精品解析：湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高一下学期3月考试数学试题

高一年级下学期3月考试 数学试卷 本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分．考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行四边形中，下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形定理，以及向量的模和数量积公式，判断选项. 【详解】对于A，根据平行四边形定理可知，，A正确； 对于B，根据向量减法可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，当且仅当向量和同向时等号成立，在平行四边形中，向量和不共线，所以，故D错误. 故选：D 2. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式结合切化弦运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：ABD. 3. 已知向量，满足，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案. 【详解】由得， 两边平方得， 所以. 故选：A 4. 已知中，，，则此三角形为（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示： 设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 5. 已知函数，下列说法不正确的有（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若，则不等式的解集为 C. 若，恒成立，则整数k的取值集合为 D. 若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】C 【解析】 【详解】若，则， 故不等式的解集为，故A正确； ， 若，则，则不等式解集为，故B正确； ， 若，则对恒成立； 若，由于对恒成立， 所以，得， 故整数k的取值集合为，故C错误； 若，则，有无数个整数解，不符合； 若，则图象开口朝下，有无数个整数解，不符合； 故，则不等式的解集为， 欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确. 6. 已知定义域为，值域为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 对任意，使得 C. 对任意，的图象恒过一定点 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得；对于B，直接代入求解即可；对于C，根据，求解即可；对于D ，根据对数型函数的单调性和真数在恒大于等于零即可解得. 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故，解得，故B错误； 对于C，， 因为与无关，所以，解得， 可得，故定点为，故C正确； 对于D，若在上单调递减， 只需要在上单调递减， 且，即，解得，故，故D正确. 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数的零点个数为4个 【答案】A 【解析】 【分析】A根据对称性画出的函数图象，根据函数值相等得出即可判断；B利用以及对勾函数的性质判断；CD数形结合求出内层函数的值即可求出. 【详解】因为函数为偶函数，即， 所以函数关于对称， 当时，， ∴函数的大致图象如图， 令，则为方程的解， 所以且，即， 则，得， 由图可知，，∴，A选项错误； ∵，∴，且，∴， 令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减， ∴，B选项正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C选项正确； 令，即，则或或， 则或或或，得或或或， 故函数有4个零点，D选项正确． 8. 如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（ ） A. 当是线段的中点时， B. 当时， C. 当为定值时，点的轨迹是一条线段 D. 的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段，的中点，延长与直线交于点，利用几何关系得，从而得点的轨迹为线段，再取两个端点即可求解；对C，令，可得三点共线，利用几何关系可得点的轨迹是线段，即可求解；对D，利用向量的线性运算，可得，进而可得，即可求解. 【详解】对于A，当是线段的中点时， ， 所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为，则平行于， 延长与直线交于点，则， 所以，则，又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，，令，可得三点共线， 分别取线段的中点，如图2，记为，所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】A，，故A错误； B，，故B正确； C，，故C正确； D，，所以，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 若是的重心，则 D. 若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项根据数量积的定义计算，B选项，由数量积判断出的外角为钝角，进一步判断三角形形状，C选项根据重心的向量表达式求解，D选项，根据投影向量公式求解. 【详解】对A，因为， 当反向共线时等号成立，故A正确； 对B，由可知的外角为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对C，由是的重心，可知， 所以，故C正确； 对D，因为与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正数x，y满足，则方程有解的m的取值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据换元法和均值不等式即可求解. 【详解】由对数函数定义域知且， 令， 所以， 所以可转化为， 作出函数与函数， 两个函数图像的公共交点是， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 方程有解的m的范围是， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，且，则m=_________. 【答案】-2 【解析】 详解】试题分析：由题意得 考点：向量的模 13. 在中，已知，点为三角形的外心，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出的长度，再根据外心的性质以及数量积的定义求解即可. 【详解】中，，由余弦定理可得： ，. 因为点为三角形的外心，所以在上的投影为. . 14. 已知函数，关于的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的奇偶性以及单调性，将问题转化成对任意的，恒成立，结合二倍角公式以及三角函数的值域即可最值进行求解. 【详解】由于，所以为奇函数，且由， 单调递增，故 在定义域内单调递增，故， 因此，由于，所以 ，因此 ，故对任意的，恒成立，由余弦的二倍角公式可得，所以 恒成立即可，故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）设求； （2）若 与垂直，求的值. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解； （2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴． 【小问2详解】 ， 由于与垂直，∴，∴． 16. 已知函数，且函数图象的一个对称中心为. （1）求的值； （2）若在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式，得，再结合条件，可得，即可求解； （2）根据条件，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 ， 因图象的一个对称中心为，则， 解得，又，则取，得． 【小问2详解】 当时，， 因为，结合函数图象可知，欲使在区间上的值域是， 则，解得． 17. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线得，再由同角三角函数的基本关系求解； （2）由向量垂直得，求出，再由两角差的余弦公式求解． 【小问1详解】 因为，所以， 即，， 解得或（舍去）． 【小问2详解】 因为，所以，即， ，即． 因为，所以，，， 从而． 18. 如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点. （1）当点为中点时，求的余弦值； （2）求的最小值；当取得最小值时设，求的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设，由中点可得，再由数量积的运算律及夹角公式求解即可； （2）设则可转化为关于的二次函数，求最值即可，再由及三点共线得解即可. 【小问1详解】 设，， 、分别为、的中点， ，， ，， ， ， 又 ， ， 即的余弦值为. 【小问2详解】 设， 则 ， 所以当即时，取最小值，即， ， ，， ， 三点共线， ，解得， . 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析 （2） （3）答案和理由见解析 【解析】 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可； （2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 ∵，∴，则是“伪奇函数”． 【小问2详解】 令， 则， 即有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. 【小问3详解】 当为定义域上“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级下学期3月考试 数学试卷 本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分．考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行四边形中，下列关系式不正确的是（ ） A B. C D. 2. 下列化简正确的是（ ） A B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，，则此三角形为（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知函数，下列说法不正确的有（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若，则不等式的解集为 C. 若，恒成立，则整数k的取值集合为 D. 若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 6. 已知的定义域为，值域为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 对任意，使得 C. 对任意，的图象恒过一定点 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数的零点个数为4个 8. 如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（ ） A. 当是线段的中点时， B. 当时， C. 当为定值时，点的轨迹是一条线段 D. 的最大值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 若是的重心，则 D. 若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 11. 已知正数x，y满足，则方程有解的m的取值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，且，则m=_________. 13. 在中，已知，点为三角形的外心，则______． 14. 已知函数，关于的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）设求； （2）若 与垂直，求的值. 16. 已知函数，且函数图象的一个对称中心为. （1）求的值； （2）若在区间上的值域是，求的取值范围． 17. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 18. 如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点. （1）当点为中点时，求的余弦值； （2）求的最小值；当取得最小值时设，求的值. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上否为“伪奇函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $