3.2图形的旋转（1）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

3.2图形的旋转（1） （知识点+题型+过关检测） 【题型1 判断生活中的旋转现象】 2 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 3 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 3 【题型4 旋转的性质及辨析】 4 【题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等】 5 【题型6 旋转中的规律性问题】 6 【题型7 画旋转图形】 7 【题型8 坐标系中的旋转】 8 【题型9 求绕原点旋转90°的点的坐标】 9 【题型10 求绕某点（非原点）旋转90°的点的坐标】 10 【题型11 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 11 【题型12 坐标与旋转规律问题】 11 【题型13 线段问题（旋转综合题）】 12 【题型14 面积问题（旋转综合题）】 14 【题型15 角度问题（旋转综合题）】 14 【题型16 其他问题（旋转综合题）】 16 1. 理解旋转核心概念：掌握旋转、旋转中心、旋转角、对应点、对应线段、对应角的定义，能准确识别生活中的旋转现象，区分旋转与平移、轴对称的不同。 2. 牢记旋转核心性质：熟练运用旋转的三大核心性质解题，会找旋转中心、旋转角，判断对应关系，利用性质证明线段相等、角相等、三角形全等，解决基础线段、角度、面积计算。 3. 掌握旋转作图方法：能根据旋转中心、旋转方向、旋转角，规范画出旋转后的图形，包括方格纸、坐标系中的旋转作图，步骤规范、痕迹清晰。 4. 攻克坐标系旋转坐标：熟练掌握点绕原点、非原点旋转90°及特殊角度的坐标变化规律，会求旋转后点的坐标，解决坐标与旋转的规律、参数问题。03 知识•梳理 知识点1：旋转的相关定义 · 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 · 三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角（三要素缺一不可）。 · 对应关系：旋转后重合的点为对应点，重合的线段为对应线段，重合的角为对应角，旋转角=对应点与旋转中心连线的夹角。 知识点2：旋转的核心性质（解题根本） 1. 全等性：旋转前后的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等； 2. 等距性：对应点到旋转中心的距离相等； 3. 等角性：任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，所有旋转角都相等； 4. 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小。 知识点3：坐标系中点的旋转坐标规律（重点） 1. 绕原点O旋转90°（逆时针） 点P(x,y) → 旋转后P'(-y,x) 2. 绕原点O旋转90°（顺时针） 点P(x,y) → 旋转后P'(y,-x) 3. 绕原点O旋转180° 点P(x,y) → 旋转后P'(-x,-y)（与关于原点对称坐标一致） 4. 绕非原点旋转90° 方法：构造直角三角形全等，利用横纵坐标差值不变，通过平移+旋转推导坐标，核心是“横纵互换、符号看象限”。 04 题型•汇总 【题型1 判断生活中的旋转现象】 解题思路： 抓住旋转本质：绕定点转动、有旋转方向和角度，区分平移（直线移动，无转动）、轴对称（对折重合），常见旋转：钟表指针转动、风扇叶片、车轮转动、风车转动。 【典例1】．下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 跟随训练1-1．下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 跟随训练1-2．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着_________（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转_________度． 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 解题思路： 观察图案是否由同一个基本图形绕定点旋转一定角度得到，图案各部分形状大小相同，对应点到中心距离相等，旋转角相等，无平移、翻折叠加。 【典例2】．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 跟随训练2-2．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 解题思路： 找旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点，或两组对应点连线的交点； 找旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，找两组即可，旋转角相等； 找对应点：旋转后重合的点，按旋转顺序一一对应。 【典例3】．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 跟随训练3-1．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 跟随训练3-2．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______． 【题型4 旋转的性质及辨析】 解题思路： 紧扣三大性质：全等、对应点到中心等距、旋转角相等，判断命题真假，牢记旋转不改变形状大小，只变位置，易错点：混淆旋转角和图形内角、误认为旋转中心在图形上。 【典例4】．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 跟随训练4-1．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 跟随训练4-2．在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 【题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等】 解题思路： 先确定旋转关系，找到对应线段、对应角，利用“旋转前后图形全等”直接证明，或利用“对应点到旋转中心距离相等”证明线段相等，步骤：找旋转→定对应→用性质→证相等。 【典例5】．如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．连接及，则 跟随训练5-1．如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【题型6 旋转中的规律性问题】 解题思路： 先写出前几次旋转后图形/点的位置、角度、坐标，观察循环周期，计算总次数÷周期得余数，根据余数判断最终位置，常见周期：3次、4次、6次一循环。 【典例6】．如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 跟随训练6-1．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 跟随训练6-2．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【题型7 画旋转图形】 解题思路（作图四步法）： 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 找：找原图形的关键点（顶点、端点）； 转：将关键点绕旋转中心按要求旋转，画出对应点； 连：顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 【典例7】．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是______． 跟随训练7-2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【题型8 坐标系中的旋转】 解题思路： 先确定原点/指定点为旋转中心，明确旋转角度和方向，利用坐标规律或全等三角形找关键点旋转后的坐标，再描点连线，保留作图痕迹。 【典例8】．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练8-1．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练8-2．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______． 【题型9 求绕原点旋转90°的点的坐标】 解题思路： 直接套用坐标规律：逆时针90°(x,y)→(-y,x)，顺时针90°(x,y)→(y,-x)，分清顺逆时针，避免横纵坐标互换后符号出错。 【典例9】．如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，则点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-2．如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________． 【题型10 求绕某点（非原点）旋转90°的点的坐标】 解题思路： 构造K型全等，设旋转中心为M(a,b)，点P(x,y)绕M旋转90°，先算横纵坐标差值，再互换差值、变符号，最后平移回原坐标系，核心：转化为绕原点旋转+平移。 【典例10】．已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-2．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【题型11 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 解题思路： 特殊角度：180°→(-x,-y)，360°→回到原坐标，60°、120°结合等边三角形、等腰三角形性质推导，非特殊角度用几何性质计算。 【典例11】．点绕原点顺时针旋转后的坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练11-1．如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 跟随训练11-2．在平面直角坐标系中，已知，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为__________． 【题型12 坐标与旋转规律问题】 解题思路： 多次旋转后找坐标循环规律，列出前4-5个点坐标，分析横纵坐标变化周期，利用周期求第n个点坐标，常结合象限符号判断。 【典例12】．如图，第一次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第二次作点关于轴的对称点，第三次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第四次作点关于轴的对称点，……．按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练12-1．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 跟随训练12-2．在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【题型13 线段问题（旋转综合题）】 解题思路： 利用旋转全等得对应线段相等，转化线段长度，结合勾股定理、三角形三边关系、等边/等腰三角形性质求线段长、证明线段倍数关系、求线段最值。 【典例13】．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练13-1．如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 跟随训练13-2．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【题型14 面积问题（旋转综合题）】 解题思路： 旋转前后图形全等，面积相等，通过旋转将不规则图形面积转化为规则图形（三角形、四边形、扇形）面积，利用割补法、全等面积抵消计算。 【典例14】．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 跟随训练14-1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 跟随训练14-2．如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是______． 【题型15 角度问题（旋转综合题）】 解题思路： 利用旋转角相等、对应角相等，结合三角形内角和、外角性质、等腰三角形角度关系，推导所求角度，标注旋转角和对应角，避免角度混淆。 【典例15】．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练15-1．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，，，且，当与三角板的一条直角边（边或）平行时，则满足条件的t的值为__________ ． 跟随训练15-2．一个问题解决经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面就一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，，为的角平分线，则的度数为______； 【探索归纳】 （2）如图①，，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若，，．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？请直接写出结果． 【题型16 其他问题（旋转综合题）】 解题思路： 涵盖动点旋转、折叠旋转、多图形旋转，核心还是旋转性质+全等+特殊三角形，分步拆解旋转过程，逐一分析对应关系，化动为静解题。 【典例16】．两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 跟随训练16-1．如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 跟随训练16-2．在中，，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得，连接，下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③；④；其中正确的是_________． 05 过关•检测 1．下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 2．新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 3．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 4．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 5．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在x轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 8．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 9．如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为_________． 10．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 12．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、． (1)将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为_____； (2)画出关于y轴对称的； (3)将绕点逆时针旋转后得到． 13．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，点在线段上，连接，且，求证：． 14．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 16．按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2图形的旋转（1） （知识点+题型+过关检测） 【题型1 判断生活中的旋转现象】 2 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 3 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 5 【题型4 旋转的性质及辨析】 7 【题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等】 8 【题型6 旋转中的规律性问题】 11 【题型7 画旋转图形】 14 【题型8 坐标系中的旋转】 16 【题型9 求绕原点旋转90°的点的坐标】 19 【题型10 求绕某点（非原点）旋转90°的点的坐标】 22 【题型11 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 25 【题型12 坐标与旋转规律问题】 27 【题型13 线段问题（旋转综合题）】 31 【题型14 面积问题（旋转综合题）】 34 【题型15 角度问题（旋转综合题）】 38 【题型16 其他问题（旋转综合题）】 44 1. 理解旋转核心概念：掌握旋转、旋转中心、旋转角、对应点、对应线段、对应角的定义，能准确识别生活中的旋转现象，区分旋转与平移、轴对称的不同。 2. 牢记旋转核心性质：熟练运用旋转的三大核心性质解题，会找旋转中心、旋转角，判断对应关系，利用性质证明线段相等、角相等、三角形全等，解决基础线段、角度、面积计算。 3. 掌握旋转作图方法：能根据旋转中心、旋转方向、旋转角，规范画出旋转后的图形，包括方格纸、坐标系中的旋转作图，步骤规范、痕迹清晰。 4. 攻克坐标系旋转坐标：熟练掌握点绕原点、非原点旋转90°及特殊角度的坐标变化规律，会求旋转后点的坐标，解决坐标与旋转的规律、参数问题。03 知识•梳理 知识点1：旋转的相关定义 · 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 · 三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角（三要素缺一不可）。 · 对应关系：旋转后重合的点为对应点，重合的线段为对应线段，重合的角为对应角，旋转角=对应点与旋转中心连线的夹角。 知识点2：旋转的核心性质（解题根本） 1. 全等性：旋转前后的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等； 2. 等距性：对应点到旋转中心的距离相等； 3. 等角性：任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，所有旋转角都相等； 4. 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小。 知识点3：坐标系中点的旋转坐标规律（重点） 1. 绕原点O旋转90°（逆时针） 点P(x,y) → 旋转后P'(-y,x) 2. 绕原点O旋转90°（顺时针） 点P(x,y) → 旋转后P'(y,-x) 3. 绕原点O旋转180° 点P(x,y) → 旋转后P'(-x,-y)（与关于原点对称坐标一致） 4. 绕非原点旋转90° 方法：构造直角三角形全等，利用横纵坐标差值不变，通过平移+旋转推导坐标，核心是“横纵互换、符号看象限”。 04 题型•汇总 【题型1 判断生活中的旋转现象】 解题思路： 抓住旋转本质：绕定点转动、有旋转方向和角度，区分平移（直线移动，无转动）、轴对称（对折重合），常见旋转：钟表指针转动、风扇叶片、车轮转动、风车转动。 【典例1】．下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆的摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均为直线运动，不属于旋转． 【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动， A．火箭升空为直线运动，不符合题意； B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意； C．传送带移动为直线运动，不符合题意； D．电梯的运行为直线运动，不符合题意． 故选：B． 跟随训练1-1．下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 跟随训练1-2．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着_________（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转_________度． 【答案】 逆时针 90 【分析】本题考查旋转的基本概念，解题的关键是结合生活实际理解“向左转”这一旋转动作的旋转方向和旋转角度． 根据生活中“向左转”的动作实际情况，确定旋转方向和角度． 【详解】解：在体育课上，“向左转”的动作是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：逆时针，90． 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 解题思路： 观察图案是否由同一个基本图形绕定点旋转一定角度得到，图案各部分形状大小相同，对应点到中心距离相等，旋转角相等，无平移、翻折叠加。 【典例2】．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 跟随训练2-1．香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 跟随训练2-2．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 解题思路： 找旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点，或两组对应点连线的交点； 找旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，找两组即可，旋转角相等； 找对应点：旋转后重合的点，按旋转顺序一一对应。 【典例3】．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 跟随训练3-1．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 跟随训练3-2．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质找到旋转中心即可得到答案． 【详解】解：由图可知，与各对应点到点的距离相等， ∴点为旋转中心， 故答案为：． 【题型4 旋转的性质及辨析】 解题思路： 紧扣三大性质：全等、对应点到中心等距、旋转角相等，判断命题真假，牢记旋转不改变形状大小，只变位置，易错点：混淆旋转角和图形内角、误认为旋转中心在图形上。 【典例4】．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 跟随训练4-1．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：平移后对应线段平行（或在同一直线上）；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 故选：B． 跟随训练4-2．在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 【答案】 点O 一个角度 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角 【分析】根据旋转的定义解答即可. 【详解】在平面内把一个图形绕着某点O沿着某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转．这个点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．因此，图形的旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角决定的． 故答案为：点O；一个角度；旋转中心；旋转角；旋转中心；旋转方向；旋转角 【点睛】此题考查了旋转的定义，掌握定义是解答此题的关键. 【题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等】 解题思路： 先确定旋转关系，找到对应线段、对应角，利用“旋转前后图形全等”直接证明，或利用“对应点到旋转中心距离相等”证明线段相等，步骤：找旋转→定对应→用性质→证相等。 【典例5】．如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．连接及，则 【答案】C 【分析】由旋转的性质得出，，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，继而求出，则可求出，可判断选项A；设，根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可得，可判断选项B；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项C；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕着点顺时针方向旋转得到，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项A说法正确，故此选项不符合题意； 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴选项B说法正确，故此选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项C说法错误，故此选项符合题意； 如图， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴选项D说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 跟随训练5-1．如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 跟随训练5-2．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型6 旋转中的规律性问题】 解题思路： 先写出前几次旋转后图形/点的位置、角度、坐标，观察循环周期，计算总次数÷周期得余数，根据余数判断最终位置，常见周期：3次、4次、6次一循环。 【典例6】．如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是读懂题干整理规律，写出几种变换得到重复规律．根据题干信息得到整理规律，按照规律将接下来的几次整理罗列出来，找到重复规律，即可得到答案； 【详解】解：用12345分别表示语文、数学、英语、理综、文综， 12345第一次：14253，第二次：15432，第三次：13524，第四次：12345（与图一相同)， ∴经4次整理后可得到的顺序与图1相同， ∴n的值应为4的倍数， 故选：A． 跟随训练6-1．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 跟随训练6-2．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 【题型7 画旋转图形】 解题思路（作图四步法）： 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 找：找原图形的关键点（顶点、端点）； 转：将关键点绕旋转中心按要求旋转，画出对应点； 连：顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 【典例7】．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，根据图形旋转的性质直接判断即可． 【详解】解：将正方形图案绕中心O顺时针旋转后，得到的图案是： 故选：C． 跟随训练7-1．如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的旋转，图形与坐标，根据题意画出图形即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点的坐标是， 故答案为：． 跟随训练7-2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得和成中心对称，则点O即为线段与线段的交点，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点作图即可； （3）根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，由网格的特点和勾股定理可得． 【题型8 坐标系中的旋转】 解题思路： 先确定原点/指定点为旋转中心，明确旋转角度和方向，利用坐标规律或全等三角形找关键点旋转后的坐标，再描点连线，保留作图痕迹。 【典例8】．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 跟随训练8-1．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴，根据原点O是等边三角形的中心，得出，即可得重合，，求出，，得出点的坐标，即可解答． 【详解】解：连接，过点作轴， ∵原点O是等边三角形的中心， ∴， ∴重合，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 跟随训练8-2．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【题型9 求绕原点旋转90°的点的坐标】 解题思路： 直接套用坐标规律：逆时针90°(x,y)→(-y,x)，顺时针90°(x,y)→(y,-x)，分清顺逆时针，避免横纵坐标互换后符号出错。 【典例9】．如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据旋转可得两三角形全等，进而根据对应边相等得出结果． 【详解】解：如图所示：绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 跟随训练9-1．在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，则点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绕原点旋转的点坐标，掌握旋转的性质是解题的关键． 过作轴于点，设旋转后的点为，过作轴于点，由旋转性质得，，，证明，即可求解． 【详解】如图所示，过作轴于点，设旋转后的点为，过作轴于点， ， ， ． 由旋转性质得，，， ． ， ． 在和中， ， ， ． ， ， 点的对应点的坐标为． 故选A． 跟随训练9-2．如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，求旋转后点的坐标． 过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据A点坐标得到，根据旋转的性质得到，证明，得到，根据点在第一象限即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵A点坐标为， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【题型10 求绕某点（非原点）旋转90°的点的坐标】 解题思路： 构造K型全等，设旋转中心为M(a,b)，点P(x,y)绕M旋转90°，先算横纵坐标差值，再互换差值、变符号，最后平移回原坐标系，核心：转化为绕原点旋转+平移。 【典例10】．已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，过作轴，过作轴交于点，过作于，由旋转可得，，即可证明，得到，，据此求得． 【详解】解：如图，过作轴，过作轴交于点，过作于，则， ∵， ∴，， ∵将点绕点顺时针旋转至点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故选：D． 跟随训练10-1．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 过C作轴于M，则，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图，过C作轴于M，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 跟随训练10-2．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【题型11 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 解题思路： 特殊角度：180°→(-x,-y)，360°→回到原坐标，60°、120°结合等边三角形、等腰三角形性质推导，非特殊角度用几何性质计算。 【典例11】．点绕原点顺时针旋转后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点绕原点顺时针旋转后的坐标． 点绕原点顺时针旋转后，与原坐标关于原点中心对称，其坐标变为原坐标的相反数 【详解】解：∵点绕原点顺时针旋转， ∴新坐标为，即． 故选：C． 跟随训练11-1．如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，利用含30度角的直角三角形的性质求得的长度即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点B．   将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段， ，点在第一象限， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选：D． 跟随训练11-2．在平面直角坐标系中，已知，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一线三等角构造全等三角形，一次函数解析式，勾股定理．绕点A顺时针旋转得到线段，得到等腰，，点B在上，利用点A坐标构造全等三角形，求出点E坐标，得到直线的解析式，再根据，可得点B坐标． 【详解】解：如图，过A作x轴的垂线，垂足为C，绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线交于点D．连接． ∴， ∴，， ∴，，， ∴． ∴，， ∴E的坐标为． ∴所在直线的解析式为， 中，，， ∴， ∴点B在上． 设点B坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第三象限， ∴，， 点B坐标为． 故答案为：． 【题型12 坐标与旋转规律问题】 解题思路： 多次旋转后找坐标循环规律，列出前4-5个点坐标，分析横纵坐标变化周期，利用周期求第n个点坐标，常结合象限符号判断。 【典例12】．如图，第一次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第二次作点关于轴的对称点，第三次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第四次作点关于轴的对称点，……．按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点的初始坐标，再依次计算每次变换后的坐标，找出坐标变换的周期规律，最后根据周期计算第次变换后的坐标． 【详解】解：如图， 点的初始坐标为． 第一次变换：绕原点逆时针旋转，旋转后的坐标为； 第二次变换：作关于轴的对称点，对称后的坐标为； 第三次变换：绕原点逆时针旋转，旋转后的坐标为； 第四次变换：作关于轴的对称点，对称后的坐标为，即回到点的初始坐标． 由此可知，坐标变换周期为． ． 余数为，说明的坐标与的坐标相同，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的旋转对称变换和周期规律，解题关键是通过计算前几次变换的坐标，找出周期规律，再利用周期求解最终坐标． 跟随训练12-1．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个的坐标，观察图形，即可得出的横坐标为，纵坐标为，即可求解． 【详解】解：点 ∴ 的横坐标为6，且， 的横坐标为， …… ∴的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是， 故选：C． 跟随训练12-2．在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 【题型13 线段问题（旋转综合题）】 解题思路： 利用旋转全等得对应线段相等，转化线段长度，结合勾股定理、三角形三边关系、等边/等腰三角形性质求线段长、证明线段倍数关系、求线段最值。 【典例13】．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 跟随训练13-1．如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 【答案】８ 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据A、B两点的坐标，得出，说明点在直线上运动，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图， 则， 由旋转知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当最小时，的周长最小， 作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 则， ∴， 当点与点E重合时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴由勾股定理得， 即的最小值为5， ∴周长的最小值为， 故答案为：８． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 跟随训练13-2．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 【题型14 面积问题（旋转综合题）】 解题思路： 旋转前后图形全等，面积相等，通过旋转将不规则图形面积转化为规则图形（三角形、四边形、扇形）面积，利用割补法、全等面积抵消计算。 【典例14】．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 跟随训练14-1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 跟随训练14-2．如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是______． 【答案】或 【分析】本题考查图形的旋转，画出将绕点顺时针或逆时针旋转后的图形，然后根据三角形面积公式计算即可．解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形的形状相同． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∵长方形中，，，是的中点， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴； 如图，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴； 综上所述，的面积是或． 故答案为：或． 【题型15 角度问题（旋转综合题）】 解题思路： 利用旋转角相等、对应角相等，结合三角形内角和、外角性质、等腰三角形角度关系，推导所求角度，标注旋转角和对应角，避免角度混淆。 【典例15】．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 跟随训练15-1．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，，，且，当与三角板的一条直角边（边或）平行时，则满足条件的t的值为__________ ． 【答案】15或60 【分析】当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，，，如图1， 当时，延长交于点P， ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ， 即 解得； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， ； ， （舍去，不符合题意） 当时，延长交于点I， 在上方时，， ，， ， ， ， ， ，即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， （不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的t的值为15或60， 故答案为：15或60． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 跟随训练15-2．一个问题解决经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面就一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，，为的角平分线，则的度数为______； 【探索归纳】 （2）如图①，，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若，，．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？请直接写出结果． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或或 【分析】本题主要考查了角的和差计算，角平分线的定义以及角的动态旋转问题． （1）先根据角的和差关系得到，再由角平分线的定义得到，最后再运用角的和差关系得到的度数； （2）先根据角的和差关系得到，再由角平分线的定义得到，最后再运用角的和差关系即可表示出的度数； （3）设经过的时间为秒，延长到，由题意知，旋转了，旋转了，旋转了，从而得到移动后，，，，结合图形分类讨论：①当是，夹角的角平分线，即平分；②当是，夹角的角平分线，即平分；③当是，夹角的角平分线，即平分；④当是，夹角的角平分线，即平分；最后运用角的和差关系即可得出结论． 【详解】解：（1），， ， 为的角平分线， ， ； （2），理由如下： ，， ， 为的角平分线， ， ； （3）设经过的时间为秒，延长到， 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， 移动前，，， 移动后，，，， 经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合， 总运动时间为秒， ①当是，夹角的角平分线，即平分时， 此时，，，，解得， ， ， 解得（舍去）； ②当是，夹角的角平分线，即平分时， 此时，，，解得， ， ， 解得； ③当是，夹角的角平分线，即平分时， 此时，，，解得， ， ， 解得； ④当是，夹角的角平分线，即平分时， 此时，，，，解得， ， ， 解得， 综上所述，运动时间为或或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线， 故答案为：或或． 【题型16 其他问题（旋转综合题）】 解题思路： 涵盖动点旋转、折叠旋转、多图形旋转，核心还是旋转性质+全等+特殊三角形，分步拆解旋转过程，逐一分析对应关系，化动为静解题。 【典例16】．两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 跟随训练16-1．如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 跟随训练16-2．在中，，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得，连接，下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③；④；其中正确的是_________． 【答案】①③④ 【分析】①根据旋转的性质知，，AD=AF，因为，，所以，可得，由此即可证明； ②根据旋转的性质知，，进而得到的面积等于四边形的面积； ③因为，，所以，又因为，所以，根据三角形一个外角等于不相邻两个内角的和得，进而得出； ④根据①及BF=CD，EF=DE， ，根据勾股定理判断即可． 【详解】解：①根据旋转的性质知，，AD=AF， ∵，， ∴， ∴， ∵AD=AF，AE=AE， ∴，故①正确； ②根据旋转的性质知，， ∴的面积等于四边形的面积，故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故③正确； ④∵，，旋转至， ∴， 根据旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得， ∴ ∴BF=CD， ∵EF=DE， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换，勾股定理以及全等三角形的判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系． 05 过关•检测 1．下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 2．新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 3．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 4．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 5．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质：旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 6．如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在x轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，作，根据≌可得，即可求得点坐标． 【详解】解：连接、，作，由题意得：， 即， 在中，， 线段绕着点O旋转， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ， 故选：B． 7．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 8．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角及三角形内角和，掌握旋转的性质是关键；根据旋转的性质得，，根据等边对等角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图，设交于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 9．如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为_________． 【答案】315 【分析】先连接、，由旋转性质得，再由等腰三角形三线合一得，进而通过求证，得的长，并表示出的三边，根据勾股定理列出等量关系式，求出、的长，最后根据梯形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接、， 设，由得， 四边形是矩形， ，，， 矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形， ，，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ，，， ， 解得：（舍去）或， ，， 四边形是直角梯形， ， 故答案为：315． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算，关键是做出恰当的辅助线，综合应用旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算求解． 10．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出m的取值范围，然后根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质求出点P的坐标，得出，即可求解．． 【详解】解：由图可知：，， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 若在直线上，则， 解得， ∵点位于内， ∴， 如图，连接，，过作轴于，过作轴于，则， ∵旋转， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又 ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 12．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、． (1)将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为_____； (2)画出关于y轴对称的； (3)将绕点逆时针旋转后得到． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据平移的性质即可得出结果； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可 【详解】（1）解：∵向下平移3个单位后得到，， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图所示，即为所求， 13．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，点在线段上，连接，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质．先利用旋转的性质得到对应边和旋转角；结合已知推导出，得到；再以为依据证明和全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，； ∵， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴． 14．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合等边三角形与全等三角形的判定完成推理，再利用特殊直角三角形的性质求解线段长度． （1）根据旋转的性质得到，旋转角，据此判定为等边三角形，得到，结合已知，利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 【详解】（1）解：∵绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 15．已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键． （1）利用旋转的性质，通过证明全等即可找到线段关系； （2）作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可； （3）作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 如图，延长，与交于点H，过点E作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于点M，过点M作于点N，连接，过点A作于点G， 同（2）理可知，和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16．按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $