河北曲阳县第一高级中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

高 二 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若 则 f(x)在x=0处的瞬时变化率为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有3门互不相同的课程，自然科学类有2门互不相同的课程，艺术体育类有4门互不相同的课程.若要求每位学生选择2门课程，且2门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为 A.9 B.24 C.26 D.36 3.某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人.其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为 A.120 B.180 C.240 D.320 4.设点 P 为函数 图象上的任意一点，点 P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 A. B. C. D. 5.若f(x)是定义在区间(-3，2)上的函数，其图象如图所示，设f(x)的导函数为f'(x)，则 的解集为 A.(-2,-1)∪(1,2) B.(-1,0)∪(1,2) C.(-2,-1)∪(0,1) D.(-3,-2)∪(0,1) 6.已知函数 为f(x)的导函数，则 ++-= A.0 B.2 C.-2 D.2026 7.若函数 在x∈[0，a]上存在唯一的极大值点，则实数a 的取值范围为 A. B. C. D. 8.若f(x)是定义在R上的函数，且满足 则下列说法正确的是提示:若函数f(x),g(x)满足.=,则f(x)=g(x)+c,其中c为常数 A. f(x)在R上既有极大值又有极小值 B. f(x)在R上有极大值没有极小值 C. f(x)在R上有极小值没有极大值 D. f(x)在R上没有极值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列求导运算正确的是 C. D. 10.已知 则下列结论正确的是 B.展开式中含x项的系数为-10 C. D. 11.已知函数f(x)= lnx-ax,直线 则下列说法正确的是 A.若f(x)的极大值点为1,则a=1 B.若f(x)=-2在定义域上有唯一解,则a≤0 C.当a=2时,曲线y=f(x)恒在直线l的下方 D.若点 P 是曲线y=f(x)上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.计算 13.已知曲线f(x)= lnx+1在x=1处的切线l也是曲线 的切线，则实数a= 14.若存在实数t，使得对于 则 m 的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)若圆锥的内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为r，高为x. (1)试将r 表示成关于x的函数r(x); (2)求圆锥体积的最小值. 16.(本小题满分15分)某人工智能社团有5位同学(含甲、乙、丙3位核心成员)，计划对 ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能语言模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题： (1)共有多少种不同的安排方案? (2)若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案? 17.(本小题满分15分)已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256. (1)求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中各项系数的最大值(结果用数字表示). 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分17分)已知函数 (1)若函数 f(x)在定义域上单调，求 f(a)的最大值； (2)若函数 f(x)存在两个极值点 (i)求a 的取值范围； (ii)证明: 19.(本小题满分17分)已知函数 其中a为正实数. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,)处的切线方程; (2)若x≥1时,f(x)≥0. (i)求a 的取值范围； (ii)当a取最大值时，若m，n为正实数，且m+n=2mn,证明：f(m)+f(n)≥0. 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案及解析 63G201B 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B C B A A BD AC ACD 2 1.D【解析】因为fx)=1十2z,所以∫(x)=1十2xz,则fx)在x=0处的瞬时变化率为了(0)= 一2，故选D. 2.C【解析】根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理：人文社科+自然科学：3×2=6；人文社科+艺 术体育：3×4=12；自然科学十艺术体育：2×4=8.共计6十12十8=26种不同的选课方案.故选C 3.C【解析】优先安排受限任务：模型训练从除甲、乙外的4人中选1人，有C=4种选法；其余3项任务 从剩下5人中选3人全排列，有A=5×4×3=60种选法.总方案数为4×60=240种.故选C. 4.B【解析】因为f(x)=2e-∫'(0)x,所以f'(x)=2e-∫'(0)，所以f'(0)=2-f'(0),解得f'(0)= 1,所以f'(.x)=2e-1,因为点P为函数f(.x)=2e一f'(0)x图象上的任意一点，点P处的切线的倾斜 角为a,所以tan>一1，所以角a的取值范围是0,2U(会x,).故选B 5.C【解杯】由f(x)的图象可知，当-3<x<-2时，f(x)>0,∫(x)<0,此时C二<0当-2<< f(x) -1时，)0f)<0,此时号>0，当-1<<0时，1)0，)>0，此时受<0，当 f(x) 0<1时c0,0此时>0：当1<2时，)20,0，此时密<0，所 f(.x) 以号>0的解集为(-2，-1DU0,1D.放注C 6.B【解析】因为f(x)=asin3.x+b(e-er)+1(a∈R,b∈R),所以f'(x)=3acos3.x+b(e+er), f(-x)=-asin3.x-b(e-er)+1,所以f'(-x)=3acos3.x+b(e+e)=f'(.x),所以f(x)+ f(-x)=2,f'(x)-f'(-x)=0,所以f(2026)+f(-2026)+f'(2026)-f'(-2026)=2,故选B. 7.A【解折】因为fx)=方x+cos,所以了x)=-inx.当x∈6，引时f(x)≥0，fx)单调递 增；当x∈[后，习时)0，fx)单调递减：当x∈悟，时，了x)≥0fx)单调递增，因为 f(x)在x∈[0，a]上有唯一的极大值点，所以答<a<x故选A 8.A【解析】由题意可知2e2rf(x)+e2rf'(x)=xe,即(e2rf(.x)'=(x一l)e)',所以e2rf(x)=(x 1e+c,由f0)=0,解得(=1，故了)=。号+，则了x)-2-e-兰，令gx)=(2-x8 e2r 2,则g'(x)=(1一x)e,令g'(x)=0,即(1一x)e=0,解得x=1,由此易知g(x)在(-∞，1)上单调递 增，在(1，十∞)上单调递减，g(0)=0,g(1)=e-2>0,g(2)=-2<0,所以3m∈(1,2)使得g(m)=0, 故0，m均为∫'(x)的变号零点，所以0，m均为(x)的极值点，且易知0为极小值点，m为极大值点，故选A 高二数学B参考答案第1页（共5页） 9.BD【解析】对于A,(Inc十e/=(Inx/+(ey=1一e,故A错误：对于B,(n2+1 oga)= h2Y+(gx)y=d2故B正确：对于C,(xey=(x2ye+x(ey=2xe十re,故C错误：对于 D,(3 cos z)'=(3)'cosx+3(cosx)'=3r(ln3·cosx-sinx),故D正确.故选BD. 10.AC【解析】对于A,令x=0,得ao=1,故A正确；对于B,展开式中含x的项的系数为C。×(一1)°× 2=一20，故B错误；对于C,令x=1,则ao十a1十a2十…十a1o=1,① 令x=-1,则a0一a1十a2-…十a1o=310,② 得2(ao+a2十…十an)=30十1，所以ao十a2十…十ao=2,故C正确；对于D, 1)0=ao十a1x十a2x2十…十a1ox0两边同乘x得x(2.x一1)10=aox十a1x2十a2.x3+…十a1ox",对该 式两边求导得(22.x-1)(2x-1)°=ao十2a1x十3a2:x2+…+11a1o.x10,令x=1得ao十2a1十3a2十…十 11a1o=21,故D错误.故选AC 1.ACD【解折】对于A,因为f(x)=lnx-ax,所以fx)=是-a,因为fx)的极大值点为1，所以 1一a=0,解得a=1,经检验符合题意，故A正确； 对于B,∫'(x)=1-,若a≤0，则f'(x)>0,∫(x)在(0，十o0)上单调递增，且易知x→0时，∫(x)→ x 一∞，x→十∞时，f(x)→十∞，所以f(x)=一2在定义域上有唯一解，符合题意；若a>0,则f(x)在 (o,）上单调递增，在（合+）上单调递减，所以了)-日）-ln日-1，又x→0时fx)一 -0,x→十6o时，f(x)→-0，所以要满足题意.则n是-1=一2，解得a=e,所以若了(x)=一2在定 义域上有唯一解，则a≤0或a=e,故B错误； 对于C,当a=2时，fx)=lnx-2x,令g(x)=f(x)-(←2x+ln2)=lnx-号x-ln2,x>0,则 g'(x)=1-1=2-x x22.x 当x∈(0,2)时，g'(x)>0,g(x)在(0,2)上单调递增，当x∈(2，+∞)时，g'(x)<0,g(x)在(2，+∞)上 单调递减，所以gx)的最大值为g(2)=ln2-号×2-n2=-1<0,所以g(x)<0恒成立，所以曲线 y=f(x)与直线l无交点，且曲线y=f(x)恒在直线L的下方，故C正确； 对于D,设直线'与直线l平行且与f(x)的图象相切，则直线'与f(x)的切点到直线l的距离为d的最 小值，且d无最大值，又k,=-是因为fx)=nx-2x,>0,所以了(x)=-2-12, x 由2=-是，得x=2,∫(2)=n2-4,当P点坐标为(2，h2-4)时，点P到直线1的距离为 x 3X2+2X血2-0-2n2是-2S所以d的最小值为，放D正強 √32+2 故选ACD. 12.【答案】210 【解析】由组合数性质得C十C=Ci。=C。=210. 高二数学B参考答案第2页（共5页） 18.【答案】号或-号 【解析】由题意可知f(x)=是，f)=1,所以f(1)=1,所以切线1的方程为x-y=0. 由题意可知g'(x)=x2, 设切线1与曲线g(x)=子x+a切于点A(x3+a),则gx,)=x号=1，解得x=1或-1， 所以A1,号+a)或A(-1,-号+a: 因为切点A在切线1上，故1-（兮+a)=0或-1-(-}+）=0，解得a=号或-号 14.【答案】4 【解折】因为x>0,2>0,所以原式可变形为(-)-之8-x)]<0,令g(x)兰，A(x) 子(8-).则原问题等价于当zE《0m时，存在一条杭线，一直位于g)与4)的图象之间.因为 g(x)=1-n2,所以当0<x<e时，g'(x)>0,gr)单调递增；当x>e时，g(x)<0,g(x)单调递减， 易知函数h(x)1子(8-x)单调递减。 在同一直角坐标系中画出函数g(x),h(x)的大致图象，如图所示. y In 2 2 由图易知gx)与Ax)图象的交点坐标为么，) 所以当m>2时，要满足题意，则该横线必过点2，），所以该横线的方程为y-2,所以m的最大 2 值即为当x>2时，直线y=2与函数g:)图象交点的横坠标，由2-，可知m=4 2 15.【解】(1)画出该圆锥的轴截面示意图，如图所示. 由三角形相似，可得二-兰，得(x)= x-2x>2. (4分) 高二数学B参考答案第3页（共5页） (2)圆锥的体积V=wx=寸 3(-2)2x>2, (8分) 令f(z)2则了()，2)x—6,故x)在2,6)上单调递减，在(6，+∞)上单调递控 所以re加-景-号放v-是 9 (13分) 16.【解】(1)将5人分配给3种模型，每种模型至少1人，安排方案如下：类型1(3,1,1型)：共有C·A= 10×6=60种安排方案； (2分) 类型22,2,1型)：共有A·A=15X6=90种安排方案！ (4分) 总安排方案种数为60+90=150. (5分) (2)由(1)可知，若无限制，则总方案数为150. (6分) 其中①甲、乙调研同一种模型，有两种情况.第一种：甲、乙与另外一人调研同一种模型，有C·A= 18种； 第二种：只有甲、乙两人调研某一种模型：有C·A=18种， (10分) 所以甲、乙调研同一种模型，共有18十18=36种安排方案. (11分) ②ChatGPT模型由3人负责调研，有C·A=20种安排方案. ③甲、乙调研同一种模型，且ChatGPT模型由3人负责调研，共有Cg·A号=6种安排方案. (14分) 所以所求方案种数为150一36一20+6=100. (15分) 17.【解】(1)由题可知，2”=256，解得n=8.第5项的二项式系数为C=70. (2分) 2》展开式通项为T1=C2x)(宁)广=G·2片r∈01,2.34,56.7,8. (4分) 令8-多∈乙，则r∈0,24,6,81，即展开式中的第1,357,9项为有理数。 T1=C828x8=256.x8,T3=C82x5=1792x5,T5=C42x2=1120.x2, T2=C822x-1=112.x-1,Tg=C82°x-1=x-4 (10分) jC%28-≥C%-128-- (3)设第r+1项的系数最大，则 解得2≤r≤3， (13分) C28-≥C+128-+D, 所以展开式中各项系数的最大值为C冬·2=1792. (15分) ⑧〔解】1)由fx)只一x+2nx得了c)=二一1+号=，因为fx)在定义域上单 调，所以一x2+2x一a≤0恒成立， 所以a≥(-x2+2.x)mx=1,故a∈[1，+∞). (3分) y-a)-1-a+2na,a∈[1，+o),则y/-1+号，令y-0,解得a-2,故y-1-a+2ha在1， 2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减，故f(a)mx=yl。=2=2ln2-1. (7分) a>0,na>0, (2)(i)由题意可知一x2+2x一a=0有两个不等正根，所以 即 解得a∈(0,1). △>0,4-4a>0, (10分) 高二数学B参考答案第4页（共5页） （i)证明：由题意可知x1,x2为方程x2-2x十a=0的两根，所以x1十x2=2,x1x2=a. f-fe)是+a-侵-1+2n） In Z2 \xy =一2+2 (12分) x2一x1 x2一x1 x2一x1 要证，f）fa<-2+得 n ,即证2x2- 4,即证ln< x2一x1 1,即证：2n1<1-}>1, (14分) 构造函数a0=1一21>1，则A)=1十片一号=气卫>0， 故h)在1，+o)上单调递指，故A)>h1)=0,所以1->2h1,>1. (16分) 所u-<-2+任. (17分) x2一x1 1.【解】当a=1时，fx)=2-合)--hnz.F(x)=+x片- 所以f'(1)=1+1-1=1,又f(1)=0. 所以所求的切线方程为y=x一1，即x一y一1=0. (4分) (2(1yx)=1+--E)=a6+1x>0n. Ex反x x 因为xx>0,对于二次函数y=(√元)2一a√x+1, ①当△=a2-4≤0，即0<a≤2时，f'(x)≥0，所以f(x)在[1，十∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(1)=0,所以0<a≤2. (6分) ②当△=a2一4>0，即a>2时，设方程（元）2一aE+1=0的两个根为x1,x2,且x1<x2, 由韦达定理，可得√/x1·√x2=1,即x1x2=1,所以0<x1<1<x2, 所以f(x)在[1，x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增. 所以当x∈[1，x2)时，有f(x)≤f(1)=0,与f(x)≥0相矛盾，舍去. (8分) 综上所述：a的取值范围为0<a≤2. (9分) (1)证明：由(1)得，a的最大值为2，fx)=2丘-)-21nx在[1，+o)上单调递增， 且f(）-2(会-反)+2nx=-fx.则fm)=-f(月)】 (11分) 因为m,n为正实数，且m十n=2,所以1十1=2 (12分) 不妨设≥1，则≥1,1≤1，所以0<m≤1，≥1. 又2n=m十n≥2√mm,所以√mm≥1，即mn≥1. 所以n≥≥1，所以fm)≥f(月) (15分) 所以fm)+f)=f)-f(月)≥0，即fm)+fm)≥0. (17分) 高二数学B参考答案第5页（共5页）