精品解析：湖北武汉市新洲区第一中学航天城校区2025-2026学年高一下学期三月求实考试数学试题(123班）.

新洲一中航天城校区高一（下）三月求实考试(123班） 一．选择题（共8小题） 1. 如图，在四面体中，点为的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及重心的性质即可求解. 【详解】如图，连接并延长与相交， 点为的重心，， ． 故选：A. 2. 在边长为1的正方体中，是线段上一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由三角形相似得，过点作于，即为点到直线的距离，进而是的中点，且是与的交点，当时，取得最小值，计算得到答案； 【详解】如图，连接，由正方体的性质易知，所以， 过点作于，则即为点到直线的距离，则是的中点， 所以是与的交点，当时，取得最小值， 又，在中，， 所以此时，故点到直线的距离的最小值为． 故选：D. 3. 已知圆与圆相切，则（ ） A. 4 B. 6 C. 4或6 D. 16或36 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得； 综上，则或. 4. 已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 因为方程表示圆，所以，解得. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 若直线与圆相交可得，则可得，解得. 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 5. 已知过点的直线与圆交于两点，若，且点在圆上，则直线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过联立直线与圆的方程得到一元二次方程，结合韦达定理及，利用点在圆上的条件建立等式，即得直线斜率. 【详解】由已知斜率存在，设直线的斜率为，因为过点，故方程可设：， 联立方程组，消去得：， 设，由韦达定理得：， 由，得. 因为在圆上，故，又因为， 代入上式得：，化简：，解得：. 6. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可. 【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等， 圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：， 圆心到直线的距离为：， ， 又，. 7. 已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件中的垂直关系结合线面角定义，确定直线与平面，平面和平面所成的角，求出各角正弦、余弦的表达式，逐项验证求解即可. 【详解】 如图所示，设，，， 因为平面，因为平面，所以， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为为矩形，所以为直角三角形， 所以， 在中，， 所以，， 因为为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，， 因为为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，， 对于A， ，A错误； 对于B， ，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：D. 8. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解． 【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时， 若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时， 所以一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有， 另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示， 由图可知，，CP最短时， 即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大， 所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得， 则必有，解得，又因为圆的半径， 圆心到直线的距离， 所以，解得． 故选：A． 二．多选题（共3小题） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 点为平面外一点，为平面内一点，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D. 过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知中直线的方程，易求出直线斜率的取值范围，再根据直线斜率与倾斜角之间的关系，即可判断A；根据圆的性质结合两点间的距离公式可得，解不等式即可得r的取值范围，即可判断B；根据两直线垂直的充要条件得的值，结合充分与必要条件即可判断C；分截距为0和不为0两种情况进行求解，即可判断D． 【详解】对于A，直线的斜率为 由正弦型函数的性质，得，故直线的倾斜角的取值范围是，故A错误； 对于B，若圆上恰有两点到点的距离为1， 则圆心到点的距离满足：， 则，解得，故r的取值范围是，故B正确； 对于C，由直线与直线互相垂直可得，解得或， 所以“直线与直线互相垂直”是“”必要而不充分条件，故C错误； 对于D，当直线在x轴、y轴上的截距均为0时，过点的直线方程为， 当直线在x轴、y轴上的截距相等不为0时，设直线方程为， 将点代入得，解得，故直线方程为， 综上，直线方程为或，故D错误. 故选：ACD. 11. 经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论中正确的有（ ） A. 弦AC长度的最小值为 B. 线段BO长度的最大值为 C. 点M的轨迹是一个圆 D. 四边形ABCD面积的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】由圆的性质可以判定AB，再根据直角三角形斜边中线是斜边的一半求出的轨迹方程，最后面积公式应用二次函数最值解决即可. 【详解】如图所示， 设圆心为，半径， 对于A：当时弦心距最大为， 所以此时弦长最小为，A正确； 对于B：是圆上一点，是圆内一点，所以， 所以，B错误； 对于C：如上图所示，连接，设 因为且是中点，所以， 因为是中点，所以， 所以，即， 化简可得，所以得轨迹是一个圆，C正确； 对于D：设圆心到直线的距离分别为， 则， 又，， ， 而，其中， 所以，所以，即，D错误， 故选：AC 【点睛】关键点睛：对轨迹的运算涉及直角三角形斜边中线是斜边的一半的应用，同时在对面积计算的时候也应用到二次函数的最值求解. 三．填空题（共3小题） 12. 设，，，，且，，____ ． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 13. 已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】由四边形为矩形，知对角线与互相平分且相等， 设的中点为，则也是的中点，且， 故问题转化为求的取值范围. 设，由可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， ，而的取值范围可由的轨迹求得： ，其中， 所以的范围为： 所以， 故的取值范围为. 14. 如图，在棱长为的正方体中，点为平面内一动点，且，设点到直线的距离为，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】连接分别交平面，平面于点，，根据为定值，计算得到平面的距离，得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，在平面的投影是以为圆心，为半径的圆，计算到直线的距离为，进而得到到直线的距离. 【详解】 如图，正方体中，平面，平面， 连接分别交平面，平面于点，，则， 由得,解得 同理，故 因为，所以， 所以动点轨迹是以为圆心，为半径的圆； 所以点在平面的投影是以为圆心，为半径的圆； 设点到直线的距离为， 又点到直线的距离为， 则，即， 所以点到直线的距离， 故答案： 四．解答题（共5小题） 15. 在锐角中，角、、所对应的边分别为、、．已知，． （1）若，求的面积； （2）求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及已知条件可得，然后结合恒等变换公式化简即可得到，即可得到为等边三角形，从而得到结果； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换公式化简，再由正切函数的值域即可得到结果. 【小问1详解】 ，， 由正弦定理可得，即， 因为，所以， 又，即， 展开可得， 即，即 所以，且， 所以为等边三角形， 则． 【小问2详解】 因为为锐角三角形，则，解得，则， 其中， 由正弦定理可得 , 所以, 所以的周长． 16. 为直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为． （1）当时，求二面角的正弦值； （2）当的面积最大时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用三棱锥体积的最大值求出的半径，建系后，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （2）利用（1）的坐标系，设，表示出相关点和向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式求出点到直线的距离的表达式，利用二次函数的性质求出其最大值即得的面积的最大值，以及此时的值. 【小问1详解】 设的半径为，则，， 因平面，故当三棱锥体积取得最大值时，中边上高最大，即为半径长， 故有，解得. 如图以点为原点，所在直线分别为轴，以平面上过点的的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 因，易得，则， 又， 设平面的法向量为， 则，令，取， 易得平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，则， 即二面角的正弦值为； 【小问2详解】 由（1）可得，设，则，， ，则， 所以，则与同方向的单位向量为， 于是点到直线的距离为 ， 因的面积为，， 故当且仅当 时，的面积最大，此时. 17. 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； （2）当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）事件与事件不相互独立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解概率； （2）（i）根据事件的独立性计算事件的概率（ii）根据事件的独立性定义验证事件的相互独立 【小问1详解】 记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型. 记事件“甲获得一等奖”，则，， 所以，所以甲获得一等奖的概率为； 【小问2详解】 记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中 （i）先不考虑额外中奖情况，事件“乙中二等奖”， 由（1）知，；， 再考虑额外中奖的情况，事件“乙中二等奖”， 因为这两个事件为互斥事件，所以顾客乙中二等奖的概率为； （ii）由（1）知；，；，； ，. 则，，与相互独立. 所以. 因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 . 因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以 又 所以，所以事件与事件不相互独立. 18. 如图，为圆柱的母线，为下底面圆周上的点，与直径交于点为中点，为直径上的动点. （1）证明：； （2）若圆柱的体积为，侧面积为，二面角的正弦值为. （i）求； （ii）设直线与平面，平面所成角分别为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）2；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过圆柱母线性质和等腰三角形三线合一性质证明线面垂直，进而得到线线垂直； （2）（i）先根据圆柱体积和侧面积公式求出半径和高，再利用二面角的正弦值求出相关线段长度，最后在直角三角形中求出DE的长度； （ii）先建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而得到线面角的正弦值表达式，最后通过换元法求出最值. 【小问1详解】 为圆柱的母线， 平面， 平面 ， 且为中点， ， ， 平面 平面， . 【小问2详解】 （i）由（1）得， 为二面角的平面角 设圆柱的半径为，高为，则 解得，即，， ， ， 在 中，， ， ∴. 故. （ii）以为原点，建系如图，其中轴与垂直，则， ， 平面， 与平面所成角为，， 设，， 设平面的一个法向量为 ，即，取，得， 又 ， ， 令，即， ， ∴当，即时， 的最大值为. 19. 已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． （1）求曲线T的方程； （2）若点，记的面积为，求的取值范围； （3）是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）设动点坐标，方法1由直线垂直斜率乘积为求得轨迹方程；方法2由直角三角形斜边上的中线得到即可求得轨迹方程；方法3,由勾股定理建立方程求得轨迹方程； （2）方法1设，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，然后借助双勾函数的单调性求得最值；方法2讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，换元后借助二次函数求出最值； （3）由（2）中方法1得到交点纵坐标的关系，列出代数式，由圆的方程和直线方程消元，将代数式整理成关于纵坐标的式子，然后代入韦达定理的结论，由为定值得到方程，解得参数，即解得Q点坐标 【小问1详解】 法1：设，由题意、存在， ∴， ∴曲线T的方程为：． 法2：由，得，∴曲线T的方程为：． 法3：∵，∴， 即曲线T的方程为：． 【小问2详解】 法1：由题意可知：直线l一定与T相交于不同的两点，且直线l的斜率不为0， 不妨设，，， 由，解得． 由韦达定理得：，． ∵ ． 令，则，． 又∵，∴，∴． 法2：当直线不存在斜率时，即， 则，，； 当直线存在斜率时，不妨设，，， 由，解得：， 由韦达定可得：，， 则，， 则， 令 则，，则， 综上所述，∴． 【小问3详解】 由（2）中方法1可知，，， ， 因为，所以， 同理， 所以， 将，代入上式，可得 使得为定值，则，则或或， 即存在，，满足要求． 【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，动直线与圆交点形成的交点三角形，以及圆中动点问题.本题的关键在于找到设动直线方程，与圆的方程联立方程组，借助韦达定理，即可解答本题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新洲一中航天城校区高一（下）三月求实考试(123班） 一．选择题（共8小题） 1. 如图，在四面体中，点为的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在边长为1的正方体中，是线段上一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆相切，则（ ） A 4 B. 6 C. 4或6 D. 16或36 4. 已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知过点的直线与圆交于两点，若，且点在圆上，则直线的斜率为（ ） A B. 2 C. D. 6. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则钝角 D. 点为平面外一点，为平面内一点，若，则 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D. 过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 11. 经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论中正确的有（ ） A. 弦AC长度的最小值为 B. 线段BO长度的最大值为 C. 点M的轨迹是一个圆 D. 四边形ABCD面积的取值范围为 三．填空题（共3小题） 12. 设，，，，且，，____ ． 13. 已知圆是上两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 14. 如图，在棱长为的正方体中，点为平面内一动点，且，设点到直线的距离为，则的取值范围是______. 四．解答题（共5小题） 15. 在锐角中，角、、所对应的边分别为、、．已知，． （1）若，求的面积； （2）求的周长的取值范围． 16. 为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为． （1）当时，求二面角的正弦值； （2）当的面积最大时，求． 17. 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； （2）当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 18. 如图，为圆柱的母线，为下底面圆周上的点，与直径交于点为中点，为直径上的动点. （1）证明：； （2）若圆柱体积为，侧面积为，二面角的正弦值为. （i）求； （ii）设直线与平面，平面所成角分别为，求的最大值. 19. 已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． （1）求曲线T的方程； （2）若点，记的面积为，求的取值范围； （3）是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $