第17讲 图形的旋转（旋转的定义与性质及作图）（4知识点+12大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第17讲图形的旋转（旋转的定义与性质及作图) l内容导航—一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：旋转的概念及性质 (1)旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换。 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P',这两个点叫作对应点 (2)旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上 (3)旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分 别与旋转中心连线所成的角相等 ☑知识点2：确定旋转中心及旋转作图 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直 平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点， 2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向 旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形 作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心： (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点： (4)连接所得到的各对应点 ☑知识点3：中心对称 (1)中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心 (2)中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A'B'C关于点O对称 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)中心对称与轴对称的区别与联系： 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 区别 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 (4)中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中， 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形 (5)确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心： 2连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心 (6)中心对称作图 1连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中 心的距离相等； 3将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形 ☑知识点4：中心对称图形 (1)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那 么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. (2)中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 区别 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图 联系 形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称 02 练题型强知识 【题型1判断生活中的旋转现象】 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例1.下列物体的运动不是旋转的是() A,坐在摩天轮里的小朋友 B.正在走动的时针 C.骑自行车的人 D.正在转动的风车叶片 例2.下列运动形式属于旋转的是（) A.荡秋千 B.射箭 C.立定跳远 D.晨跑运动 变式1.下列现象不是旋转的是() A.飞速旋转的电风扇 B.坐电梯从1楼到10楼 C.言言在荡秋千 D.关上教室门 变式2.下列现象中不属于旋转的是() 765 时钟上的指针 飞速转动的电 在不停的转动 风扇的叶片 大风车的转动 水龙头的流水 【题型2找旋转中心、旋转角、对应点】 例3.△EDC是由ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是() D A.旋转中心是点C B.AC=EC C.LBCA=∠DCE D.点D是AC中点 例4.如图，将将ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到ADE,且点E落在线段BC上 D (1)旋转中心是点，旋转角是 和 (②)当旋转角为26°时，求∠AED的度数， 变式1.如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置. 3/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 9 (①)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若BP=3,求∠BPQ的度数和QP的长. 变式2.如图，三角形ABC逆时针旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C在AD上. D B (1)指出旋转中心； (2)若∠B=21°，∠E=26°，求出旋转的度数； (3)若AB=5,CD=3,则AE的长是多少？为什么？ 【题型3根据旋转的性质求解】 例5.如图，把ABC绕点A按顺时针方向旋转44°，得到△AB'C',点B落在边BC上，若BC∥AC',则 LCAB'=°. B 例6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此 时点A恰好落在AB边上，若点B与点B之间的距离为5√3，则AC的长为」 B A A 变式1，如图，在△ABC中，AB=3,BC=√5，将aABC绕点C逆时针旋转g0o得到aCDE,当点A的对 应点D恰好落在AB边上时，则LCAB=一，AE的长为一· 4/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B 变式2.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在 AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD, D B (1)AD的长为 (2)BD的长为 【题型4求绕原点旋转90°点的坐标】 例7.如图，点P的坐标为(2,3)，将线段OP绕点0顺时针旋转90°，点P的对应点P的坐标为 例8.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，OB=AB=5,点A到x轴的距离为4，将△0AB绕点 O逆时针旋转90°，得到△0A'B',则点A的坐标是 B 变式1.如图，已知点A,B的坐标分别为0,0)，(4,0)()，将ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到 △AB'C',则格点C的坐标一 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 --- B 变式2.如图，在平面直角坐标系中，直角三角板ABC的顶点C与原点重合，直角边AC放在x轴上， AC=6,顶点B0,2V3),点M为AB边的中点，将直角三角板ABC绕点O旋转90°后点M的对应点M'的 坐标是」 y B M utwwlwlw o A 【题型5求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标】 例9.在平面直角坐标系中，A(1,10,B(7,2),线段AB的中点绕1,2)旋转90°后对应点的坐标为 例10.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C'由ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 B A 2-10 1234 变式1.如图，在直角坐标系中，已知A-3,0),C(-1,4).将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到AB,则 点B的坐标是 B 变式2.如图，ABC的顶点坐标分别为A3,6),B(1,3),C4,2).如果将ABC绕C点顺时针旋转90°， 6/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 得到△△A'B'C',那么点A的对应点A的坐标为一 6 O123456789 【题型6求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 例11.在平面直角坐标系中，点P(2,-1)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A 点绕原点旋转180°得到B点，那么B点的坐标是· 例12.将含有30°角的直角三角板0AB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=2,将三角板 绕原点O逆时针旋转60°，则点A的对应点A的坐标为 130 变式1.如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向的夹角为45°，且0A=2,若将线段0A绕点O 旋转105°得到线段0A',则此时点的坐标为一 450 变式2.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，OA=AB=1,∠OAB=120°，将AOB绕点O旋 转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为一 【题型7平面直角坐标系中旋转作图】 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例13.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1), B4,2),C3,4) 3 A -4-3-2-1Q 12345 2 -3 (I)AC的长等于 (2)请画出把ABC向左平移2个单位得△AB,C1,并写出点A的坐标； (3)请画出把ABC绕原点O旋转180°得到△4，B,C2,并写出点C,的坐标 例14.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A-3,-1),B(-1,-2),C(-2,-3). 3 -4 2 3 4 (I)请画出ABC关于x轴对称的△A,B,C,并写出A,B,G的坐标； (2)将ABC绕点O逆时针旋转90°得到△4，B,C2,请画出△4，B,C2,并写出4，B,C,的坐标. 变式1.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别是A(3,-1),B(0,-3),C(4,-4) 8/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 5 3 2 1 -6-5-4-3-2-1Q 2 3456x 3 -4 5 (1)将ABC以点B为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的ABC: (2)平移ABC,若A的对应点A的坐标为3,3)，画出平移后的△4，B,C2; (3)若将△4，B,C,绕某一点旋转可以得到ABC,请直接写出旋转中心的坐标 变式2.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A(5,4),B1,2),C(3,0). y 6 5 3 2 B 6-5432923456 4 -5 6 (I)将BC绕点C顺时针旋转90°得到B,C(点B的对应点是点B),则B的坐标为 (②)请画出ABC绕原点O顺时针旋转180°后得到的△A,B,C(点A,B,C的对应点分别是点A,B,C,). 【题型8中心对称图形的识别】 例15.下列四家银行的标志中，属于中心对称图形的是（) A. D 例16.窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是() 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1.2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组将在轨完成 多项科学技术实验研究，包括出舱活动，并且首次将舱内智慧飞行器带到空间站.下列有关航天的4个图 标图案中是中心对称图形的是() 变式2.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( 经出X 【题型9求关于原点对称的点的坐标】 例17.平面直角坐标系中，点A(4,-6)与点B关于原点对称，则点B的坐标为 例18.在平面直角坐标系中，点P(7,-4)关于原点对称的点的坐标是一， 变式1.在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标是」 变式2.在平面直角坐标系x0y中，点(-3,5)关于原点的对称点是 【题型10己知两点关于原点对称求参数】 例19.在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B(2a-b,a-2b)关于原点对称，则a-b的值为一 例20.在平面直角坐标系中，点A(-5,b)关于原点对称的点为B(a,6),则(a+b)225= 变式1.若点An,2)与点B(-3,m关于原点对称，则n-m=一， 变式2.在平面直角坐标系中，已知点P(a,l)与点Q(2,b)关于原点对称，则a+b=一 【题型11己知中心对称图形求对称中心的坐标】 例21.如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，ABC与△AB,C的顶点都在格点上，且ABC与 △A,BC关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 10/17 第17讲 图形的旋转（旋转的定义与性质及作图） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：旋转的概念及性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点2：确定旋转中心及旋转作图 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 知识点3：中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 知识点4：中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 【题型1 判断生活中的旋转现象】 例1．下列物体的运动不是旋转的是（   ） A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片 【答案】C 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A．坐在摩天轮里的小朋友，属于旋转，故不符合题意； B．正在走动的时针，属于旋转，故不符合题意； C．骑自行车的人，属于平移，故符合题意； D．正在转动的风车叶片，属于旋转，故不符合题意； 故选：C． 例2．下列运动形式属于旋转的是（    ） A．荡秋千 B．射箭 C．立定跳远 D．晨跑运动 【答案】A 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”，熟记旋转的定义是解题关键．根据旋转的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意； B、射箭，不属于旋转，则此项不符合题意； C、立定跳远，不属于旋转，则此项不符合题意； D、晨跑运动，不属于旋转，则此项不符合题意； 故选：A． 变式1．下列现象不是旋转的是（   ） A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼 C．言言在荡秋千 D．关上教室门 【答案】B 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查生活中的旋转现象，根据旋转的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、飞速旋转的电风扇，是旋转现象，不符合题意； B、坐电梯从1楼到10楼，是平移现象，不是旋转现象，符合题意； C、言言在荡秋千，是旋转现象，不符合题意； D、关上教室门，是旋转现象，不符合题意； 故选：B． 变式2．下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 例3．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【答案】D 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上， ∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点， ∴A、B、C结论正确． 故选：D． 例4．如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 变式1．如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)，． 【知识点】用勾股定理解三角形、找旋转中心、旋转角、对应点、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 变式2．如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 【答案】(1)旋转中心为点 (2) (3)，理由见解析 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】（）结合图形找到旋转中心即可； （）根据题意求得的度数即可求得旋转角； （）利用旋转的性质得到，即可求得答案； 本题考查了旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，旋转中心为点； （2）解：∵，， ∴， ∴旋转的度数为； （3）解：由旋转性质知：，， ． 【题型3 根据旋转的性质求解】 例5．如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则 °． 【答案】24 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，平行线的性质；先根据旋转得到，然后得到的度数，然后根据平行线的性质得到，再根据角的和差解题即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 例6．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，若点与点之间的距离为，则的长为     【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，利用旋转的性质判定等边三角形是解题的关键． 利用旋转的性质证出为等边三角形，从而推出为等边三角形，得到，即可通过勾股定理求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∵，， ∴∠， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式1．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则 ，的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】此题考查了旋转的性质以及勾股定理，先根据旋转的性质得出，，，，，根据等腰直角三角形的性质可得，进而勾股定理求得，得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， 连接， 在中，， 在中， ∴， 在中， 故答案为：，． 变式2．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接． （1）的长为 ； （2）的长为 ． 【答案】 10 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由勾股定理可得，由旋转的性质，得出，，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ； 故答案为：10； （2）由旋转的性质可知，，，，， ，， ， 故答案为：． 【题型4 求绕原点旋转90°点的坐标】 例7．如图，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了旋转的性质．根据题意作轴，轴，证即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 例8．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质说明线段或角相等、用勾股定理解三角形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证明，于是可得，，从而求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 变式1．如图，已知点A，B的坐标分别为，（），将绕点A按逆时针方向旋转得到，则格点的坐标 ． 【答案】 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了图形和坐标，旋转的性质．根据旋转定义作出图形即可解题． 【详解】解： 如图所示， 点的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直角三角板的顶点C与原点重合，直角边放在x轴上，，顶点，点M为边的中点，将直角三角板绕点O旋转后点M的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，分顺时针旋转90度和逆时针旋转90度两种情况，求出A、B对应点的坐标，再根据两点中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ①当线段绕点逆时针旋转后点的对应点为， ∴ ∵点为线段的中点， ∴点为线段的中点， 点的坐标． ②当线段绕点顺时针旋转后点的对应点为，如图， 同理可得点的坐标． 综上所述：点的坐标为或， 故答案为：或． 【题型5 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标】 例9．在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段的中点，然后分类讨论，画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵，设为的中点， ∴， 如图所示，当绕点逆时针旋转得到，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴， ∴， ∴， ∴即 当绕顺时针旋转时，同理可得 故答案为：或． 例10．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出的中垂线，得到点的横坐标，设出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵由绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴点的横坐标为：， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 变式1．如图，在直角坐标系中，已知，．将线段绕点A顺时针旋转得到，则点B的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质可得，，进而可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到△，那么点的对应点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点C作轴，分别过作直线的垂线，垂足分别为D、E，则，由旋转的性质可得，则可证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴，分别过作直线的垂线，垂足分别为、， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    【题型6 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 例11．在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查点的平移和中心对称的性质，设，由平移得，再利用旋转可得，，即可得解． 【详解】解：设点的坐标为， 点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点， ∴， 把点绕原点旋转得到点， ∴，， ∴， 故答案为：． 例12．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，先由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推出，由旋转的性质可得，再求出，进而得到点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点在y轴上， ∴点的坐标为， 故答案为． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O旋转得到线段，则此时点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】过点作轴于点B，根据旋转的性质可得，，利用平角的定义得出，解直角，求出，，进而得到点的坐标． 此题考查的是旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 【详解】解：如图1，将线段绕点O沿逆时针方向旋转线段， 过点作轴于点B， ，， ， 在直角中，，， ， ∴， 点的坐标为． 如图2，将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段， 过点作轴于点B， ，， ． 在直角中，，， ， ∴， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理， 含30度角的直角三角形的性质，分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作于H，根据旋转的性质得到，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设点A的对应点为点E，点B的对应点为F， 如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得； 综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或， 故答案为：或． 【题型7 平面直角坐标系中旋转作图】 例13．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，三个顶点的坐标分别为，， (1)的长等于________． (2)请画出把向左平移2个单位得，并写出点的坐标； (3)请画出把绕原点旋转得到，并写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析， (3)见解析， 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、已知两点坐标求两点距离、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转变换的性质是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）将三个顶点向左平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可，然后写出坐标即可； （3）作出A、B、C绕原点旋转得到的对应点、、，顺次连接即可，然后写出坐标即可． 【详解】（1）∵， ∴； （2）如图所示，即为所求； ∴； （3）如图所示，即为所求； ∴． 例14．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的，并写出，，的坐标； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出，并写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析，，，； (2)见解析，，， 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换、旋转变换，掌握变换规律是解题的关键． （1）由轴对称的性质先确定的坐标，然后再描点、连线即可，再写出，，的坐标； （2）由旋转的性质先确定，，的坐标，然后再描点、连线即可，再写出，，的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求；，，   （2）解：如图，即为所求；，，． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)将以点B为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查坐标与图形的变换—旋转与平移： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据平移的性质，画出即可； （3）根据旋转的性质，确定旋转中心即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵A的对应点的坐标为， 故将沿着轴，向上平移4个单位得到； 如图，即为所求； （3）如图，点即为旋转中心坐标为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕点C顺时针旋转得到（点B的对应点是点），则的坐标为 　； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后得到的（点A，B，C的对应点分别是点，，）． 【答案】(1) (2)画图见解析 【知识点】画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查的是画旋转图形，求解旋转对应点的坐标； （1）先画出绕点C顺时针旋转得到，再写出其坐标即可； （2）分别确定绕原点O顺时针旋转后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为旋转后的线段， ∴． （2）解：如图，即为所求： 【题型8 中心对称图形的识别】 例15．下列四家银行的标志中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 例16．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项符合题意； D、是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选： C． 变式1．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组将在轨完成多项科学技术实验研究，包括出舱活动，并且首次将舱内智慧飞行器带到空间站．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握其概念，图形结合分析是解题的关键． 中心对称图形是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，则是中心对称轴图形，由此即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 变式2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A．  B． C．  D．   【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意； D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 例17．平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点与点关于原点对称，则点的坐标为， 故答案为：． 例18．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 变式1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点对称点的特性是横纵坐标变成相反数即可求出答案． 【详解】解：根据原点对称的点的坐标的特点， 点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标对称，解题的关键在于熟练掌握相关坐标特性． 变式2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点关于原点过对称的点的坐标是． 故答案为： 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 例19．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】加减消元法、求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程即可求解． 本题考查了坐标的对称特征：关于原点对称时横坐标、纵坐标都互为相反数；根据对称特征列方程组是解题关键． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 例20．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， 则． 故答案为：． 变式1．若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，正确得出，的值是解题关键． 直接利用关于原点对称点的坐标性质得出，的值，即可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 则； 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了两个点关于原点对称的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，进而可得的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 【题型11 已知中心对称图形求对称中心的坐标】 例21．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【答案】 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 例22．如图，和关于点P成中心对称，则点P坐标是 ．    【答案】 【知识点】坐标与图形、判断中心对称图形的对称中心 【分析】根据图形找出和中一对对应点的坐标，则对应点连线的中点必为对称中心． 【详解】解：由图可知，点，， ∴的中点坐标是，即， 则点P坐标是， 故答案为：． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为 ． 【答案】 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】对应点连线的中点即时对称中心的坐标，以此来求解即可． 【详解】解：的中点坐标是， 故答案是：． 变式2．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查中心对称，坐标与图形的性质等知识．根据将绕点旋转得到，可知这两个三角形关于中心对称，设，利用中点坐标公式计算即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意，即为的中点， ，，则有， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型12 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 例23．如图，与关于点成中心对称，则下列结论中不成立的是（   ） A． B． C．点与点关于点对称 D． 【答案】B 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， 故A、C、D正确；无法根据已知条件得到，故错误． 故选：B． 例24．如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，利用中心对称的性质得出，，再利用勾股定理得出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，的两点的坐标分别为、，将线段绕某点旋转得到线段．若点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ．      【答案】 【知识点】坐标与图形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了坐标与图形，中心对称图形的性质，设旋转中心为点，点的坐标为，利用中点坐标公式可得，进而可求出点的坐标，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：设旋转中心为点，点的坐标为， ∵将线段绕某点旋转得到线段，点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即， ∵点的对应点为点， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得，，根据与关于点C中心对称，可得，，，再根据勾股定理可得的长．理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线， ∴，， ∴， ∵与关于点C中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·吉林松原·期末）下列图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称图形的定义为：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．需依据此定义对选项中的每个图案逐一分析判断． 【详解】解：观察图案，将其绕某一特定点旋转后，旋转后的图形能与原图形完全重合的是中心对称图形，A,B,C都不符合题意． 故选D 2．（25-26九年级上·河南信阳·月考）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标变化规律，解题的关键是熟练掌握关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数．根据关于原点对称的点的坐标性质，点的横坐标和纵坐标都变为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴关于原点对称的点的坐标为． 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绕原点旋转的点坐标变换，点绕原点顺时针旋转，坐标变换规则为，由此可解． 【详解】解：∵点绕原点顺时针旋转， ∴对应点的坐标为， 故选：A． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 5．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 【详解】解：第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为2，横坐标为， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·吉林·期中）已知点和点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此求出a和b的值，再计算，最后计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·期末）如图，将绕着点逆时针旋转后得到，若，，则的度数为 度． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、旋转的性质、角的和差等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． 由三角形的内角和定理可求，由旋转的性质可得，最后根据角的和差即可求解． 【详解】解：，， ， 将绕着点逆时针旋转后得到， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质找到旋转中心即可得到答案． 【详解】解：由图可知，与各对应点到点的距离相等， ∴点为旋转中心， 故答案为：． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转角、对应点）是解题的关键．根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，找出旋转中心，据此得出旋转角的度数． 【详解】解：线段绕某点经过旋转后得到， 则如图所示，连接、，分别作线段、的垂直平分线， 设线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心， ， 旋转角为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．过点C作x轴的垂线，求出点C的坐标，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得 ∴ ∴线段的函数表达式为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·月考）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 13．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是________个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是________；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是________度． (2)连接，交于点，求的长． 【答案】(1)；y轴； (2) 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了图形的基本变换与坐标，等边三角形的性质，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小． （1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）连接后可得底角为的等腰三角形，进而可得，在中根据勾股定理求得直角边的长． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是120°； 故答案为：；y轴；； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中画出关于原点成中心对称的，点，，的对应点分别为，，，并直接写出点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出向右平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到的，点，，的对应点分别为，，； (3)与关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为 (2)作图见解析 (3)对称中心的坐标为 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征、图形的平移以及关于某点对称的对称中心的确定，解题的关键是掌握平移变换、中心对称的性质． （1）根据中心对称图形的性质得到其对应点，然后顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到其对应点，然后顺次连接即可； （3）在平面直角坐标系中，如果两个图形关于某点中心对称，那么对称中心是对应点连线的中点，连接线段，，线段交点即为该对称中心． 【详解】（1）解：如答图所示， 点的坐标为； （2）如答图所示； （3）对称中心的坐标为． 15．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段．点在第一象限． (1)如图1，若，时，则点的坐标为_____； (2)如图2，为轴上一点，连接，若，求点的坐标（用含、的式子表示）； (3)如图3，点的坐标为，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，完全平方公式的应用，平面直角坐标系内点的坐标，旋转的性质， 对于（1），作，可得，再根据“角角边”证明，可得，然后求出，则可得答案； 对于（2），作，由，由（1）得，可得，进而求出，则此题可解； 对于（3），作，分别得出．，再根据面积相等，即可求出，则此题可解． 【详解】（1）解：过点C作，于点D， ∵点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； 故答案为：； （2）解：如图所示，过点C作，交y轴于点E， ∵点， ∴． 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点； （3）解：如图所示，过点C作，于点E， ∵点， ∴． 由（2）得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $