福建省厦门第一中学2025-2026学年第二学期高二第二次阶段性练习数学试题

厦门一中2025-2026学年第二学期高二年第二次阶段性练习 数学试题 考试时长：120分钟 满分分值：150分 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的展开式中第4项的系数是 A．20 B．15 C．160 D．120 2．设数列的前项和为．若，，则 A．1 B． C．2 D． 3．从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有 A．15种 B．18种 C．24种 D．30种 4．已知空间向量，，，若点在平面内，则 A． B． C． D．0 5．已知是定义在上可导的增函数，且，则函数的单调情况一定是 A．在上递增 B．在上递减 C．在上递增 D．在上递减 6．已知变量，线性相关，其一组样本数据（），满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为1.9，则修正后数据的残差为 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 7．如图，已知双曲线（，）的左焦点为，左、右顶点分别为，，点为双曲线左支上一点且满足轴，点为线段上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若，则该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．3 8．若，，，其中是自然对数的底数，则 （附：，，，） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，成等比数列，则下列三个数一定可以构成等比数列的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 10．下列说法正确的是 A．随机变量，则 B．随机变量服从两点分布，且，则 C．随机变量的分布列为，则 D．随机变量，满足，且，则 11．如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线过点，且曲线上任意一点到和的距离满足，则 A． B．曲线与单位圆有3个交点 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若过点的直线与圆只有一个公共点，则的斜率为 ▲ ． 13．如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 ▲ 种． 14．如图，三棱锥的顶点在平面上，侧棱平面，底面是以为直角的等腰直角三角形，且平面与平面平行．，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则点到点的距离的取值范围为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）1．已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求的通项公式． 16．（15分）已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． （1）求的方程； （2）若，求点到直线的距离的最大值． 17．（15分）在平行四边形中，，，，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）厦门一中某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分， 每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． （1）求小王答3道题后积分小于6的概率； （2）设小王答4道题后积分为，求； （3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值． 19．（17分）已知，函数，． （1）当时，讨论的极值； （2）若存在零点． （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中2025-2026学年第二学期高二年第二次阶段性练习 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题： 1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．A 7．C 8．C 二、多选题： 9．BD 10．ABD 11．ABD 三、填空题： 12． 13．48 14． 四、解答题： 15．解：（1）设等差数列的公差为， 由题意可得： 2分 解得，， 5分 所以数列的通项公式． 6分 （2）由可得： ，，， 8分 通过累加可得， 10分 又，所以， 12分 当时，符合，故． 13分 16．解：（1）由题意知， 2分 解得， 4分 所以的方程为． 5分 （2）因为是上的一点，所以，解得，故． 6分 设直线的方程为，，， 由，得，所以，，． 8分 因为，所以，即， 9分 化简得，所以，即， 11分 所以直线的方程可化为，即， 12分 故直线过定点，又， 14分 所以点到直线的距离的最大值为． 15分 17．解：（1）因为，，，为中点， 所以，，即为等边三角形，所以， 2分 在中，，所以， 3分 因为，所以， 4分 又，，平面，所以平面； 5分 （2）由（1）可知，为三棱锥的高， 6分 ， 8分 所以； 9分 （3）由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， ，，，，，所以， 10分 ，，设平面的法向量为， 则，令，则，即， 12分 设直线与平面所成角为，故， 14分 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 18．解：（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题 3题都答错的概率为； 2分 答对1题，答错2题的概率为： 4分 所以小王答3道题后积分小于6的概率为： 5分 （2）解法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以． 7分 由题意知，所以， 9分 所以． 10分 解法二：的可能取值为2，4，6，8，10． 6分 则：；；； ；（错一个扣2分） 9分 所以，． 10分 （3）当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故； 当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故． 11分 ①当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有，即，整理可得． 又，所以为等比数列． 13分 ②由①可得， 所以， 又，所以． 15分 所以 ． 17分 19．解：（1）时，， 1分 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值． 2分 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增，函数的极小值是，无极大值． 4分 （2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， 5分 ①若，单调递增，此时不存在零点； 6分 ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在，， 8分 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故． 10分 （解法二：全分离略） （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故． 11分 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以，时，要证，只需证， 14分 解法一：即证． 令，，则， 15分 令，，故，在上为增函数，故． 即，在上为增函数， 故，故，即成立． 17分 解法二：令，则， 15分 令，得，单调递减， 令，得，单调递增， 所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $