专题07 相交线与平行线常考解答题汇编（六大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题07 相交线与平行线常考解答题汇编 【题型1：与角平分线，邻补角的有关计算】.............................................................................1 【题型2：平行线判定的填补题】...........................................................................................3 【题型3：平行线的性质与判定综合】..................................................................................13 【题型4：平行线中作“辅助线”问题】..............................................................................19 【题型5：平行线与三角板综合】..........................................................................................38 【题型6：平行线与动点问题】...............................................................................................57 【题型1：与角平分线，邻补角的有关计算】 1．如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键． （1）由对顶角的概念可知； （2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可． 【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）； 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ． 2．直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、垂直定义、几何图形中的角度计算，找到角之间的数量关系是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，然后利用平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义及垂直定义列方程求得，则可得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 3．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，则的度数为 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角互补的定义、角的和差计算： （1）根据得到，根据与互补得到，从而得到，结合得到，即可得到答案； （2）首先根据题意易得，设，则，结合与互补可得，结合可知，然后根据解得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设， ∴， ∵与互补，即， 又∵， ∴ ∵，且， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的度数为． 4．如图，已知都是直角． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查互余的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握各个角之间的互余和数量关系是解决问题的关键． （1）根据，结合图形即可求出结论； （2）设，得到，求出，即可得到的度数． 【详解】（1）解： 都是直角． ∴， 由 ∴， ， ； （2）解：由可设， ∴ ∴， ∴， ∴ 5．如图，点在直线上，射线，，在直线的同一侧，平分，． (1)当时，求的度数． (2)当与互补时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与余角、补角相关的计算，角平分线的定义． （1）根据得出，进而得出，根据平分，即可求解； （2）根据已知得出，根据角平分线的定义可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型2：平行线判定的填补题】 6．如图，已知，，，求请填空 解： ____________ 又 ______ ___________ ____________ ______ ____________ 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；已知；；补角定义 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质，等量代换，平行线的判定方法，进行作答即可． 【详解】解： 两直线平行，同位角相等 又 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知 补角定义． 7．推理填空： 如图：若， 则______ ______（______ ） 若， 则____________（______ ） 当____________时， （______ ） 当____________时，（______） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；同旁内角互补，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定和性质： 根据平行线的判定内错角相等，两直线平行即可得到结论； 根据平行线的判定同旁内角互补，两直线平行即可得到结论； 根据平行线的性质两直线平行，同位角相等即可得到结论； 根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补即可得到结论． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故答案为：，，内错角相等，两直线平行； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：，，同旁内角互补，两直线平行； ， 两直线平行，同位角相等， 故答案为：，，两直线平行，同位角相等； ， ， 故答案为：，，两直线平行，同旁内角互补． 8．完成下列填空：直角三角尺与一长方形纸片位置如图所示（不要用到图中未标注的角）． 证明：， ___________， （___________）． ___________， （___________）． ___________， （___________）． ___________， （___________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；根据平行线的性质，即可求解； 【详解】证明：， ， （两直线平行，同位角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等 9．推理填空： 如图，已知，，．将求的过程填写完整． ∵（______） ∴______（______） 又∵（已知） ∴______（等量代换） ∴ ______（______） ∴______（______） ∵（已知） ∴______ 【答案】见详解 【分析】本题考查了根据平行线的性质与判定求角度，先根据，得出，再结合，得，根据内错角相等，两直线平行，得，则，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补，） ∵（已知） ∴． 10．推理填空：如图，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， 所以（________________________）， ∵（已知）， 所以________（________________________）， 所以________（________________________）， 所以________（________________________）， ∵（已知）， 所以________． 【答案】两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质定理． 首先由平行线的性质得到，然后得到，证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， 所以． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 11．如图，，，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ， ∴， ∴（ ）， ∴． ∵（已知）， ∴（ ）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ ． 【答案】内错角相等，两直线平行；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补； ． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是正确解答此题的关键． 根据平行线的判定定理与性质定理解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴． ∵（已知）， ∴（ 等量代换 ）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（ 两直线平行，同旁内角互补 ）． ∵（已知）， ∴ ． 故答案为：内错角相等，两直线平行；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补； ． 12．阅读下列文字，完成解答填空： 已知：如图，，， ， 求： 的度数 ． 解：因为 ， 所以，（同角的补角相等） 所以 ，（内错角相等，两直线平行） 所以，（   ） 因为，（已知） 所以 ，（等量代换） 所以 ，（ ） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为，（已知） 所以 ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法与性质定理是解本题的关键． 根据题中利用平行线的判定和性质求解即可． 【详解】证明：因为 ， 所以，（同角的补角相等） 所以 ，（内错角相等，两直线平行） 所以，（两直线平行，内错角相等） 因为，（已知） 所以，（等量代换） 所以 ，（同位角相等，两直线平行） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为，（已知） 所以 ． 【题型3：平行线的性质与判定综合】 13．如图，在中，．证明： (1) (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． 14．如图所示，，． (1)试问与相等吗？请说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据题意，可证，根据平行线的性质即可求解； （2）根据题意得到，由两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F． (1)求证：． (2)如果，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是正确判定平行线． （1）先利用垂直得到直角，再利用同位角相等，两直线平行即可求证； （2）先判定，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，一元一次方程等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由得，再结合得，由平行线的判定即可证明； （2）设，则，由平行线的性质求得，，；由平分得，利用建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴； ∵， ∴，，； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即． 17．如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 18．如图：已知，于点D，于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据垂直的定义得出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质并结合可得出，则，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ． ． （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ． 19．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用对顶角相等以及，，得，根据内错角相等，两直线平行，即可作答． （2）运用同旁内角互补，两直线平行，得，因为，根据平行线的性质可得，由（1）知，得，根据得． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ． 【题型4：平行线中作“辅助线”问题】 20．已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间． 【素养发展】 (1)平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则 ； 【方法运用】 (2)如图2，求证：； 【应用拓展】 (3)如图3，分别作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间），若，求的度数； (4)在图2中，若，，且均同时在同侧，P点在之间．请直接写出的度数．（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）过点M作，根据平行可得即可求解； （2）由平角定义得，，再由（1）的结论即可得出答案； （3）先由角平分线的定义得，，再由（2）中的结论即可得出． （4）仿照（3）得到，则，进而同理可得． 【详解】（1）解：过点M作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵ ，， ∴； 故答案为：； （2）证明：过点M作，如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴； （3）解：∵、分别是和的平分线， ∴，， 过点P作，如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴ ， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴； （4）解：过点P作，如图所示：     ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴． 21．如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且． (1)如图①，若，当时，求的度数； (2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程． (3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)70° (2)直角三角形；证明见解析 (3)或． 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）延长交于D，根据时间求出，根据补角的定义求出，根据三角形内角和求出，根据平行线的性质求出即可； （2）根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可； （3）延长交于D，根据C在左右分类讨论，根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：延长交于D，如图： ， ， ， ， ， ， ； （2）直角三角形， 证明：， ， ，， ，， ， ， 为直角三角形； （3）延长交于D， 当C在左侧时，如图： ， ， ， ， ， ； 当C在右侧时，如图： ，， ，， ， ， ； 综上所述，或． 22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)，如图1，点E在内部时，试证：； (2)，在图2中，若，求出的度数 (3)，如图3，点E在外部时（1）中结论是否成立？如不成立，请直接写出之间有何数量关系？ (4)如图4，请直接表示，，，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不成立， (4) 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度，探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则可得，则，再由角的和差运算即可证明； （2）过点作，，则根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，即可求解； （3）过点作，则，那么，由于，则，即可求解； （4）过点作，过点作，过点作，则，那么，再根据（1）的结论，以及角度的和差计算即可求解． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：过点作， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （4）解：过点作，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴同（1）可得：， ∴ ∵， ∴， ∴， 即：． 23．（1）如图①，已知，点为平面内一点，．小颖说：“过点作，很容易就能找到和的数量关系．”则和的数量关系是___________． （2）如图②，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（点与，，三点不重合）请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据可得，进一步得到 ； （2）过点作，交于，根据平行线的性质可得，可得； （3）分两种情况：当点在、两点之间时；当点在的延长线上时；进行讨论可求与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作，则，    ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作，交于，则，    ， ， ， ， ； （3）过点作，交于， ①当点在、两点之间时，如图所示，    ∵ ∴， ，， ， ； ②当点在的延长线上时，如图所示，    同理可得， ，， ， ． 综上所述，当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 24．（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，可得．再由，可得，即可求解； （2）过点作，可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）过点作的平行线．可得，进而得到，，再由的平分线和的平分线交于点，可得，，再由（2）得：，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 25．已知直线， 直线分别交于点M、N．P 是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度； （3）如图3，若 ，，交 的延长线于点E，交的延长线于点F，请问是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；②，理由见解析；（2）；（3）是定值，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义： （1）①如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得，则；②同（1）①求解即可； （2）由（1）可得，设，则，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，则； （3）由（1）可得，，，设，，则，，即可得到，则。 【详解】解：（1）①如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）是定值，，理由如下： 由（1）可得，，， 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是定值。 26．如图，，点P为直线，间一点，点E，F分别是直线，上的点，连接，． (1)【证明推断】求证：． (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点Q． ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，请直接写出________ (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线，间的点，请直接写出，，，的数量关系：___________． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；② (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点P作直线，利用平行线的性质求解即可； （2）①分别过点P，Q作，，再利用角平分线的性质和平行线的性质求解即可；②由平角的意义和角的和差求解即可； （3）过点P、H作，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过点P作直线， ， 又∵， ∴， ， ； （2）解：①，理由： 如图，分别过点P，Q作，， 的平分线与的平分线交于点Q， ， ， 同（1）可证得， ； ②， ， ， 又， ； （3）过点P、H作， ∵， ∴， ， ，即， 故答案为：． 27．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 【题型5：平行线与三角板综合】 28．【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 29．在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)，理由见详解 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）过点作直线，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解：，理由如下： 如图3，过点作直线， ， ， ，， ， ． 30．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查余角的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）设三角板与直线b的交点为N，根据平行线的性质得到，进而得到，据此求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N，如图： ； （2）证明：过点B作，如图： 、 、 ． 31．综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合角的和差即可解答； （2）过点作，根据平行线的性质得到，求出，即可证明，即可说明； （3）过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义结合角的和差求出，进而求出，推出，推出，利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 32．已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)46 (2)①见解析，② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 33．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）x的值为30，75，120 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． （1）过点作，则，则，再由等量代换求解； （2）过点作，则，那么，再由，等量代换即可求解； （3）分“”、“”、“”三种情况，根据平行线的性质分别求出即可． 【详解】解：（1）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴数量关系为：； （2）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数量关系为：； （3）①当时， ∵，即， ∵， ∴， 又∵点C在的延长线上 ∴点C，B，E，D在同一条直线上， ∴， ∴； ②当时， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 34．小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】问题解决：①②是定值，；思维拓展：s或s 【分析】本题考查了动角问题，平行线的判定及性质，角的和差等； 问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解； 思维拓展：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求； 掌握平行线的判定方法及性质，能根据、的不同位置进行分类讨论是解题的关键 【详解】解：问题解决： ①如图，过点E作， ， ， ， ， ； ②是定值，理由如下： 如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故为定值； 思维拓展： 由题意得， ， ， （ⅰ）如图，当时，延长交于点P， ①在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②当在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； （ⅱ）当时，延长交于点I， ①如图，在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②如图，在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； 综上所述，所有满足条件的t的值为s或s． 35．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①当点在直线的上方时，．②当点在直线与直线之间时，．③当点在直线的下方时， 【分析】（1）根据平行线的性质可知，结合，可求出的度数； （2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可； （3）分三种情形：①如图3−1中，当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时，．③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ，     ， ， ， 即． （2）解：，  理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作． ，， ， ，， ， ． ②当点在直线与直线之间时，． ③当点在直线的下方时，过点作． ，， ， ，， ， ． 综上所述，①当点在直线的上方时，． ②当点在直线与直线之间时，． ③当点在直线的下方时， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角的和差计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【题型6：平行线与动点问题】 36．（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． （1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过P作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2），理由如下： 如图3，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）当P在延长线时，； 理由：如图4，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，，，之间的数量关系为或． 37．已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．    (1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．    (2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，如图1，由得，由得，则，所以； （2）如图2，根据平行线的性质由得，根据三角形外角性质得，所以，即． 【详解】（1）．理由如下： 过点作，如图1， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，， ， 而， ， 即．    【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 38．已知，，点P在直线上，E为上一点，F为上一点． (1)如图①，当点P在线段上运动时，连接，求的值； (2)如图②，当点P在线段延长线上运动时，连接，求的值； (3)如图③，当点P在线段的延长线上运动时，连接，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点P作，则，由，平行线的性质得到，由此即可推出； （2）如图所示，过点P作，则，由平行线的性质得到，即可推出； （3）如图所示，过点P作，则，由平行线的性质得到，由此即可推出． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 39．如图，已知，，点P是射线上一动点（与点B不重合），、分别平分和，交射线于点C、D． (1)求的度数； (2)当点P运动时，与的度数有怎样的关系，并说明理由； (3)当点P运动到使时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义即可求出的度数； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义作答即可； （3）根据平行线的性质得到，进而得到，可知，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵，分别平分和， ∴． （2）． 理由如下：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 即． （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 40．如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线性质，，则，再由平行线性质求出，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ． （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                       Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ． 41．如图，在中，点D在的延长线上，过点A作直线． (1)如图1，点F在直线，之间，连接，，探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，过点C作交于点G，平分，平分，若，求的度数（用含x的式子表示）； (3)如图3，，，射线从的位置开始绕点A逆时针旋转，旋转，同时射线满足，且始终在前面运动，射线平分，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，，即可求解； （2）由平行线的性质可得，，由角平分线的定义可求，由（1）的结论可求解； （3）分三种情况讨论，根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1），理由如下： 过点作， ，， ， ，， ； （2），， ，， ， 平分，平分， ， 由（1）可知：； （3），， ，， 射线平分， ， 当在和之间时， ， ， ， ； 当在的上方时， ， ， 方程无解； 当在直线的左侧时，， ， 方程无解， 综上所述：． 42．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，．    (1)求的度数． (2)如图2，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)在（2）中，射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）过点作，根据平行线的性质可得，进而即可求解； （2）根据得出，进而求得，根据，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，当射线绕点旋转小于时，当射线绕点旋转大于时，分别讨论，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作    ∵ ∴， ∵，． ∴， ∴ （2）解：，理由如下， ∵射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ （3）解：如图所示，当射线绕点旋转小于时，    ∵，，， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 解得： 如图所示，当射线绕点旋转大于时，    ∵，，， ∴ ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， 解得：， 综上可知，t的值为7或19． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相交线与平行线常考解答题汇编 【题型1：与角平分线，邻补角的有关计算】.............................................................................1 【题型2：平行线判定的填补题】...........................................................................................3 【题型3：平行线的性质与判定综合】...................................................................................6 【题型4：平行线中作“辅助线”问题】...............................................................................9 【题型5：平行线与三角板综合】..........................................................................................13 【题型6：平行线与动点问题】...............................................................................................18 【题型1：与角平分线，邻补角的有关计算】 1．如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 2．直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 3．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，则的度数为 ． (2)若，求的度数． 4．如图，已知都是直角． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 5．如图，点在直线上，射线，，在直线的同一侧，平分，． (1)当时，求的度数． (2)当与互补时，求的度数． 【题型2：平行线判定的填补题】 6．如图，已知，，，求请填空 解： ____________ 又 ______ ___________ ____________ ______ ____________ 7．推理填空： 如图：若， 则______ ______（______ ） 若， 则____________（______ ） 当____________时， （______ ） 当____________时，（______） 8．完成下列填空：直角三角尺与一长方形纸片位置如图所示（不要用到图中未标注的角）． 证明：， ___________， （___________）． ___________， （___________）． ___________， （___________）． ___________， （___________）． 9．推理填空： 如图，已知，，．将求的过程填写完整． ∵（______） ∴______（______） 又∵（已知） ∴______（等量代换） ∴ ______（______） ∴______（______） ∵（已知） ∴______ 10．推理填空：如图，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， 所以（________________________）， ∵（已知）， 所以________（________________________）， 所以________（________________________）， 所以________（________________________）， ∵（已知）， 所以________． 11．如图，，，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ， ∴， ∴（ ）， ∴． ∵（已知）， ∴（ ）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ ． 12．阅读下列文字，完成解答填空： 已知：如图，，， ， 求： 的度数 ． 解：因为 ， 所以，（同角的补角相等） 所以 ，（内错角相等，两直线平行） 所以，（   ） 因为，（已知） 所以 ，（等量代换） 所以 ，（ ） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为，（已知） 所以 ． 【题型3：平行线的性质与判定综合】 13．如图，在中，．证明： (1) (2)． 14．如图所示，，． (1)试问与相等吗？请说明理由； (2)若平分，，求的度数． 15．如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F． (1)求证：． (2)如果，且，求的度数． 16．如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 17．如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 18．如图：已知，于点D，于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【题型4：平行线中作“辅助线”问题】 20．已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间． 【素养发展】 (1)平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则 ； 【方法运用】 (2)如图2，求证：； 【应用拓展】 (3)如图3，分别作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间），若，求的度数； (4)在图2中，若，，且均同时在同侧，P点在之间．请直接写出的度数．（用含n的式子表示） 21．如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且． (1)如图①，若，当时，求的度数； (2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程． (3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)，如图1，点E在内部时，试证：； (2)，在图2中，若，求出的度数 (3)，如图3，点E在外部时（1）中结论是否成立？如不成立，请直接写出之间有何数量关系？ (4)如图4，请直接表示，，，，之间的数量关系． 23．（1）如图①，已知，点为平面内一点，．小颖说：“过点作，很容易就能找到和的数量关系．”则和的数量关系是___________． （2）如图②，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（点与，，三点不重合）请直接写出与之间的数量关系． 24．（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 25．已知直线， 直线分别交于点M、N．P 是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度； （3）如图3，若 ，，交 的延长线于点E，交的延长线于点F，请问是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 26．如图，，点P为直线，间一点，点E，F分别是直线，上的点，连接，． (1)【证明推断】求证：． (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点Q． ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，请直接写出________ (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线，间的点，请直接写出，，，的数量关系：___________． 27．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【题型5：平行线与三角板综合】 28．【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 29．在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 30．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． 31．综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 32．已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 33．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 34．小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 35．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【题型6：平行线与动点问题】 36．（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 37．已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．    (1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．    (2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由． 38．已知，，点P在直线上，E为上一点，F为上一点． (1)如图①，当点P在线段上运动时，连接，求的值； (2)如图②，当点P在线段延长线上运动时，连接，求的值； (3)如图③，当点P在线段的延长线上运动时，连接，请直接写出与之间的数量关系． 39．如图，已知，，点P是射线上一动点（与点B不重合），、分别平分和，交射线于点C、D． (1)求的度数； (2)当点P运动时，与的度数有怎样的关系，并说明理由； (3)当点P运动到使时，求的度数． 40．如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 41．如图，在中，点D在的延长线上，过点A作直线． (1)如图1，点F在直线，之间，连接，，探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，过点C作交于点G，平分，平分，若，求的度数（用含x的式子表示）； (3)如图3，，，射线从的位置开始绕点A逆时针旋转，旋转，同时射线满足，且始终在前面运动，射线平分，当时，求的度数． 42．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，．    (1)求的度数． (2)如图2，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)在（2）中，射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $