高频考点06 三角形（全等、相似）（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

高频考点06 三角形（全等、相似） 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（2大命题点+14道中考预测题） 考点一 三角形（全等、等腰、直角） 命题点 1 三边关系 命题点 2 等腰三角形的性质求长度 命题点 3 等腰三角形的性质求角度 命题点 4 角平分线的性质 命题点 5 垂直平分线的性质 命题点 6 两个斜边的一半 命题点 7 赵爽弦图 命题点 8 全等三角形的判定 命题点 9 勾股定理的应用 中考预测题9道 考点二 三角形相似 命题点 1 平行线分线段成比例 命题点 2 相似中的反比例函数 命题点 3 相似中的折叠问题 命题点 4 相似三角形的性质 命题点 5 相似三角形的应用 中考预测题5道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 三角形（全等、等腰、直角） 1.三边关系 2.等腰三角形的性质求长度 3.等腰三角形的性质求角度 4.角平分线的性质 5.垂直平分线的性质 6.两个斜边的一半 7.赵爽弦图 8.全等三角形的判定 9.勾股定理的应用 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.会第三边取值范围计算、三角形构成条件判断； 3.利用“三线合一”或腰长与底边关系计算线段长，结合几何图形综合求解； 4.分类讨论顶角与底角，结合三角形内角和、外角性质计算角度； 5.角平分线上的点到两边距离相等的应用，证明线段或角相等； 6.垂直平分线上的点到两端点距离相等的应用，判断线段关系； 7.直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质应用，常与直角三角形其他性质结合； 8.通过弦图验证勾股定理，计算图形面积或边长关系； 9.运用SAS、ASA、SSS、AAS等判定定理证明三角形全等，结合辅助线构造全等条件； 10.已知两边求第三边，解决实际问题或几何计算。 三角形相似 1.平行线分线段成比例 2.相似中的反比例函数 3.相似中的折叠问题 4.相似三角形的性质 5.相似三角形的应用 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度或比值，判断线段关系； 3.结合相似三角形的性质与反比例函数解析式，求解函数参数或图形面积； 4.折叠过程中相似三角形的判定与性质应用，计算折叠后线段长度、角度或图形面积； 5.相似三角形对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等性质的直接应用及综合计算； 6.利用相似解决实际问题，结合几何图形进行相似判定与性质应用。 一、三角形的定义与基本性质 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。记作△ABC，其中A、B、C为三个顶点，∠A、∠B、∠C为三个内角，BC、AC、AB为三条边（分别可表示为a、b、c）。 2. 三角形的基本性质 · 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°。 · 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 · 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。即对于任意三角形，有a+b>c，a+c>b，b+c>a；|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a。 · 稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小一旦确定，就不会轻易改变。 二、全等三角形 1. 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2. 全等三角形的判定定理 · SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 · SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（注意：必须是两边的夹角，若为两边和其中一边的对角对应相等，则不一定全等，即“SSA”不能判定全等） · ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 · AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 · HL（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形） 3. 全等三角形的性质 · 对应边相等，对应角相等。 · 对应边上的高、中线、角平分线相等。 · 周长相等，面积相等。 4. 全等三角形的应用技巧 · 寻找对应关系：在复杂图形中，通过观察图形的旋转、平移、翻折等变换，准确找出对应边和对应角。 · 辅助线添加：常见辅助线有：①连接两点构造全等三角形；②作高，构造直角三角形全等；③截长补短法，用于证明线段和差关系；④倍长中线法，延长中线使延长部分等于原中线，构造全等三角形。 · 多次全等证明：有些问题需要通过两次或多次证明三角形全等才能得出结论。 三、等腰三角形 1. 等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 2. 等腰三角形的性质 · 等边对等角：等腰三角形的两底角相等。即若AB=AC，则∠B=∠C。 · 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 · 等腰三角形是轴对称图形，底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。 3. 等腰三角形的判定 · 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。即若∠B=∠C，则AB=AC。 4. 等边三角形（特殊的等腰三角形） · 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 · 性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，且三条边上的中线、高、角平分线都相等；③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 · 判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 5. 等腰三角形的应用技巧 · 利用“三线合一”性质可以快速解决与等腰三角形的高、中线、角平分线相关的问题。 · 在计算等腰三角形的边长或角度时，要注意分类讨论：当已知边未明确是腰还是底边，或已知角未明确是顶角还是底角时，需要分情况讨论，避免漏解。例如，已知等腰三角形的一个内角为80°，则底角可能为80°或（180°-80°）/2=50°。 四、直角三角形 1. 直角三角形的定义 有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2. 直角三角形的性质 · 直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°（其中∠C=90°）。 · 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即若a、b为直角边，c为斜边，则a²+b²=c²。 · 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 · 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 · 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 直角三角形的判定 · 有一个角是90°的三角形是直角三角形。 · 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 · 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 4. 勾股定理及其应用 · 常见勾股数：能够构成直角三角形三条边的三个正整数，如（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）等，以及它们的倍数（如6，8，10）。 · 应用：勾股定理主要用于计算直角三角形的边长，以及判断一个三角形是否为直角三角形。在实际问题中，如测量距离、高度、最短路径等问题，常通过构建直角三角形，利用勾股定理求解。 5. 直角三角形的应用技巧 · 利用直角三角形斜边上的中线性质，可以快速得到线段之间的数量关系。 · 在解决含30°或45°角的直角三角形问题时，要充分利用其特殊边角关系（如30°角所对直角边是斜边一半，等腰直角三角形两直角边相等）进行计算。 · 在折叠问题中，常通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解。 五、相似三角形 1. 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 2. 相似三角形的判定定理 · 平行线法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 · AA（两角对应相等）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 · SAS（两边对应成比例且夹角相等）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 · SSS（三边对应成比例）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 3. 相似三角形的性质 · 对应角相等，对应边成比例。 · 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 · 周长的比等于相似比。 · 面积的比等于相似比的平方。 4. 相似三角形的应用技巧 · 寻找相似三角形：在复杂图形中，通过观察公共角、对顶角、平行线形成的同位角、内错角等，寻找相等的角，从而确定相似三角形。常见的相似模型有“A”型、“X”型、母子型（如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似）等。 · 利用相似比解决问题：根据相似三角形的性质，通过已知的边或角，求出未知的边、角或面积等。在计算时，要注意对应边的准确识别。 · 辅助线添加：常通过作平行线构造相似三角形，或连接某些线段，形成相似模型。 · 比例线段的应用：利用相似三角形对应边成比例，可以证明线段成比例或求解线段长度。 考点一 三角形（全等、等腰、直角） 《解题指南》 遇中线，倍延长；遇角分，作垂线； 证全等，找对应；等腰形，三线合； 直角三，勾股边；斜边中，等于半； 动态题，参数现；最值题，对称连。 命题点01 三边关系 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【典例02】（2024·江苏淮安·中考真题）用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A．9 B．7 C．2 D．1 命题点02 等腰三角形的性质求长度 【典例01】（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 命题点03 等腰三角形的性质求角度 【典例01】 （2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 命题点04 角平分线的性质 【典例01】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 【典例02】（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________．    命题点05 垂直平分线的性质 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例02】 （2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 命题点06 两个斜边的一半 【典例01】 （2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 命题点07 赵爽弦图 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【典例02】（2023·江苏扬州·中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________．    命题点08 全等三角形的判定 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 命题点09勾股定理的应用 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 中考预测题 1．已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 2．一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 3. 如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4. 如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E．若，则的长为（　　） A．6 B． C．7 D． 5．如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 6．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 7. 如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度． 8. 如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 9. 如图，一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到行线的距离是． (1)若轮船的速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需要的时间； (2)C岛在A岛的什么方向？ 考点二 三角形相似 《解题指南》 1. 熟练掌握3种基本判定定理，重点练习“AA”和“SAS”的应用。 2. 熟悉常见模型（A型、X型、母子型），通过辅助线构造相似。 3. 多做综合题，结合几何图形变换（如旋转、折叠）与相似知识。 4. 注意比例式的变形与计算，避免因粗心导致的比例式错误。 命题点01 平行线分线段成比例 【典例01】（2023·江苏南京·中考真题）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（  ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 命题点02 相似中的反比例函数 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【典例02】 （2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________.    命题点03 相似中的折叠问题 【典例01】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 命题点04 相似三角形的性质 【典例01】（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______． 【典例02】（2023·江苏泰州·中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为_____________． 命题点05 相似三角形的应用 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【典例02】（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 中考预测题 1．如图，B，F，C三点共线，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 3. 如图，，，，若面积为10，则的面积为________． 4. 如图，在中，，点M，N分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且与相似，已知，，则的长为 ________ ． 5. 如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 好题速递 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 2．（2026·江苏南通·一模）如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·江苏南通·一模）将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，两条对角线交于点，将沿翻折到，交于点，连接分别交于点．若，，则______，______． 6．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在等边三角形 中，，连接 ， 交于点 ．若 ，则 _______ 7．（2026·江苏苏州·一模）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图1是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，） (1)在图2中，______； (2)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度， (3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，请在图3中画出梅花桩的影子并计算出的高度． 中考闯关 1．若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 2．如题图，小丽不慎将三角形模具打碎成三块，她要带其中一块或两块到商店去配一块与原来一样的三角形模具，她认为带③去最省事也最合适，理由是（    ）    A．依据可制作出全等的三角形模具 B．依据可制作出全等的三角形模具 C．依据可制作出全等的三角形模具 D．依据可制作出全等的三角形模具 3．从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 4．如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达点位置，根据图中的数据，点A和点的直线距离是______． 5．如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 6．我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点．已知在中，，，为边上的高，点O在上，连接并延长交于点E，如果点O是的中垂点，那么的值为___________． 7．【问题情境】 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】 (1)请求出图③中圆心到的距离； (2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． 8．石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点06 三角形（全等、相似） 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（2大命题点+14道中考预测题） 考点一 三角形（全等、等腰、直角） 命题点 1 三边关系 命题点 2 等腰三角形的性质求长度 命题点 3 等腰三角形的性质求角度 命题点 4 角平分线的性质 命题点 5 垂直平分线的性质 命题点 6 两个斜边的一半 命题点 7 赵爽弦图 命题点 8 全等三角形的判定 命题点 9 勾股定理的应用 中考预测题9道 考点二 三角形相似 命题点 1 平行线分线段成比例 命题点 2 相似中的反比例函数 命题点 3 相似中的折叠问题 命题点 4 相似三角形的性质 命题点 5 相似三角形的应用 中考预测题5道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 三角形（全等、等腰、直角） 1.三边关系 2.等腰三角形的性质求长度 3.等腰三角形的性质求角度 4.角平分线的性质 5.垂直平分线的性质 6.两个斜边的一半 7.赵爽弦图 8.全等三角形的判定 9.勾股定理的应用 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.会第三边取值范围计算、三角形构成条件判断； 3.利用“三线合一”或腰长与底边关系计算线段长，结合几何图形综合求解； 4.分类讨论顶角与底角，结合三角形内角和、外角性质计算角度； 5.角平分线上的点到两边距离相等的应用，证明线段或角相等； 6.垂直平分线上的点到两端点距离相等的应用，判断线段关系； 7.直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质应用，常与直角三角形其他性质结合； 8.通过弦图验证勾股定理，计算图形面积或边长关系； 9.运用SAS、ASA、SSS、AAS等判定定理证明三角形全等，结合辅助线构造全等条件； 10.已知两边求第三边，解决实际问题或几何计算。 三角形相似 1.平行线分线段成比例 2.相似中的反比例函数 3.相似中的折叠问题 4.相似三角形的性质 5.相似三角形的应用 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度或比值，判断线段关系； 3.结合相似三角形的性质与反比例函数解析式，求解函数参数或图形面积； 4.折叠过程中相似三角形的判定与性质应用，计算折叠后线段长度、角度或图形面积； 5.相似三角形对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等性质的直接应用及综合计算； 6.利用相似解决实际问题，结合几何图形进行相似判定与性质应用。 一、三角形的定义与基本性质 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。记作△ABC，其中A、B、C为三个顶点，∠A、∠B、∠C为三个内角，BC、AC、AB为三条边（分别可表示为a、b、c）。 2. 三角形的基本性质 · 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°。 · 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 · 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。即对于任意三角形，有a+b>c，a+c>b，b+c>a；|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a。 · 稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小一旦确定，就不会轻易改变。 二、全等三角形 1. 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2. 全等三角形的判定定理 · SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 · SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（注意：必须是两边的夹角，若为两边和其中一边的对角对应相等，则不一定全等，即“SSA”不能判定全等） · ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 · AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 · HL（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形） 3. 全等三角形的性质 · 对应边相等，对应角相等。 · 对应边上的高、中线、角平分线相等。 · 周长相等，面积相等。 4. 全等三角形的应用技巧 · 寻找对应关系：在复杂图形中，通过观察图形的旋转、平移、翻折等变换，准确找出对应边和对应角。 · 辅助线添加：常见辅助线有：①连接两点构造全等三角形；②作高，构造直角三角形全等；③截长补短法，用于证明线段和差关系；④倍长中线法，延长中线使延长部分等于原中线，构造全等三角形。 · 多次全等证明：有些问题需要通过两次或多次证明三角形全等才能得出结论。 三、等腰三角形 1. 等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 2. 等腰三角形的性质 · 等边对等角：等腰三角形的两底角相等。即若AB=AC，则∠B=∠C。 · 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 · 等腰三角形是轴对称图形，底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。 3. 等腰三角形的判定 · 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。即若∠B=∠C，则AB=AC。 4. 等边三角形（特殊的等腰三角形） · 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 · 性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，且三条边上的中线、高、角平分线都相等；③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 · 判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 5. 等腰三角形的应用技巧 · 利用“三线合一”性质可以快速解决与等腰三角形的高、中线、角平分线相关的问题。 · 在计算等腰三角形的边长或角度时，要注意分类讨论：当已知边未明确是腰还是底边，或已知角未明确是顶角还是底角时，需要分情况讨论，避免漏解。例如，已知等腰三角形的一个内角为80°，则底角可能为80°或（180°-80°）/2=50°。 四、直角三角形 1. 直角三角形的定义 有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2. 直角三角形的性质 · 直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°（其中∠C=90°）。 · 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即若a、b为直角边，c为斜边，则a²+b²=c²。 · 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 · 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 · 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 直角三角形的判定 · 有一个角是90°的三角形是直角三角形。 · 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 · 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 4. 勾股定理及其应用 · 常见勾股数：能够构成直角三角形三条边的三个正整数，如（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）等，以及它们的倍数（如6，8，10）。 · 应用：勾股定理主要用于计算直角三角形的边长，以及判断一个三角形是否为直角三角形。在实际问题中，如测量距离、高度、最短路径等问题，常通过构建直角三角形，利用勾股定理求解。 5. 直角三角形的应用技巧 · 利用直角三角形斜边上的中线性质，可以快速得到线段之间的数量关系。 · 在解决含30°或45°角的直角三角形问题时，要充分利用其特殊边角关系（如30°角所对直角边是斜边一半，等腰直角三角形两直角边相等）进行计算。 · 在折叠问题中，常通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解。 五、相似三角形 1. 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 2. 相似三角形的判定定理 · 平行线法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 · AA（两角对应相等）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 · SAS（两边对应成比例且夹角相等）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 · SSS（三边对应成比例）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 3. 相似三角形的性质 · 对应角相等，对应边成比例。 · 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 · 周长的比等于相似比。 · 面积的比等于相似比的平方。 4. 相似三角形的应用技巧 · 寻找相似三角形：在复杂图形中，通过观察公共角、对顶角、平行线形成的同位角、内错角等，寻找相等的角，从而确定相似三角形。常见的相似模型有“A”型、“X”型、母子型（如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似）等。 · 利用相似比解决问题：根据相似三角形的性质，通过已知的边或角，求出未知的边、角或面积等。在计算时，要注意对应边的准确识别。 · 辅助线添加：常通过作平行线构造相似三角形，或连接某些线段，形成相似模型。 · 比例线段的应用：利用相似三角形对应边成比例，可以证明线段成比例或求解线段长度。 考点一 三角形（全等、等腰、直角） 《解题指南》 遇中线，倍延长；遇角分，作垂线； 证全等，找对应；等腰形，三线合； 直角三，勾股边；斜边中，等于半； 动态题，参数现；最值题，对称连。 命题点01 三边关系 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 【典例02】（2024·江苏淮安·中考真题）用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A．9 B．7 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 命题点02 等腰三角形的性质求长度 【典例01】（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 命题点03 等腰三角形的性质求角度 【典例01】 （2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：等腰三角形有一个内角为， ∴这个等腰三角形的底角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 命题点04 角平分线的性质 【典例01】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 【典例02】（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________．    【答案】 【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出． 【详解】如图：过点作于点，    ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键． 命题点05 垂直平分线的性质 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 【典例02】 （2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 命题点06 两个斜边的一半 【典例01】 （2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 命题点07 赵爽弦图 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 【典例02】（2023·江苏扬州·中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________．    【答案】96 【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用． 命题点08 全等三角形的判定 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质： （1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ． 命题点09勾股定理的应用 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 中考预测题 1．已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的内容是解题的关键； 先将转化为，再依据线段垂直平分线的性质分析各选项作图痕迹是否满足． 【详解】解：A、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； B、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； C、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； D、由作图痕迹得出：，可以推出，符合题意； 故选： D． 2．一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长是解题关键． 分两种情况讨论：当腰长为4时，不满足三边关系；当腰长为8时，满足三边关系，计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为4和8， ∴可能情况：腰为4，底为8；或腰为8，底为4， 当腰为4，底为8时， ∵ ，不符合三角形三边关系， ∴该情况不成立； 当腰为8，底为4时， ∵，，，均满足三边关系， ∴ 周长为． 故选：C． 3. 如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查直三棱柱的展开图、三角形的三边关系，由题意得，，，再根据三角形的三边关系得，，，求得的取值范围，根据此范围即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵，， ∴，，即， ∴，， ∴， ∴的长度可能是4， 故选：B． 4. 如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E．若，则的长为（　　） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，取的中点，连接，根据等边对等角得到，由直角三角形的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可推出，得到，则可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵， ∴； ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 5．如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，利用解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 【答案】SSS 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质． 根据题意可知和三边对应相等，可证明，可得对应角相等，从而可得射线是的平分线，即可得这种作法的依据． 【详解】解：根据题意，， ， ∴射线即是的平分线， ∴这种作法的依据是“SSS”． 故答案为：SSS． 7. 如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，， 得到，， ，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接、， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8. 如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，证明见解析 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）利用对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即：， 在和中， ； （2）矩形，理由如下： 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 9. 如图，一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到行线的距离是． (1)若轮船的速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需要的时间； (2)C岛在A岛的什么方向？ 【答案】(1)3小时 (2)C岛在A岛的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、方向角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得：，，，，利用勾股定理计算得出，再根据时间路程速度计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理得出，结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵轮船的速度为， ∴轮船从C岛沿返回A港所需要的时间为（小时）； （2）解：∵， ∴， ∵一搜轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛， ∴， 故C岛在A岛的北偏西． 考点二 三角形相似 《解题指南》 1. 熟练掌握3种基本判定定理，重点练习“AA”和“SAS”的应用。 2. 熟悉常见模型（A型、X型、母子型），通过辅助线构造相似。 3. 多做综合题，结合几何图形变换（如旋转、折叠）与相似知识。 4. 注意比例式的变形与计算，避免因粗心导致的比例式错误。 命题点01 平行线分线段成比例 【典例01】（2023·江苏南京·中考真题）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边，短边，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题． 【详解】解：设长边，短边，O离地面的距离为h， 根据相似得： ， 由得：，解得， 故选：A． 【典例02】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 命题点02 相似中的反比例函数 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【典例02】 （2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________.    【答案】6 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， ∵， ∴，    ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 命题点03 相似中的折叠问题 【典例01】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 命题点04 相似三角形的性质 【典例01】（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 【典例02】（2023·江苏泰州·中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为_____________． 【答案】 【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：两个相似图形，其周长之比为， 其相似比为， 其面积比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键． 命题点05 相似三角形的应用 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 【典例02】（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 (2)6 (3)①线段的倾斜程度更大；② 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． （3）①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 中考预测题 1．如图，B，F，C三点共线，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段性质得，，然后由相似三角形的性质即可求解，由平行线之间距离性质得，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ． 故选：B． 2．如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，根据反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质得，进而得出，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，是双曲线上的两点，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵是的中点，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 如图，，，，若面积为10，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的面积关系，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 首先通过已知条件求得，再代入面积为10，即可求解的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵面积为10， ∴面积为， 故答案为：． 4. 如图，在中，，点M，N分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且与相似，已知，，则的长为 ________ ． 【答案】或5 【分析】根据已知条件先求出斜边的长度，再分情况讨论与相似时的情况，最终求出的长度． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵与相似， ∴有以下两种情况： ①当时，，连接，如图所示： ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，，连接，如图所示： 则， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上所述，的长为或5． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，折叠的性质及等腰三角形的性质． 5. 如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，即可求解； （2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，即． ， ． （2）解：过点C作，交于点G． ， ． ， ． ． ． ， · ， ． ． ． 因此，路灯P离地面的高度为 好题速递 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据利用三角支架可以固定平板电脑的位置，得出这样做的数学原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 2．（2026·江苏南通·一模）如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为或1或6． 故选：C． 3．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由矩形的性质得到，由，得到，即可判断①；由勾股定理可得，证明，得到，可判断③；证明，得到，证得，可判断②；证明，得到，根据勾股定理求出，得到，证明，得到，可判断④；掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上，结论正确的有①②③，共个． 故选：C． 4．（2026·江苏南通·一模）将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，先求出，，由长求出长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题可知， ， ， ，的刻度分别为，， ， ， 在中，． 故答案为：． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，两条对角线交于点，将沿翻折到，交于点，连接分别交于点．若，，则______，______． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，，，．由平行四边形的性质可得，，，进而可证明．使用等量代换可得，，因此．由平行可判定，则，因此，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键． 6．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在等边三角形 中，，连接 ， 交于点 ．若 ，则 _______ 【答案】 【分析】根据等边三角形和已知利用即可证明，有和，进一步，过点F截取和，连接和，则和为等边三角形，设，则，，，，进一步证明，有，求得，则，设，则，，过点A作于点H，则，，，在中利用勾股定理求得a即可． 【详解】解：∵三角形 为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 则， 过点F作和，连接和，如图， 则和为等边三角形， ∵， ∴， 设，则，，，， ∵，， ∴， ∴， 则， 解得， 那么，，， 设，则，， 过点A作于点H，则，，， 在中，，则， 解得（负值舍去）， 那么，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查为几何的综合体，涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是找到全等和相似． 7．（2026·江苏苏州·一模）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图1是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，） (1)在图2中，______； (2)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度， (3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，请在图3中画出梅花桩的影子并计算出的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，添加适当的辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：延长至H，根据平行线的性质可得、，再根据角的和差即可解答； （2）如图：过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得、，再解直角三角形结合勾股定理即可解答； （3）线段、为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．再利用相似三角形的性质求解即可； 【详解】（1）解：如图：延长至H， 由题意可得：， ∴、， ∴． 故答案为：． （2）解：如图：过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，． 由题意得：， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，， ∴、， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴．即“采青”路径的长度约为． （3）解：线段、为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子． ∵，， ∴， ∴， 由（2）得， ∴，解得：． 经检验且符合题意， 所以的高度约为． 中考闯关 1．若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 【答案】B 【分析】本题考查了梯形的定义，平行四边形的判定与性质，三角形的三边关系． 过梯形一个底的顶点作腰的平行线与另一个底相交，则可得该梯形被分割为一个平行四边形和一个三角形，再根据平行四边形的对边相等，以及三角形的三边关系判断该三角形是否成立即可． 【详解】解：可以作两个梯形 以为上底，为下底，和为腰， 以为上底，为下底，和为腰． 故选B． 2．如题图，小丽不慎将三角形模具打碎成三块，她要带其中一块或两块到商店去配一块与原来一样的三角形模具，她认为带③去最省事也最合适，理由是（    ）    A．依据可制作出全等的三角形模具 B．依据可制作出全等的三角形模具 C．依据可制作出全等的三角形模具 D．依据可制作出全等的三角形模具 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是识别碎块中包含的三角形元素与全等判定的关系． 分析破碎的三块中，③块包含的三角形元素，结合三角形全等判定定理，判断带（3）去能依据的全等判定方法． 【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去． 故选：D． 3．从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 4．如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达点位置，根据图中的数据，点A和点的直线距离是______． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是正确地构造直角三角形并表示出其两直角边的长． 作，根据题意得到，然后利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：作． 则． ． 故答案为：10． 5．如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【答案】 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 6．我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点．已知在中，，，为边上的高，点O在上，连接并延长交于点E，如果点O是的中垂点，那么的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余弦的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据中垂点的定义，利用相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：，为边上的高， 点为的中点，． 点O是的中垂点， 或点为的中点． 如图， 当点为的中点，时， ，． 在中，， 设，则， ，． ，， ， ， 即， ， ， ； 当点为的中点，时， ，为边上的高， 点为的中点． 如图，连接， 即为的中位线， ，， ， ． 综上，的值为或． 故答案为：或． 7．【问题情境】 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】 (1)请求出图③中圆心到的距离； (2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． 【答案】(1)圆心到的距离为 (2)的长度约为 【分析】（1）连接，延长交 于点，设圆的半径为，由可得，．根据垂径定理可得，在直角中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长； （2）延长，交于点，容易证明四边形是矩形，则，在直角和直角中，利用三角函数计算出和即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交 于点，设圆的半径为， 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴弓形高，， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 答：圆心F 到的距离为． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在直角中，， ∴， ∵由绕点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 答：的长度约为． 8．石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：） 【答案】石鼓阁的高度为57米 【分析】题目主要考查解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用是解题关键． 设米，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：设米， 在中， ， （米）， 由题意得：，， ， ，即， 解得：，即米， 石鼓阁的高度为57米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $