专题2.4 平面向量爪子定理、共线与基本定理的应用、等和线定理7大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题2.4 平面向量爪子定理、共线与基本定理的应用、等和线定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01判定与证明共线 题型02爪子定理的应用 题型03用基底表示向量 题型04平面向量基本定理求参数 题型05平面向量基本定理求系数和（最值） 题型06等和线求系数和、差 题型07等和线求范围（最值） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 共线定理 掌握是共线的充要条件；能熟练用定理证明三点共线；理解系数与分点位置、方向的关系，对爪子定理的熟练运用。 基础必考，常在选择题、填空题中直接考查，与三角形中线、重心结合是常见题型，难度中等偏下 平面向量基本定理 理解基底的概念及不共线要求；能根据图形将任意向量用基底表示；掌握待定系数法求基底系数 核心考点，是后续坐标运算的基础，常在解答题第一问出现，需熟悉平行四边形、三角形中的向量分解 等和线定理 理解系数和与平行线距离的关系；会求线性组合系数和的最值。 拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中期末压轴小题出现，灵活性强，需结合几何意义理解 知识点01 平面向量的共线 1、向量共线定理： 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． 2、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 知识点02 平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 若，则． 知识点03 等和线定理 1、 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 2、等和线的性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2) 当等和线在点和直线之间时, ； （3)当直线在点和等和线之间时, ； （4)当等和线过点时,； （5)若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （6)定值的变化与等和线到点的距离成正比 题型一 判定与证明共线 解｜题｜技｜巧 1、 判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数，使 2、 对非共线向量，则 与共线 注意： 零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一些特殊情况。 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·月考）设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数___________． 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）（1）设，是两个不共线的向量，已知，，，试判断，，三点是否共线； （2）设，是两个不共线的向量，在四边形中，，，，证明：四边形为平行四边形． 题型二 爪子定理的应用 答｜题｜模｜板 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知在线段上，且，则 【典例1】（多选）（2026高一下·全国·专题练习）设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 【典例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2027高三·全国·专题练习）已知点为所在平面内一点，且，则（    ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在射线上 题型三 用基底表示向量 答｜题｜模｜板 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用目标向量出现表示为止． （2）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 【典例1】（河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题）在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，分别为，边上的点且，，连接，，记，求． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型四 平面向量基本定理求参数 答｜题｜模｜板 平面向量运用基本定理求参问题：运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示，利用基底表示向量的唯一性求解． 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 【典例2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【变式1】（2026高一下·全国·专题练习）如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______. 【变式2】（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 题型五 平面向量基本定理求系数和（最值） 答｜题｜模｜板 平面向量基本定理求系数和或最值的问题： 1、运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示 2、根据题目条件，可以多次用含参数的基底表示，列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 3、若是求最值问题，还需要结合基本不等式的方法来求解。 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是_____. 【典例2】（多选）（25-26高一下·江苏泰州·月考）在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【变式1】（25-26高一下·贵州遵义·月考）如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【变式2】（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 题型六 等和线求系数和、差 答｜题｜模｜板 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题。 【典例1】（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【典例2】（25-26高一下·北京·月考）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________. ①若，则    ②若，则 ③    ④ 【变式1】（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，已知，如果，则__________________． 【变式2】（24-25高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 题型七 等和线求范围（最值） 答｜题｜模｜板 等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题时，则求系数和（差）的范围问题转换成线段比值的范围为题，则可以直接根据目标线段的取值范围来计算。 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，A，B，P是圆O上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆O外一点Q，若，求的取值范围． 【变式1】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【变式2】（25-26高一上·北京·期末）已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________． ①对于任意； ②存在，使得； ③时，是等腰直角三角形； ④的最大值是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，其中不共线，向量，若存在实数和，使与共线，那么实数和应该是什么关系？ 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，. 5．（25-26高一上·北京西城·期末）在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则______． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·上海·月考）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 3．（天津市和平区2025-2026学年高三年级第一次质量调查数学试题）已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 5．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 2．（2026高一下·全国·专题练习）在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    4．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 平面向量爪子定理、共线与基本定理的应用、等和线定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01判定与证明共线 题型02爪子定理的应用 题型03用基底表示向量 题型04平面向量基本定理求参数 题型05平面向量基本定理求系数和（最值） 题型06等和线求系数和、差 题型07等和线求范围（最值） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 共线定理 掌握是共线的充要条件；能熟练用定理证明三点共线；理解系数与分点位置、方向的关系，对爪子定理的熟练运用。 基础必考，常在选择题、填空题中直接考查，与三角形中线、重心结合是常见题型，难度中等偏下 平面向量基本定理 理解基底的概念及不共线要求；能根据图形将任意向量用基底表示；掌握待定系数法求基底系数 核心考点，是后续坐标运算的基础，常在解答题第一问出现，需熟悉平行四边形、三角形中的向量分解 等和线定理 理解系数和与平行线距离的关系；会求线性组合系数和的最值。 拓展内容，高一阶段难度较高，常在期中期末压轴小题出现，灵活性强，需结合几何意义理解 知识点01 平面向量的共线 1、向量共线定理： 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． 2、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 知识点02 平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 若，则． 知识点03 等和线定理 1、 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 2、等和线的性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2) 当等和线在点和直线之间时, ； （3)当直线在点和等和线之间时, ； （4)当等和线过点时,； （5)若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （6)定值的变化与等和线到点的距离成正比 题型一 判定与证明共线 解｜题｜技｜巧 1、 判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数，使 2、 对非共线向量，则 与共线 注意： 零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一些特殊情况。 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·月考）设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解. 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据是否共线进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若，则存在，使得， 则， 而，所以与共线. 若不共线，若与共线， 则存在，使得， 则. 综上所述，与共线的条件为或. 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数___________． 【答案】 【分析】根据平面共线的基本定理与平面向量的基本定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】和共线，存在实数，使得． ， 又和不共线，所以，化简得出，解得. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）（1）设，是两个不共线的向量，已知，，，试判断，，三点是否共线； （2）设，是两个不共线的向量，在四边形中，，，，证明：四边形为平行四边形． 【答案】（1）三点共线；（2）证明见解析； 【分析】（1）根据向量的线性运算可推出与共线．结合与有公共点，即可得结论； （2）根据向量的线性运算可推出，进而可证明结论. 【详解】（1）， 又，， 又与有公共点，故，，三点共线． （2）证明：， 又在四边形中，，，，四点不共线，则， ∴四边形是平行四边形． 题型二 爪子定理的应用 答｜题｜模｜板 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知在线段上，且，则 【典例1】（多选）（2026高一下·全国·专题练习）设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 【答案】ACD 【分析】先对向量表达式进行变形，得出向量共线关系，再根据的取值范围，即可判断点的位置关系. 【详解】由题意，，可得， 所以，所以，，三点共线， 又，所以，所以点在线段上． 又点位置不确定，所以不能说明四点共线. 故选：ACD 【典例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 【变式1】（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 【变式2】（2027高三·全国·专题练习）已知点为所在平面内一点，且，则（    ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在射线上 【答案】D 【分析】将已知向量等式变形，得到点相对于点的位置向量与方向向量共线且同向，从而判断点在射线上. 【详解】由，得，所以， 所以点在射线上． 故选：D. 题型三 用基底表示向量 答｜题｜模｜板 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用目标向量出现表示为止． （2）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 【典例1】（河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题）在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线及向量的线性表示求解即可. 【详解】 设，则， 又，所以. 设，， 则， 又， 所以，解得，所以. 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，分别为，边上的点且，，连接，，记，求． 【答案】 【分析】根据平面向量的基本定理及向量共线列方程组求解即可. 【详解】设，则． 又，，三点共线， 所以存在使． 所以，解得，， 所以，故． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合图像得到四边形为平行四边形，从而得到，由及得到. 【详解】连接CD，OD，如图， ∵点C，D是半圆弧的两个三等分点， ∴，∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， . ∵，，∴. 故选：D. 【变式2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 题型四 平面向量基本定理求参数 答｜题｜模｜板 平面向量运用基本定理求参问题：运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示，利用基底表示向量的唯一性求解． 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 【答案】 【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为： 【典例2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 【变式1】（2026高一下·全国·专题练习）如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.75 【分析】由向量共线定理可得，进而可得，结合向量的线性运算可得，比较系数即可求解. 【详解】三点共线，且为的中点， 存在实数使， ， ， 因为，即， ， 即，解得. 故答案为：. 【变式2】（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 题型五 平面向量基本定理求系数和（最值） 答｜题｜模｜板 平面向量基本定理求系数和或最值的问题： 1、运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示 2、根据题目条件，可以多次用含参数的基底表示，列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 3、若是求最值问题，还需要结合基本不等式的方法来求解。 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为. 【典例2】（多选）（25-26高一下·江苏泰州·月考）在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确. 对于B，因为，所以，， 由三点共线可得，. 因为，所以，， 由三点共线可得，. 而，所以有，整理得，故B正确. 对于C，因为，则， 当且仅当，即时取等号，故C正确. 对于D， 因为， 所以， 当且仅当即时取等号.而，故D错误. 【变式1】（25-26高一下·贵州遵义·月考）如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【详解】（1）因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 【变式2】（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】将中的分别用表示，由三点共线，得，故，结合基本不等式即可求解. 【详解】如图： 由，得, 所以，又三点共线，所以. 所以， 因为，故，当且仅当时， 即时等号成立,所以 题型六 等和线求系数和、差 答｜题｜模｜板 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题。 【典例1】（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知得出边长关系方法一：应用三点共线得出系数和计算求解；方法二：应用数量积公式及运算律计算求解. 【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 【典例2】（25-26高一下·北京·月考）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________. ①若，则    ②若，则 ③    ④ 【答案】②④ 【分析】建立平面直角坐标系，求得，，，的坐标，设，根据建立等量关系，然后对4个说法进行分析，结合三角恒等变换、向量数量积运算、三角函数的最值等知识确定正确答案. 【详解】 如图，作，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，则 由可得 ，，且， 对于①，若，则， 解得（负值舍去），故，①错误； 对于②，若，则，于是，故②正确； 对于③， 由于，故，故，故③错误； 对于④，由于， 则 ， 而，则，故，故④正确. 【变式1】（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，已知，如果，则__________________． 【答案】18 【分析】过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点，得到四边形ODCE平行四边形，结合平面向量的基本定理，即可求解． 【详解】如图所示， 过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点， 所以四边形ODCE是平行四边形，则， 因为向量与和的夹角分别为和， 即，则， 在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 又由，可得， 又因为，所以， 所以． 故答案为：18． 【变式2】（24-25高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值. 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 题型七 等和线求范围（最值） 答｜题｜模｜板 等和线问题将系数和（差）的问题转换成线段比值问题时，则求系数和（差）的范围问题转换成线段比值的范围为题，则可以直接根据目标线段的取值范围来计算。 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    【答案】2 【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得，把的最大值转化为的最小值即可． 【详解】设与相交于点，可得． 因为三点共线，所以． 因为的最小值为点到直线的距离，因为半径，, 所以,此时， 所以的最大值为2． 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，A，B，P是圆O上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆O外一点Q，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，可得，设，可得，根据平面向量基本定理可得，，由此可求结论. 【详解】设，可得， 设， ，B，Q三点共线，， 则 ，则，， ． 因此，的取值范围是． 【变式1】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，当是线段的中点时，， 所以，所以A正确. 对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于. 延长与直线交于点，则，. 所以，所以，所以点的轨迹为线段. 当点与重合时，. 当点与重合时，. 所以.所以B不正确. 对于C，当为定值2时，. 令，可得三点共线. 分别取线段的中点，记为，所以，即. 连接交于点，则. 所以点的轨迹是线段，所以C正确. 对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以. 所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确. 故选：ACD. 【变式2】（25-26高一上·北京·期末）已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________． ①对于任意； ②存在，使得； ③时，是等腰直角三角形； ④的最大值是． 【答案】②③④ 【分析】利用向量的线性运算和三角形外接圆的性质，结合均值不等式和正弦定理等的相关知识，对每个说法逐一分析. 【详解】因为为的外接圆圆心， 所以（为外接圆半径）， 又，所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 展开并整理得：， 对于①，当时，，此时或， 因此存在，故①错误； 对于②④，因为 所以（当且仅当时取得等号）， 所以， 解得，或， 又为锐角，所以O与B在的同侧，所以， 所以存在，使得，故②正确，④正确； 对于③，当时， 代入中可得：， 此时是等腰直角三角形，故③正确； 故答案为：②③④ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，其中不共线，向量，若存在实数和，使与共线，那么实数和应该是什么关系？ 【答案】实数应满足的关系为 【分析】根据题意，求得，由与共线，得到，列出方程组，即可求得实数的关系式，得到答案. 【详解】由题意知，向量， 因为与共线，则应有实数，使，即， 所以，解得， 故存在实数，满足，使得与共线． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算求解． 【详解】. 故选：B 3．（25-26高三上·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分两种情况，分别画出图形，利用平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 故选：BC. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，. 【答案】, 【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算用基底表示向量. 【详解】依题意，，则， 在中，，， ； . 5．（25-26高一上·北京西城·期末）在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则______． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得和，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】因为为边上的两个三等分点，可得， 则， ， 所以. 又因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值, 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 2．（25-26高三下·上海·月考）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围. 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 3．（天津市和平区2025-2026学年高三年级第一次质量调查数学试题）已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算可用、表示，再利用、、三点共线即可得；利用平面向量夹角公式可得，再借助模长与数量积关系，结合基本不等式计算即可得的最小值. 【详解】，则， 故， 由、、三点共线，可得，解得； 则， 由，则， 故， 则，故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 【答案】 【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【详解】由可得，即， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 5．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 【答案】/0.4 【分析】设，在中，利用向量加减法的三角形法则表示出，进而表示出；设，同理，在中表示出，根据平面向量基本定理列出方程组，求出，即可得到的值，即可得解. 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【详解】（1）设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； （2）由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． 2．（2026高一下·全国·专题练习）在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等和线的性质求解即可. 【详解】如图所示，显然是等和线， 当动圆圆心是点时，直线是距离最近的等和线． 易知点到这两条等和线的距离比为，从而此时的； 而当动圆的圆心在点时，直线是距离最远的等和线， 易知点到直线与直线的距离比为， 从而此时的．综上， 故选：C 3．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 4．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出关于和的表达式，从而确定和的值，最后计算. 【详解】如图，延长AG与BO相交于点，可得为OB的中点，可得， 由，有，有， 又由， 有，可得. 故选：A. 5．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $