精品解析：重庆市第十一中学校2025-2026学年下学期九年级数学 3月学情自测试卷

重庆十一中教育集团初2026级初三下3月考试 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据：乘积是的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．据此解答即可． 【详解】解：的倒数是． 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下列纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意． 3. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 飞机起飞前对零部件的检查 B. 了解某品牌矿泉水的质量情况 C. 调查长江的水质情况 D. 调查重庆市中学生体质健康情况 【答案】A 【解析】 【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查或普查的意义价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此逐一分析即可． 【详解】解：A．飞机起飞前对零部件的检查，适合采用普查，故此选项符合题意； B．了解某品牌矿泉水的质量情况，适合抽样调查，故此选项不符合题意； C．调查长江的水质情况，适合抽样调查，故此选项不符合题意； D．调查重庆市中学生体质健康情况，适合抽样调查，故此选项不符合题意． 4. 已知，和分别是它们的对应角平分线，，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，和分别是它们的对应角平分线， ∴与的相似比为， ∴与的面积比是． 5. 如图，圆内接四边形中，圆心角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可知，再根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6. 已知实数，则的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则化简，再估算无理数的大小即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴，即 ∴的值在和之间． 7. 若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 8. 首届“渝超”联赛正在进行中，在此期间足球成为某区热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，某区准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了55场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用比赛的总场数=参赛队伍数参赛队伍数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 9. 如图，在正方形中，已知，连接，将沿着折叠得到，连接并延长交于点H，连接，过点E作交的延长线于点G，交于Q，连接，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设，，先证明，再在中利用勾股定理求出，得出，，再证明，利用，求出，再求，即可求解． 【详解】由，设，， ∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，得， ∴， ∴． 10. 已知整式（，，均为整数，，，，），且，设；下列说法中： ①若，则的值可能为； ②的最小值为； ③（，，，）均为正整数，则最大值为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据整式加法合并同类项，得到系数和的关系，再逐一分析三个说法即可． 【详解】解：∵整式（，，均为整数，，，，）， 又∵ ∴，，， ①取，，，，满足， ∴， 即的值可能为，故说法①正确； ②设，则， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为，故说法②正确； ③设（为定值，、为正数）， 则， ∴当时，取得最大值， 此时， 即两个正数的和一定时，当它们相等时，这两个数的积最大； 按同样的方法可知：几个正数的和一定时，当它们相等时，这几个数的积最大； ∵，，，均为正整数，且， 当时，， ∴最大值为，故说法③正确； 综上所述，三个说法都正确，正确个数是． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值小于的正数的一般形式为，其中，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）． 【详解】解：数值用科学记数法表示为． 12. 为培养学生的科技意识，某校举办科技文化节，设置了“航天”“环保”“人工智能”“生命科学”四个项目．若八年级每个班随机选择一个项目参加，则班和班选择同一项目的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及班和班恰好选择同一项目的结果数，再根据“概率等于所求情况数与总情况数之比”求解即可． 【详解】解：设“航天”、“环保”、“人工智能”、“生命科学”四个项目分别用A、B、C、D表示，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中班和班恰好选择同一项目的结果有种， ∴班和班恰好选择同一项目的概率为． 13. 将一副直角三角板作如图摆放，若，平分，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角板可得，，利用角平分线得出，再利用三角形外角求出，最后利用对顶角的性质求解． 【详解】如图， 由题可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 14. 若x满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将变形得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，为的内接三角形，为的直径，上存在一点，使得，过点作，交于点，连接交半径于点，已知，，则________，连接交于点，则的长为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】连接、，作于点，容易判断出是等腰直角三角形，结合圆周角定理可得．利用三角函数可计算出，，进而计算出．根据平行弦定理可得，，使用勾股定理计算出．容易判断是等腰直角三角形，则，最后利用，计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， 在直角中，， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， 在直角中，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字之和为9，则称这个数为“十全九美数”．如：4267，，，是“十全九美数”；又如：3165，，不是“十全九美数”．已知是一个“十全九美数”，将m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得到数，将m的百位数字与个位数字去掉，得到两位数s，将m的千位数字与十位数字去掉，得到两位数t，．若M是最小的“十全九美数”，则________；对一个“十全九美数”m，若能被11整除，且是一个完全平方数，则满足条件的“十全九美数”m为________． 【答案】 ①. 337 ②. 2782 【解析】 【分析】根据“十全九美数”的定义可求出最小的“十全九美数”为1198，得出，，，代入计算可得；设，得，，，，代入得，能被11整除，得，得或，由是完全平方数得或，联立和，求出的值即可． 【详解】解：最小“十全九美数”的千位上的数字最小取1， 由得； 百位最小取1， 由得， ∴； ∴，，， ∴； 设，则，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵能被11整除，得， ∴或， 由是完全平方数， ∴或， 又为正整数， 所以，联立和， 解得，， ∴，， ∴． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，找出所有整数解后求和即可． 【详解】解：解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 原不等式组的解集为：； ∴所有整数解有：， ∴原不等式组所有整数解的和为：． 18. 如图，在平行四边形中，． （1）用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）中作图，连接，．求证：四边形为平行四边形，并完成下列证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ，， ____①____． ，， ． 在和中，， ． ____②____． ，， ． ____③____． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为____④____． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④平行四边形； 【解析】 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法作图即可； （2）先利用平行四边形的性质证明，，再证明，得出，再证明，即可证明四边形为平行四边形；同理得出结论． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中，， ． ． ，， ． ． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为平行四边形． 理由如下：如图，四边形是矩形，于点，于点， 四边形为矩形， ，， ． ，， ． 在和中，， ． ． ，， ． ． 四边形为平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的减法，再计算分式的除法，然后合并同类项，最后化简的值，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ， 原式． 20. 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，83，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 a 众数 b 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 【答案】（1），， （2）八年级的学生竞赛成绩更好，理由见解析（答案不唯一） （3）估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀的学生人数共有1240人 【解析】 【分析】（1）先求出八年级所抽取的学生的竞赛成绩在A组和B组的人数，再结合C组的数据，确定八年级的中位数，利用众数的定义求b，求出八年级20名学生的竞赛成绩中D组的个数，即可求m； （2）利用平均数、中位数和众数分析即可； （3）利用样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 解：∵八年级所抽取的学生共20人， ∴八年级所抽取的学生竞赛成绩的中位数是按从小到大排列后的第、名的成绩， 由统计图可知八年级所抽取的学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， 所以在C组的是按从小到大排列后的第7人的成绩开始， ∵C组的数据是：81，83，84，87，88，89，共6个， ∴按从小到大排列后的第、名的成绩分别是87，88， ∴中位数， ∵七年级20名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是88， ∴， ∵八年级20名学生的竞赛成绩中D组的个数是（个）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：八年级的学生竞赛成绩更好． 理由：七年级、八年级学生的平均竞赛成绩均为83分，且八年级学生的竞赛成绩众数91分高于七年级学生的竞赛成绩的众数88分．（答案不唯一） 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀学生人数共有1240人． 21. 一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了30km．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的0.8倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】（1）原计划的行驶速度为 （2）以原计划速度行驶的路程为70km 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，列一元一次方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系． （1）设原计划的行驶速度为，根据题意列出分式方程即可； （2）设以原计划速度行驶的路程为，根据题意列出一元一次方程即可解答． 【小问1详解】 解：设原计划的行驶速度为， 由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划的行驶速度为． 【小问2详解】 解：设以原计划速度行驶的路程为ykm， 由题意得：， 解得：． 答：以原计划速度行驶的路程为． 22. 在矩形中，，，点E为的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积与点P的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）图象见解析；性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小；性质：当时，随x增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）先得出当时，点Q上运动，点P在上运动；当时，点Q在上运动，点P在上运动，分别画出图形，再求面积即可； （2）利用描点法画图，再利用图象写出性质即可； （3）利用时x的取值范围即的图象在的图象下方时自变量x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，，点E为的中点， ∴，，，， 由题意得当点Q到达点D时，用时，当点P到达点B时，用时， 当时，点Q在上运动，点P在上运动，此时如图， ∴， ∴； 当时，点Q在上运动，点P在上运动，此时如图， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上，，． 【小问2详解】 解：，的图象如图所示： 性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； 性质：当时，随x增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：当时，由得， 则（负值舍去）， 由图可知时x的取值范围即的图象在的图象下方时自变量x的取值范围， 由图可知． 23. 某中学进行游园活动，小花和小刚从入口A处出发，小刚准备前往北偏东方向的B处玩“投壶”，小花准备前往北偏西方向米的C处玩“盲人摸象”．小刚到达点B处后，发现点C在他的北偏西方向．之后小花准备直接前往东北方向的F处玩最火的项目“一吹冲天”；小刚则需要前往北偏东方向的D处找同学拿东西（取东西的时间忽略不计），再前往西北方向20米的F处玩“一吹冲天”项目．（参考数据：，，） （1）求之间的距离； （2）当小刚到达D处时，小花刚好到的中点E处．之后两人同时出发，小刚用的速度走路前往，小花用的速度慢跑前往．小花从E处出发后，经过多少时间，她到小刚的距离是到点F距离的两倍（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）之间距离为 （2）经过秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍 【解析】 【分析】（1）延长，交于点M，由求出，，，，则可求出，，，得出，可得．再求出．分别在中和中进行解直角三角形即可． （2）当小花到小刚的距离是到点F距离的两倍时，设小花的位置为点，小刚的位置为点，即，得出，列式求解即可． 【小问1详解】 解：延长，交于点M， 由题意得：，，， ∴，，， ∴，， ，， ，，， ∴， ． ． ， ， ， ∴． 在中，， ，． 在中，， ， ． ，． 之间的距离为． 【小问2详解】 解：点E为的中点， ， ， 当小花到小刚的距离是到点F距离的两倍时，设小花的位置为点，小刚的位置为点， 即，∴， 设经过t秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍， ， 解得：． 又，． ，， 经过秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍． 24. 已知抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上一点，过点A作交y轴于点D，在直线上有一动点M，当四边形面积的最大时，求P点坐标及的最小值； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点E为点A经过平移后的对应点；在抛物线上是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3），；过程见解析 【解析】 【分析】（1）先求出点C坐标，再得出点B坐标，结合对称轴，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，由，得出，可得．则当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值．过点P作轴交于点Q，设，则，得出．利用二次函数性质求出最大时．过点M作轴，交x轴于点N．得出，则，当P，M，N共线时，取最小值，即可求解； （3）先利用平移求出新抛物线解析式为，再求出，证明．得出，当点M在下方时，设交x轴于点G，得出，求出直线的表达式为：，与联立求解即可；当点M在上方时，在上取一点K，使得，求出，可得直线的表达式为，证明，可得直线的表达式为：，与联立求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ． ． ， ， ． 由抛物线过点，抛物线的对称轴是直线， 得，解得， 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由，抛物线的对称轴是直线， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为， ， ∴与同底等高， ． ． 当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值． 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ． ， 当时，有最大值，此时， ∴此时． 过点M作轴，交x轴于点N． ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当P，M，N共线时，取最小值， 此时轴． 此时最小值为； 【小问3详解】 解：当M点的坐标为，，满足，理由如下： ，， ， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度， ∴新抛物线解析式为， ，由平移可得． ， 又，， ． ， 当点M在下方时，设交x轴于点G， ． ，即， ∴， ∴，则， 如图，可设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得：点为直线与的交点， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 当点M在上方时，在上取一点K，使得，如图， 设， 由，得， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入，得，即直线的表达式为：， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 综上，当M点的坐标为，． 25. 如图，在中，，边上有一点D，连接． （1）如图1，，点F在边上，连接交于点E，已知点E为的中点，若，求的长； （2）如图2，若，点F在延长线上，，连接，，将绕点D逆时针旋转得，连接交于点H，猜想，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，，F为上方平面内一点，且点F到直线的距离为，当的值最大时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作，交于点M，证明，得出，再证明，即可求解； （2）过点F作，交的延长线于点G，延长交于点N，连接， 先证明，得出、是等边三角形，再证明，得出，，再证明，利用线段的和差即可求证； （3）由点F到的距离为，得点F的轨迹为，且l与的距离为，过C作于点M，构造，得出点R的轨迹为以中点O为圆心的圆，求出的半径为．证明，得，要使最大，则最小即可，当M，R，O三点共线时，最小，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：过点F作，交于点M， ． 点E为的中点， ． 又， ， ． ∵， ， 又， ， ． ． ； 【小问2详解】 解：，理由： 过点F作，交的延长线于点G，延长交于点N，连接，如图， 则， 在和中， ， ． ，． ， 是等边三角形． ，． ， 是等边三角形． ，，． 由旋转的性质得：，， ， ． 又，， ． 在和中， ， ． ，， ， ， 在和中， ． ． ， ，， ． ； 【小问3详解】 解：点F到的距离为， 点F的轨迹为，且l与的距离为，如图， 过C作于点M，则，， 构造， ， 点R的轨迹为以中点O为圆心的圆， ，， ， 的半径为． ， ，即，， ， ， ， 要使最大，则最小即可， 很明显，当M，R，O三点共线时，最小； 此时简化图如下：过B作于点Q，延长交于点P， 在中，， ，． ， ． 由，得． 在中，， ， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ，，， ∴四边形、、是矩形， ，， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十一中教育集团初2026级初三下3月考试 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下列纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）是（ ） A. 飞机起飞前对零部件的检查 B. 了解某品牌矿泉水的质量情况 C. 调查长江的水质情况 D. 调查重庆市中学生体质健康情况 4. 已知，和分别是它们对应角平分线，，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆内接四边形中，圆心角，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，则的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 8. 首届“渝超”联赛正在进行中，在此期间足球成为某区热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，某区准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了55场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，已知，连接，将沿着折叠得到，连接并延长交于点H，连接，过点E作交的延长线于点G，交于Q，连接，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 已知整式（，，均为整数，，，，），且，设；下列说法中： ①若，则的值可能为； ②的最小值为； ③（，，，）均正整数，则最大值为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为________． 12. 为培养学生的科技意识，某校举办科技文化节，设置了“航天”“环保”“人工智能”“生命科学”四个项目．若八年级每个班随机选择一个项目参加，则班和班选择同一项目的概率是________． 13. 将一副直角三角板作如图摆放，若，平分，则的度数为________． 14. 若x满足，则的值为________． 15. 如图，为的内接三角形，为的直径，上存在一点，使得，过点作，交于点，连接交半径于点，已知，，则________，连接交于点，则的长为________． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上数字均不为0，若它的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字之和为9，则称这个数为“十全九美数”．如：4267，，，是“十全九美数”；又如：3165，，不是“十全九美数”．已知是一个“十全九美数”，将m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得到数，将m的百位数字与个位数字去掉，得到两位数s，将m的千位数字与十位数字去掉，得到两位数t，．若M是最小的“十全九美数”，则________；对一个“十全九美数”m，若能被11整除，且是一个完全平方数，则满足条件的“十全九美数”m为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 18. 如图，在平行四边形中，． （1）用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）中作图，连接，．求证：四边形为平行四边形，并完成下列证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ，， ____①____． ，， ． 在和中，， ． ____②____． ，， ． ____③____． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为____④____． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值．，其中． 20. 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，83，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 a 众数 b 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 21. 一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了30km．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的0.8倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 22. 在矩形中，，，点E为的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积与点P的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 某中学进行游园活动，小花和小刚从入口A处出发，小刚准备前往北偏东方向的B处玩“投壶”，小花准备前往北偏西方向米的C处玩“盲人摸象”．小刚到达点B处后，发现点C在他的北偏西方向．之后小花准备直接前往东北方向的F处玩最火的项目“一吹冲天”；小刚则需要前往北偏东方向的D处找同学拿东西（取东西的时间忽略不计），再前往西北方向20米的F处玩“一吹冲天”项目．（参考数据：，，） （1）求之间距离； （2）当小刚到达D处时，小花刚好到的中点E处．之后两人同时出发，小刚用的速度走路前往，小花用的速度慢跑前往．小花从E处出发后，经过多少时间，她到小刚的距离是到点F距离的两倍（结果保留小数点后一位）． 24. 已知抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上一点，过点A作交y轴于点D，在直线上有一动点M，当四边形面积的最大时，求P点坐标及的最小值； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点E为点A经过平移后的对应点；在抛物线上是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 25. 如图，在中，，边上有一点D，连接． （1）如图1，，点F在边上，连接交于点E，已知点E为的中点，若，求的长； （2）如图2，若，点F在延长线上，，连接，，将绕点D逆时针旋转得，连接交于点H，猜想，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，，F为上方平面内一点，且点F到直线的距离为，当的值最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $