专题4.3 公式法（3大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

专题4.3 公式法 知识点1：用平方差公式因式分解 1.公式内容： 2.语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 3.公式适用条件 多项式为二项式； 两项均能表示成某个整式的平方形式； 两项符号相反（即“减号在中央”）。 注意事项：公式中的、可以是单项式（如、），也可以是多项式（如、），遵循整体思想。 知识点2：用完全平方公式因式分解 1.公式内容 和的平方： 差的平方： 2.语言表述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 3.完全平方式的特征 多项式为三项式； 有两项是某个整式的平方，且这两项符号相同（即“首平方、末平方”）； 第三项是这两个整式乘积的2倍或-2倍（即“二倍之积在中央”）。 注意事项：首项系数为负数时，先提取负号，再判断是否为完全平方式；、可表示单项式或多项式。 知识点3：因式分解的一般步骤与公式对比 步骤 具体操作 平方差公式与完全平方公式对比 一提 观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式 平方差公式：适用于二项式，核心是“平方差”结构 二套 无公因式或提取公因式后，根据多项式项数选择公式： -二项式：尝试平方差公式 -三项式：尝试完全平方公式 完全平方公式：适用于三项式，核心是“完全平方式”特征 三查 检查因式分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解 共性：公式均为乘法公式的逆用，结果为整式乘积形式 【基础必考题型】 【题型1】平方差公式的直接应用 1.核心知识点 平方差公式的结构特征；单项式的平方运算。 2.解题方法技巧 先将二项式的两项分别化为“某个单项式的平方”形式，确定公式中的和；直接代入平方差公式分解，注意系数的平方根运算准确。 【例题1】.（2026·广东佛山·一模）因式分解：________． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·浙江绍兴·月考）下列各式能用平方差公式分解因式的有_____（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型2】完全平方公式的直接应用 1.核心知识点 完全平方式的三个特征；完全平方公式的结构。 2.解题方法技巧 识别“首平方、末平方、二倍之积在中央”的结构，确定、及中间项的符号；根据中间项符号选择和的平方或差的平方公式，避免符号错误。 【例题2】.（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·广西河池·开学考试）将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2025九年级下·黑龙江·专题练习）分解因式：； 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3】提公因式与公式法的综合连续分解 1.核心知识点 提公因式法；平方差/完全平方公式；因式分解的彻底性要求 2.解题方法技巧 先提公因式（含符号变形、多项式公因式），再对剩余部分套公式分解；分解后检查因式，确保无可继续分解的整式。 【例题3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·重庆·开学考试）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式题3-2】.（24-25八年级上·四川成都·期中）分解因式 (1)； (2)； (3)． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·北京·开学考试）分解因式： (1) (2) 【培优高频题型】 【题型4】公式法与代数式求值（整体代入） 1.核心知识点 公式法因式分解；整体代入求值思想。 2.解题方法技巧 对所求代数式先因式分解，转化为与已知条件相关的整体形式；不单独求解字母值，直接将已知整体值代入分解后的式子计算，简化运算。 【例题4】.（2022·云南昭通·模拟预测）若实数，满足，，则_______． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）已知，则______． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）已知，，则计算的结果为_________． 【题型5】素养导向题：公式法与三角形形状判断 1.核心知识点 公式法因式分解；三角形的分类（等腰、直角三角形）；三角形三边关系。 2.解题方法技巧 对已知等式移项、分组，用公式法因式分解，转化为“因式乘积=0”的形式；结合三角形三边的非负性，排除不合理因式，确定三边关系（如、），判断三角形形状。 【例题5】.（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集； （2）已知的三边、、满足，判断的形状并说明理由． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山西长治·期末）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试） 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ， ． (1)已知，求x和y的值． (2)已知的三边长a、b、c满足，判断的形状． 【题型6】跨学科情境题：公式法在密码编译中的应用 1.核心知识点 提公因式法与平方差公式；数学建模思想。 2.解题方法技巧 从实际情境中提取代数式，先提取公因式，再用平方差公式彻底分解；根据分解结果对应情境信息，解决实际问题（如密码破解、信息匹配）。 【例题6】.（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【变式题6-2】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如：，取，则，，得因式码14、18，则密码为1418或1814． (1)根据上述方法，已知多项式为，当时，密码为______； (2)若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师的锁屏密码是3535，那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由； (3)若选取的多项式为，利用本题方法，当时可以得到密码2026或2620，求、的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然我们也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是什么？ (2)已知多项式，当p，q分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为4，12，你能求出第三个因式码吗？ 【题型7】公式法在几何图形中的应用 1.核心知识点 平方差公式、完全平方公式；几何图形的面积公式。 2.解题方法技巧 根据图形特征列出面积（或边长）相关的代数式；利用公式法因式分解代数式，结合已知条件求解未知量（如边长、面积差），验证结果的几何意义。 【例题7】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）某种细菌在培养基上以规则的方式生长，形成一个圆形的菌落，菌落的面积S与其生长时间有关．已知当生长时间为t（单位：小时）时，菌落的半径r（单位：毫米）满足． (1)求该菌落的面积S．（面积用含和t的代数式表示） (2)另一种细菌的菌落生长更快，形成一个圆形的菌落，其面积． ①求该种菌落的半径．（用含t的代数式表示） ②将第一种细菌和第二种细菌在上述环境下培养t小时，请用含和t的式子表示它们的面积之差，并将其因式分解． 【变式题7-2】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）探究及应用： （1）如左图，可以求出阴影部分的面积是______； （2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是______． （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______． 运用你所得到的公式，计算： （4） （5） （6）若，，求． 【变式题7-3】.（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积. 例如，由图①，可得等式：．   (1)如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来， (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． (3)如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和，若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【压轴素养题型】 【题型8】公式法与提公因式法的简算综合应用 1.核心知识点 提公因式法；平方差、完全平方公式；裂项相消思想 2.解题方法技巧 先提取公因数简化算式，再结合公式变形；平方差公式可拆分连乘式裂项抵消，完全平方公式匹配凑整计算，巧用公式将复杂运算转化为简单有理数运算。 【例题8】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）______． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【题型9】探究式题型：公式法的规律探究与证明 1.核心知识点 平方差公式；规律归纳与逻辑证明。 2.解题方法技巧 观察已知算式的结构规律，猜想一般结论；利用平方差公式对猜想进行代数证明，注意字母的普遍性（如用偶数、整数表示一般情况）；验证结论的正确性与适用性。 【例题9】.（24-25八年级上·江西南昌·期末）数学小组在研究式子时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： ① ② ③ ④ 根据上述规律解决下列问题： (1)填空： ； (2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小智发现某一式子的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 【变式题9-1】.（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 易错点 1.误用平方差公式：将（两项同号）或（提取负号后为）误判为平方差形式分解。 2.完全平方式判断错误：忽略中间项是“两数积的2倍”，如将误判为完全平方式；遗漏中间项的正负两种情况。 3.因式分解不彻底：分解后仍有可继续分解的因式，如仅分解为，未进一步分解。 4.提取公因式后漏项：提取公因式后括号内遗漏“1”，如误写为；首项为负时提取后符号错误。 重点 1.熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能快速判断多项式适合哪种公式分解。 2.掌握“一提、二套、三查”的因式分解一般步骤，先提公因式，再用公式，确保分解彻底。 3.理解整体思想在公式法中的应用，能将多项式整体当作“字母”代入公式分解。 4.灵活运用公式法解决代数式求值、几何图形、实际情境等问题，建立数学与实际的联系。 难点 1.多项式型公因式的识别与分解，难以将复杂多项式整体转化为公式中的或，缺乏整体思想的运用。 2.配方法的灵活运用，对不能直接用公式分解的多项式，难以通过添项减项配成完全平方式，再用平方差公式分解。 3.公式法与实际问题的结合，难以从跨学科（如密码、几何、整除）情境中抽象出代数式并因式分解。 4.规律探究与证明类问题，需要结合公式法进行逻辑推理，既要归纳规律，又要进行严格的代数证明，对逻辑思维要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列因式分解中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．分解因式：________． 5．若实数、满足等式，则的值为_______． 6．多项式因式分解的结果是______________． 三、解答题 7．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．用简便方法计算： (1)； (2)． 9．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 10．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 公式法 知识点1：用平方差公式因式分解 1.公式内容： 2.语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 3.公式适用条件 多项式为二项式； 两项均能表示成某个整式的平方形式； 两项符号相反（即“减号在中央”）。 注意事项：公式中的、可以是单项式（如、），也可以是多项式（如、），遵循整体思想。 知识点2：用完全平方公式因式分解 1.公式内容 和的平方： 差的平方： 2.语言表述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 3.完全平方式的特征 多项式为三项式； 有两项是某个整式的平方，且这两项符号相同（即“首平方、末平方”）； 第三项是这两个整式乘积的2倍或-2倍（即“二倍之积在中央”）。 注意事项：首项系数为负数时，先提取负号，再判断是否为完全平方式；、可表示单项式或多项式。 知识点3：因式分解的一般步骤与公式对比 步骤 具体操作 平方差公式与完全平方公式对比 一提 观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式 平方差公式：适用于二项式，核心是“平方差”结构 二套 无公因式或提取公因式后，根据多项式项数选择公式： -二项式：尝试平方差公式 -三项式：尝试完全平方公式 完全平方公式：适用于三项式，核心是“完全平方式”特征 三查 检查因式分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解 共性：公式均为乘法公式的逆用，结果为整式乘积形式 【基础必考题型】 【题型1】平方差公式的直接应用 1.核心知识点 平方差公式的结构特征；单项式的平方运算。 2.解题方法技巧 先将二项式的两项分别化为“某个单项式的平方”形式，确定公式中的和；直接代入平方差公式分解，注意系数的平方根运算准确。 【例题1】.（2026·广东佛山·一模）因式分解：________． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·浙江绍兴·月考）下列各式能用平方差公式分解因式的有_____（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②③⑤⑥ 【分析】根据平方差公式分解因式的条件，即多项式为两个符号相反的平方项的差，逐个对各式进行判断即可． 【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反， ① ，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式； ② ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ③ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ④ ，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式； ⑤ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ⑥ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 【题型2】完全平方公式的直接应用 1.核心知识点 完全平方式的三个特征；完全平方公式的结构。 2.解题方法技巧 识别“首平方、末平方、二倍之积在中央”的结构，确定、及中间项的符号；根据中间项符号选择和的平方或差的平方公式，避免符号错误。 【例题2】.（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·广西河池·开学考试）将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察原式符合完全平方公式的结构，套用公式分解即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题2-2】.（2025九年级下·黑龙江·专题练习）分解因式：； 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再用完全平方公式分解． 【详解】解： ． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型3】提公因式与公式法的综合连续分解 1.核心知识点 提公因式法；平方差/完全平方公式；因式分解的彻底性要求 2.解题方法技巧 先提公因式（含符号变形、多项式公因式），再对剩余部分套公式分解；分解后检查因式，确保无可继续分解的整式。 【例题3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·重庆·开学考试）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式提取公因式后，再运用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题3-2】.（24-25八年级上·四川成都·期中）分解因式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·北京·开学考试）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出公因式3，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【培优高频题型】 【题型4】公式法与代数式求值（整体代入） 1.核心知识点 公式法因式分解；整体代入求值思想。 2.解题方法技巧 对所求代数式先因式分解，转化为与已知条件相关的整体形式；不单独求解字母值，直接将已知整体值代入分解后的式子计算，简化运算。 【例题4】.（2022·云南昭通·模拟预测）若实数，满足，，则_______． 【答案】 【分析】将所求多项式因式分解，再整体代入已知的与的值计算即可． 【详解】解：对因式分解， 先提公因式得， 再由平方差公式因式分解得， 把，代入得， 原式 【变式题4-1】.（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）已知，则______． 【答案】 【分析】对代数式进行因式分解，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求的值． 【答案】， 【分析】先提出公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）已知，，则计算的结果为_________． 【答案】6 【分析】利用平方差公式将所求代数式因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【题型5】素养导向题：公式法与三角形形状判断 1.核心知识点 公式法因式分解；三角形的分类（等腰、直角三角形）；三角形三边关系。 2.解题方法技巧 对已知等式移项、分组，用公式法因式分解，转化为“因式乘积=0”的形式；结合三角形三边的非负性，排除不合理因式，确定三边关系（如、），判断三角形形状。 【例题5】.（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， 则， 解得， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或 ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点，熟练掌握这些知识并灵活运用是解答的关键． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集； （2）已知的三边、、满足，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）；数轴表示见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）分别解两个不等式，求出解集，然后取两个不等式解集的公共部分，求出不等式组的解集即可； （2）对题中的等式分组因式分解，然后根据三角形的三边关系求出，据此判断三角形的形状． 【详解】解：（1）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 在数轴上表示如下： 不等式组的解集是； （2）是等腰三角形，理由如下： ， ， ， 的三边、、， ，即， ， ， 是等腰三角形． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山西长治·期末）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【答案】(1)②，① (2) (3)是等腰三角形或者直角三角形 【分析】本题考查了因式分解的方法，等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （3）根据平方差公式因式分解，再提公因式得出，进而可得或，结合等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，即可进行判定． 【详解】（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 、b、c是的三边， ， 或， 或， 是等腰三角形或者直角三角形． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试） 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ， ． (1)已知，求x和y的值． (2)已知的三边长a、b、c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】（1）先配方，然后由非负数性质求得结果； （2）先配方，然后由非负数性质求得a、、c三者相等的关系，进而由三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【题型6】跨学科情境题：公式法在密码编译中的应用 1.核心知识点 提公因式法与平方差公式；数学建模思想。 2.解题方法技巧 从实际情境中提取代数式，先提取公因式，再用平方差公式彻底分解；根据分解结果对应情境信息，解决实际问题（如密码破解、信息匹配）。 【例题6】.（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 【答案】C 【分析】先对原式进行因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息即可． 【详解】解：∵ ， ∵对应我，对应爱，对应仙，对应河， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如：，取，则，，得因式码14、18，则密码为1418或1814． (1)根据上述方法，已知多项式为，当时，密码为______； (2)若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师的锁屏密码是3535，那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由； (3)若选取的多项式为，利用本题方法，当时可以得到密码2026或2620，求、的值． 【答案】(1)1119或1911 (2)32 (3) 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分解因式，代入求解即可； （2）易得，据此即可得解； （3）根据密码可得多项式因式分解的结果为，展开与原式对比，求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，， 密码为1911或1119； 故答案为：1911或1119； （2）解：32岁，理由如下： ， 王老师的锁屏密码是3535， ， 解得， 即王老师当前年龄是32岁； （3）解：设多项式分解的结果为， 当时可以得到密码2026或2620， ，或，， 解得，或，， 多项式因式分解的结果为， ， 可得， 解得 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然我们也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是什么？ (2)已知多项式，当p，q分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为4，12，你能求出第三个因式码吗？ 【答案】(1)生成的密码是4840 (2)第三个因式码为80 【分析】本题主要考查因式分解，新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． （1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）先将多项式分解因式，再根据题意排序，由前两个因式码可得方程组，解方程组代入第三个因式码即可得解． 【详解】（1）解： ， 当，时， ，，， 生成的密码是4840． （2）解：， 又p，q分别取正整数， ，， 联立解得，， ． 第三个因式码为80． 【题型7】公式法在几何图形中的应用 1.核心知识点 平方差公式、完全平方公式；几何图形的面积公式。 2.解题方法技巧 根据图形特征列出面积（或边长）相关的代数式；利用公式法因式分解代数式，结合已知条件求解未知量（如边长、面积差），验证结果的几何意义。 【例题7】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）某种细菌在培养基上以规则的方式生长，形成一个圆形的菌落，菌落的面积S与其生长时间有关．已知当生长时间为t（单位：小时）时，菌落的半径r（单位：毫米）满足． (1)求该菌落的面积S．（面积用含和t的代数式表示） (2)另一种细菌的菌落生长更快，形成一个圆形的菌落，其面积． ①求该种菌落的半径．（用含t的代数式表示） ②将第一种细菌和第二种细菌在上述环境下培养t小时，请用含和t的式子表示它们的面积之差，并将其因式分解． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】该题考查了因式分解的应用、二次根式的性质、整式的乘法． （1）将代入圆面积公式求解即可； （2）①设该种菌落的半径为，根据，求解即可． ②求出并因式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：①设该种菌落的半径为， 则， ∴， 即求该种菌落的半径为； ② ． 【变式题7-2】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）探究及应用： （1）如左图，可以求出阴影部分的面积是______； （2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是______． （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______． 运用你所得到的公式，计算： （4） （5） （6）若，，求． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6） 【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）利用等面积法建立等式就可得出公式； （4）把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算； （5）把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算； （6）根据平方差公式，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； （2）解：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是； （3）解： ； （4）解： ； （5）解：； （6）解：， ， 又，即， ． 【变式题7-3】.（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积. 例如，由图①，可得等式：．   (1)如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来， (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． (3)如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和，若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)31 (3)20 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）图②大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答： （3）根据题意可得阴影部分的面积=的面积+正方形的面积- 的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：图②大正方形的面积 图②大正方形的面积 ∴ （2）解：由（1）可得： ∵ ∴ （3）解：∵， ∴阴影部分的面积 【压轴素养题型】 【题型8】公式法与提公因式法的简算综合应用 1.核心知识点 提公因式法；平方差、完全平方公式；裂项相消思想 2.解题方法技巧 先提取公因数简化算式，再结合公式变形；平方差公式可拆分连乘式裂项抵消，完全平方公式匹配凑整计算，巧用公式将复杂运算转化为简单有理数运算。 【例题8】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 【变式题8-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，已知式子的值，求代数式的值，因式分解在有理数简算中的应用． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）将转化为，代入已知式子的值，计算即可； （3）将原式转化为，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ， ； （3）解： ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 【题型9】探究式题型：公式法的规律探究与证明 1.核心知识点 平方差公式；规律归纳与逻辑证明。 2.解题方法技巧 观察已知算式的结构规律，猜想一般结论；利用平方差公式对猜想进行代数证明，注意字母的普遍性（如用偶数、整数表示一般情况）；验证结论的正确性与适用性。 【例题9】.（24-25八年级上·江西南昌·期末）数学小组在研究式子时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： ① ② ③ ④ 根据上述规律解决下列问题： (1)填空： ； (2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小智发现某一式子的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 【答案】(1)3 (2)，见解析 (3)65 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，能根据所给等式发现规律是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）用含a，b的等式表示出（1）中发现的规律，并进行证明即可． （3）根据题意建立关于a，b的等式，再进行分析即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为， ， ， ， 所以． 故答案为：3． （2）发现的规律是：． 证明如下： 左边 ＝右边， 故此等式成立． （3）因为的结果恰好是一个整数的平方， 所以是一个整数的平方． 因为， 又因为， 所以， 解得， 所以． 【变式题9-1】.（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）14 【分析】本题考查了图形规律，运用代数式表达式，解一元二次方程． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据前几个图案的规律，即可求解； （3）根据题意，列出关系式，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （2）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （3）由题意得，，即， 解得（负数已舍去）， 即的值为14． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 易错点 1.误用平方差公式：将（两项同号）或（提取负号后为）误判为平方差形式分解。 2.完全平方式判断错误：忽略中间项是“两数积的2倍”，如将误判为完全平方式；遗漏中间项的正负两种情况。 3.因式分解不彻底：分解后仍有可继续分解的因式，如仅分解为，未进一步分解。 4.提取公因式后漏项：提取公因式后括号内遗漏“1”，如误写为；首项为负时提取后符号错误。 重点 1.熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能快速判断多项式适合哪种公式分解。 2.掌握“一提、二套、三查”的因式分解一般步骤，先提公因式，再用公式，确保分解彻底。 3.理解整体思想在公式法中的应用，能将多项式整体当作“字母”代入公式分解。 4.灵活运用公式法解决代数式求值、几何图形、实际情境等问题，建立数学与实际的联系。 难点 1.多项式型公因式的识别与分解，难以将复杂多项式整体转化为公式中的或，缺乏整体思想的运用。 2.配方法的灵活运用，对不能直接用公式分解的多项式，难以通过添项减项配成完全平方式，再用平方差公式分解。 3.公式法与实际问题的结合，难以从跨学科（如密码、几何、整除）情境中抽象出代数式并因式分解。 4.规律探究与证明类问题，需要结合公式法进行逻辑推理，既要归纳规律，又要进行严格的代数证明，对逻辑思维要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 2．下列因式分解中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念以及提公因式法、公式法因式分解，根据相关规则对各选项逐一判断即可。 【详解】∵ 对选项A，由平方差公式分解得，∴ A错误； ∵ 对选项B，提公因式得，∴ B错误； ∵ 对选项C，因式分解要求结果为几个整式乘积的形式，是和的形式，不符合要求，且，∴ C错误； ∵ 对选项D，由完全平方公式得，分解正确，∴ D正确。 3．已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用作差法比较大小，对差因式分解后，利用平方数的非负性判断x与y的大小关系，用到了完全平方公式因式分解的知识． 【详解】解： ， ∵任何实数的平方都满足， ∴， 即． 二、填空题 4．分解因式：________． 【答案】/ 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 5．若实数、满足等式，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】将已知等式化为完全平方式，再结合非负数的性质，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ，， ． 6．多项式因式分解的结果是______________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 三、解答题 7．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 8．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解的应用； （1）先提取，再利用完全平方公式进行因式分解运算即可； （2）直接利用完全平方公式进行因式分解运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，式有最小值，最小值为1； 【分析】（1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 10．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $