精品解析：江苏南京市燕子矶中学2025-2026学年高一下学期期初开学考试数学试卷

2025—2026高一下期初数学调研 （分值：120分） 一、单选题（40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. “”是函数在R上单调递增的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 一种药在病人血液中的量保持及以上才有疗效，而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到)为（ ） （参考数据：，） A B. C. D. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 若且,则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（15分） 12. 某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2． 13. 函数的单调递增区间是______． 14. 已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 四、解答题（47分） 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数为定义在上偶函数. （1）求实数的值； （2）令，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数m的取值范围； （3）若方程的解为，（），求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026高一下期初数学调研 （分值：120分） 一、单选题（40分） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可. 【详解】由题意得或，所以. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式进行求解. 详解】. 故选：B 3. 已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断. 【详解】令，则，所以函数图象恒过定点. 故选：D. 4. “”是函数在R上单调递增的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由函数在R上单调递增， 可得，解得， 则“”是函数在R上单调递增的必要不充分条件. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式求得，再根据二倍角公式即可求解． 【详解】因为 ， 所以． 6. 函数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换整理得，换元令，结合二次函数求最值. 【详解】由题意可得：， 令，则的对称轴为， ∴当时，取到最大值， 故函数的最大值为. 故选：D. 7. 一种药在病人血液中量保持及以上才有疗效，而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到)为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设最长间隔时间为，根据条件得到，利用对数函数的单调性及对数的运算，得到，再利用换底公式，即可求解. 【详解】设从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间为， 由题有，即， 所以， 故选：A. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 二、多选题（18分） 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，由， 得， 即，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项， ，故D错误. 10. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据题意分类讨论，可确定的范围，可判断 ,由，利用对数的运算可得 ，可判断D. 【详解】由题意得 ，作出其图象如图： ∴在上，函数是减函数；在上，函数是增函数； ∵，∴若，则，不合题意，∴，C正确； 若，则，也不合题意，∴ ，A正确； 结合图象可知b可大于1，可小于1或等于1，B错误； 由，可得 ， 故，D错误， 故选： 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式特征，脱去绝对值符号，结合对数函数图象，即可作出的图象，然后要分类讨论数形结合，确定的范围，即可确定答案. 11. 若,且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式求出,将代入,结合即可得选项A的正误;将写为,再进行分离常数,用基本不等式即可得选项B的正误;将写为,代入,结合即可得选项C的正误;对进行分离常数化简可得,再用“1”的代换,即可得选项D的正误. 【详解】解:因为,, 所以,解得, 当且仅当时取等号, 所以,故选项A正确; 因为, 当且仅当,即时取等号,故选项B正确; 因为,,故选项C错误; 因为 , 因为,所以, 所以 , 当且仅当,即时取等号, 所以,即,故选项D正确. 故选：ABD 三、填空题（15分） 12. 某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2． 【答案】1 【解析】 【详解】设该扇形的半径为，根据题意，因为扇形的圆心角为弧度，周长为，则有，，故答案为. 13. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的性质，结合函数定义域求解即可. 【详解】由题意知，解得或， 即函数定义域为. 令，则原函数可看作与的复合函数， 因为函数是单调递减函数， 所以要使单调递增，则需单调递减， 由二次函数的对称轴为， 可得函数的单调递减区间为， 因为定义域为， 所以函数的单调递增区间是. 14. 已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可. 【详解】情况1: ，则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况2: ，则， 所以方程即为，所以， 两边平方得，值域为； 情况3: ，当  时，由于 ，则 ， 则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况4: ，不可能，因. 综上，a的取值范围是. 四、解答题（47分） 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出. 【小问1详解】 由，可得； 所以； 即 【小问2详解】 由可得， 又，所以 由可得 即值为 16. 已知函数为定义在上的偶函数. （1）求实数的值； （2）令，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义求解参数的值即可； （2）先判断出函数的单调性，利用函数的单调性的定义证明即可； （3）对恒成立，分离参数，转化为对恒成立.令，求解其最小值即可. 【小问1详解】 由于函数为上的偶函数， 所以对恒成立，即，对恒成立， 即对恒成立， 整理得，对恒成立且， 所以. 【小问2详解】 由（1），故，在上单调增， 证明如下：任取，且， 则 . 因为，所以，，则. 所以，即， 因此，函数在上单调递增. 【小问3详解】 由题得对恒成立， 即对恒成立， 因为，所以， 则且对恒成立. 设，令，因为，所以. 则， 因为在上单调递增， 则，且函数在上单调递减. 故. 因此，，又，则实数a的取值范围是. 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数m的取值范围； （3）若方程的解为，（），求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图像的特点即可求出； （2）先求出函数的单调区间，再根据函数在区间上不单调列式即可； （3）先求出方程的解为，之间的关系，再利用三角函数的性质即可求出. 【小问1详解】 由图可知，，，又，，故， 又函数图像过点，，即， 又，，故函数的解析式为. 【小问2详解】 令，解得， 令，解得， 故函数的单调递增区间为；单调递减区间为， 因为，当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为， 又函数在区间上不单调，故，所以的取值范围为. 【小问3详解】 ，即，，， 又，，即，故， 又，则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $