精品解析：福建省连城县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

连城一中2024-2025学年下期高二年级月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设点，点，点，若的中点为，则等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求出点，再根据两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为，点，所以的中点为为，又， 所以. 故选：D 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1. 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. 有极小值，无极大值 B. 有极大值，无极小值 C. 既有极小值又有极大值 D. 无极小值也无极大值 【答案】C 【解析】 【分析】求得，利用导数得到函数函数的单调性，结合极值的概念，即可求解. 【详解】由题意函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值. 故选：C. 4. 已知函数，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求解最值即可. 【详解】，令，得， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 又，则. 故选：C. 5. 若函数图象如图所示，则图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据原函数的单调性与导函数的正负的关系，及导数的几何意义，逐一分析选项，即可得答案 【详解】由图象可得：在上，在上， 根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数，在上为减函数，可排除A、D， 且在x=0处，，即在x=0处，的切线的斜率为0，可排除B， 故选：C 6. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案. 【详解】设，因为，所以， 对函数求导，得，因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由. 故选：D. 7. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化为或，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围. 【详解】在区间上单调，，或，即或恒成立， 设，， 函数在区间上单调递减，函数的值域是， 所以或. 故选：C 8. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出． 【详解】对A，，当时，，所以A错误； 对B，，在上恒成立，所以B正确； 对C，，，所以C错误； 对D，，，因为，所以D错误． 故选：B． 二、多选题：本题共有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A．，解得，所以A正确； 对于B．， 当时，，当时，或， 所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确． 对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可以将问题转化为方程在区间内有唯一实数根，构造函数，，利用导数得在区间内单调递增，可得，进而确定答案. 【详解】由题意有方程在区间内有唯一实数根， 即方程在区间内有唯一实数根，令， ，所以在区间内单调递增， 所以，所以， 因为，， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正方体中，点是的中点，已知，，，用表示，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出，即得解. 【详解】 又是的中点, ，，， . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 函数在点处的切线斜率为2，则________ 【答案】0 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出. 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得， 所以. 故答案为：0. 14. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围. 【详解】由求导，，由可得：， 因不满足此式，故可得：， 则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点. 由求导，，则当时，，当时，，当时， 则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值. 且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，. 故可作出函数的图象如图. 由图可知：函数与的图象有两个交点等价于. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为0 【解析】 【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线； （2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值． 【小问1详解】 对函数求导，， ， 所求得的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）有， 令，解得：或， 故函数在递增，在递减， 故函数在取最大值， ，， 故函数在的最大值为4，最小值为0． 16. 已知函数，当时，有极大值． （1）求实数a，b的值； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用极大值的定义可得即可求解； （2）令，要证，即证，即证，令，利用导数分析的单调性及最值，继而即可求解. 【小问1详解】 ， 又当时，有极大值， 所以，解得. 【小问2详解】 令，要证，即证， 由（1）知，即证，即证， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，即. 故当时，. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为：和，单调递减区间为： （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）首先求函数的导数，并化简为，，再讨论的取值，结合函数的单调性，判断函数极值点的个数，从而求解实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为 令，得或， 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为： 【小问2详解】 ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去． ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符． ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符． ④当时，， 故在上单调递增，无极值点，舍去． ⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去． 综上可得：或 18. 二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 【解析】 【分析】（1）分和讨论计算即可； （2）当时，利用导数求出其最值，时，利用基本不等式求出其最值，比较大小即可. 【小问1详解】 由题意，当时，， 当时，. 所以. 【小问2详解】 当时，，令，解得. 当，，当，； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时， 当时，，当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. 【小问2详解】 的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2024-2025学年下期高二年级月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设点，点，点，若的中点为，则等于（ ） A. B. C. D. 3 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 3. 已知函数，则（ ） A. 有极小值，无极大值 B. 有极大值，无极小值 C. 既有极小值又有极大值 D. 无极小值也无极大值 4. 已知函数，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 5. 若函数图象如图所示，则图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正方体中，点是的中点，已知，，，用表示，则______. 13. 函数在点处的切线斜率为2，则________ 14. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 16. 已知函数，当时，有极大值． （1）求实数a，b的值； （2）当时，证明：． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 18. 二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $