高频考点02 方程与不等式 （专项训练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

高频考点02 方程与不等式 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+18道中考预测题） 考点一 一元一次方程 命题点 1 列一元一次方程 命题点 2 一元一次方程的解决应用 中考预测题2道 考点二 二元一次方程组 命题点 1 列二元一次方程组 命题点 2 二元一次方程（组）的解 命题点 3 解二元一次方程组 命题点 4 二元一次方程组的解决应用 中考预测题4道 考点三 一元二次方程 命题点 1 列一元二次方程 命题点 2 一元二次方程的实数根 命题点 3 一元二次方程的根与系数关系 命题点 4 解一元二次方程 命题点 5 一元二次方程的解决应用 中考预测题5道 考点四 分式方程 命题点 1 列分式方程 命题点 2 分式方程的解 命题点 3 解分式方程 命题点 4 分式方程的解决应用 中考预测题4道 考点五 不等式与不等式组 命题点 1 不等式的性质 命题点 2 解一元一次不等式组 命题点 3 一元一次不等式的解决应用 中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 一元一次方程 1.列一元一次方程 2.一元一次方程的解决应用 1.常以选择题、解答题出现； 2.通过古代数学问题或实际情境列出方程，考查对等量关系的抽象能力； 3.会完整求解实际问题，如人数分配，费用计算等，需体现设未知数、列方程、求解、检验的完整过程。 二元一次方程组 1.列二元一次方程组 2.二元一次方程（组）的解 3.解二元一次方程组 4.二元一次方程组的解决应用 1.常以选择题、填空题、解答题（计算和应用）出现； 2.通过古代数学问题或实际情境列出方程组，考查等量关系的抽象能力； 3.考查方程（组）解的概念及参数计算； 4.掌握规范的求解过程，常用代入消元法或加减消元法； 5.结合实际生活场景（如购物优惠、工程分配，需完成呈现设元，列方程组、求解、检验的过程。 一元二次方程 1.列一元二次方程 2.一元二次方程的实数根 3.一元二次方程的根与系数关系 4.解一元二次方程 5.一元二次方程的解决应用 1.常以选择题、填空题、解答题（计算和应用）出现； 2.通过增长率、面积问题等实际情境列出方程，考查对等量关系的抽象能力； 3.考查根的判别式的应用，判断根的情况或求参数值； 4.利用韦达定理求两根之和、两根之积或构造新方程； 5.要求写出规范的求解过程，常用因式分解法、公式法等； 6.结合增长率、面积、利润等实际问题，需完整呈现建模、求解、检验的过程 分式方程 1.列分式方程 2.分式方程的解 3.解分式方程 4.分式方程的解决应用 1.常以选择题、填空题、解答题（计算和应用）出现； 2.通过实际情境（如行程问题、工程问题等）列出分式方程，考查对等量关系的抽象能力； 3.考查分式方程解的概念、增根的判断及参数计算； 4.要求写出去分母、求解、验根的完整过程，重点考查验根步骤； 5.结合实际生活场景（如购物、工程效率、行程等），需完整呈现设元、列方程、求解、检验的过程 不等式与不等式组 1.不等式的性质 2.解一元一次不等式组 3.一元一次不等式的解决应用 1.常以选择题、解答题（计算和应用）出现； 2.考查对不等式基本性质（如加减、乘除正数/负数时不等号方向变化）的理解与应用； 3.要求求出不等式组的解集并在数轴上表示，部分小题以填空题形式考查整数解或解集范围； 4.结合实际场景（如购物、分配、方案设计等），需通过不等式（组）求解最值或可行方案。 一、核心知识必备 （一）方程的基本概念与解法 1. 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程。一般形式为ax+b=0（a≠0），解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 2. 二元一次方程（组）：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程；由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。解法有代入消元法和加减消元法。 3. 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），解法包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 4. 分式方程：分母中含有未知数的方程。解法是去分母化为整式方程求解，解后必须验根，防止产生增根。 （二）不等式的基本概念与解法 1. 不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 2. 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式。解法与一元一次方程类似，但需注意不等号方向的变化。 3. 一元一次不等式组：由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式组。解法是先求出每个不等式的解集，再利用数轴求出它们的公共部分。 二、常用结论与技巧 （一）方程部分 1. 一元二次方程根的判别式：对于ax²+bx+c=0（a≠0），Δ=b²-4ac。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根；Δ<0时，没有实数根。 2. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。常用于求两根之和、两根之积，或构造新方程。 3. 解分式方程验根技巧：将求得的整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0，则是增根，应舍去；否则是原方程的根。 4. 二元一次方程组解的情况：对于方程组{a₁x+b₁y=c₁, a₂x+b₂y=c₂}，当a₁/a₂≠b₁/b₂时，有唯一解；当a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂时，无解；当a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂时，有无数解。 （二）不等式部分 1. 解一元一次不等式组口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。 2. 不等式（组）的整数解：先求出不等式（组）的解集，再在解集中找出所有整数。 3. 含参数的不等式（组）：根据参数的取值范围分类讨论，确定不等式（组）的解集。例如，解关于x的不等式ax>b时，需分a>0、a=0、a<0三种情况讨论。 （三）综合应用技巧 1. 列方程（组）或不等式（组）解应用题步骤：审（审题）、设（设未知数）、列（列方程或不等式）、解（求解）、验（检验）、答（作答）。 2. 常见等量关系：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、利润问题（利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%）等。 3. 利用数形结合思想：解方程（组）可借助函数图像交点，解不等式（组）可利用数轴直观表示解集。 考点一 一元一次方程 《解题指南》 · 熟练掌握解方程的规范步骤，杜绝计算失误； · 加强实际问题的审题训练，学会从背景中抽象等量关系； · 针对含参数、分类讨论等难点题型进行专项突破； · 定期进行限时训练，提高解题速度与准确率。 命题点01 列一元一次方程 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 【典例02】（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 命题点02 一元一次方程的解决应用 【典例01】（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 【典例02】（2024·江苏连云港·中考真题）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元一次方程，求解即可 【详解】解：若每次购买都是100把，则． 一次购买少于100把，另一次购买多于100把． 设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把． 由题意得：， 解得． ． 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把． 中考预测题 1．《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意，杏的总数在两种分组方式下相等，由此列出方程，即可作答． 【详解】解：∵人一组，每组个杏，则多个杏，设牧童人， ∴杏的总数：； ∵人一组，每组个杏，则多个杏． ∴杏的总数：； ∵杏的总数不变， ∴， 故选：C． 2．苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 【答案】甲种型号的“手幅”的单价是元，乙种型号的“手幅”的商品单价是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各个共需元”列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元． 根据题意得：， 解得， ． 答：甲种型号的“手幅”单价是元，乙种型号的“手幅”单价是元． 考点二 二元一次方程组 《解题指南》 题型 关键技巧 示例 解方程组 观察系数特征，优先加减消元 系数成倍数时直接扩倍 参数问题 同解问题先求公共解，错解问题用错解代入 已知错解{x=2,y=1}代入未看错方程 应用题 列表法梳理量关系，间接设元简化方程 行程问题设速度为未知数 方案问题 枚举法列出所有可行解，比较最优 根据整数解计算各方案利润 命题点01 列二元一次方程组 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可． 【详解】解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意，得： ； 故选B． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得， 由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得， 因此可列方程组， 故选D． 命题点02 二元一次方程（组）的解 【典例01】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 命题点03 解二元一次方程组 【典例01】（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组： （1）加减法解方程组即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 【典例02】（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得，，解得，． 将代入①得． 方程组的解是 命题点04 二元一次方程组的解决应用 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 中考预测题 1．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 2．关于、的方程组则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组求解问题．本题可以通过将两个方程相加或相减来简化计算，直接得到的值，而无需单独求解的值． 【详解】解：观察， 将两个方程相加，得到：， 将上述方程两边同时除以3，得：． 故答案为：． 3. 解方程和不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 4. 某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 考点三 一元二次方程 《解题指南》 一元二次方程是中考数学的核心内容，需重点掌握： 1. 熟练选择最优解法（因式分解法优先，公式法兜底） 2. 灵活运用判别式和韦达定理解决含参问题 3. 注重实际应用题的建模能力，特别是增长率、面积、利润问题 4. 通过专题训练培养分类讨论和转化思想 命题点01 列一元二次方程 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 【典例02】（2023·江苏无锡·中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 命题点02 一元二次方程的实数根 【典例01】 （2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 命题点03 一元二次方程的根与系数关系 【典例01】 （2023·江苏泰州·中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为______________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系进行求值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 命题点04 解一元二次方程 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法． （1）把方程化为，再进一步解方程即可． （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． （2）， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；     （2）解不等式组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）利用配方法求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， （2） 解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此该不等式组的解集为：． 命题点5 一元二次方程的解决应用 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【典例02】（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．        【答案】的长为米或米 【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 中考预测题 1．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，其根的判别式求解即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ， 解得． 故选：D． 3. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 则 ， 故答案为． 4. 解方程与不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 5. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设每次下降百分率为，得，求解即可． （2）①根据销售盈利=销售量×每千克盈利，列出方程求解即可． ②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意可得：， 解得，舍去， 答：每次下降的百分率为； （2）①设每千克应涨价a元， 由题意可得：， 解得，， 答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②设每千克应涨价m元， 由题意可得，， 当时，W取得最大值，此时， 答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元． 考点四 分式方程 《解题指南》 1. 简化运算技巧 · 先化简分式再去分母（如分子分母先约分） · 整体代换法：将设为y，转化为整式方程 · 拆项法：将复杂分式拆分为简单分式（如） 2. 中考高频考点 · 增根的判定与参数计算 · 分式方程与不等式结合的应用题 · 分式方程的实际应用（工程、行程问题） 命题点01 列分式方程 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 命题点02 分式方程的解 【典例01】（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 【典例02】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 命题点03 解分式方程 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 命题点04 分式方程的解决应用 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 中考预测题 1．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 2．分式方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．方程两边同乘以化成整式方程，解方程可得的值，再进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 3. 解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 4. 铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 考点五 不等式与不等式组 《解题指南》 1. 熟练掌握不等式基本性质，特别是乘除负数变号规则 2. 解不等式组时，养成画数轴辅助分析的习惯 3. 方案设计问题要注意未知数的实际意义（如人数、商品件数必须为正整数） 4. 强化含参数不等式的分类讨论训练 5. 限时训练中考真题，提高解题速度和准确率 命题点01 不等式的性质 【典例01】（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）若则______0．（填、或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点02 解一元一次不等式组 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如图： ∴不等式组的解集为． 命题点03 一元一次不等式的解决应用 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 【典例02】（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 中考预测题 1．如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意； ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ，不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意； 故选：D． 2．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则． 先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为 ． 3. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 好题速递 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 2．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道关于洗碗的算术题，大意是：有一位妇人在河边洗碗，过路人问她家里来了多少客人？妇人回答说她只知道每2位客人合用一只饭碗，每3位客人合用一只汤碗，每4位客人合用一只肉碗，不多不少恰好用了65只碗．我们假设来了位客人，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设共有x位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了65只碗，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 3．（2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质．根据题意得到，则，再逐一计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 若，则， ∴， 若，则， ∴， ， ∵， ∴，∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 4．（2025·江苏扬州·一模）给出一种运算：对于，规定例如：若，则有已知，则命题“方程的解是或”是__________命题． 【答案】真 【分析】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法以及判断命题的真假．根据新定义的规定先计算，再解方程，最后进行判断即可． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 所以，命题“方程的解是或”是真命题， 故答案为：真． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是一个矩形，它由正方形、正方形和矩形拼合而成，若两个正方形的面积之和为34，矩形是面积为15的长方形，则矩形的面积为________．    【答案】40 【分析】本题考查了完全平方公式化简计算，一元二次方程的几何应用，正确建立方程是解题的关键． 设正方形、正方形的边长分别为，根据题意得到方程组，根据完全平方公式将其转化为，再由代入消元法得到一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设正方形、正方形的边长分别为， 由题意得：， ∴， ∴（舍负）， ∴， 整理得： 解得：或（不合题意）， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：40． 6．（2025·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，点P在直线上．我们约定点是点P的反对称点． （1）若点P的反对称点为本身，则P点坐标为____________； （2）若抛物线上不存在点P的反对称点，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的点坐标性质、一元二次方程判别式与方程解的关系，以及函数与方程的转化思想．解题关键在于结合点在直线上的性质建立方程求解． （1）由点在直线上，且点是点的反对称点，当点的反对称点为本身时，即，从而代入求解即可； （2）先设出点坐标，根据反对称点定义得到其反对称点坐标，再根据抛物线不存在点的反对称点，转化为方程无解的问题． 【详解】解：（1）∵点在直线上， ∴． 又∵点的反对称点为本身， ∴， 将代入，得到． ∴， 解得， ∴． ∴点坐标为． （2）设点， ∴其反对称点． ∵抛物线上不存在点的反对称点， ∴方程无解． ∴ ∴ ∴中，， ∴ 对于二次函数，令， ∴求根公式（这里，，）可得： 解得，． ∴不等式的解集为． 7．（2026·江苏南通·一模）计算： (1) (2)解不等式组并写出它的所有负整数解． (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)3 (2)不等式组的解集为，负整数解为， (3) 【分析】本题考查含特殊角的三角函数值的混合运算，不等式组的解法，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先代入特殊角的三角函数值，再进一步运算即可． （2）分别解不等式组中的两个不等式得到不等式组的解集，再确定负整数解即可． （3）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为，负整数解为，． （3）解： ， 由题意得，， ∴原式． 8．（2025·江苏泰州·二模）如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． (1)要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ (2)若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 【答案】(1)3米 (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程和二次函数在几何图形面积问题中的应用．解题关键在于根据几何图形的边长关系设未知数，利用面积公式建立方程或函数表达式，同时要注意结合实际条件（如墙长对边长的限制）来确定未知数的取值范围，进而求解问题． （1）本题通过设未知数来建立方程求解．设，由于篱笆总长为，且边有段（两个矩形），所以平行于墙的边长为．根据矩形面积公式长宽，总面积为平方米，得到方程．求解方程得到两个根， ．又因为墙长米，即，解这个不等式得到，所以舍去，确定． （2）同样先设，因为小鸡活动区域为正方形，所以 ，根据矩形面积公式得到小兔活动区域面积矩形 ，这是一个二次函数．对于二次函数（），当时，图象开口向下，在对称轴处取得最大值．这里，对称轴为 ，且由墙长限制，即，在这个范围内，随的增大而减小，所以当时，取得最大值 ，进而得出米，米时，小兔活动区域面积最大． 【详解】（1）解：设，根据题意得， 解得，， ∵，， ∴ 答：垂直于墙的边长为3米． （2）解：设，则，根据题意得， ， 当时，随的增大而减小 ∵，， ∴当时，最大 答：当米，米时，小兔活动区域面积最大． 中考闯关 1．随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去年的销量今年的销量，列方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 故选：A． 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 3．若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式的性质，解题的关键是先用含的代数式表示出、的值．先联立已知的等式，通过解二元一次方程组用含的代数式表示出、的值，然后通过等式和不等式的性质逐项判断各选项即可． 【详解】解：联立， 由得，， 把代入得，，解得， 把代入得，， ，的值未定， 无法确定正负性，即无法确定，故A选项结论不符合题意； 若，则，故B选项结论不符合题意； ，故C选项结论符合题意； 若，则，故D选项结论不符合题意． 故选：C ． 4．某书店销售图书，成本为每本a元，将成本提高后标价，再打折售出，最终获利20元，则打______折（用含a的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 求出标价为元，，设打x折，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：成本为每本a元，将成本提高后标价， 则标价为元， 设打x折， ∵打折售出，最终获利20元， ∴， 解得：. 故答案为：． 5．幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是________． 【答案】3 【分析】本题考查了幻方的计算，理解题目中幻方的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴“德”盖住的数字是3， 故答案为：3 ． 6．整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为___________；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为___________． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键．本题第一空参考示例中的方法，通过设未知数并建立方程来求解；第二空利用整体思想，将连分数设为变量，通过方程求解其值． 【详解】解：设，由题意可得： ，解得：， 即的分数形式为； 设， 根据题意，分母中的无限连分数与原式完全相同，因此分母即为， 于是方程可表示为：，解得：或（舍去）， 即此数的值为． 故答案为：；． 7．（1）请从下面三个不等式中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解． ； ； ； （2）解方程组：． 【答案】（）和，；和，无解；和，；（2）． 【分析】（）先进行分组，再根据二元一次不等式组的解法即可求解； （）根据加减消元法即可求解； 此题主要考查了不等式组和二元一次方程组的解法，熟练掌握解法步骤是解题的关键． 【详解】解：（1）若选择和， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：； 若选择和， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组无解； 若选择和， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：； （2）， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 8．近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1) (2)建设座种换电站可使投资总额最少，为万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出一次函数关系式，即可求解； （2）根据种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，得，进而根据一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍， 所以，解得； 因为一次函数中，随的增大而减小， 所以当时，； 答：建设座种换电站可使投资总额最少，为万元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点02 方程与不等式 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+18道中考预测题） 考点一 一元一次方程 命题点 1 列一元一次方程 命题点 2 一元一次方程的解决应用 中考预测题2道 考点二 二元一次方程组 命题点 1 列二元一次方程组 命题点 2 二元一次方程（组）的解 命题点 3 解二元一次方程组 命题点 4 二元一次方程组的解决应用 中考预测题4道 考点三 一元二次方程 命题点 1 列一元二次方程 命题点 2 一元二次方程的实数根 命题点 3 一元二次方程的根与系数关系 命题点 4 解一元二次方程 命题点 5 一元二次方程的解决应用 中考预测题5道 考点四 分式方程 命题点 1 列分式方程 命题点 2 分式方程的解 命题点 3 解分式方程 命题点 4 分式方程的解决应用 中考预测题4道 考点五 不等式与不等式组 命题点 1 不等式的性质 命题点 2 解一元一次不等式组 命题点 3 一元一次不等式的解决应用 中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 一元一次方程 1.列一元一次方程 2.一元一次方程的解决应用 1.常以选择题、解答题出现； 2.通过古代数学问题或实际情境列出方程，考查对等量关系的抽象能力； 3.会完整求解实际问题，如人数分配，费用计算等，需体现设未知数、列方程、求解、检验的完整过程。 二元一次方程组 1.列二元一次方程组 2.二元一次方程（组）的解 3.解二元一次方程组 4.二元一次方程组的解决应用 1.常以选择题、填空题、解答题（计算和应用）出现； 2.通过古代数学问题或实际情境列出方程组，考查等量关系的抽象能力； 3.考查方程（组）解的概念及参数计算； 4.掌握规范的求解过程，常用代入消元法或加减消元法； 5.结合实际生活场景（如购物优惠、工程分配，需完成呈现设元，列方程组、求解、检验的过程。 一元二次方程 1.列一元二次方程 2.一元二次方程的实数根 3.一元二次方程的根与系数关系 4.解一元二次方程 5.一元二次方程的解决应用 1.常以选择题、填空题、解答题（计算和应用）出现； 2.通过增长率、面积问题等实际情境列出方程，考查对等量关系的抽象能力； 3.考查根的判别式的应用，判断根的情况或求参数值； 4.利用韦达定理求两根之和、两根之积或构造新方程； 5.要求写出规范的求解过程，常用因式分解法、公式法等； 6.结合增长率、面积、利润等实际问题，需完整呈现建模、求解、检验的过程 分式方程 1.列分式方程 2.分式方程的解 3.解分式方程 4.分式方程的解决应用 1.常以选择题、填空题、解答题（计算和应用）出现； 2.通过实际情境（如行程问题、工程问题等）列出分式方程，考查对等量关系的抽象能力； 3.考查分式方程解的概念、增根的判断及参数计算； 4.要求写出去分母、求解、验根的完整过程，重点考查验根步骤； 5.结合实际生活场景（如购物、工程效率、行程等），需完整呈现设元、列方程、求解、检验的过程 不等式与不等式组 1.不等式的性质 2.解一元一次不等式组 3.一元一次不等式的解决应用 1.常以选择题、解答题（计算和应用）出现； 2.考查对不等式基本性质（如加减、乘除正数/负数时不等号方向变化）的理解与应用； 3.要求求出不等式组的解集并在数轴上表示，部分小题以填空题形式考查整数解或解集范围； 4.结合实际场景（如购物、分配、方案设计等），需通过不等式（组）求解最值或可行方案。 一、核心知识必备 （一）方程的基本概念与解法 1. 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程。一般形式为ax+b=0（a≠0），解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 2. 二元一次方程（组）：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程；由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。解法有代入消元法和加减消元法。 3. 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），解法包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 4. 分式方程：分母中含有未知数的方程。解法是去分母化为整式方程求解，解后必须验根，防止产生增根。 （二）不等式的基本概念与解法 1. 不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 2. 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式。解法与一元一次方程类似，但需注意不等号方向的变化。 3. 一元一次不等式组：由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式组。解法是先求出每个不等式的解集，再利用数轴求出它们的公共部分。 二、常用结论与技巧 （一）方程部分 1. 一元二次方程根的判别式：对于ax²+bx+c=0（a≠0），Δ=b²-4ac。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根；Δ<0时，没有实数根。 2. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。常用于求两根之和、两根之积，或构造新方程。 3. 解分式方程验根技巧：将求得的整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0，则是增根，应舍去；否则是原方程的根。 4. 二元一次方程组解的情况：对于方程组{a₁x+b₁y=c₁, a₂x+b₂y=c₂}，当a₁/a₂≠b₁/b₂时，有唯一解；当a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂时，无解；当a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂时，有无数解。 （二）不等式部分 1. 解一元一次不等式组口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。 2. 不等式（组）的整数解：先求出不等式（组）的解集，再在解集中找出所有整数。 3. 含参数的不等式（组）：根据参数的取值范围分类讨论，确定不等式（组）的解集。例如，解关于x的不等式ax>b时，需分a>0、a=0、a<0三种情况讨论。 （三）综合应用技巧 1. 列方程（组）或不等式（组）解应用题步骤：审（审题）、设（设未知数）、列（列方程或不等式）、解（求解）、验（检验）、答（作答）。 2. 常见等量关系：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、利润问题（利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%）等。 3. 利用数形结合思想：解方程（组）可借助函数图像交点，解不等式（组）可利用数轴直观表示解集。 考点一 一元一次方程 《解题指南》 · 熟练掌握解方程的规范步骤，杜绝计算失误； · 加强实际问题的审题训练，学会从背景中抽象等量关系； · 针对含参数、分类讨论等难点题型进行专项突破； · 定期进行限时训练，提高解题速度与准确率。 命题点01 列一元一次方程 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 命题点02 一元一次方程的解决应用 【典例01】（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【典例02】（2024·江苏连云港·中考真题）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 中考预测题 1．《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 2．苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 考点二 二元一次方程组 《解题指南》 题型 关键技巧 示例 解方程组 观察系数特征，优先加减消元 系数成倍数时直接扩倍 参数问题 同解问题先求公共解，错解问题用错解代入 已知错解{x=2,y=1}代入未看错方程 应用题 列表法梳理量关系，间接设元简化方程 行程问题设速度为未知数 方案问题 枚举法列出所有可行解，比较最优 根据整数解计算各方案利润 命题点01 列二元一次方程组 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 命题点02 二元一次方程（组）的解 【典例01】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 命题点03 解二元一次方程组 【典例01】（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组： (1) (2) 【典例02】（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 命题点04 二元一次方程组的解决应用 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 中考预测题 1．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 2．关于、的方程组则的值为______． 3. 解方程和不等式组： 4. 某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 考点三 一元二次方程 《解题指南》 一元二次方程是中考数学的核心内容，需重点掌握： 1. 熟练选择最优解法（因式分解法优先，公式法兜底） 2. 灵活运用判别式和韦达定理解决含参问题 3. 注重实际应用题的建模能力，特别是增长率、面积、利润问题 4. 通过专题训练培养分类讨论和转化思想 命题点01 列一元二次方程 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2023·江苏无锡·中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 命题点02 一元二次方程的实数根 【典例01】 （2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 命题点03 一元二次方程的根与系数关系 【典例01】 （2023·江苏泰州·中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为______________． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 命题点04 解一元二次方程 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；     （2）解不等式组 命题点5 一元二次方程的解决应用 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【典例02】（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．        中考预测题 1．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 3. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 4. 解方程与不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 5. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 考点四 分式方程 《解题指南》 1. 简化运算技巧 · 先化简分式再去分母（如分子分母先约分） · 整体代换法：将设为y，转化为整式方程 · 拆项法：将复杂分式拆分为简单分式（如） 2. 中考高频考点 · 增根的判定与参数计算 · 分式方程与不等式结合的应用题 · 分式方程的实际应用（工程、行程问题） 命题点01 列分式方程 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 命题点02 分式方程的解 【典例01】（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 命题点03 解分式方程 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 命题点04 分式方程的解决应用 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 中考预测题 1．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．分式方程的解是______． 3. 解分式方程：． 4. 铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 考点五 不等式与不等式组 《解题指南》 1. 熟练掌握不等式基本性质，特别是乘除负数变号规则 2. 解不等式组时，养成画数轴辅助分析的习惯 3. 方案设计问题要注意未知数的实际意义（如人数、商品件数必须为正整数） 4. 强化含参数不等式的分类讨论训练 5. 限时训练中考真题，提高解题速度和准确率 命题点01 不等式的性质 【典例01】（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）若则______0．（填、或）． 命题点02 解一元一次不等式组 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 命题点03 一元一次不等式的解决应用 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【典例02】（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 中考预测题 1．如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 2．解不等式组：． 3. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 好题速递 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 2．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道关于洗碗的算术题，大意是：有一位妇人在河边洗碗，过路人问她家里来了多少客人？妇人回答说她只知道每2位客人合用一只饭碗，每3位客人合用一只汤碗，每4位客人合用一只肉碗，不多不少恰好用了65只碗．我们假设来了位客人，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·江苏扬州·一模）给出一种运算：对于，规定例如：若，则有已知，则命题“方程的解是或”是__________命题． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是一个矩形，它由正方形、正方形和矩形拼合而成，若两个正方形的面积之和为34，矩形是面积为15的长方形，则矩形的面积为________．    6．（2025·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，点P在直线上．我们约定点是点P的反对称点． （1）若点P的反对称点为本身，则P点坐标为____________； （2）若抛物线上不存在点P的反对称点，则a的取值范围是____________． 7．（2026·江苏南通·一模）计算： (1) (2)解不等式组并写出它的所有负整数解． (3)先化简，再求值：，其中． 8．（2025·江苏泰州·二模）如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． (1)要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ (2)若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 中考闯关 1．随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A． B． C． D． 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 4．某书店销售图书，成本为每本a元，将成本提高后标价，再打折售出，最终获利20元，则打______折（用含a的式子表示）． 5．幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是________． 6．整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为___________；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为___________． 7．（1）请从下面三个不等式中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解． ； ； ； （2）解方程组：． 8．近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $