高频考点03 函数及其应用（一次、反比例函数）（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

高频考点03 函数及其应用（一次、反比例函数） 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（4大命题点+18道中考预测题） 考点一 平面直角坐标系 命题点 1 点与象限的关系 命题点 2 平面直角坐标系中的图形运动 中考预测题2道 考点二 函数基础知识 命题点 1 从图象中获取信息 命题点 2 函数解析式 命题点 3 行程问题 中考预测题3道 考点三 一次函数 命题点 1 一次函数经过象限求参 命题点 2 一次函数与不等式 命题点 3 一次函数的新定义 命题点 4 一次函数平移与旋转 命题点 5 一次函数的实际应用（一） 命题点 6 一次函数的增减性 命题点 7 一次函数的实际应用（二） 命题点 8 一次函数与反比例函数 命题点 9 一次函数与二次函数 中考预测题9道 考点四 反比例函数 命题点 1 反比例函数的增减性 命题点 2 反比例函数“k”的几何意义 命题点 3 反比例函数与实际应用 命题点 4 反比例函数与一次函数 中考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 平面直角坐标系 1.点与象限的关系 2.平面直角坐标系中的图形运动 1.常以选择题、填空题出现； 2.多以判断点所在象限、根据象限确定参数取值范围； 3.结合几何图形在解答题中考查图形变换（如翻折、旋转）后的坐标变化。 函数基础知识 1.从图象中获取信息 2.函数解析式 3.行程问题 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.通过函数图像（如折线图、柱状图）考查对数据趋势、关键点含义的理解； 3.需根据实际问题或已知条件确定函数表达式（如一次函数、反比例函数）； 4.结合函数图像分析运动过程，涉及速度、时间、路程的关系及分段函数应用。 一次函数 1.一次函数经过象限求参 2.一次函数与不等式 3.一次函数的新定义 4.一次函数平移与旋转 5.一次函数的实际应用（一） 6.一次函数的增减性 7.一次函数的实际应用（二） 8.一次函数与反比例函数 9.一次函数与二次函数 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.考查根据函数经过的象限确定参数取值范围； 3.结合函数图像求解不等式解集或参数范围； 4.需理解新定义规则并结合一次函数性质求解； 5.涉及图像变换后解析式的变化或点坐标的求解； 6.结合实际问题（如速度、温度等）建立函数关系； 7.根据函数增减性比较函数值或确定参数范围； 8.涉及销售、成本等实际问题，需建立函数模型并求解最值或特定值； 9.结合图像交点、面积计算等综合考查； 10.常结合图像交点、几何图形变换等综合应用。 反比例函数 1.反比例函数的增减性 2.反比例函数“k”的几何意义 3.反比例函数与实际应用 4.反比例函数与一次函数 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.考查根据反比例函数的增减性比较函数值大小或确定参数范围； 3.通过图形面积（如矩形、三角形面积）求解k的值； 4.结合实际问题（如压强、行程等）建立反比例函数模型； 5.综合考查两函数的交点、图像位置关系及面积计算等 一、一次函数 （一）定义与表达式 形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数称为一次函数。当b=0时，y=kx（k≠0）称为正比例函数，是特殊的一次函数。 （二）图像与性质 参数 图像特征 函数性质 k>0 从左到右上升的直线 y随x的增大而增大 k<0 从左到右下降的直线 y随x的增大而减小 b>0 直线与y轴交于正半轴 - b=0 直线过原点 正比例函数 b<0 直线与y轴交于负半轴 - （三）待定系数法求解析式 步骤： · 设：设函数解析式为y=kx+b（正比例函数设为y=kx） · 代：将已知点坐标代入解析式，得到关于k、b的方程（组） · 解：解方程（组）求出k、b的值 · 写：写出函数解析式 （四）一次函数与方程、不等式的关系 · 一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解 · 当k>0时，kx+b>0的解集为x>；kx+b<0的解集为x< · 当k<0时，kx+b>0的解集为x<；kx+b<0的解集为x> 二、反比例函数 （一）定义与表达式 形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，也可表示为y=kx-1或xy=k。 （二）图像与性质 参数 图像特征 函数性质 k>0 双曲线，位于第一、三象限 在每个象限内，y随x的增大而减小 k<0 双曲线，位于第二、四象限 在每个象限内，y随x的增大而增大 共性 图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交；是中心对称图形，对称中心为原点；是轴对称图形，对称轴为y=x和y=-x （三）待定系数法求解析式 步骤： · 设：设函数解析式为y= · 代：将已知点坐标代入解析式，得到关于k的方程 · 解：解方程求出k的值 · 写：写出函数解析式 三、常用结论与技巧 （一）一次函数常用结论 1. 两直线平行：若l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则l1∥l2⇨k1=k2且b1≠b2 2. 两直线垂直：l1⊥l2⇨k1·k2=-1（前提：两直线斜率都存在） 3. 一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积：对于y=kx+b，与x轴交于（，0）与y轴交于(0,b). （二）反比例函数常用结论 1. k的几何意义：过反比例函数y=图像上任意一点向两坐标轴作垂线，所得矩形的面积为|k|，所得三角形的面积为 2. 若点(a,b)在反比例函数y=的图像上，则k=ab，且点（）、(b,a)、（）也在该图像上 3. 反比例函数与一次函数的交点：联立方程组y=kx+b和y=，消去y得到kx2+bx-m=0，判别式Δ=b2+4km，Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点；Δ<0时，无交点 （三）函数应用解题技巧 1. 实际问题中，先根据题意确定函数类型，再用待定系数法求解析式，注意自变量的取值范围要符合实际意义 2. 比较两个函数值大小时，可通过图像法（看图像的上下位置）或代数法（解不等式） 3. 涉及最值问题时，一次函数在自变量取值范围内的端点处取得最值；反比例函数在某个象限内无最值，但在给定区间内有最值 4. 结合几何图形时，要注意运用数形结合思想，将函数问题转化为几何问题，或利用几何图形的性质解决函数问题 考点一 平面直角坐标系 《解题指南》 平面直角坐标系是中考数学的基础模块，核心在于掌握坐标特征、变换规律和距离计算。建议通过以下方式巩固： 1. 熟记各类坐标变换公式，形成条件反射 2. 多做坐标与几何结合的综合题，培养数形结合思想 3. 整理错题，重点关注符号错误和公式应用失误 通过系统训练，此类问题可成为中考中的得分点。 命题点01 点与象限的关系 【典例01】（2023·江苏盐城·中考真题）在平面直角坐标系中，点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】点（1，2）所在的象限是第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 命题点02 平面直角坐标系中的图形运动 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【典例02】（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________．    【答案】 【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解． 【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度， ∴点的坐标可以表示为 故答案为：． 【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键． 中考预测题 1．如果点在第二象限，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征，确定和的符号，进而判断点的坐标符号，从而确定其所在象限，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第一象限， 故选：A． 2．如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形内切圆半径和周长的关系，勾股定理，坐标类规律探索，熟练掌握以上知识点，得出每滚动3次为一个循环是解题的关键．设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，根据勾股定理求得，可求得内切圆的半径为1，因此的坐标为，然后根据三角形内切圆的性质，可知，，，四边形是正方形，得到，进而得到，，结合，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为1，然后计算、、的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案． 【详解】解：设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，如图， 点是内切圆的圆心， ，，，，， 四边形是正方形， ， ，， ，， 在中，， 内切圆的半径， 点坐标为， ， ，， ，即点到三边距离都相等， 每次滚动后圆心的纵坐标都为1， 第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为； 第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加， ， 点的横坐标为：， 则点的坐标为， 故答案为：． 考点二 函数基础知识 《解题指南》 1. 数形结合思想：通过函数图像直观分析数量关系（如用图像解不等式） 2. 分类讨论思想：针对参数取值、动点位置等进行分类求解 3. 转化思想：将函数问题转化为方程或不等式问题（如求交点即解方程） 4. 建模思想：从实际问题中抽象出函数模型，用数学方法解决 掌握以上方法技巧，需结合典型例题进行强化训练，特别注意函数与几何、实际问题的综合应用，提升解题的灵活性和准确性。 命题点01 从图象中获取信息 【典例01】（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 【典例02】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．第所用的时间最长 B．第的平均速度最大 C．第和第的平均速度相同 D．前的平均速度大于最后的平均速度 【答案】D 【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意； 平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意； 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意； 故选D． 命题点02 函数解析式 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 【典例02】（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 命题点03 行程问题 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 【典例02】（2023·江苏·中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．    (1)请解释图中点的实际意义； (2)求出图中线段所表示的函数表达式； (3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有 (2) (3)小时 【分析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解； （2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有 （2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为， 此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为， ∴ 设直线的表达式为 ∴ 解得： ∴直线的表达式为 （3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则， 解得： ∴甲乙两地的距离为千米， 设快车返回的速度为千米/小时，根据题意， 解得：， ∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时） 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键． 中考预测题 1．十二月建是依据二十四节气而来的节气月，其中春季和夏季的节气月分别为：正月建寅，二月建卯，三月建辰，四月建巳，五月建午，六月建未，每个月依次均含两个节气，如寅月含立春、雨水，卯月含惊蛰、春分．某年春季和夏季的节气所对应的白昼时长如图所示，则下列选项中所含节气白昼时长范围均在13～14小时的是（    ） A．卯月 B．辰月 C．巳月 D．未月 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，能够读懂函数的图象并从中整理出所需信息是解题的关键． 根据函数的图象确定每个节气白昼时长，然后逐项判断即可． 【详解】解：A、卯月白昼时长范围在小时，不符合题意； B、辰月白昼时长范围均在小时，符合题意； C、巳月白昼时长范围在小时，不符合题意； D、未月白昼时长范围在小时，不符合题意． 故选：B． 2．一辆汽车在行驶的过程中，已知汽车行驶的速度是60千米/小时，若设x小时行驶的路程为y千米，那么变量y与x之间的关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查函数关系式．根据路程速度时间，即可得出答案． 【详解】解：由题意得． 故答案为：． 3. 同一直道上的，两地相距，甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离地的距离，（单位：）与甲车行驶时间（单位：）的函数关系如图所示． (1)甲车的速度是_____，_____． (2)求乙车休息的时间． (3)丙车与甲车同时出发，以的速度从地匀速驶往地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第时开始休息，直接写出的取值范围． 【答案】(1)80，144 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图象找出图上点，由待定系数法求出解析式是解题关键． （1）由图象可知，甲走完320km需要8h，可求出甲车的速度，即可求出a； （2）求出乙车的速度，即可求出乙车不休息时走完全程的时间，即可解答； （3）根据题意，列出不等式组，解出不等式组，即可解答． 【详解】（1）解：（km/h）， （km）， 故答案为80，144． （2）由（1）及图，可知（km/h）， ∴（h） 答：乙车休息的时间是h． （3）由题意，得 ， 解得． 考点三 一次函数 《解题指南》 一次函数是中考的重点内容，涉及概念、图像、性质及应用等多个方面。备考时应做到： · 夯实基础：熟练掌握一次函数的定义、表达式、图像和性质，理解其与方程、不等式的关系。 · 多做练习：通过不同类型的题目（如选择、填空、解答题）巩固知识，总结解题规律。 · 注重应用：关注实际问题中的函数模型，提高分析和解决问题的能力。 · 规范解题：解题过程中注意步骤完整，计算准确，特别是自变量取值范围的确定和检验。 命题点01 一次函数经过象限求参 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 命题点02 一次函数与不等式 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 【典例02】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 命题点03 一次函数的新定义 【典例01】（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质． 推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【详解】解：①当时，，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵，， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 命题点04 一次函数平移与旋转 【典例01】（2023·江苏无锡·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件函数的图象向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可． 【详解】解：∵函数的图象向下平移2个单位长度， ∴， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿轴移动还是沿轴移动是解题的关键． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 命题点05 一次函数的实际应用（一） 【典例01】（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 【典例02】（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是________h． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的的值即可． 【详解】解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 命题点06 一次函数的增减性 【典例01】 （2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则_______（用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 【典例02】（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可． 【详解】解：一次函数， 随的增大而增大， 对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键． 命题点07 一次函数的实际应用（二） 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 【典例02】（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 命题点08 一次函数与反比例函数 【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法． （1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可； （2）先求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 命题点09 一次函数与二次函数 【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 中考预测题 1．小王驾驶的一辆汽车油箱现有汽油40升，每行驶耗油8升，若汽车行驶了，油箱中剩余汽油y升，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，关键是要知道剩余的油量等于原有的油量减去消耗的油量，然后才能列出关系式． 剩余的油量等于油箱中原有的油量减去总消耗的油量，由匀速行驶耗油8升可得出均速行驶消耗的油量为升，再乘以路程就是总消耗的油量． 【详解】解：∵汽车匀速行驶耗油8升， ∴每千米消耗升， 故选：C． 2．已知平面内一点在一次函数图象的上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是出时一次函数的值． 求出时一次函数的值，可得，解不等式即可求解． 【详解】解：时一次函数， 点在一次函数图象的上方， ，解得， 故选：D． 3. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征．根据“a方内点”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确； ②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；故②错误； ③若直线的“方内点”有两个， 由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 如图，当时，，即直线过定点， 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：，解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为， 故④正确； 故正确的有①③④， 故选：C． 4. 对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 【答案】3 【分析】此题考查了一次函数的图像和性质，求一次函数图像交点坐标，首先根据题意设，，，然后画出图像，分别联立求出交点坐标，然后根据图像求解即可． 【详解】解：如图所示，设，，， ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴ ∵是三数，，中最小的数， ∴由图像可得， ∴的最大值在点C处取得，即当时， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 5．2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了______小时． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求一次函数自变量，根据函数图像设的解析式为：，用待定系数法求出函数解析式，再求出当时，x的值即可． 【详解】解：根据函数图像可知，为一次函数，且过点，， 设的解析式为：， 则， 解得：， ∴的解析式为：， 当时， 则， 解得：， ∴小亮从家到青岛崂山景区一共用了3个小时． 故答案为：3． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为_____． 【答案】或或4 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式， 分三种情况：①当落在中线上时，②当落在中线上时，③当落在中线上时，画出图形分别求解即可 【详解】解：①当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分此时， ， ∵将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内， ∴，，， ∴， 连接，设， 则，解得：， ∴ ②当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分，此时，直线的解析式为：， 设，过作，交于点J， 则， ∴，解得：或（舍去）， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴； ③当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分，此时，直线的解析式为：， 设，过作，交于点R， 则， ∴，解得：或（舍去）， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴； 故答案为：或或4 7. 校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 【答案】(1) (2)购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元 【分析】本题考查一元一次不等式组、一次函数、二次函数的应用； （1）利用待定系数法求解并写为分段函数的形式即可； （2）甲种水果的质量为a千克()，则购买乙种水果千克，根据题意列关于的一元一次不等式组并求解；按照不同的取值范围，分别根据“总费用甲种水果的售价甲种水果的购买质量乙种水果的售价乙种水果的购买质量”写出关于的函数关系式，根据函数的增减性和的取值范围分别求出当为何值时值最小，求出最小值及对应的值，比较的两个最小值，选择较小的一个即可． 【详解】（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克， 所以函数关系式为：， 当甲种水果质量千克时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， 将，和，分别代入函数关系式得： ， 解得：， ， 当时，与的函数关系式应为： ． （2）解：设甲种水果的质量为千克，则乙种水果的质量为千克， 乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍， ， 解得：， 的范围为：， 当时，， 此时当最小时，最小， 即当时，有最小值元， 当时，， 此时当时，离对称轴最远，最小， 即当时，有最小值元， ， 当时总费用最少，为元，此时千克 故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元． 8. 如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为 (2)的值为定值，定值是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，设出直线的含参表达式，联立求出交点的坐标是解题的关键． （1）将点代入中可求出的值，则可知点的坐标，将点代入中，即可求出反比例函数的表达式； （2）由一次函数和反比例函数的表达式可得点的坐标，由点在反比例函数图象上，可得点的坐标，设点，直线的表达式为， 将点，代入，可得直线的表达式，分别令，，可得点，点的坐标，同理可得点，点的坐标，进而可得，，最后计算即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， ∴将点代入中，得， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：的值是定值，理由如下： 直线与反比例函数交于，两点， 令，解得，， 把代入得，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 设点，直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得， 直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， ∴，， ∴， ∴的值为定值，定值是8． 9. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求． （2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标． （3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴． 设， 把代入，得，即， ∴． ∴． （2）解：由题意得： 在中，， ∴； 在中，， ∴． ∵， ， 当点在第四象限时， ， 设， ∴，即：， ∴， 当点在第二象限时， ∵，， ∴， ∴轴， ∴，即：， ∴， 综上，点的横坐标为或； （3）解：延长交直线于点，设点的横坐标为， 中，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键． 考点四 反比例函数 《解题指南》 1. 审题标记：圈出关键条件（如点坐标、面积、对称性），联想对应的知识点。 2. 辅助线添加：在几何综合题中，常过图像上的点作坐标轴的垂线，构造直角三角形或矩形。 3. 多解问题：当 的符号未明确或点的位置不确定时，需考虑多解情况（如象限不同导致坐标符号变化）。 4. 检验反思：解完后代入原函数或几何关系验证，确保答案正确。 命题点01 反比例函数的增减性 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 【典例02】 （2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 命题点02 反比例函数“k”的几何意义 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 【典例02】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 命题点03 反比例函数与实际应用 【典例01】（2023·江苏南京·中考真题）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象．根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意有：， 所以， 故与之间是反比例函数，其图象在第一象限． 故选：D． 【典例02】（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系． 根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可． 【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ∵， ∴， ∵面向下放在地上，地面所受压强为， ∴面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． 命题点04 反比例函数与一次函数 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【详解】（1）解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． （2）解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 中考预测题 1．如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当时， 【答案】D 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．分析函数的对称性、增减性、最值后即可得到答案． 【详解】解：A. 设点在函数的图象上，则， 当时，，即在函数的图象上， ∴该函数图象关于原点对称， 故此选项错误，不符合题意；     B. 当时，函数值y随自变量x的增大而减少，当时，函数值y随自变量x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意；     C. 函数值y没有最小值为，故此选项错误，不符合题意；     D. 当时，， ∵该函数图象关于原点对称， ∴当时，， 故选项正确， 故选：D 2．将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点、、分别落在坐标轴上，且，双曲线恰好经过点．则的值为_____． 【答案】36 【分析】本题考查求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质，得到点D坐标是解答的关键．过D作轴于H，设小正方形的边长为a，先证明求得，再证明求得，，进而可得，再待定系数法求解k值即可． 【详解】解：过D作轴于H，设小正方形的边长为a， 由题意，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵双曲线恰好经过点， ∴， 故答案为：36． 3. 学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）    【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 【答案】(1)； (2)分钟； (3)①75，230；②秒． 【分析】（1）把值和其中两个点代入函数，得到关于、的方程组，解方程组即可得到、的值，进而确定函数表达式． （2）令函数值，代入拟合函数表达式，求解关于的方程，得到的值就是跳绳后应该休息的时间（单位：秒），再将其转化为分钟． （3）①根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则，对比两个函数的形式，确定和方向上的平移量． ②当与直线平行的直线与曲线相切时，切点到直线的距离最大．因为平行直线间距离处处相等，而在曲线与平行于的直线的位置关系中，相切时的切点是距离最远的点（在曲线一侧）．进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得到 ． 用第二个方程减去第一个方程消去： 解得或（舍去，因为 ）． 把代入，可得，， 解得． ∴拟合函数表达式为． （2）解：令，可得． 解得秒， 分钟． ∴跳绳运动分钟后就应该休息一下 （3）解：①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，变为，图象向左平移了个单位；整体加，图象向上平移了个单位． 故答案为：75，230； ②设与直线平行的直线方程为． ∵该直线与曲线相切时，该切点到的距离最大， ∴联立方程， 得到． ∴． ， ． ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程的判别式． ∴． ∴． ∴的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒． 【点睛】本题综合考查函数相关知识，关键在于：熟练掌握用待定系数法求函数表达式，通过代入已知点坐标构建方程组求解未知参数．理解函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，准确分析函数形式变化确定平移量．利用根的判别式解决最值问题． 4. 如图，已知点，以为边作等边三角形，点B在第一象限，点C是边上的动点，经过点C的反比例函数的图像与边交于点D，连接． (1)求线段所在直线的解析式； (2)若，求此时k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质求得点B坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过C作于H，过D作于N，过B作延长线于M，证明得到，结合锐角三角函数得到，，设，推导出，，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到，进而解方程求得x值即可解答． 【详解】（1）解：过B作于H， ∵点，为等边三角形，点B在第一象限， ∴，，， ∴， ∴， 设线段所在直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴线段所在直线的解析式为； （2）解：过C作于H，过D作于N，过B作延长线于M， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，则； ∴，， ∴， ∴点D坐标为即， ∵点C、D都在反比例函数的图像上， ∴， 由， 解得，（与点B重合，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． 好题速递 1．（2025·江苏南京·二模）甲、乙两名工人在同一天加工同一种零件．如图，点、的横坐标表示甲上午、下午的工作时间，纵坐标表示甲上午、下午加工的零件数；点、的横坐标表示乙上午、下午的工作时间，纵坐标表示乙上午、下午加工的零件数．则下列说法正确的是（） A．全天加工的零件数，甲比乙多 B．全天的工作时间，甲比乙短 C．上午的工作效率，甲比乙高 D．全天的工作效率，甲比乙低 【答案】D 【分析】本题考查了利用函数图象中横纵坐标表示的意义分析实际问题，解题关键是理解图象横纵坐标含义，通过连线确定工作效率，结合总量、时间关系判断选项。 根据工作效率工作总量工作时间，结合图象中横、纵坐标的含义，分别分析各选项即可． 【详解】解：如图： A．甲全天加工零件数为纵坐标纵坐标；乙全天加工零件数为纵坐标纵坐标．从图中直观来看，，所以，，所以甲全天加工零件数少于乙全天加工零件数，故本选项说法错误，不符合题意； B．甲全天工作时间为横坐标横坐标；乙全天工作时间为横坐标横坐标．从图中可知，，，所以所以，甲全天工作时间长大于乙全天工作时间，故本选项说法错误，不符合题意； C．从图中可知，在相同时间D处时，纵坐标高于纵坐标，即乙上午工作效率比甲高，故本选项说法错误，不符合题意； D．因为全天工作时间长大于乙全天工作时间，甲全天加工零件数少于乙全天加工零件数，所以全天的工作效率，甲比乙低，故本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定、的横坐标，利用平行线得到、的代数式，根据条件进行判断即可． 【详解】解：在图象上， ， ， 令， ， △， 与有两个交点， ， ， ， ， 点的横坐标为，点的横坐标为， 作于点，作轴于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， 故选：B． 3．（2025·江苏南通·一模）在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（   ） A．乙比甲先到达终点 B．两人相遇前，甲的速度小于乙的速度 C．甲的速度随着时间的增加而变快 D．出发后120秒，两人行程均为500米 【答案】D 【分析】此题主要考查了函数图象，根据函数图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得甲比乙先到达终点，故A错误； 根据图象可得甲的速度一直是米/秒，故C错误； 两人相遇前，乙的速度先是米/秒，后变为米/秒，故两人相遇前，甲的速度不一定小于乙的速度，故B错误； 出发后120秒，甲的行程为米，乙的行程为米，故D正确． 故选：D． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是______．    【答案】8或18 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将分别代入两个表达式中，即可求出x的值． 本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数和反比例函数的表达式，以及已知因变量的值求相应的自变量的值，熟练掌握待定系数法及数形结合法是解题的关键． 【详解】解：设时，正比例函数的表达式为， 则， 解得， ∴正比例函数的表达式为． 设时，反比例函数的表达式为， 则， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 当时，把代入得， ， 解得． 当时，把代入得， ， 解得． 综上，当时，x的值是8 或18． 故答案为：8或18． 5．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，反比例函数图象上点的特征，解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，得到，则有，，设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x， 则可得到，，然后根据点在双曲线上得到，解题即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E， 则是矩形， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x， 则，， ∴，， 又∵点A、点B 正好经过一双曲线， ∴， 解得或（舍去） 故答案为：． 6．（2023·江苏南通·一模）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为______． 【答案】6 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，当时，最小，推出四边形面积的最小，根据点在直线上，得到，推出，，根据，得到，根据即可得到答案． 【详解】取的中点E，连接， ∵， ∴， 当时，最小，就最小，与都最小，就最小， ∵点为直线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了一次函数，直角三角形，垂线段，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握一次函数图象上的点坐标适合解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等性质，三角形面积计算公式． 7．（2025·江苏南京·三模）（1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【答案】（1）；（2），；（3）；不可以， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数学之间的关系是本题解题的关键． （1）计算内每段的平均速度，根据路程平均速度时间，进行计算即可； （2）根据，用勾股定理求出，根据时间=路程速度求解时间即可； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，据此判断； ②因为小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以他们的和速度一定不垂直，所以他到不了的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离； 【详解】（1）中，速度， 她行驶的距离为：， 中，平均速度为：， 她行驶的距离为：， 她行驶的总距离为：； 故答案为：17； （2）， ， 到达所用的时间为：， 故答案为：，； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右， 小明的游泳轨迹可能是， 故答案为：； ②不可以， 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 小明的平均速度为：， 小明有用的竖直距离为：， 解得：或， ， ， 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线交于、两点．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、四边形面积为，规定． (1)求函数的表达式； (2)证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的解析式，反比例函数与正比例函数的对称性，反比例函数系数k的几何意义，一元二次方程根的判别式，掌握反比例函数的性质以及正确变形方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求得，利用反比例函数系数的几何意义求得，，即可求得结论； （2）由题意可知方程为，，变形为，可知方程一定有解或．由于时，其判别式，故方程①有两个不等的实根，而不是方程①的根，即可证得题设方程有三个不同的实数根． 【详解】（1）解：二次函数的图象以原点为顶点，则二次函数为， 又∵过点， ， ， 反比例函数的图象与直线交于、两点， 、关于原点对称， 过、作轴的垂线，垂足分别为、． ，， 四边形面积为， ， ， ， 故； （2）， ， ， 即或． 方程一定有解， 对于可化为， 因为，其判别式， 方程有两个不等的实根， 而不是方程的根，故题设方程有三个不同的实数根． 中考闯关 1．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时，，令，则，解得：； 当时，，则； 当时，，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 2．如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度y与用到的丝带数量x的关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是函数关系式及探索图形变化的规律性知识，结合图形理清数量之间关系是解决此题关键． 【详解】解：根据题意和所给示意图得：； 故选：D． 3．如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 4．某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 【答案】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．用待定系数法分别求直线和曲线的解析式，分别求解当时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间． 【详解】解：设直线解析式为：，则， 解得：， ∴温度上升段（）的解析式为：， 当时，即， 解得； 设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故温度下降段（段）函数表达式： 当时，即， 解得； 则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为（分钟）， 故答案为：． 5．如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1）______； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为______． 【答案】 【分析】（1）先求出直线的解析式为，然后求出点C的坐标为，再求出即可； （2）设点，且，求出，设直线的函数表达式为，求出，得出点，延长交y轴于点N，易知轴，求出，求出，再根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】解：（1）将点代入，得， 解得， ， 当时，得， 点， 将点代入，得， 解得． 故答案为：． （2）轴，， 轴， 由题可知点H，E的横坐标为，反比例函数， 设点，且， ， ， 设直线的函数表达式为，将点代入得：， 当时，， 点， 延长交y轴于点N，易知轴， ， ， ， 当时，取得最大值，此时． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，二次函数的综合应用，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，求出． 6．定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为______； （2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点． （1）根据新定义求解即可； （2）设函数上一点为，由新定义可得，函数上一点为，将代入，则，再根据该方程有实数根，则，即可求解的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得，函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为，即， 故答案为：； （2）设函数上一点为， 由新定义可得，函数上一点为， 将代入，则， 则， ∵函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 7．景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，品种齐全，曾达三千多种品名．元旦假期期间，某陶瓷专卖店为了满足广大游客的需求，计划购进两种陶瓷餐具进行销售．据了解，2件种陶瓷餐具和1件种陶瓷餐具的进价共计200元；3件种陶瓷餐具和2件种陶瓷餐具的进价共计340元． (1)求两种陶瓷餐具每件的进价分别为多少元？ (2)该店计划将4800元全部用于购进、两种陶瓷餐具，种陶瓷餐具的购进数量不超过60件．已知种陶瓷餐具每件售价为100元，种陶瓷餐具每件售价为120元．设该店全部售出这两种陶瓷餐具可获利元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)进价60元，进价80元 (2)进60件，进15件，最大利润3000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次方程，根据题意列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键． （1）首先根据题意列出二元一次方程组进行求解即可； （2）首先根据4800元全部用于购进、两种陶瓷餐具列出，再根据题意列出，将获利转化为只与a有关的一元一次方程判断出随的增大而增大，即可得到进60件，进15件，最大利润3000元． 【详解】（1）解：设进价元，进价元， 则，解得 ∴进价60元，进价80元； （2）解：设进货件，进货件， ∴，① 由题意可得：，② 由①得：， 代入②得：， ∵随的增大而增大， ∵， ∴进60件时，最大利润3000元， 当时，， ∴进60件，进15件，最大利润3000元． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且． (1)求k的值； (2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积； (3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． （1）设线段交轴于点，得到，求出的解析式为，求得，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出和，得到，即可求出答案； （3）分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，设线段交轴于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 , 解得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵对应点D落在轴上， ∴向下平移4个单位， ∵的对应点为点， ∴点的纵坐标为 ∵点C落在反比例函数的图象上， ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点C， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：设，， 直线的解析式为， 当点在第三象限时， 当点是的中点时，， ∴， 解得或（舍去） ∴， 当时，，， ∴ ∴ ∴， 解得（舍去）或 ∴， 当点在第一象限时， 当时，，， ∴ ∴ ∴， 解得或（舍去） ∴， 当点是的中点时，， ∴， 解得（舍去）或， ∴，此时点E在直线的上方，不符合题意，舍． 综上可知，或或 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点03 函数及其应用（一次、反比例函数） 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（4大命题点+18道中考预测题） 考点一 平面直角坐标系 命题点 1 点与象限的关系 命题点 2 平面直角坐标系中的图形运动 中考预测题2道 考点二 函数基础知识 命题点 1 从图象中获取信息 命题点 2 函数解析式 命题点 3 行程问题 中考预测题3道 考点三 一次函数 命题点 1 一次函数经过象限求参 命题点 2 一次函数与不等式 命题点 3 一次函数的新定义 命题点 4 一次函数平移与旋转 命题点 5 一次函数的实际应用（一） 命题点 6 一次函数的增减性 命题点 7 一次函数的实际应用（二） 命题点 8 一次函数与反比例函数 命题点 9 一次函数与二次函数 中考预测题9道 考点四 反比例函数 命题点 1 反比例函数的增减性 命题点 2 反比例函数“k”的几何意义 命题点 3 反比例函数与实际应用 命题点 4 反比例函数与一次函数 中考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 平面直角坐标系 1.点与象限的关系 2.平面直角坐标系中的图形运动 1.常以选择题、填空题出现； 2.多以判断点所在象限、根据象限确定参数取值范围； 3.结合几何图形在解答题中考查图形变换（如翻折、旋转）后的坐标变化。 函数基础知识 1.从图象中获取信息 2.函数解析式 3.行程问题 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.通过函数图像（如折线图、柱状图）考查对数据趋势、关键点含义的理解； 3.需根据实际问题或已知条件确定函数表达式（如一次函数、反比例函数）； 4.结合函数图像分析运动过程，涉及速度、时间、路程的关系及分段函数应用。 一次函数 1.一次函数经过象限求参 2.一次函数与不等式 3.一次函数的新定义 4.一次函数平移与旋转 5.一次函数的实际应用（一） 6.一次函数的增减性 7.一次函数的实际应用（二） 8.一次函数与反比例函数 9.一次函数与二次函数 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.考查根据函数经过的象限确定参数取值范围； 3.结合函数图像求解不等式解集或参数范围； 4.需理解新定义规则并结合一次函数性质求解； 5.涉及图像变换后解析式的变化或点坐标的求解； 6.结合实际问题（如速度、温度等）建立函数关系； 7.根据函数增减性比较函数值或确定参数范围； 8.涉及销售、成本等实际问题，需建立函数模型并求解最值或特定值； 9.结合图像交点、面积计算等综合考查； 10.常结合图像交点、几何图形变换等综合应用。 反比例函数 1.反比例函数的增减性 2.反比例函数“k”的几何意义 3.反比例函数与实际应用 4.反比例函数与一次函数 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.考查根据反比例函数的增减性比较函数值大小或确定参数范围； 3.通过图形面积（如矩形、三角形面积）求解k的值； 4.结合实际问题（如压强、行程等）建立反比例函数模型； 5.综合考查两函数的交点、图像位置关系及面积计算等 一、一次函数 （一）定义与表达式 形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数称为一次函数。当b=0时，y=kx（k≠0）称为正比例函数，是特殊的一次函数。 （二）图像与性质 参数 图像特征 函数性质 k>0 从左到右上升的直线 y随x的增大而增大 k<0 从左到右下降的直线 y随x的增大而减小 b>0 直线与y轴交于正半轴 - b=0 直线过原点 正比例函数 b<0 直线与y轴交于负半轴 - （三）待定系数法求解析式 步骤： · 设：设函数解析式为y=kx+b（正比例函数设为y=kx） · 代：将已知点坐标代入解析式，得到关于k、b的方程（组） · 解：解方程（组）求出k、b的值 · 写：写出函数解析式 （四）一次函数与方程、不等式的关系 · 一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解 · 当k>0时，kx+b>0的解集为x>；kx+b<0的解集为x< · 当k<0时，kx+b>0的解集为x<；kx+b<0的解集为x> 二、反比例函数 （一）定义与表达式 形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，也可表示为y=kx-1或xy=k。 （二）图像与性质 参数 图像特征 函数性质 k>0 双曲线，位于第一、三象限 在每个象限内，y随x的增大而减小 k<0 双曲线，位于第二、四象限 在每个象限内，y随x的增大而增大 共性 图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交；是中心对称图形，对称中心为原点；是轴对称图形，对称轴为y=x和y=-x （三）待定系数法求解析式 步骤： · 设：设函数解析式为y= · 代：将已知点坐标代入解析式，得到关于k的方程 · 解：解方程求出k的值 · 写：写出函数解析式 三、常用结论与技巧 （一）一次函数常用结论 1. 两直线平行：若l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则l1∥l2⇨k1=k2且b1≠b2 2. 两直线垂直：l1⊥l2⇨k1·k2=-1（前提：两直线斜率都存在） 3. 一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积：对于y=kx+b，与x轴交于（，0）与y轴交于(0,b). （二）反比例函数常用结论 1. k的几何意义：过反比例函数y=图像上任意一点向两坐标轴作垂线，所得矩形的面积为|k|，所得三角形的面积为 2. 若点(a,b)在反比例函数y=的图像上，则k=ab，且点（）、(b,a)、（）也在该图像上 3. 反比例函数与一次函数的交点：联立方程组y=kx+b和y=，消去y得到kx2+bx-m=0，判别式Δ=b2+4km，Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点；Δ<0时，无交点 （三）函数应用解题技巧 1. 实际问题中，先根据题意确定函数类型，再用待定系数法求解析式，注意自变量的取值范围要符合实际意义 2. 比较两个函数值大小时，可通过图像法（看图像的上下位置）或代数法（解不等式） 3. 涉及最值问题时，一次函数在自变量取值范围内的端点处取得最值；反比例函数在某个象限内无最值，但在给定区间内有最值 4. 结合几何图形时，要注意运用数形结合思想，将函数问题转化为几何问题，或利用几何图形的性质解决函数问题 考点一 平面直角坐标系 《解题指南》 平面直角坐标系是中考数学的基础模块，核心在于掌握坐标特征、变换规律和距离计算。建议通过以下方式巩固： 1. 熟记各类坐标变换公式，形成条件反射 2. 多做坐标与几何结合的综合题，培养数形结合思想 3. 整理错题，重点关注符号错误和公式应用失误 通过系统训练，此类问题可成为中考中的得分点。 命题点01 点与象限的关系 【典例01】（2023·江苏盐城·中考真题）在平面直角坐标系中，点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 命题点02 平面直角坐标系中的图形运动 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例02】（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________．    中考预测题 1．如果点在第二象限，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 考点二 函数基础知识 《解题指南》 1. 数形结合思想：通过函数图像直观分析数量关系（如用图像解不等式） 2. 分类讨论思想：针对参数取值、动点位置等进行分类求解 3. 转化思想：将函数问题转化为方程或不等式问题（如求交点即解方程） 4. 建模思想：从实际问题中抽象出函数模型，用数学方法解决 掌握以上方法技巧，需结合典型例题进行强化训练，特别注意函数与几何、实际问题的综合应用，提升解题的灵活性和准确性。 命题点01 从图象中获取信息 【典例01】（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【典例02】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．第所用的时间最长 B．第的平均速度最大 C．第和第的平均速度相同 D．前的平均速度大于最后的平均速度 命题点02 函数解析式 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为________． 命题点03 行程问题 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【典例02】（2023·江苏·中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．    (1)请解释图中点的实际意义； (2)求出图中线段所表示的函数表达式； (3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 中考预测题 1．十二月建是依据二十四节气而来的节气月，其中春季和夏季的节气月分别为：正月建寅，二月建卯，三月建辰，四月建巳，五月建午，六月建未，每个月依次均含两个节气，如寅月含立春、雨水，卯月含惊蛰、春分．某年春季和夏季的节气所对应的白昼时长如图所示，则下列选项中所含节气白昼时长范围均在13～14小时的是（    ） A．卯月 B．辰月 C．巳月 D．未月 2．一辆汽车在行驶的过程中，已知汽车行驶的速度是60千米/小时，若设x小时行驶的路程为y千米，那么变量y与x之间的关系式为______． 3. 同一直道上的，两地相距，甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离地的距离，（单位：）与甲车行驶时间（单位：）的函数关系如图所示． (1)甲车的速度是_____，_____． (2)求乙车休息的时间． (3)丙车与甲车同时出发，以的速度从地匀速驶往地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第时开始休息，直接写出的取值范围． 考点三 一次函数 《解题指南》 一次函数是中考的重点内容，涉及概念、图像、性质及应用等多个方面。备考时应做到： · 夯实基础：熟练掌握一次函数的定义、表达式、图像和性质，理解其与方程、不等式的关系。 · 多做练习：通过不同类型的题目（如选择、填空、解答题）巩固知识，总结解题规律。 · 注重应用：关注实际问题中的函数模型，提高分析和解决问题的能力。 · 规范解题：解题过程中注意步骤完整，计算准确，特别是自变量取值范围的确定和检验。 命题点01 一次函数经过象限求参 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 命题点02 一次函数与不等式 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 命题点03 一次函数的新定义 【典例01】（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 命题点04 一次函数平移与旋转 【典例01】（2023·江苏无锡·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 命题点05 一次函数的实际应用（一） 【典例01】（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是________h． 命题点06 一次函数的增减性 【典例01】 （2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则_______（用“”、“”或“”填空）． 【典例02】（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是___________． 命题点07 一次函数的实际应用（二） 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【典例02】（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 命题点08 一次函数与反比例函数 【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 命题点09 一次函数与二次函数 【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 中考预测题 1．小王驾驶的一辆汽车油箱现有汽油40升，每行驶耗油8升，若汽车行驶了，油箱中剩余汽油y升，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．已知平面内一点在一次函数图象的上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 4. 对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 5．2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了______小时． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为_____． 7. 校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 8. 如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 9. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 考点四 反比例函数 《解题指南》 1. 审题标记：圈出关键条件（如点坐标、面积、对称性），联想对应的知识点。 2. 辅助线添加：在几何综合题中，常过图像上的点作坐标轴的垂线，构造直角三角形或矩形。 3. 多解问题：当 的符号未明确或点的位置不确定时，需考虑多解情况（如象限不同导致坐标符号变化）。 4. 检验反思：解完后代入原函数或几何关系验证，确保答案正确。 命题点01 反比例函数的增减性 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【典例02】 （2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 命题点02 反比例函数“k”的几何意义 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【典例02】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 命题点03 反比例函数与实际应用 【典例01】（2023·江苏南京·中考真题）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 命题点04 反比例函数与一次函数 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 中考预测题 1．如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当时， 2．将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点、、分别落在坐标轴上，且，双曲线恰好经过点．则的值为_____． 3. 学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）    【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 4. 如图，已知点，以为边作等边三角形，点B在第一象限，点C是边上的动点，经过点C的反比例函数的图像与边交于点D，连接． (1)求线段所在直线的解析式； (2)若，求此时k的值． 好题速递 1．（2025·江苏南京·二模）甲、乙两名工人在同一天加工同一种零件．如图，点、的横坐标表示甲上午、下午的工作时间，纵坐标表示甲上午、下午加工的零件数；点、的横坐标表示乙上午、下午的工作时间，纵坐标表示乙上午、下午加工的零件数．则下列说法正确的是（） A．全天加工的零件数，甲比乙多 B．全天的工作时间，甲比乙短 C．上午的工作效率，甲比乙高 D．全天的工作效率，甲比乙低 2．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·一模）在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（   ） A．乙比甲先到达终点 B．两人相遇前，甲的速度小于乙的速度 C．甲的速度随着时间的增加而变快 D．出发后120秒，两人行程均为500米 4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是______．    5．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为______． 6．（2023·江苏南通·一模）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为______． 7．（2025·江苏南京·三模）（1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线交于、两点．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、四边形面积为，规定． (1)求函数的表达式； (2)证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根． 中考闯关 1．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 2．如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度y与用到的丝带数量x的关系式为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 4．某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 5．如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1）______； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为______． 6．定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为______； （2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是______． 7．景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，品种齐全，曾达三千多种品名．元旦假期期间，某陶瓷专卖店为了满足广大游客的需求，计划购进两种陶瓷餐具进行销售．据了解，2件种陶瓷餐具和1件种陶瓷餐具的进价共计200元；3件种陶瓷餐具和2件种陶瓷餐具的进价共计340元． (1)求两种陶瓷餐具每件的进价分别为多少元？ (2)该店计划将4800元全部用于购进、两种陶瓷餐具，种陶瓷餐具的购进数量不超过60件．已知种陶瓷餐具每件售价为100元，种陶瓷餐具每件售价为120元．设该店全部售出这两种陶瓷餐具可获利元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且． (1)求k的值； (2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积； (3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $