精品解析：江西九江市第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

九江一中2025-2026学年度高二年级下学期3月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，，，，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列1，，，，，…， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 故选：D 2. 等比数列的公比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用等比数列通项公式可得： . 3. 已知正项等比数列，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据关系求得公比，再求，最后根据通项公式求解对应的项即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，又，所以. 又由可得，解得. 所以. 4. 若数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的周期性即可求解. 【详解】由，得，，，． 所以数列以4为周期．余1，故. 故选：D 5. 已知等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的前项和的性质可得. 【详解】由题意可知，是等比数列， 则，即，故. 故选：A 6. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列. 奇数项和为 ① 偶数项和为 ② 因为， 所以，解得. 所以，即等差数列的项数为21. 故选：A. 7. 已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得数列为递增数列，列不等式组可得且，根据为正整数，将依次代入到中验证是否成立，即可求出答案. 【详解】由题意数列为递增数列， 所以，则且， 又为正整数，由知，， 当时，，符合， 同理均符合， 当时，，不符合， 故正整数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出，再由作差法说明的单调性，即可求出，从而得解. 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前和是 C. 数列是等差数列 D. 数列的前10项和是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和等比前和公式，等差数列的定义法证明方法，和等差数列前和公式，分别判断各选项正误. 【详解】由题可得， 则，所以数列是等比数列，故A正确；，故B不正确； 已知，，故是等差数列，故C正确； 则，故D错误. 故选：AC. 10. 已知为等差数列，前项和为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，最小 C. 数列为等差数列 D. 满足的最大整数为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差，再得到等差数列的前项和可得B；利用等差数列的前项和公式计算可得C、D. 【详解】对于A，，由等差数列性质可得，故，A正确； 对于B，，故， 由二次函数的性质可知，或时最小，B错误； 对于C，，故， 故为等差数列，且公差为1,C正确； 对于D，，令，则，解得： 故的最大整数值为14.，D正确. 故选：ACD 11. 南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式，后人经常利用“三角垛”解决现实中的堆垛问题．现有一堆货物，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，前n层货物的总数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 集合中共有25个奇数 C. 设，则的前100项和为2550 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由迭代法代入计算，即可判断A，分别讨论，，以及时，的奇偶性，即可判断B，由并项求和法代入计算，即可判断C，由组合数的性质代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，依题意，且，所以当时，， 从而，故A正确； 对于B，当时， ，此时为奇数； 同理当时，为奇数；当时，为偶数； 当时，为偶数， 所以集合中共有24个奇数，故B错误； 对于C，设的前n项和为，因为， 则，故C正确； 对于D，由，知 故， 所以 ，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式计算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，， 则,解得：， 所以, 故答案为： 13. 已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【答案】4046 【解析】 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，， 故，即有. 由，则当时，有， 故， 故所求和为. 故. 14. 在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法及累加法求出数列通项，再利用单调性定义列式求解. 【详解】对任意，成立，且， 令，则，即当时，， 当时， ，而满足上式，因此， 由为单调递增数列，得对成立， 则，化简得， 于是，而当时，，则，解得， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.其中第15题13分，第16题15分，第17题15分、第18题、第19题17分. 15. 已知等比数列的前项和为，已知，且的公比 （1）求数列的通项公式 （2）令，数列的前项和为，求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意得方程组计算即可求解； （2）由题意可得，根据裂项相消法计算即可得证. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 由题意得， 解得或， 因为，所以，代入可得， 所以； 【小问2详解】 ， 则， . 16. 如图，四边形是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，，利用向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为四边形为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以，所以，即. 【小问2详解】 设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）时，可得，与原式相减可求通项公式； （2）结合（1），利用等差数列的前项和公式，计算可求； （3）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为，① 所以当时，， 当时，，② 由整理得， 因为符合上式，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以． 【小问3详解】 因为，所以． 因为， 所以， 所以． 18. 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 （1）求的通项公式. （2）证明：数列是等比数列. （3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最大值，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的相应公式列方程计算得，再求得通项公式； （2）根据递推关系，结合等比数列的定义证明即可； （3）根据裂项求和法得，再结合的单调性，分为奇数与偶数讨论对应的最值即可求得答案. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为, 由得，即，解得 所以. 【小问2详解】 解：由（1）可知，则 由，可得， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 解：由（1）可得 设的前项和为，则 所以，当为奇数时，，随着的增大而减小，可得. 当为偶数时，，随着的增大而增大，可得. 所以的最大值为，最小值为. 19. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． （1）求及的分布列； （2）写出与的递推关系式，并证明为等比数列； （3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：） 【答案】（1），分布列见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接求出和的可能取值，计算出概率，由期望公式求出；列出的分布列即可； （2）根据条件，得到，化简可得，再由等比数列的定义证明即可； （3）代入（2）结论求出即可. 【小问1详解】 依题意知，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为， 显然的值为20，40，则，，所以， 又的值为20，40，80，则，，， 所以的分布列为 20 40 80 P 【小问2详解】 依题意，当时，甲第次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为， 抽到黑球所得的奖券数额为20元，对应概率为， 因此当时，， 则，即， 又， 故数列是首项为、公比为等比数列． 小问3详解】 由（2）得，即， 所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江一中2025-2026学年度高二年级下学期3月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，，，，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列的公比为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知正项等比数列，，，（ ） A. B. C. D. 4. 若数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 11 7. 已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前和是 C. 数列是等差数列 D. 数列的前10项和是 10. 已知为等差数列，前项和为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，最小 C. 数列为等差数列 D. 满足的最大整数为14 11. 南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式，后人经常利用“三角垛”解决现实中的堆垛问题．现有一堆货物，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，前n层货物的总数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 集合中共有25个奇数 C. 设，则的前100项和为2550 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列的前项和为，若，，则______． 13. 已知数列是公比为正项等比数列，且，若，则________. 14. 在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.其中第15题13分，第16题15分，第17题15分、第18题、第19题17分. 15. 已知等比数列前项和为，已知，且的公比 （1）求数列的通项公式 （2）令，数列的前项和为，求证： 16. 如图，四边形是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）求数列的前n项和． 18. 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 （1）求的通项公式. （2）证明：数列是等比数列. （3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 19. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． （1）求及的分布列； （2）写出与递推关系式，并证明为等比数列； （3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $