. 1200 C. 4800 D. 5040 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最小值为6 C. 最大值为4 D. 最大值为6 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 已知向量，，则函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的最大值为3，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 10. 已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为7 C. 的最大值为8 D. 的最大值为9 11. 已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ） A. 若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D. 若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为______. 13. 若正三棱锥的高为3，，二面角为，则______. 14. 已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. （1）证明：平面平面. （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 16. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 17. 已知双曲线（，）的左顶点为，离心率为. （1）求C的方程； （2）过点A作直线l（斜率不为0）与C交于另一点B，过点B作l的垂线与x轴交于点D，若，求l的方程. 18. 已知函数. （1）求的单调区间. （2）讨论零点的个数. （3）若（）对恒成立，试问存在最大值还是最小值？说明你的理由. 19. 若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. （1）已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. （2）已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $