福建连城县第一中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

连城一中2025—2026学年下期高一年级月考1 数 学 试 卷 满分：150分 考试时间：120分钟 1、 2、 选择题：共8小题，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的. 1．若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 3．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 5．设△ABC的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 A． B． C． D． 7．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 3、 多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9．设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 11．在斜三角形中，，则（   ） A．角B为钝角 B． C．若，则 D．的最大值为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12．已知是虚数单位，则___________． 13．△ABC中，为边的中线，，，，则中线的长为_________. 14．如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15．（13分）已知向量，且. (1)求向量； (2)若，求向量的夹角的正弦值. 16．（15分）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求△ABC的面积； (2)求边长及的值． 17．（15分）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小；(2)点为线段的中点，且，，求的值． 18．（17分）我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 19．（17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求△ABC周长的取值范围； (3)若，且△ABC为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 第一部分（选择题 共58分） 1【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2【答案】A 【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 所以. 故选：A 3【答案】B 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 4.【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 故选：B. 5【答案】D 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 6【答案】C 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示，由题意得. 故选：C. 7【答案】A 【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，， 由正弦定理，即，得 km. 在中，，，故， 由正弦定理，即，得 km. 在中，由余弦定理， 代入得，故 km. 故选：A 8.【答案】B 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9【答案】BC 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10．【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D. 【详解】设， 对于A，由，则， 而，则，故A正确； 对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确； 对于D，由，则，而， 可得，则，则为纯虚数，故D正确． 故选：ACD 11【答案】ACD 【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得. 【详解】对于A，由可得， 因，则，则，或， 即或， 因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确； 对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误； 对于C，由正弦定理，，又， 代入解得，故C正确； 对于D，由上分析可得：，, 故 ，设， 又,则，则， 则，且， 则， 故当时，的最大值为,故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】0 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 13．【答案】/ 【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可. 【详解】如图，以边,为邻边做平行四边形， 因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且， 在平行四边形中，，， 在中，由余弦定理得： ， 所以，， 故答案为： 14【答案】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果； （2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值. 【详解】（1）因为，且， 所以，. 解得， 所以； （2）设向量的夹角的大小为，. 由题意可得，，， 所以，得. 16【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可. （2）利用余弦定理和正弦定理求解即可. 【详解】（1）由，且， 则， 所以． （2）由， 则， 又，则． 17【答案】(1);(2)1 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求出角的大小； （2）利用中点向量公式和余弦定理求解即可． 【详解】（1）由得， 所以，因为是锐角，所以； （2）点是的中点，且， ，平方得， 即， 由余弦定理：， 即， 联立解得： 的值为1． 18【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【详解】（1）由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； （2）由题意得，， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； （3）在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为. 19【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； （2）方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以△ABC周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以△ABC周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，△ABC为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $