专题05 相交线与平行线重难点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题05 相交线与平行线重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1：对顶角及其性质】.....................................................................................................1 【题型2：余角和补角的有关计算】......................................................................................2 【题型3：垂线段的性质】.....................................................................................................3 【题型4：点到直线的距离】....................................................................................................4 【题型5：同位角，内错角和同旁内角的识别】.........................................................................5 【题型6：利用平行线性质求角度】.......................................................................................5 【题型7：利用平行线性质解决三角板问题】.........................................................................6 【题型8：利用平行线性质解决折叠问题】............................................................................8 【题型9：平行线性质的实际应用】.........................................................................................9 【题型10：利用平行线的判定与性质的综合】......................................................................11 【题型1：对顶角及其性质】 1．下列各图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 4．已知，则它的余角为（   ） A． B． C． D． 【题型2：余角和补角的有关计算】 5．的度数为，则的补角的度数等于（    ） A． B． C． D． 6．已知与互为余角，与互为补角，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．一个角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的余角的度数． 8．如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 9．如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)比较与的大小，并说明理由． 【题型3：垂线段的性质】 10．如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 11．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 12．如图，是水平线，有一条细线，其中一端系着一个小球，另一端固定在点，将小球从左向右摆动，当垂直时，小球到水平线的距离最近，数学依据是_______． 【题型4：点到直线的距离】 13．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，．于点，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 15．如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 16．已知为直线外一点，为直线上三点，且，则点到直线的距离（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不大于 【题型5：同位角，内错角和同旁内角的识别】 17．如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 18．下列四个图形中，与互为内错角的是（    ） A．B．C． D． 19．如图，的同旁内角是（    ） A． B． C． D． 20．如图，下列判断正确的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和是对顶角 【题型6：利用平行线性质求角度】 21．如图，，直线与直线分别交于点E，F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．如图，是的平分线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．如图，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型7：利用平行线性质解决三角板问题】 25．将直角三角板按如图所示位置放置，直线，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 26．如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 27．小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置，当_______时，． 28．如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则的度数是_______．    29．一副直角三角板如图放置，其中，将三角板绕点转动．当时，的度数为___________． 【题型8：利用平行线性质解决折叠问题】 30．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则等于（   ） A． B． C． D． 31．如图，在长方形纸片中，，把纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 33．如图1，已知长方形纸片，将纸片沿折叠，点分别落在点，的位置，与交于点，再沿折叠成图2，若，则（   ） A． B． C． D． 34．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了8次，问图（1）中∠DEF的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型9：平行线性质的实际应用】 35．一辆汽车，第一次向右拐50°，要使行驶方向与原来的方向相同，第二次应该（    ） A．向左拐130° B．向右拐50° C．向右拐130° D．向左拐50° 36．如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆B在王老师家A的北偏东方向上，学校C在图书馆B的北偏西方向上．则的度数是（    ）      A． B． C． D． 37．如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（    ） A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转 B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转 C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转 D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转 38．如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 39．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点．若，则的度数是_____． 40．如图，两座大厦的大楼顶部各有一个射灯当光柱相交（它们都在同一个平面内）时，，则的度数为________． 【题型10：利用平行线的判定与性质的综合】 41．如图，，，，完成探索与的数量关系的过程： 解：因为，， 所以， 所以（________________）， 所以（________________）， 又因为， 所以________________（等量代换）， 所以，（________________）， 所以________________．（两直线平行内错角相等） 42．已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 43．如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 44．如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 45．如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相交线与平行线重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1：对顶角及其性质】.....................................................................................................1 【题型2：余角和补角的有关计算】......................................................................................3 【题型3：垂线段的性质】.....................................................................................................5 【题型4：点到直线的距离】....................................................................................................7 【题型5：同位角，内错角和同旁内角的识别】.........................................................................8 【题型6：利用平行线性质求角度】.......................................................................................10 【题型7：利用平行线性质解决三角板问题】.........................................................................13 【题型8：利用平行线性质解决折叠问题】............................................................................17 【题型9：平行线性质的实际应用】.........................................................................................21 【题型10：利用平行线的判定与性质的综合】......................................................................26 【题型1：对顶角及其性质】 1．下列各图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角，掌握“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”是正确解答的关键． 根据对顶角的定义即可解答． 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项C中的与是对顶角， 故选：C． 2．如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的和差，对顶角相等， 先求出，再根据对顶角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 4．已知，则它的余角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互余两角的和为，计算出的余角即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的余角． 【题型2：余角和补角的有关计算】 5．的度数为，则的补角的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了补角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为补角，据此计算的补角即可。 【详解】解：∵互为补角的两个角的度数和为， 又∵， ∴的补角的度数． 故选：D． 6．已知与互为余角，与互为补角，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的概念，熟练使用余角和为，补角和为是解题的关键． 先根据与互为补角求，再根据与互为余角求即可． 【详解】∵与互为补角， ∴， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴， 故选：C． 7．一个角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的余角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了补角、余角的概念，角度的计算，准确理解题意建立正确的方程是解题的关键．设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为，由题意得：，解方程得到这个角为，最后计算出这个角的余角即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为， 由题意得：， 解得：， ∴这个角的余角为：， 答：这个角的余角的度数为． 8．如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直接解答即可； （2）根据平角的定义可求，根据对顶角的定义可求，根据角的和差关系可求的度数． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，且， ， ， ， ． 9．如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查余角的定义，三角板中角度的计算等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． 答：的度数为． （2）解：． 理由如下： 因为， 所以，． 所以． 【题型3：垂线段的性质】 10．如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可，理解垂线段最短是正确解答的关键． 【详解】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是垂线段最短， 故选： 11．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 12．如图，是水平线，有一条细线，其中一端系着一个小球，另一端固定在点，将小球从左向右摆动，当垂直时，小球到水平线的距离最近，数学依据是_______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：由垂线段最短，得 当垂直l时，小球C到水平线l的距离最近，依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【题型4：点到直线的距离】 13．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 14．如图，在中，．于点，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题关键．根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可得． 【详解】解：∵于点， ∴点到直线的距离是线段的长度． 故选：C． 15．如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 16．已知为直线外一点，为直线上三点，且，则点到直线的距离（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不大于 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：因为垂线段最短，， 所以点P到直线l的距离不大于． 故选：D 【题型5：同位角，内错角和同旁内角的识别】 17．如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角， 故选：C． 18．下列四个图形中，与互为内错角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内错角，能根据内错角的概念正确判断是解题关键． 根据内错角的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．与不是内错角，故此选项不符合题意； B．与不是内错角，故此选项不符合题意； C．与是内错角，故此选项符合题意； D．与不是内错角，故此选项不符合题意； 故选：C． 19．如图，的同旁内角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同旁内角的定义．直接根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：的同旁内角， 故选：B． 20．如图，下列判断正确的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和是对顶角 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；若两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此定义求解即可． 【详解】解：A. 和是内错角，故该选项不正确，不符合题意；     B. 和是内错角，故该选项正确，符合题意； C. 和不是同旁内角，故该选项不正确，不符合题意； D. 和是不对顶角，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【题型6：利用平行线性质求角度】 21．如图，，直线与直线分别交于点E，F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，先得出，结合平行线的性质，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 22．如图，是的平分线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，关键是通过平行线的性质推导角的关系，结合角平分线计算角度．先利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，最后通过平行线的内错角相等得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， 故选：C． 23．如图，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，由可得，根据平行线的性质得到，，再根据角的和差可以求出的度数． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 24．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的计算与平行线的性质，熟练掌握平行线的性质以及角度之间的关系是解题的关键．利用角度关系，结合已知的角度，通过计算求出的度数． 【详解】解：∵ 镜子与竖直方向的夹角， ∴ ． ∵ 入射角， ∴ ． ∴． ∵ 竖直，竖直， ∴ ， ∴ ． 又∵ 反射角等于入射角， ∴ ． 故选：A． 【题型7：利用平行线性质解决三角板问题】 25．将直角三角板按如图所示位置放置，直线，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 26．如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角板中角度计算，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点B作，得到，求出，然后由平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 27．小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置，当_______时，． 【答案】60 【分析】根据平行线的判定和性质，选择适当方法解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：60． 28．如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则的度数是_______．    【答案】148° 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，求出，得到，由对顶角的在得到． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 29．一副直角三角板如图放置，其中，将三角板绕点转动．当时，的度数为___________． 【答案】或 【分析】此题考查了平行线的性质，三角板中的角度问题，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分两种情况讨论，分别根据平行线的性质求出，然后根据角的和差求解即可． 【详解】如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【题型8：利用平行线性质解决折叠问题】 30．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此利用平角的定义即可求出答案． 【详解】解；∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：A． 31．如图，在长方形纸片中，，把纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识．由可得，由折叠可得：，最后根据平角的定义求解即可． 【详解】解： ，， ， 由折叠可得：， ， 故选：C． 32．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，延长，根据折叠的性质，可知，由平角的定义可得，由平行线的性质可得，列式．本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 【详解】如图，延长， 折叠， ， ， ， ， ， ， ． ∴ 故选B． 33．如图1，已知长方形纸片，将纸片沿折叠，点分别落在点，的位置，与交于点，再沿折叠成图2，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质，得到，利用平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系得出，进而根据折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据图2可得， ∴ 故选：B． 34．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了8次，问图（1）中∠DEF的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住；整个过程共折叠了8次，可得与重合，依据平行线的性质，即可得到的度数．本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 【详解】解：设，则， 折叠8次后与重合， ， 如图（2），， ， ， ， 即． 故选：A． 【题型9：平行线性质的实际应用】 35．一辆汽车，第一次向右拐50°，要使行驶方向与原来的方向相同，第二次应该（    ） A．向左拐130° B．向右拐50° C．向右拐130° D．向左拐50° 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意画出图形，得：两次拐的方向不相同，但角度相等，即可． 【详解】解：如图，    第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于要使行驶方向与原来的方向相同，所以； ∴第二次应该向左拐50°． 故选D． 【点睛】本题考查平行线性质的实际应用．解题的关键是掌握平行线的性质，利用数形结合的思想求解． 36．如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆B在王老师家A的北偏东方向上，学校C在图书馆B的北偏西方向上．则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方向角的概念和平行线的性质求出，应用平角定义即可计算． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查方向角的概念，平行线的性质，关键是掌握：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角． 37．如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（    ） A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转 B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转 C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转 D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°， ∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM， ∴AC与DF不平行， 故A不符合题意； B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°， ∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM， ∴AC与DF不平行， 故B不符合题意； C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°， ∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE， ∴AC//DF， 故C符合题意； D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°， ∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE， ∴AC与DF不平行， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 38．如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°． 【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2=∠3（等量代换）； 在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°， ∴∠2=55°； ∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题． 39．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 40．如图，两座大厦的大楼顶部各有一个射灯当光柱相交（它们都在同一个平面内）时，，则的度数为________． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型10：利用平行线的判定与性质的综合】 41．如图，，，，完成探索与的数量关系的过程： 解：因为，， 所以， 所以（________________）， 所以（________________）， 又因为， 所以________________（等量代换）， 所以，（________________）， 所以________________．（两直线平行内错角相等） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质补全解析过程即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为， 所以（等量代换）， 所以，（内错角相等，两直线平行）， 所以．（两直线平行内错角相等） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；． 42．已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明： ，， ， ． （2）解： ，， ， ， ， ． 43．如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，则，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 44．如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）依据题意，由，得，又，，可得，从而，则，故得解； （2）根据已知条件，可得，再由，得，根据，，得出，进而可得的度数． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ． ． 45．如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）作辅助线构造平行线，从而得到，根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，由平行线的性质可得，，由此可求解； （3）由角平分线的性质可得，，再根据（2）中的结论同理可得，由此可求． 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点P作（点H在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， 由（2）中的结论可知，， 同理可得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $