专题06 平行线重难点模型（四大模型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题06 平行线重难点模型 重难点模型归纳 模型一：“铅笔模型” 模型二：“猪蹄模型” 模型三：“臭脚模型” 模型四：“骨折模型” 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 1．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360° 【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解； （2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解． 【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD， ∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°， ∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°， 即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； 故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； （2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∵∠EPF＝100°， ∴∠PEA+∠PFC＝100°， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°， ∴∠DFQ+∠BEQ＝130°， ∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°， 故答案为：130°； ②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下： ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +2∠EQF＝360°； ③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°； 同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，…… ∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键． 2．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 1．如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处．若，，则的度数为____________． 【答案】/83度 【分析】本题考查了平行线的性质，作，由两直线平行，内错角相等可得，再结合题意得出，从而得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，，平分，平分，，那么的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【详解】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．已知直线，，，则等于______． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，作，由可得，根据平行线的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：如图：作， ， ， ，， ． 故答案为：． 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是______度． 【答案】55 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，先分别求出和，再根据“两直线平行，内错角相等”求出和，即可得出答案． 【详解】∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则 ，再由（2）得，则，进而求解即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3） 分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 7．已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，余角和补角等知识，解题的关键是充分利用平行线的性质进行求解； （1）过点作，利用平行线的性质求解即可； （2）过点G作，利用平行线的传递性，则，再利用平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得到，即可得到之间的关系，即可求解； （3）由（1）得再根据平分，，再根据条件，分别用表示出根据补角得出两者之间的等量关系，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如答案图，过点G作，则． ∴ ∴． 同理可得． ∵平分，平分 ． （3）解：由（1）得 平分， ， 又， ， 的余角等于的补角， ， 即， ， ， ． 8．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 1．如图，，为上一点，的平分线的反向延长线交的平分线于N点，已知，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，角平分线的定义等知识，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 过作，过作，则，设 ，根据平行线的性质得，，由 ，求出，即可求解． 【详解】过作，过作， ∴， ∵的平分线的反向延长线交的平分线于点， ∴设， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 2．如图，，，，交于点F，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，过点F作，设，则，，由平行线的性质得到，证明，得到，则可得到；由平行线的性质得到，证明，得到，则可求出，则． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 4．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 5．在如图1，ABCD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE． (1)试说明：∠ABE+∠C-∠E=180° (2)如图2，EG平分∠BEC，过点B作BHGE，当∠FBH＝15°时，求∠C的度数为 ． (3)如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，找出∠M与∠E的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)150° (3)∠FMN=90°-∠E 【分析】（1）过点E作EKAB，由平行线的性质得出∠ABE＝∠BEK，∠CEK+∠C＝180°，进而得出答案； （2）设∠ABF＝∠EBF＝α，∠BEG＝∠CEG＝β，由平行线的性质得出∠HBE＝∠BEG＝β，∠FBH＝∠FBE﹣∠HBE＝α﹣β，由（1）知∠ABE+∠C﹣∠BEC＝180°，即可得出答案； （3）设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ECN＝∠DCN＝y，由（1）知∠E＝2（x+y）﹣180°，过M作PQABCD，由平行线的性质得出∠PMF＝∠ABF＝x，∠QMN＝∠DCN＝y，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作EK//AB，如图所示， ， ∵AB//CD， ∴EK//CD， ； （2）解：、分别平分、， ，， 设，， ∵BH//EG， ， ， 由（1）知，， 即， ； ， ． 故答案为； （3）解：、分别平分、， ，， 设，， 由知：， 即①， 过作PQ//AB， ∵AB//CD， ∴PQ//CD， 则，， ②， ①+2×②得：∠E+2∠FMN=180°， ∠FMN=90°-∠E． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线定义等知识，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解题的关键，属中考常考题型． 6．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证； （2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出，，从而可得，再根据垂直的定义可得，由此即可得出结论； （3）过点作，延长至点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得，然后根据角的和差、对顶角相等可得，由此即可得出答案． 【详解】证明：（1）如图，过点作， ， ， ， ，即， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作，延长至点， ， ， ， ， 平分，平分， ， 由（2）可知，， ， 又， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 模型四：“骨折模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 1．如图，将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为__________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 由折叠的性质可得延长，，由折叠可知 ，，设， ，从而，再由，由此可证. 【详解】解：如图；延长，，由折叠可知 ，      ∵设， ∴ ∵将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即（） ，解得 ∴ 故答案为：. 2．（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ，， CD∥PQ． ， 又 ， ， ； （2）， 理由：如图2，过P点作，则， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，∠HGF=∠CFG， 又 的平分线和的平分线交于点G， ，， 由（2）得，， ． 3．已知，点为平面内的一点，，垂足为． (1)问题呈现 如图1，，则　　； (2)问题迁移 如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展 如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．    【答案】(1)150； (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）过 作 , 根据平行线的性质得到 ，, 根据垂直的定义得到 , 于是得到结论； （2）过点 作 , 根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论； （3）过点 作 , 由 （2） 可知: , 根据平行线的性质得到 , 根据角的和差倍分即可得到结论； 【详解】（1）过作，   ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：150； （2）， 理由：过点作，   ，， ， ，， ． ， ， ； （3）过点作，    由（2）可知：， ，， ，， ，， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，正确地作出辅助线是解题的关键 4．已知，，点E为射线上一点．    (1)如图1，若，，则　　． (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图3，当点E在延长线上时，平分，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得； （2）过过作，根据平行线的性质得到，，即； （3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出的值再通过三角形内角和求． 【详解】（1）解：过作，   ， ， ，， ． （2）解：． 理由如下： 过作，   ， ， ，， ，， ． （3）解：， 设，则， ，， 又，， ， 平分， ， ， ， 即，解得， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平行线重难点模型 重难点模型归纳 模型一：“铅笔模型” 模型二：“猪蹄模型” 模型三：“臭脚模型” 模型四：“骨折模型” 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 1．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 2．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 1．如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处．若，，则的度数为____________． 2．如图，，平分，平分，，那么的度数为_____． 3．已知直线，，，则等于______． 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是______度． 5．（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 6．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 7．已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 8．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 1．如图，，为上一点，的平分线的反向延长线交的平分线于N点，已知，则_______． 2．如图，，，，交于点F，则_____． 3．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 4．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 5．在如图1，ABCD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE． (1)试说明：∠ABE+∠C-∠E=180° (2)如图2，EG平分∠BEC，过点B作BHGE，当∠FBH＝15°时，求∠C的度数为 ． (3)如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，找出∠M与∠E的数量关系． 6．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值． 模型四：“骨折模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 1．如图，将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为__________．（用含的代数式表示） 2．（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 3．已知，点为平面内的一点，，垂足为． (1)问题呈现 如图1，，则　　； (2)问题迁移 如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展 如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．    4．已知，，点E为射线上一点．    (1)如图1，若，，则　　． (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图3，当点E在延长线上时，平分，且，，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $