高频考点04 二次函数 （专项训练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

高频考点04 二次函数 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（1大命题点+14道中考预测题） 考点一 二次函数 命题点 1 二次函数的平移 命题点 2 二次函数的图象与性质 命题点 3 二次函数的最值 命题点 4 二次函数的图象与各项系数符号 命题点 5 待定系数法求二次函数解析式 命题点 6 二次函数与实际问题（一） 命题点 7 二次函数与实际问题（二） 命题点 8 二次函数与交点问题 命题点 9 二次函数与面积问题 命题点 10 二次函数与最值问题 命题点 11 二次函数中的特殊三角形与四边形 命题点 12 二次函数中的等角与倍角 命题点 13 二次函数中的定值问题 命题点 14 二次函数中的新定义问题 中考预测题14道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 二次函数 1.二次函数的平移 2.二次函数的图象与性质 3.二次函数的最值 4.二次函数的图象与各项系数符号 5.待定系数法求二次函数解析式 6.二次函数与实际问题（一） 7.二次函数与实际问题（二） 8.二次函数与交点问题 9.二次函数与面积问题 10.二次函数与最值问题 11.二次函数中的特殊三角形与四边形 12.二次函数中的等角与倍角 13.二次函数中的定值问题 14.二次函数中的新定义问题 1.常以选择题、填空题、解答题出题； 2.基础概念辨析：判断二次函数图象与系数的关系（如给出图象判断a、b、c及相关代数式的符号）。 3.计算与推理：已知平移方式求新函数解析式，或已知顶点、交点求解析式。 4.综合应用：结合几何图形求面积最值、存在性问题（如抛物线上是否存在点构成等腰三角形）。 5.实际应用题：利用二次函数解决利润最大化、运动轨迹（如铅球投掷距离）等问题。 6.新定义创新题：理解“近轴点”“等域函数”等新概念，结合二次函数性质求解。 一、核心知识必备 （一）二次函数的定义与解析式 形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。其常见解析式有以下三种形式： · 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0），适用于已知抛物线上任意三点坐标的情况。 · 顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），其中(h,k)为抛物线的顶点坐标，适用于已知顶点坐标或对称轴的情况。 · 交点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中x₁、x₂是抛物线与x轴交点的横坐标，适用于已知抛物线与x轴交点坐标的情况。 （二）二次函数的图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线，其性质如下： 性质 当a>0时 当a<0时 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （一般式）；(h,k)（顶点式） 对称轴 直线x=（一般式）；直线x=h（顶点式） 最值 有最小值，在x=处取得 有最大值，在x=处取得 增减性 当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大 当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小 （三）二次函数与一元二次方程、不等式的关系 · 二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根。当Δ=b²-4ac>0时，有两个不相等的交点；当Δ=0时，有一个交点（顶点在x轴上）；当Δ<0时，没有交点。 · 一元二次不等式ax²+bx+c>0（a>0）的解集，是二次函数图像在x轴上方部分对应的x的取值范围；ax²+bx+c<0（a>0）的解集，是图像在x轴下方部分对应的x的取值范围。 二、常用结论与技巧 （一）二次函数图像的平移规律 抛物线y=a(x-h)²+k可由y=ax²通过平移得到： · 向左平移m个单位（m>0）：y=a(x-h+m)²+k · 向右平移m个单位（m>0）：y=a(x-h-m)²+k · 向上平移n个单位（n>0）：y=a(x-h)²+k+n · 向下平移n个单位（n>0）：y=a(x-h)²+k-n 简记为“左加右减、上加下减”（针对h和k的值）。 （二）二次函数的系数与图像的关系 · a的符号决定开口方向，|a|的大小决定开口大小，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 · b与a共同决定对称轴的位置：当b=0时，对称轴为y轴；当ab>0时，对称轴在y轴左侧；当ab<0时，对称轴在y轴右侧（简记为“左同右异”）。 · c的符号决定抛物线与y轴交点的位置：当c>0时，交点在y轴正半轴；c=0时，抛物线过原点；c<0时，交点在y轴负半轴。 （三）二次函数的最值与增减性应用技巧 · 在求二次函数在某一区间上的最值时，需先判断对称轴是否在该区间内。若对称轴在区间内，则顶点的纵坐标为最值（a>0时为最小值，a<0时为最大值），再比较区间端点处的函数值；若对称轴不在区间内，则根据函数在该区间上的增减性，取区间端点处的函数值作为最值。 · 对于实际问题中的二次函数最值，需注意自变量的取值范围要符合实际意义。 （四）二次函数与几何图形的综合应用技巧 · 在与三角形、四边形等几何图形结合时，常利用二次函数的解析式表示图形的边长、面积等，再根据几何图形的性质（如全等、相似、勾股定理等）建立方程或函数关系，进而解决问题。 · 求抛物线上一点到某条直线的距离最值时，可通过平移直线与抛物线相切，切点即为距离最值点。 （五）二次函数解析式的确定方法 · 已知三点坐标求解析式：设一般式，将三点坐标代入，解三元一次方程组。 · 已知顶点和另一点坐标：设顶点式，将顶点坐标代入，再用另一点坐标求出a的值。 · 已知与x轴交点和另一点坐标：设交点式，将交点坐标代入，再用另一点坐标求出a的值。 考点一 二次函数 《解题指南》 实用解题技巧 · 数形结合：画函数草图，标注关键点（顶点、交点、对称轴），辅助分析 · 参数分类讨论：当a的符号不确定时，需分a>0和a<0讨论函数性质 · 整体代换：对于含ax²+bx的式子，可利用已知条件整体代入（如已知ax₀²+bx₀=5，求ax₀²+bx₀+c的值） · 特殊值法：对于选择填空题，可代入特殊值（如x=0、x=1、对称轴处x值）快速判断选项 命题点01 二次函数的平移 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 【典例02】（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 命题点02 二次函数的图象与性质 【典例01】（2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵， ∵， ∴， 当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 【典例02】（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 命题点03 二次函数的最值 【典例01】 （2023·江苏南通·中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 设 ∴ ∵ ∴有最大值，最大值为 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 命题点04 二次函数的图象与各项系数符号 【典例01】 （2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 命题点05 待定系数法求二次函数解析式 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 【典例02】 （2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点06 二次函数与实际问题（一） 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 命题点07 二次函数与实际问题（二） 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 命题点08 二次函数与交点问题 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【详解】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 命题点09 二次函数与面积问题 【典例01】（2024·江苏淮安·中考真题）二次函数的图像经过点，顶点为P． (1)________； (2)当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； (3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①或；②当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式进行求解即可； （2）①根据顶点坐标公式，以及顶点P到x轴的距离为10，列出方程，进行求解即可；②根据题意得到，分和，两种情况进行讨论即可； （3）根据，得到，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则，进而得到，把和代入，求出之间的关系，代入不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得； 故答案为：8； （2）的顶点P的坐标为， ①当时，， ∵P到x轴距离为10， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴或． 故答案为：或； ②∵， ∴P到直线m距离为． 当时，即时，， ∴当时h随b的增大而增大，时h随b的增大而减小； 当时，即或时，， ∴当时h随b的增大而减小，时h随b增大而增大； ∴综上所述，当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小； （3）由题意知：， ∴． 如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则， ∴， 把和代入，得． ∴， ∴， 解得或或． 【典例02】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 命题点10 二次函数与最值问题 【典例01】 （2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①6；②且；③4 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且； ③，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）解：①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点，关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 【典例02】（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； （2）解：连接，   ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3）解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）．      设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知：    当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知：    当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 命题点11 二次函数中的特殊三角形与四边形 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【典例02】（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 命题点12 二次函数中的等角与倍角 【典例01】（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②1或或 【分析】（1）当时，，即； （2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或． 【详解】（1）解：当时，，即； （2）解：①将点A代入 得，， 解得：， ∴解析式为：， 而， ∴对称轴为直线：， 当，且时， ∴y随着x的增大而减小， ∴当，，当时，， 由得，， 解得：或（舍） ∴； ②在中，， 由题意得，，， ∴四边形为平行四边形或等腰梯形， 当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 得：， 解得：或（舍）， ∴； 当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， 即； 当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则， ∵ ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点P代入， 得：， 解得：或， 而当时，，故舍， ∴， 综上：点P的横坐标为1或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【典例02】（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)请直接写出，的值； (2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值； ②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 【答案】(1)， (2)①；②2或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①过点作轴平行线分别交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，则，进而可得，求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，最后根据二次函数的性质即可求解． ②根据已知，令，，在上取点，使得，得出，然后根据，设，．进而分两种情况讨论，ⅰ当时，，则相似比为，得出代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当时，，同理可得，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点 ∴ 解得： ∴，，； （2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、． ∵， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ 设直线的解析式为 ∴ 解得： 直线解析式为． 设， ， ， 当时，取得最大值为， 的最大值为． ②如图2，已知，令，则， 在上取点，使得， ∴， 设，则， 则， 解得， ∴，即． 如图3构造，且轴，相似比为， 又∵， 设，则． 分类讨论：ⅰ当时，则， ∴与的相似比为， ∴，， ∴， 代入抛物线求得，（舍）． ∴点横坐标为． ⅱ当时，则， ∴相似比为， ∴，， ∴， 代入抛物线求得，（舍）． ∴点横坐标为． 综上所示，点的横坐标为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义．利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 命题点13 二次函数中的定值问题 【典例01】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 【典例02】（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】(1)①1；②；③是，值为1 (2)或 【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，． 【详解】（1）①解：当，， ∴不在二次函数图象上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则，， 由菱形的性质得，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为； ③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，    由正方形的性质可知，为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，值为1； （2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解； ①当在轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可求， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 命题点14 二次函数中的新定义问题 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 中考预测题 1．将下列二次函数中图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：A、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； B、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； C、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； D、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，在原点，故符合题意； 故选：D． 2．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ②根据对称轴求解即可； ③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④根据轴对称性求出当时的函数值大小即可； ⑤由图可知，当时的函数值为0，所以，再结合，可求得，即可判断． 【详解】解：图象开口向下， ， 图象交轴于正半轴， ， 对称轴是直线， ， ， ， ，故①错； ， ，故②对； 图象与轴两个交点， △，即，故③对； 根据图像可知关于对称的点为， 故图象与轴交点在和3之间，且开口向下， 时，，故④对； 由图象知：时，， ， ，即，故⑤错；共三个对， 故选：C． 3. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，故A正确； ∴顶点为， ∴抛物线的开口向下，故B正确； ∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确； ∵抛物线对称轴为直线 ∴时，与时的函数值相等，即，故C错误； 故选：C． 4. 当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质；由于二次函数有最大值，二次项系数需小于，即；最大值在顶点处，因一次项系数为，顶点在处，故，解方程并检验． 【详解】解：函数为二次函数且有最大值， ，即． 又一次项系数为， 顶点横坐标，最大值． 关于的二次函数的最大值为时， 则， 即， 解得， 或． 但且确保为二次函数， ． 故选：B． 5．如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大， ∵， 设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 故选：D． 6．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用， 根据销售规律，建立日盈利w与降价x的二次函数关系，通过求二次函数最大值确定最优降价金额． 【详解】解：降价后每件盈利为元，日销售量为件， 故， 因二次项系数， 故函数有最大值， 当时，w最大． 故答案为：． 7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点的坐标． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线沿射线平移个单位长度．得到抛物线，为抛物线上的点． ①直接写出抛物线的表达式； ②若，为抛物线上异于的两点，且．记点，到直线的距离分别为，，是一个定值吗？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是一个定值， 【分析】（1）根据顶点坐标构造方程得到，解出，即可； （2）①先计算出，则平移后抛物线的顶点坐标为，结合平移不改变抛物线的形状，求出抛物线的表达式； ②先出点，设，， 作直线，直线，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、．容易证明，则．通过因式分解化简后得到，则为定值． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点的坐标， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①由（1）知抛物线的表达式为， 由勾股定理可得， ∵将抛物线沿射线平移个单位长度，得到抛物线， 又∵， ∴抛物线的顶点为点， ∴抛物线的表达式为； ②如图， 作直线，直线，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，设点，， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由题意可知，，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵点、不与点重合， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴为定值． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，平方差公式，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 8. 如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． (1)输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． (2)某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)①无人机飞行的最大高度为；②按钮设置的这条曲线符合条件，理由见解析 【分析】（1）根据题意，再利用待定系数法求解即可； （2）①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； ②求得点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称，只需验证点E，G即可． 【详解】（1）解：∵无人机飞行的轨迹是一条射线， ∴，则解析式为， ∵以为起点，且过点， ∴， 解得， 故答案为：，，； （2）解：①当，，时， 则， 当时，无人机飞行的最大高度为； ②由题可得，在平面直角坐标系中，点，， 而点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称． 所以只需验证点E，G即可． 当时，，， 当时，，，． 当时，，， 而点G到抛物线的水平距离大于长，即大于5． 所以按钮设置的这条曲线符合条件． 9． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；②最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）根据抛物线与轴交点可直接确定的值，再结合点和对称轴，通过待定系数法列方程组求解、，从而得到抛物线的函数表达式． （2）①先由抛物线表达式求出点的坐标，结合得到，再根据推出，进而求出直线的表达式，最后联立抛物线与直线的方程，求解并舍去不合理解，得到点的坐标． ②先求出直线的表达式，设点的横坐标为，表示出、的坐标，用表示出的长度，再利用三角形面积公式和点到直线的距离公式，将点到的距离转化为关于的二次函数，通过求二次函数的最值，得到最大距离及对应点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 解得 抛物线的函数表达式为. （2）解：①如图1，设与轴交于点． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 点 . 点在第一象限，且， ， 点. 设直线的函数表达式为， 则 解得 直线的函数表达式为. 联立抛物线与直线，得， 解得（舍去），. 将代入，得， 点的坐标为. ②如图2，过点作轴，交于点，连接． 点的横坐标为点． 点， 直线的函数表达式为，且， 点， ，1 ． 设点到的距离为， 则. 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、角的倍分关系、一次函数解析式的求解、二次函数的最值问题以及点到直线的距离计算，熟练掌握待定系数法求函数解析式和利用二次函数求最值是解题的关键． 10．已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数，与轴交点坐标为． (1)当时，求的值； (2)当时，点在该函数图象上，且，求整数的值； (3)若，对于该函数图象的顶点坐标，满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)整数的值为，，， (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题． （1）将，代入解析式，即可求解； （2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与轴交点坐标为，得出，进而求得的取值范围； （3）根据题意可得，根据函数图象的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：当时，二次函数． ∵函数与y轴交于点， ∴， （2）解：当时，二次函数， 已知点在该函数图像上，则， ∵， ∴， 解得． ∵， ∴， 即． ∵函数与y轴交点坐标为， 当时，． ∵， ∴， 则， 即， 所以整数的值为，，，； （3）解：∵函数与y轴交点坐标为， 将代入，得． 当时，， 该函数图象的顶点坐标， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴，即 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点D坐标为 【分析】（1）设，将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴于点，直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）过点作轴于点，交于点，同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 设，将点代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， 当时，面积的最大值为2； （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 在中，， ，轴， ， ， ， 又， ， ，即， ， 当时，取得最大值为， ； （4）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式； (2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值； (3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)S取得最大值， (3)或或 【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标，可设二次函数为，再利用待定系数法解答，即可得解； （2）依据题意可得，从而抛物线为，可求出另一交点B的坐标为，与y轴交点C的坐标，进而的面积，结合在内，进而可以判断得解； （3）依据题意可得抛物线为，再求出线段所在直线的解析式，又联立两函数解析式，可得，故，从而当判别式时， 可得，此时二次函数与线段只有一个交点，再由当方程在内仅有一根，可得，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵该二次函数图象的顶点坐标为 ∴设二次函数为， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由题意，，且抛物线过点， ， ， ∴抛物线为， ∴对称轴是直线，与y轴交点C的坐标为， ∴另一交点B的横坐标，即坐标为， 的面积， 在内，当时，S取得最大值； （3）解：由题意，，且抛物线过点， ， ∴抛物线为， ∵点，， 线段所在直线为， 联立方程， ， ∴当判别式时，， 解得， 此时二次函数与线段只有一个交点， 当时，， 当时，， 又∵当方程在内仅有一根， ， 或， 综上，b的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 13．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A． (1)求出点B的坐标和抛物线的解析式； (2)如图1，点F是抛物线的顶点，连接，，试求出的面积； (3)如图2，点P是线段下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作轴交于点D，作于，则的周长的最大值　 　． (4)当（3）中的周长取得最大值时，将绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，点P、D、E的对应点分别记为． ①点到点A距离的最大值　 　． ②当点恰好落在坐标轴上时，请直接写出相应的点E′坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①；②或或 【分析】（1）先求出，，再运用待定系数法即可求得函数解析式； （2）如图1，过点作轴交于点，运用配方法可求得顶点，进而可得，再运用，即可求得答案； （3）设，则，可得，再利用，得出，进而可得，运用二次函数最值即可求得答案； （4）①如图3，以为圆心，的长为半径作，则点在上，当点为的延长线与的交点时，点到点距离最大，运用两点间距离公式求得，即可得出答案； ②分三种情况讨论：当点在轴上时；当点在轴上，，时；当点在轴上，时；分别求出点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，， 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图1，过点F作轴交于点G， ∵， ∴顶点， 的横坐标为， 代入直线解析式可得， ∴， ； （3）解：如图2， ，， ，， 在中，， 的周长， 设，则， ， 轴， ， ， ， ， ，即， ， 当时，取得最大值； 故答案为：； （4）解：①由（3）知：当时，取得最大值， ，， ， 如图3，以为圆心，的长为半径作，则点在上， 当点为的延长线与的交点时，点到点距离最大， 此时，， 在中，令， 则， 解得：或4， ， ， ， 故答案为：． ②当点恰好落在轴上时，如图4，过点作于点， 由（3）知：， ，即， ，， 由旋转知：，，，， ，即， ， ，， △， ，即， ， ， 点到轴的距离为2，即轴于点， ； 当点恰好落在轴上时，如图5，延长交轴于点， 则，，， 由旋转知：， ， 或， 当时，过点作于，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 设，则，，，， ， ，， ，， ； 当，时，如图6，过点作轴垂线， 设， ，， ， 在中，， ， ， ，， ，； 综上所述：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数性质的运用，勾股定理，三角形面积，两点间距离公式，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等；熟练掌握二次函数的图象及性质，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 14．定义：对于二次函数，当自变量x满足时，函数值y的取值范围也为，则称二次函数．是上的“等域函数”．已知抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B． (1)若，且抛物线经过点，． ①求a，c的值； ②若是上的“等域函数”，求t的值： (2)在的情况下，记点B的横坐标为，经过点B的直线与抛物线交于点．若，是否存在二次函数是或上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形．理由见解析 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②在上，当时，函数取得最大值；由题意得，据此求解即可； （2）根据题意求得，分①当时，②当时，两种情况讨论，得到不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形． 【详解】（1）解：①当时， ∵抛物线经过点，， ∴，解得； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴在上， 当时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值0； 若是的“等域函数”， ∴， ∴，（舍去）， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， ∴， ∵经过点B的直线与抛物线交于点， 联立， ∴，即， ∴， ∴，， ∵直线与轴交点的纵坐标为，其中了， ∴， 又∵， ∴， ∴； ①当时，则， 解得，即， ∵， ∴，此时函数解析式为， ∵函数在上随的增大而增大，在上随的增大而减少， ∴当时，， 当时，， 解得，，， 不满足， ∴不是在上的“等域函数”； ②当时，则， 解得，即， ∵， ∴， 此时函数解析式为， ∵函数在上随的增大而减少， 在上随的增大而增大， ∴当时，， 当时，， 解得，，， 不满足， ∴不是在上的“等域函数”； 综上，不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，理解“等域函数”的概念是解题的关键． 好题速递 1．（2025·江苏南京·二模）若，且，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法，根据绝对值的性质求出m、n的值，再根据判断出m、n的对应情况，再相加即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， 则当时，的值随着n的增大而增大； 当时，；当时，； ∴当时，， 即． 只有D符合题意. 故选D． 2．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵，， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：A． 3．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：，再由，即可求的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程和“顶峰”值为 3 ，分类讨论时和时，列方程求解，即可判断④． 【详解】解：函数无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误； 在中， ∵，∴随值的增大而增大， 当时，有最大值， 即函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确； ∵随值的增大而减小， 当时，， ∵“巅峰”值是， ， ∵函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为：，故③正确； ∵的对称轴是直线， 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：（舍去）或； 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：，符合题意． 综上所述：的值为或 0，故④错误． ∴正确的是②③， 故选：C． 4．（2025·江苏淮安·一模）二次函数的顶点为，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．先求出二次函数图象顶点的纵坐标，然后即可表示出点到直线的距离，再根据二次函数的性质，即可求得点到直线的距离的最小值． 【详解】解：二次函数， 该函数顶点的纵坐标为：， 点P到直线的距离为：， 当时，点P到直线的距离取得最小值， 故答案为： 5．（2024·江苏南通·三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，本题借用考查四边形面积的最小值来考查反比例函数图象的应用，综合能力较强. 先设再求出， 根据四边形的面积然后再用配方法解答即可. 【详解】解：设 则 ， 四边形的面积 ， ， ， 当，即 时， 有最小值， 故答案为：. 6．（2024·江苏泰州·三模）已知，，且，设，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题考查了韦达定理，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点并能发现和是方程的两个根是解题的关键．因为可转化成，结合，可知和是方程的两个根，然后利用韦达定理，得到，再结合二次函数的性质，得出最值． 【详解】 又 可知和是方程的两个根 那么有 ， 时，随的增大而增大 时，有最小值，最小值是 故答案为：6． 7．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的函数解析式为； (2)； (3)存在，点的坐标为； 【分析】（）先根据抛物线顶点设出顶点式，代入原点求出抛物线解析式并确定其自变量取值范围；再将落点的横坐标代入抛物线解析式得到点坐标，最后将点坐标代入过原点的直线方程，求出直线解析式并确定其自变量取值范围； （）先由点的坐标求出到的距离，再结合已知时间算出平均速度，最后利用平均速度公式和速度关系式，逐步求出初速度与末速度； （）先假设存在满足的点，利用勾股定理列出方程；再设，代入坐标表示出和，通过换元法化简方程，求解后舍去不符合取值范围的解，最后将有效解代入抛物线解析式，得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线解析式： ∵小球能达到的最高点的坐标为， ∴设抛物线顶点式， 由图可知抛物线过原点，代入得， ∴， 令，则， 解得：， ∴自变量的取值范围：； 即：抛物线解析式为， 直线解析式： ∵小球在斜坡上的落点的横坐标为， 设点代入抛物线， 得：， ∴， 把点代入斜坡直线，得， ∴， ∴直线解析式为， ∴自变量的取值范围：， 即：直线的函数解析式为； （2）解：由（）得， ∴到的距离， ∵小球从点滑落到点需要秒， ∴平均速度， ∵与满足， 即， ∴， 即：， ∴， ∴； （3）解：存在点，使得， 则满足：， 设点的坐标为，（） ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， 整理，得， 令，则方程变为：， 去括号，合并同类项，得， 将代回，得， 整理，得， ，对应点，舍去； ，即：对应点，舍去； ，解得， 结合，， ∴代入抛物线解析式，得 ， ∴点的坐标为． 8．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），，顶点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式． (2)过线段的中点的直线：（）与抛物线交于，两点（在轴左侧）． ①若点为的三等分点，求的值． ②连接，分别交轴于点，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据顶点 的坐标和，用待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）①确定点 ，直线的表达式为，联立直线与抛物线解析式，设，分析三等分点条件，分或两种情况解答；②求直线 ,直线的解析式，确定，表示 出，求 出，即得的取值范围． 【详解】（1）解：． ∴ 又点的坐标为， ∴， 解得 抛物线的函数表达式为． （2）①为的中点， ， ∴直线的表达式为． 联立方程组消去， 整理得． ． 设． 为的三等分点， 或． 当时，， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ． 此时，， ． 同理，当时，． ． ②设，直线的解析式为，直线的解析式为, ， ， 解得， ∴直线， ， 解得 ∴直线． ． ，． ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，利用算术平方根和平方数的非负性质求取值范围是解题的关键． 中考闯关 1．在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的联系，通过二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的联系，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图，矩形中，O为平面直角坐标系的原点，，过A、C两点的抛物线与x轴交于点E、F，顶点为点D． 下列结论：①；②的面积为；③关于x的不等式的解集为；④对称轴上存在一点P，当的值最小时，点P坐标为；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴求出，即可判断①；求出，得到面积，即可判断②；当时，解得，由图像可知，不等式的解集为，即可判断③；根轴对称的性质结合图形即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴抛物线的对称轴为， 代入对称轴公式，得，①正确； ∴抛物线为 把代入，得， ∴抛物线为， ∴顶点， 令，得，解得， ∴ ， ∴面积为， 故②正确； 对于③，不等式，即， 当时， 解得， 由图像可知，不等式的解集为； 故③错误； 对于④，可连接交对称轴于P，则此P点为所求的， 设解析式为，由、， 则 解得 ， 当时，， ， 故④错误． 综上，正确的有①②共2个， 故选B． 3．如图，直线 分别与二次函数 在直线 左侧的图象和二次函数 6 在直线 左侧的图象交于 两点，若平移直线 长度保持不变，则 的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，平移的性质以及函数图象交点的问题，由条件向上平移直线时，交点位置随之变化，交点间的距离始终不变，即直线与经过顶点的直线平行时，满足条件，由此可求出的值． 【详解】解：， ∴与的交点坐标由 求出，与的交点坐标由  求出， 又∵向上平移直线时，交点位置随之变化，交点间的距离始终不变， ∵抛物线的顶点坐标分别为，，设经过这两个顶点的直线的表达式为， 则 ，解得 ， 则该直线的表达式为， 当直线与直线平行时，满足条件， ， 故选： B． 4．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 5．如图，二次函数的图象顶点为P，连接原点O与顶点P，得到线段，将线段绕原点O逆时针旋转得到点P的对应点M恰好落在直线上，Q为抛物线对称轴上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先结合二次函数的图象性质得，，即，结合旋转的性质，证明，故，把代入，解得，即，运用两点之间的距离公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：过点M作轴，如图所示： ∵二次函数的图象顶点为P ∴对称轴为直线，即 把代入，得 即 记点O关于直线对称的点为，连接，，且交于一点Q ∴，此时（当点Q与点G重合时，取等号） ∵ ∴ ∴ ∵将线段绕原点O逆时针旋转得到的点P ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当点Q与点G重合时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，二次函数的图象性质，一次函数的几何综合，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力、运算能力和推理能力． 将抛物线化为顶点式得到的中点为，即，再代入抛物线即可求解． 【详解】解：， ∴的中点为， ∵时，为的中点， ∴， ∵在的图象上， ， 解得或（舍）． 故答案为：4. 7．综合与实践 如图1，抛物线与轴相交于，两点，且，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______； (3)如图2，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； (4)如图3，点与动点在直线上，点与动点在抛物线的对称轴上，则的最小值为______． 【答案】(1)；顶点坐标 (2)点的坐标为或 (3) (4) 【分析】（1）待定系数法求解析式，二次函数顶点解析式求顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，求出直线解析式，然后联立求交点坐标； （3）过点作，交于点，证明，当的值最大时，的值最大，表示出的最大值，即可求出三角形的面积； （4）令抛物线对称轴与直线交于点，过点作，过点作，在射线上截取，连接，交抛物线对称轴于点，交于点，连接，过点于点，利用角平分线得出线段和最小值的情况，然后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 将，代入得， 解得 ∴， ∵， ∴顶点坐标； （2）解：①如图所示，此时，，交轴于点， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴， 联立， 解得或， ∴； ②如图所示，此时，， ∴， 假设的解析式为， 将代入得， ， ∴ 联立， 解得或， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴， 当的值最大时，的值最大， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 假设，则， ∴， 当时，的值最大，最大值为， ∴； （4）解：如图所示，令抛物线对称轴与直线交于点，过点作，过点作，在射线上截取，连接，交抛物线对称轴于点，交于点，连接，过点作于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴，且存在， ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即的最小值为． 8．我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①，②，③ 【分析】(1)求出点、的坐标，用待定系数法求出的“兄弟函数”的解析式； (2)根据“兄弟函数”的定义可知，若有“兄弟函数”，需要与轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式即可求出的取值范围； (3)根据运动秒后，移动距离为，可知抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位，根据平移的方向可以得到当和时抛物线的解析式；联立、 ，可得：，可得：，根据点在上，可知点的坐标为，因为点为中点，可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为，顶点坐标为， 设的“兄弟函数”的表达式为：， 把点坐标代入上式得：， 解得：， 的“兄弟函数”的解析式为， 答案为：； （2）解：存在“兄弟函数”，理由如下： 令， 当时， 抛物线与轴有个交点， 解得：； （3）解：由题可得，移动速度为每秒个单位长度，射线是角平分线， 抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位， 此时，：，顶点为， 令，则，点的坐标为， 同理可得：：， ①当时，：， ②当时，：， ③由题可得：，顶点为， ：，直线的函数表达式为：， 联立、 ，可得：， 整理得：， 两个函数的交点为点和点， 由韦达定理得：， 即：， 解得：， 则点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点为中点，则， 解得：， 答：的值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移、二次函数图象与轴交点问题、二次函数的图像与性质． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点04 二次函数 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（1大命题点+14道中考预测题） 考点一 二次函数 命题点 1 二次函数的平移 命题点 2 二次函数的图象与性质 命题点 3 二次函数的最值 命题点 4 二次函数的图象与各项系数符号 命题点 5 待定系数法求二次函数解析式 命题点 6 二次函数与实际问题（一） 命题点 7 二次函数与实际问题（二） 命题点 8 二次函数与交点问题 命题点 9 二次函数与面积问题 命题点 10 二次函数与最值问题 命题点 11 二次函数中的特殊三角形与四边形 命题点 12 二次函数中的等角与倍角 命题点 13 二次函数中的定值问题 命题点 14 二次函数中的新定义问题 中考预测题14道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 二次函数 1.二次函数的平移 2.二次函数的图象与性质 3.二次函数的最值 4.二次函数的图象与各项系数符号 5.待定系数法求二次函数解析式 6.二次函数与实际问题（一） 7.二次函数与实际问题（二） 8.二次函数与交点问题 9.二次函数与面积问题 10.二次函数与最值问题 11.二次函数中的特殊三角形与四边形 12.二次函数中的等角与倍角 13.二次函数中的定值问题 14.二次函数中的新定义问题 1.常以选择题、填空题、解答题出题； 2.基础概念辨析：判断二次函数图象与系数的关系（如给出图象判断a、b、c及相关代数式的符号）。 3.计算与推理：已知平移方式求新函数解析式，或已知顶点、交点求解析式。 4.综合应用：结合几何图形求面积最值、存在性问题（如抛物线上是否存在点构成等腰三角形）。 5.实际应用题：利用二次函数解决利润最大化、运动轨迹（如铅球投掷距离）等问题。 6.新定义创新题：理解“近轴点”“等域函数”等新概念，结合二次函数性质求解。 一、核心知识必备 （一）二次函数的定义与解析式 形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。其常见解析式有以下三种形式： · 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0），适用于已知抛物线上任意三点坐标的情况。 · 顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），其中(h,k)为抛物线的顶点坐标，适用于已知顶点坐标或对称轴的情况。 · 交点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中x₁、x₂是抛物线与x轴交点的横坐标，适用于已知抛物线与x轴交点坐标的情况。 （二）二次函数的图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线，其性质如下： 性质 当a>0时 当a<0时 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （一般式）；(h,k)（顶点式） 对称轴 直线x=（一般式）；直线x=h（顶点式） 最值 有最小值，在x=处取得 有最大值，在x=处取得 增减性 当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大 当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小 （三）二次函数与一元二次方程、不等式的关系 · 二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根。当Δ=b²-4ac>0时，有两个不相等的交点；当Δ=0时，有一个交点（顶点在x轴上）；当Δ<0时，没有交点。 · 一元二次不等式ax²+bx+c>0（a>0）的解集，是二次函数图像在x轴上方部分对应的x的取值范围；ax²+bx+c<0（a>0）的解集，是图像在x轴下方部分对应的x的取值范围。 二、常用结论与技巧 （一）二次函数图像的平移规律 抛物线y=a(x-h)²+k可由y=ax²通过平移得到： · 向左平移m个单位（m>0）：y=a(x-h+m)²+k · 向右平移m个单位（m>0）：y=a(x-h-m)²+k · 向上平移n个单位（n>0）：y=a(x-h)²+k+n · 向下平移n个单位（n>0）：y=a(x-h)²+k-n 简记为“左加右减、上加下减”（针对h和k的值）。 （二）二次函数的系数与图像的关系 · a的符号决定开口方向，|a|的大小决定开口大小，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 · b与a共同决定对称轴的位置：当b=0时，对称轴为y轴；当ab>0时，对称轴在y轴左侧；当ab<0时，对称轴在y轴右侧（简记为“左同右异”）。 · c的符号决定抛物线与y轴交点的位置：当c>0时，交点在y轴正半轴；c=0时，抛物线过原点；c<0时，交点在y轴负半轴。 （三）二次函数的最值与增减性应用技巧 · 在求二次函数在某一区间上的最值时，需先判断对称轴是否在该区间内。若对称轴在区间内，则顶点的纵坐标为最值（a>0时为最小值，a<0时为最大值），再比较区间端点处的函数值；若对称轴不在区间内，则根据函数在该区间上的增减性，取区间端点处的函数值作为最值。 · 对于实际问题中的二次函数最值，需注意自变量的取值范围要符合实际意义。 （四）二次函数与几何图形的综合应用技巧 · 在与三角形、四边形等几何图形结合时，常利用二次函数的解析式表示图形的边长、面积等，再根据几何图形的性质（如全等、相似、勾股定理等）建立方程或函数关系，进而解决问题。 · 求抛物线上一点到某条直线的距离最值时，可通过平移直线与抛物线相切，切点即为距离最值点。 （五）二次函数解析式的确定方法 · 已知三点坐标求解析式：设一般式，将三点坐标代入，解三元一次方程组。 · 已知顶点和另一点坐标：设顶点式，将顶点坐标代入，再用另一点坐标求出a的值。 · 已知与x轴交点和另一点坐标：设交点式，将交点坐标代入，再用另一点坐标求出a的值。 考点一 二次函数 《解题指南》 实用解题技巧 · 数形结合：画函数草图，标注关键点（顶点、交点、对称轴），辅助分析 · 参数分类讨论：当a的符号不确定时，需分a>0和a<0讨论函数性质 · 整体代换：对于含ax²+bx的式子，可利用已知条件整体代入（如已知ax₀²+bx₀=5，求ax₀²+bx₀+c的值） · 特殊值法：对于选择填空题，可代入特殊值（如x=0、x=1、对称轴处x值）快速判断选项 命题点01 二次函数的平移 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 命题点02 二次函数的图象与性质 【典例01】（2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 【典例02】（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 命题点03 二次函数的最值 【典例01】 （2023·江苏南通·中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 命题点04 二次函数的图象与各项系数符号 【典例01】 （2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 命题点05 待定系数法求二次函数解析式 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【典例02】 （2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 命题点06 二次函数与实际问题（一） 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 命题点07 二次函数与实际问题（二） 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 命题点08 二次函数与交点问题 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 命题点09 二次函数与面积问题 【典例01】（2024·江苏淮安·中考真题）二次函数的图像经过点，顶点为P． (1)________； (2)当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； (3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 【典例02】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 命题点10 二次函数与最值问题 【典例01】 （2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【典例02】（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 命题点11 二次函数中的特殊三角形与四边形 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【典例02】（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 命题点12 二次函数中的等角与倍角 【典例01】（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 【典例02】（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)请直接写出，的值； (2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值； ②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 命题点13 二次函数中的定值问题 【典例01】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【典例02】（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 命题点14 二次函数中的新定义问题 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 中考预测题 1．将下列二次函数中图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 4. 当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　) A． B． C．或 D．或 5．如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为(    ) A． B．1 C． D． 6．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点的坐标． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线沿射线平移个单位长度．得到抛物线，为抛物线上的点． ①直接写出抛物线的表达式； ②若，为抛物线上异于的两点，且．记点，到直线的距离分别为，，是一个定值吗？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 8. 如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． (1)输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． (2)某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 9． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 10．已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数，与轴交点坐标为． (1)当时，求的值； (2)当时，点在该函数图象上，且，求整数的值； (3)若，对于该函数图象的顶点坐标，满足，求的取值范围． 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 12. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式； (2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值； (3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围． 13．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A． (1)求出点B的坐标和抛物线的解析式； (2)如图1，点F是抛物线的顶点，连接，，试求出的面积； (3)如图2，点P是线段下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作轴交于点D，作于，则的周长的最大值　 　． (4)当（3）中的周长取得最大值时，将绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，点P、D、E的对应点分别记为． ①点到点A距离的最大值　 　． ②当点恰好落在坐标轴上时，请直接写出相应的点E′坐标． 14．定义：对于二次函数，当自变量x满足时，函数值y的取值范围也为，则称二次函数．是上的“等域函数”．已知抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B． (1)若，且抛物线经过点，． ①求a，c的值； ②若是上的“等域函数”，求t的值： (2)在的情况下，记点B的横坐标为，经过点B的直线与抛物线交于点．若，是否存在二次函数是或上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 好题速递 1．（2025·江苏南京·二模）若，且，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 3．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2025·江苏淮安·一模）二次函数的顶点为，则点到直线的距离的最小值为______． 5．（2024·江苏南通·三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为________． 6．（2024·江苏泰州·三模）已知，，且，设，则的最小值为____________． 7．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 8．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），，顶点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式． (2)过线段的中点的直线：（）与抛物线交于，两点（在轴左侧）． ①若点为的三等分点，求的值． ②连接，分别交轴于点，，求的取值范围． 中考闯关 1．在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 2．如图，矩形中，O为平面直角坐标系的原点，，过A、C两点的抛物线与x轴交于点E、F，顶点为点D． 下列结论：①；②的面积为；③关于x的不等式的解集为；④对称轴上存在一点P，当的值最小时，点P坐标为；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，直线 分别与二次函数 在直线 左侧的图象和二次函数 6 在直线 左侧的图象交于 两点，若平移直线 长度保持不变，则 的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    5．如图，二次函数的图象顶点为P，连接原点O与顶点P，得到线段，将线段绕原点O逆时针旋转得到点P的对应点M恰好落在直线上，Q为抛物线对称轴上的一个动点，连接，则的最小值是______． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为______． 7．综合与实践 如图1，抛物线与轴相交于，两点，且，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______； (3)如图2，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； (4)如图3，点与动点在直线上，点与动点在抛物线的对称轴上，则的最小值为______． 8．我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $