专项提升训练：多边形的内角和（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年四年级下册数学苏教版

专项提升训练：多边形的内角和 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、计算多边形的内角 1 考点二、多边形的内角和 1 例题讲解 2 题型一、计算多边形的内角 2 题型二、多边形的内角和 3 考点练习 3 练习一、计算多边形的内角 3 练习二、多边形的内角和 5 考点梳理 考点一、计算多边形的内角 1. 定义 多边形的内角是指多边形相邻两边组成的角，每个多边形都有与边数相等的内角（如三角形有3个内角，四边形有4个内角，n边形有n个内角）。 2. 核心要点 (1)内角的特点：多边形的内角均为大于0°且小于180°的角（凸多边形）；凹多边形中存在大于180°的内角（四年级阶段主要研究凸多边形）。 (2)与三角形内角的联系：任何多边形都可以通过连接对角线分解为若干个三角形，其内角和与三角形内角和（180°）直接相关。 (3)已知部分内角求未知内角：对于给定边数的多边形，若已知其他内角的度数，可通过内角和公式求出未知内角（内角和 - 已知内角之和 = 未知内角）。 3. 适用场景 (1)已知多边形的边数及部分内角，求剩余内角的度数； (2)判断多边形中某个角是否为内角（需满足内角的取值范围）。 考点二、多边形的内角和 1. 定义 多边形的内角和是指多边形所有内角的度数之和，其大小与多边形的边数直接相关。 2. 核心公式及推导 (1)公式：n边形的内角和 = (n - 2) × 180°（其中n为多边形的边数，n ≥ 3，且n为整数）。 (2)推导过程： ①　三角形（n=3）：内角和 = 180° = (3 - 2) × 180°； ②　四边形（n=4）：连接一条对角线可分为2个三角形，内角和 = 2 × 180° = (4 - 2) × 180°； ③　五边形（n=5）：连接两条对角线可分为3个三角形，内角和 = 3 × 180° = (5 - 2) × 180°； ④　以此类推，n边形可分为(n - 2)个三角形，故内角和 = (n - 2) × 180°。 3. 核心要点 (1)n的取值范围：n必须是大于或等于3的整数（边数少于3的图形不是多边形）。 (2)公式的逆应用：已知多边形内角和，可通过“n = 内角和 ÷ 180° + 2”求出多边形的边数。 (3)特殊多边形内角和：正多边形（各边相等、各内角相等）：每个内角的度数 = (n - 2) × 180° ÷ n。 4. 适用场景 (1)已知多边形边数，计算内角和； (2)已知多边形内角和，反推边数； (3)计算正多边形每个内角的度数。 例题讲解 题型一、计算多边形的内角 【例题1】求出下面各未知角的度数。 【练习1】计算图中∠1的度数。 题型二、多边形的内角和 【例题2】下图是一个五边形，这个五边形的内角和是( )°。 【练习2】用不同的方法分一分、算一算六边形的内角和是多少度？ 考点练习 练习一、计算多边形的内角 1．下面三角形是一个顶角为40°的等腰三角形，沿虚线剪掉一个三角形后得到一个四边形，在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 2．欢欢用五根小棒摆成（如图）的形状。仔细观察，∠1＝( )°。 3．下面的图形是( )梯形，它的内角和是( )°，如果，那么( )°。 4．如图，一个直角梯形被分成了两个三角形。这个直角梯形的内角和是( )°，其中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 5．下图中，∠1＝( )°。 6．求出下面未知角的度数。 7．求出下面未知角的度数。 8．求下图中未知角的度数。 9．计算图中∠2的度数。 10．求出下面图中的∠1，∠2和∠3的度数。        练习二、多边形的内角和 1．我们在求四边形的内角和时，把一个四边形如下图（左图）分成了2个三角形，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。按照这个方法，下图（右图）中这个多边形可以分成( )个三角形，所以这个多边形的内角和是180°×( )。 2．传统木雕窗花常用正多边形图案，工匠把一个正八边形通过中心连线分割成若干个三角形（如图）。这个正八边形的内角和是( )。 3．根据三角形的内角和是180°，求出下面图形的内角和（保留作图痕迹）。 4．研究六边形内角和时，小瓯通过分割把六边形变成6个三角形（如下图），求出六边形的内角和是180°×6＝1080°。你同意他的想法吗？请用画图或文字等方法尽可能清楚地说明你的理由。 5．三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，那五边形的内角和是多少？请画一画，算一算。 6．八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练：多边形的内角和 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、计算多边形的内角 1 考点二、多边形的内角和 1 例题讲解 2 题型一、计算多边形的内角 2 题型二、多边形的内角和 3 考点练习 4 练习一、计算多边形的内角 4 练习二、多边形的内角和 10 考点梳理 考点一、计算多边形的内角 1. 定义 多边形的内角是指多边形相邻两边组成的角，每个多边形都有与边数相等的内角（如三角形有3个内角，四边形有4个内角，n边形有n个内角）。 2. 核心要点 (1)内角的特点：多边形的内角均为大于0°且小于180°的角（凸多边形）；凹多边形中存在大于180°的内角（四年级阶段主要研究凸多边形）。 (2)与三角形内角的联系：任何多边形都可以通过连接对角线分解为若干个三角形，其内角和与三角形内角和（180°）直接相关。 (3)已知部分内角求未知内角：对于给定边数的多边形，若已知其他内角的度数，可通过内角和公式求出未知内角（内角和 - 已知内角之和 = 未知内角）。 3. 适用场景 (1)已知多边形的边数及部分内角，求剩余内角的度数； (2)判断多边形中某个角是否为内角（需满足内角的取值范围）。 考点二、多边形的内角和 1. 定义 多边形的内角和是指多边形所有内角的度数之和，其大小与多边形的边数直接相关。 2. 核心公式及推导 (1)公式：n边形的内角和 = (n - 2) × 180°（其中n为多边形的边数，n ≥ 3，且n为整数）。 (2)推导过程： ①　三角形（n=3）：内角和 = 180° = (3 - 2) × 180°； ②　四边形（n=4）：连接一条对角线可分为2个三角形，内角和 = 2 × 180° = (4 - 2) × 180°； ③　五边形（n=5）：连接两条对角线可分为3个三角形，内角和 = 3 × 180° = (5 - 2) × 180°； ④　以此类推，n边形可分为(n - 2)个三角形，故内角和 = (n - 2) × 180°。 3. 核心要点 (1)n的取值范围：n必须是大于或等于3的整数（边数少于3的图形不是多边形）。 (2)公式的逆应用：已知多边形内角和，可通过“n = 内角和 ÷ 180° + 2”求出多边形的边数。 (3)特殊多边形内角和：正多边形（各边相等、各内角相等）：每个内角的度数 = (n - 2) × 180° ÷ n。 4. 适用场景 (1)已知多边形边数，计算内角和； (2)已知多边形内角和，反推边数； (3)计算正多边形每个内角的度数。 例题讲解 题型一、计算多边形的内角 【例题1】求出下面各未知角的度数。 【答案】110° 【分析】四边形内角和360°，用360°减去另外三个角的度数即可求出第四个角的度数；据此解答。 【详解】 【练习1】计算图中∠1的度数。 【答案】 【分析】四边形的三个角的度数分别为60°、150°、90°，用四边形的内角和360°减去已知的三个内角，即可求出∠1的度数。 【详解】 所以∠1的度数是60°。 题型二、多边形的内角和 【例题2】下图是一个五边形，这个五边形的内角和是( )°。 【答案】540 【分析】多边形内角和公式为（n－2）×180°（n为边数且n≥3且n为整数），对于五边形，n＝5，我们可以利用这个公式来计算它的内角和。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以，这个五边形的内角和是540°。 【练习2】用不同的方法分一分、算一算六边形的内角和是多少度？ 【答案】图见详解；720° 【分析】三角形内角和是180°，可以将六边形分成几个三角形，用180°乘三角形的个数，即可求出六边形的内角和是多少度；先找出六边形的中心点，将六边形所有的顶点与这个中心点连接，则分成了几个三角形，用三角形的个数乘180°，再减去中心点所形成的周角度数，即可求出六边形的内角和是多少度。 【详解】 方法一：（画法不唯一） 180°×4＝720° 方法二：（画法不唯一） 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 答：六边形的内角和是720°。 考点练习 练习一、计算多边形的内角 1．下面三角形是一个顶角为40°的等腰三角形，沿虚线剪掉一个三角形后得到一个四边形，在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【答案】250 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，因此先用180°减去顶角的度数，再除以2，从而计算出等腰三角形底角的度数；四边形的内角和是360°，因此用四边形的内角和度数减去40°与等腰三角形其中一个底角度数的和，即可得到∠3＋∠4的度数，依此解答。 【详解】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 360°－（40°＋70°） ＝360°－110° ＝250° ∠3＋∠4＝250°。 2．欢欢用五根小棒摆成（如图）的形状。仔细观察，∠1＝( )°。 【答案】110 【分析】如图，小棒组成一个四边形，四边形的内角和是360°，且有两个角是直角。用360°减去两个直角的度数，再减去40°，就是上面30°和∠1的度数之和。算出结果再减去30°就是∠1的度数。 【详解】360°－90°×2－40° ＝360°－180°－40° ＝180°－40° ＝140° 140°－30°＝110° 所以，∠1＝110°。 3．下面的图形是( )梯形，它的内角和是( )°，如果，那么( )°。 【答案】 直角 360 120 【分析】（1）根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形，叫直角梯形；据此判断即可。 （2）任意一个四边形的内角和都是360°，据此解答即可。 （3）根据题意可知，直角梯形有两个角是90°，∠2＝60°，则∠1等于内角和的度数减去两个直角的度数与∠2的度数之和，据此解答即可。 【详解】（1）图中有2个直角，根据直角梯形的定义可知，该图是直角梯形。 （2）根据任意一个四边形的内角和都是360°可知，直角梯形的内角和也是360°。 （3）360°－（90°＋90°＋60°） ＝360°－240° ＝120° 因此如果，那么∠1＝120°。 4．如图，一个直角梯形被分成了两个三角形。这个直角梯形的内角和是( )°，其中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 360 55 25 【分析】三角形的内角和为180°。由题意得，一个直角梯形被分成了两个三角形，那么直角梯形的内角和就等于两个三角形的内角和，直接用180°乘上2即可算出直角梯形的内角和；在直角三角形中，直角的度数是90°，另一个角的度数是35°，直接用180°减去90°再减去35°即可算出∠1的度数；在另一个三角形中，两个角的度数分别是35°和120°，那么直接用180°减去120°再减去35°即可算出∠2的度数。 【详解】180°×2＝360° ∠1＝180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° ∠2＝180°－120°－35° ＝60°－35° ＝25° 如图，一个直角梯形被分成了两个三角形。这个直角梯形的内角和是360°，其中∠1＝55°，∠2＝25°。 5．下图中，∠1＝( )°。 【答案】92 【分析】观察图中可知，∠2和130°的角组成一个平角，平角＝180°，用180°减去130°，即为∠2的度数，进而结合四边形的内角和为360°，即可求得∠1的度数。 【详解】∠2＝180°－130°＝50° 360°－123°－95°－50° ＝237°－95°－50° ＝142°－50° ＝92° 因此上图中，∠1＝92°。 6．求出下面未知角的度数。 【答案】140° 【分析】四边形内角和是360°，用360°减去另外三个角，即可求出第四个角的度数。据此解答。 【详解】 7．求出下面未知角的度数。 【答案】120° 【分析】用四边形的内角和360°减去已知三个角的度数，就是未知角的度数。 【详解】 所以未知角的度数为120°。 8．求下图中未知角的度数。 【答案】55° 【分析】 直角是90°，三角形的内角和是180°，如图所示：，此时梯形的内角和是180°×2，也就是360°，所以用360°减去已知3个角的度数即为未知角的度数。 【详解】180°×2＝360° 360°－90°－90°－125° ＝270°－90°－125° ＝180°－125° ＝55° 未知角的度数是55°。 9．计算图中∠2的度数。 【答案】∠2＝120° 【分析】根据图可看出这是一个五边形，先求出五边形的内角和，即：，∠2的度数就是用五边形的内角和减去另外四个角的度数，据此解答即可。 【详解】                                     10．求出下面图中的∠1，∠2和∠3的度数。        【答案】 【分析】因为四边形内角和为360°，其中两个角是直角，则其余两个角和为180°，用180°减去70°和35°，可以求出； 与86°角组成平角，平角等于180°，用180°减去86°，可以求出； 与100°、92°、之和为360°，用360°连续减去100°，92°，，可以求出。 【详解】 练习二、多边形的内角和 1．我们在求四边形的内角和时，把一个四边形如下图（左图）分成了2个三角形，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。按照这个方法，下图（右图）中这个多边形可以分成( )个三角形，所以这个多边形的内角和是180°×( )。 【答案】 4 4 【分析】从多边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线来分割三角形。可以发现这个六边形（右图多边形）从一个顶点出发能引出3条对角线，这样就可以把六边形分成4个三角形。因为每个三角形内角和是180°，那么这个六边形的内角和就等于分成的三角形个数乘180°，即180°×4。 【详解】 图中这个多边形可以分成4个三角形，所以这个多边形的内角和是180°×4。 2．传统木雕窗花常用正多边形图案，工匠把一个正八边形通过中心连线分割成若干个三角形（如图）。这个正八边形的内角和是( )。 【答案】1080°/1080度 【分析】把一个正八边形通过中心连线分割成八个三角形，三角形内角和为180°，求正八边形的内角和可以用分割成的三角形的内角和减去中间的360°。 【详解】180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 因此这个正八边形的内角和是1080°。 3．根据三角形的内角和是180°，求出下面图形的内角和（保留作图痕迹）。 【答案】360°；540° 【分析】根据图形内角和的求法是把每个角相加求得，所以可以把多边形拆分成几个不重叠的三角形，三角形内角和为180°，多边形有几个三角形，内角和就有几个180°，即可解答。 【详解】如图：          180×2＝360° 180×3＝540° 故四边形内角和为360°，五边形内角和为540°。 4．研究六边形内角和时，小瓯通过分割把六边形变成6个三角形（如下图），求出六边形的内角和是180°×6＝1080°。你同意他的想法吗？请用画图或文字等方法尽可能清楚地说明你的理由。 【答案】不同意；理由见详解 【分析】求多边形的内角和，可以看这个多边形可以分成几个三角形，三角形的内角和为180°，直接用180°乘可以分成三角形的个数即可算出多边形的内角和。由题意得，小瓯把六边形变成6个三角形。这样分割时把中间的周角也分给了6个三角形，这个周角原本不是六边形的内角，所以最后算出来的结果会比正确的结果多一个周角的度数。 【详解】答：不同意小瓯的方法。因为这样分割把中间6个角的度数和也算进去了，也就是多算了一个周角的度数，正确的度数应该等于1080°减去360°。 5．三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，那五边形的内角和是多少？请画一画，算一算。 【答案】图见详解；540° 【分析】三角形的内角和是180°，四边形可以分成两个三角形，所以四边形的内角和＝180°×2，要求五边形的内角和就看五边形能分成几个三角形，再用三角形的个数×180°即可。 【详解】如下图所示，五边形可分成3个三角形， 所以，180°×3＝540° 答：五边形的内角和是540°。 6．八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【答案】图见详解； 1080°； 【分析】把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是180°×8＝1440°，通过观察图形可知，在分成8个三角形后，原来八边形的度数和就多了中间的一个周角即360°。所以八边形的内角和等于分成的8个三角形的内角和减去中间一个周角的度数。 【详解】 180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $