精品解析：河北唐山实验学校2025-2026学年高二下学期第二次月考试卷数学试题

唐山实验学校高二年级第二次月考试卷 数学试卷 一､单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 的展开式中常数项为（   ） A. B. C. D. 3. 函数，则下列结论错误的是（ ） A. 在区间上不单调 B. 有两个极值点 C. 有两个零点 D. 在上有最大值 4. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 5. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 若，则n的值可以是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对随机事件，，若，则 B. 若随机事件，相互独立，则 C. 若随机事件，相互独立，，，则 D. 若随机事件，满足，，，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在R上恒成立 C. 存在，使得在上不存在零点 D. 对任意的，有唯一的极小值 三､填空题 12. 一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 13. 若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝______． 14. 的展开式中所有有理项的系数之和为________． 四､解答题 15. 已知函数在处取得极值1. （1）求； （2）求在上的单调区间. 16. 在的展开式中． （1）求二项式系数最大的项； （2）有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； （3）判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 17. 一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，黑球个.每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回. （1）求第次摸到红球的概率； （2）设第次都摸到红球的概率为，第次摸到红球的概率为，在第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，在第次都摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，求. 18. 有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. （1）求首次摸球后试验就结束的概率； （2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； （3）在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 19. 已知，. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）讨论函数在上的单调性； （3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山实验学校高二年级第二次月考试卷 数学试卷 一､单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义计算即可． 【详解】由题意得， 故． 2. 的展开式中常数项为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 3. 函数，则下列结论错误的是（ ） A. 在区间上不单调 B. 有两个极值点 C. 有两个零点 D. 在上有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可． 【详解】定义域为，求导即， 令，解得． 显然在和上，故在和上单调递增； 在上，故在上单调递减． 所以为的极大值点，为的极小值点，且，，草图如下. 所以ABD正确，C错误． 故选：C． 4. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 5. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令和后作差可得. 【详解】令，则， 令，则， 作差可得. 故选：A. 6. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】事件两次投掷点数和为9的所有情况为：，共4种； 总样本空间为种，则； 事件要求第一次为偶数且两次和为9，满足的情况为：，共2种： ； 由条件概率公式得：． 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 8. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 二､多选题 9. 若，则n的值可以是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合组合数性质列式求解即可. 【详解】因为， 由组合数性质可得或，解得或， 检验可知或均符合题意. 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对随机事件，，若，则 B. 若随机事件，相互独立，则 C. 若随机事件，相互独立，，，则 D. 若随机事件，满足，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件概率公式可判断A，结合独立事件的乘法公式可推导B；运用和事件的概率公式可判断C；利用全概率公式可求. 【详解】因为，故A错误； 随机事件，相互独立，则， 即，故B正确； 随机事件，相互独立，，故C错误； 根据全概率公式， 解得，故D正确； 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在R上恒成立 C. 存在，使得在上不存在零点 D. 对任意的，有唯一的极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，，求导得，由， 得，则在上单调递减，A错误； 对于B，当时，，求导得，由，得， 由，得，则在上递减，在上递增， ，B正确； 对于C，当时，，，在R上为单调递增， 又，，则在上一定存在零点，C错误； 对于D，当时，，由，得，，得， 则在上递减，在上递增，有唯一的极小值，D正确. 故选：BD 三､填空题 12. 一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小样本空间的方法，结合古典概率求出条件概率. 【详解】第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球， 所以第二次取出红球的概率为. 故答案为： 13. 若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝______． 【答案】-1 【解析】 【分析】先求导，然后分别求出，表示出切线方程，最后将点（2，3）代入切线方程即可求出答案. 【详解】由题可知，则． 又，所以的图象在点处的切线方程为，即．因为点（2，3）在切线上，所以，解得． 故答案为：-1. 14. 的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 四､解答题 15. 已知函数在处取得极值1. （1）求； （2）求在上的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数求出函数的单调区间. 【小问1详解】 因为，所以. 因为， 所以. 经检验，符合题意. 【小问2详解】 由（1）知， 则. 令，得或. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增. 故在上的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 在的展开式中． （1）求二项式系数最大的项； （2）有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； （3）判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 【答案】（1）第5项， （2）有，分别是 （3）系数的绝对值最大的项是第项和第7项；系数最大的项是 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，由此可确定二项式系数最大的项. （2）先写出展开式的通项公式，再根据通项公式判断是否存在的负整数次幂. （3）设出系数的绝对值最大的项，根据系数绝对值最大的条件列出不等式组，求解不等式组得到的值，进而确定系数绝对值最大的项，再根据系数的正负性确定系数最大的项. 【小问1详解】 的展开式的通项为： ，，， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，. 【小问2详解】 ，，， 令且，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【小问3详解】 的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； 由以上知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项. 17. 一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，黑球个.每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回. （1）求第次摸到红球的概率； （2）设第次都摸到红球的概率为，第次摸到红球的概率为，在第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，在第次都摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据概率的乘法公式以及条件概率公式求解. 【小问1详解】 记事件“第次摸到红球”为，则第次摸到红球的事件为， ， 由全概率公式，得. 【小问2详解】 由已知得表示事件发生的概率，这是一个连续不放回抽取的过程， 第次摸到红球的概率是，第次摸到红球后第次摸到红球的概率是，前次都摸到红球后第次摸到红球的概率是， 因此， 表示事件发生的概率，因此， 表示在事件下，发生的概率，而，因此， 表示在事件和下，发生的概率，因此. 18. 有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. （1）求首次摸球后试验就结束的概率； （2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； （3）在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【答案】（1）； （2）； （3）方案二. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率概率公式计算可得； （3）分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【小问1详解】 设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 则， 所以首次摸球后试验就结束的概率为. 【小问2详解】 由题意，和为对立事件，则， 则， 所以选到的袋子是乙袋的概率是. 【小问3详解】 方案一：从原袋中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为. 方案二：从另外一个袋子中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为. 因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大. 19. 已知，. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）讨论函数在上的单调性； （3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解； （2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可； （3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可. 【小问1详解】 因为，故，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 与两坐标轴的交点分别为， 故围成的三角形的面积为. 【小问2详解】 因为，故， 令， 当，则，故在上单调递减； 当，则时，，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增. 【小问3详解】 即， 即对一切实数恒成立， 令 当时，单调增； 当时，单调减；故最大值为， 则， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $