高频考点01 数与式（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

高频考点01 数与式 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+17道中考预测题） 考点一 有理数 命题点 1 绝对值、相反数、倒数 命题点 2 比较大小 命题点 3 相反意义的量 命题点 4 科学记数法 中考预测题4道 考点二 实数 命题点 1 算术平方根与立方根 命题点 2 实数在数轴上表示 命题点 3 估算无理数 命题点 4 实数的混合运算 中考预测题4道 考点三 代数式 命题点 1 幂的运算 命题点 2 代数式的整体代入 命题点 3 代数式的规律 命题点 4 代数式的化简求值 中考预测题4道 考点四 因式分解 命题点 1 分解因式 中考预测题1道 考点五 分式与二次根式 命题点 1 分式、根式有意义 命题点 2 分式、根式简单运算 命题点 3 分式、根式比较大小 命题点 4 分式、根式化简求值 中考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 有理数 1.绝对值、相反数、倒数 2.比较大小 3.相反意义的量 4.科学记数法 1.常以选择题、填空题出现； 2.会直接考查概念辨析，如-2的相反数是； 3.会结合实际背景，如以温度、海拔等实际场景比较有理数大小； 4.常以正负数表示相反意义的量，如零下、零上； 5.结合社会热点、场景会直接把带单位的数转化为科学计数法的形式。 实数 1.算术平方根与立方根 2.实数在数轴上表示 3.估算无理数 4.实数的混合运算 1.常以选择题、填空题出现，实数运算会以基础计算在解答题中出现； 2.会直接考查概念辨析，如算术平方根的非负性和简单的计算（9的算术平方根）； 3.常结合数轴判定实数大小或无理数的位置； 4.通过夹逼法确定无理数的范围 5.结合零指数、负指数、根式化简等综合运算； 代数式 1.幂的运算 2.代数式的整体代入 3.代数式的规律 4.代数式的化简求值 1.常以选择题、填空题出现，化简求值题会以解答题出现； 2.常考查同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等运算法则的辨析与简单计算； 3.常几何已知条件数与式带入求代数式的值，强调整体思想的应用； 4.通过数字、图形或算式的变化，探究规律并用代数式表示； 5.会先进行正式的化简，再带入集体数值计算，常结合乘方公式。 因式分解 分解因式 1.主要以选择题、填空题出现； 2.多以直接分解因式的形式考查，偶尔结合代数式化简或分式运算综合出现。 分式与二次根式 1.分式、根式有意义 2.分式、根式简单运算 3.分式、根式比较大小 4.分式、根式化简求值 1.主要以选择题、填空题出现，化简求值题会以解答题出现； 2.会考查分式分母不为零、根式被开方数非负的条件、多为简单概念辨析； 3.设计分式的加减乘除、根式的化简与合并，运算量较小，注重法则应用； 4.通过作差、作商、平方法等比较大小，偶尔结合实际背景或几何意义； 5.会先化简分式或根式，再代入数值计算，常结合整体代入思想或条件限制。 1. 有理数 1.1 核心概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，可表示为两个整数之比（分母不为0）。数轴是理解有理数的重要工具，包含原点、正方向和单位长度三要素。 1.2 重要性质 · 相反数：a的相反数是-a，若a+b=0则a、b互为相反数 · 绝对值：|a|=a（a≥0）或-a（a<0），几何意义是数轴上点到原点的距离 · 倒数：非零数a的倒数是1/a，若ab=1则a、b互为倒数 1.3 运算规律 运算类型 运算法则 常用技巧 加法 同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值 凑整法：3.75+=1.5；拆项法：(-5)+(+3)=-(5-3)=-2 乘法 同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0 交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac 乘方 aⁿ表示n个a相乘，(-a)ⁿ=(-1)ⁿaⁿ 奇负偶正：(-2)³=-8，(-3)⁴=81；10ⁿ=1后面n个0 1.4 科学记数法 表示形式：a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为整数） 示例：380000=3.8×10⁵；0.000027=2.7×10⁻⁵ 2. 实数 2.1 实数分类 实数包括有理数和无理数。无理数是无限不循环小数，如π≈3.1415926... 2.2 平方根与立方根 · 平方根：若x²=a（a≥0），则x=±，其中为算术平方根（非负） · 立方根：若x³=a，则x=，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 2.3 二次根式性质 · ()²=a（a≥0） · =|a|=a（a≥0）或-a（a<0） · =·（a≥0，b≥0） · =（a≥0，b>0） 2.4 实数运算技巧 分母有理化：=；= 3. 代数式 3.1 整式概念 单项式：数与字母的积组成的代数式，如-3x²y（系数-3，次数3） 多项式：几个单项式的和，如2x²-3x+1（二次三项式） 3.2 整式运算 运算类型 法则 示例 合并同类项 字母和指数相同的项，系数相加 3x²y+5x²y=8x²y 幂的运算 aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ；(ab)ⁿ=aⁿbⁿ ³=-8a⁶ 乘法公式 (a+b)(a-b)=a²-b²；(a±b)²=a²±2ab+b² (3x-2y)²=9x²-12xy+4y² 3.3 代数式求值 直接代入法：当x=2时，3x²-5=3×4-5=7 整体代入法：已知x+y=5，xy=3，则x²+y²=(x+y)²-2xy=25-6=19 4. 因式分解 4.1 基本方法 · 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)，如6x³y²-3x²y=3x²y(2xy-1) · 公式法：a²-b²=(a+b)(a-b)；a²±2ab+b²=(a±b)² · 十字相乘法：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，如x²-5x+6=(x-2)(x-3) 4.2 步骤与技巧 一提（公因式）二套（公式）三查（是否彻底） 示例：分解因式 2x³-8x=2x=2x(x+2)(x-2) 5. 分式与二次根式 5.1 分式性质 分式有意义：分母≠0；分式值为0：分子=0且分母≠0 基本性质：=（c≠0） 5.2 分式运算 · 加减法：先通分，再加减，如 + = · 乘除法：分子乘分子，分母乘分母；除法转化为乘法， 5.3 二次根式运算 加减法：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式， 乘法：·=（a≥0，b≥0） 5.4 易错点提示 · 分式运算结果要化为最简分式 · 二次根式化简时被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数 · 注意运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 考点一 有理数 《解题指南》 命题点1 绝对值、相反数、倒数 常见考法： 1. 化简绝对值：先判断绝对值内代数式的符号，再去绝对值符号 2. 非负性应用：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0 3. 绝对值方程：如|x-3|=5，解得x=8或x=-2 命题点2 比较大小 作差比较法 · 若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b 作商比较法（适用于正数） · 若a/b>1，则a>b；若a/b=1，则a=b；若a/b<1，则a<b 命题点3 相反意义的量 注意事项 · 不能只说“增加”或“减少”，必须明确相反意义的基准 · 不带单位的量不是相反意义的量（如+5与-3无实际意义） 命题点4 科学记数法 注意事项 · a的取值范围必须是1≤|a|<10，不能写成10的倍数 · n的确定要准确，可通过移动小数点位置判断（向右移n为正，向左移n为负） · 带单位的数需先统一单位再表示，如3万=3×104，2亿=2×108 命题点01 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）的相反数是(    ) A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 命题点02 【典例01】（2025·江苏扬州·中考真题）下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比小的数即可． 【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知， 所以比低的温度是． 故选：． 【典例02】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 命题点03 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解∶∵零上记作， ∴零下记作， 故选∶ A． 【典例02】（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作__________年． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可． 【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年； 故答案为：． 命题点04 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：24.2亿， 故选：C． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育．将166200用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将166200写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 中考预测题 1．（2026·江苏南通·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”如: 粮库把运进10吨粮食记为“”, 则“”表示（   ） A．运出15 吨粮食 B．亏损15 吨粮食 C．卖掉15吨粮食 D．消耗15吨粮食 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际意义，正数与负数表示具有相反意义的两种量，已知运进记为正，那么与运进相反的量就记为负，据此可判断答案． 【详解】解：粮库把运进10吨粮食记为“”, 则“”表示运出15 吨粮食 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）的绝对值的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值、倒数的定义，先求的绝对值，再求其倒数． 【详解】∵， ∴ 其倒数为． 故选：C． 3. 比较大小：________．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：，， ∵，， ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 4. 据悉，我国长征五号遥十运载火箭在2025年12月20日，在文昌航天发射场点火起飞，将探测器送入地月转移轨道，近地点约200公里，远地点约400000公里．数400000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 考点二 实数 《解题指南》 命题点1：算术平方根与立方根 方法技巧： · 双重非负性应用：对于，需满足a≥0且≥0。 · 化简技巧：被开方数分解质因数，将平方项开方。 · 立方根符号法则：=， · 方程求解：形如x²=a（a≥0）的解为x=±；形如x³=a的解为x= 命题点2：实数在数轴上表示 方法技巧： · 有理数表示：整数直接标注，分数需转化为小数或按比例分割单位长度 · 无理数表示：利用勾股定理构造直角三角形。 · 大小比较：数轴上右边的点表示的数总比左边的大 · 绝对值几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，即|a| 命题点3：估算无理数 常用方法： · 夹逼法：确定无理数所在的整数区间，再逐步缩小范围。 · 平方法/立方法：将无理数平方或立方后与已知数比较。 · 近似值记忆：常见无理数近似值：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236，π≈3.1416 · 误差控制：根据题目要求保留相应小数位数，估算时多算一位确保精度 命题点4：实数的混合运算 方法技巧： · 零指数与负指数：a⁰=1（a≠0），a⁻ᵖ=1/aᵖ（a≠0，p为正整数） · 根式化简：先将根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 · 分母有理化：对于分母含根式的式子，分子分母同乘分母的有理化因式。 · 特殊角三角函数值：结合实数运算时，需牢记30°、45°、60°的三角函数值 · 运算律应用：灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律简化计算 · 符号规则：同号得正，异号得负，注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正 命题点01 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 【典例02】（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 命题点02 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 命题点03 【典例01】（2024·江苏淮安·中考真题）如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键． 根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故选：B ． 【典例02】（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 命题点04 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）计算． 【答案】6 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 中考预测题 1．9的算术平方根是（   ） A．3 B． C．81 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3； 故选A． 2．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数，，0，1，2，那么表示数的点应落在（ ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先估算的取值范围，继而得出的取值范围，从而进行判断． 【详解】解：， ， ， ， 数轴上的点，，，，分别表示数，，，，， 表示数的点应落在线段上， 故选：A． 3. 若整数满足，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解决问题的关键． 利用夹逼法可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， 即， ∵整数满足， ∴， 故答案为：3． 4. 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值化简，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，然后从左到右进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 考点三 代数式 《解题指南》 命题点 1 幂的运算 一、同底数幂的乘法 技巧： · 当底数互为相反数时，可先转化为同底数幂。例如，，当为偶数时，；当为奇数时，。 · 注意指数为1的情况，如，在计算时不要忽略。 二、同底数幂的除法 技巧： · 当指数相减为0时，结果为1，即（）。 · 当出现负指数时，（，是正整数），可将负指数幂转化为正指数幂的倒数进行计算。 三、幂的乘方 技巧： · 注意与同底数幂的乘法区分开，幂的乘方是指数相乘，同底数幂的乘法是指数相加。 · 对于多层乘方，从里向外逐层计算，如。 四、积的乘方 技巧： · 当积中有多个因式时，每个因式都要乘方，不能遗漏。例如，。 · 逆用积的乘方法则可以简化计算，如。 命题点 2 代数式的整体代入 一、直接整体代入 当已知一个代数式的值，要求另一个与它相关的代数式的值时，可直接将已知代数式作为一个整体代入。 二、变形后整体代入 当已知条件与所求代数式形式上不完全相同，但通过对已知条件或所求代数式进行变形，可以转化为能够整体代入的形式。 三、设元整体代入 对于一些复杂的代数式，可设一个中间变量来表示一个整体，从而简化计算。 命题点 3 代数式的规律 探索代数式的规律是培养观察、分析和归纳能力的重要途径，通常需要通过观察给出的代数式或一组数，找出其中的变化规律，然后用代数式表示出来。 一、数字规律 通过观察一组数字的排列，找出数字之间的关系，如等差关系、等比关系、平方关系、立方关系等。 二、图形规律 根据图形的变化，找出图形的数量、形状等与序号之间的关系，并用代数式表示。 三、算式规律 观察一组算式，找出算式中数字或运算符号的变化规律，进而总结出一般规律。 命题点 4 代数式的化简求值 整式的化简主要包括去括号、合并同类项等步骤。 步骤： 1. 去括号：如果括号前是“+”号，去掉括号后，括号内的各项不变号；如果括号前是“-”号，去掉括号后，括号内的各项都要变号。 2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 3. 代入求值：将化简后的代数式中字母的值代入，按照运算顺序进行计算。 命题点01 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断即可． 【详解】解：A、，正确，故本选项符合题意； B、，原选项错误，故本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，故本选项不符合题意； D、，原选项错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 命题点02 【典例01】（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【分析】根据得到，再将整体代入中求值． 【详解】解：， 得， 变形为， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 命题点03 【典例01】（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 命题点04 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 中考预测题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 2．已知，则代数式的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 3. 有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查代入求值，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算发现的值循环出现，周期为3，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意， ； ； ； ； …， 发现的值是循环出现，周期为3， ， 故． 故答案为：． 4. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，18 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键．先算完全平方，再算除法，最后合并同类项进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 考点四 因式分解 《解题指南》 1. 先看是否有公因式，若有则先提取公因式； 2. 再看项数：两项式考虑平方差公式或立方和（差）公式；三项式考虑完全平方公式或十字相乘法；四项及以上考虑分组分解法； 3. 分解后检查各因式是否还能继续分解，确保分解彻底； 4. 最后将分解结果写成最简形式（各因式中不再有公因式，且按字母顺序排列）。 命题点01 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 【典例02】（2025·江苏南通·中考真题）分解因式_______________． 【答案】 【分析】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： ． 中考预测题 1．对于任意整数a，多项式都能(    ) A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式展开进行因式分解，进而即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∴多项式都能被整除， 故选：C． 考点五 分式与二次根式 《解题指南》 分式与二次根式解题方法技巧 命题点 1 分式、根式有意义 一、分式有意义的条件 方法技巧： · 直接令分母不等于零，解不等式即可。 · 若分母是多项式，需先因式分解，再求使分母不为零的条件。 · 注意：分式有意义与分子无关，只与分母有关。 二、二次根式有意义的条件 方法技巧： · 直接令被开方数大于等于零，解不等式。 · 若被开方数是多项式，需先化简，再求取值范围。 · 若二次根式在分母中，则被开方数不仅要大于等于零，还不能等于零，即被开方数大于零。 命题点 2 分式、根式简单运算 一、分式的简单运算 1. 分式的加减法 方法技巧： · 通分前先对分母进行因式分解，以便找到最简公分母。 · 分子是多项式时，加减运算要加括号，避免符号错误。 2. 分式的乘除法 方法技巧： · 先对分子、分母进行因式分解，然后约分，再进行乘法运算。 · 除法运算转化为乘法运算时，要注意将除式的分子、分母颠倒位置。 二、二次根式的简单运算 1. 二次根式的加减法 方法技巧： · 化简二次根式是关键，化简时要把被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。 · 判断是否为同类二次根式，只需看化简后的被开方数是否相同，与根号外的系数无关。 2. 二次根式的乘除法 方法技巧： · 运用法则进行计算时，要注意被开方数的取值范围。 · 结果要化为最简二次根式。 命题点 3 分式、根式比较大小 一、分式比较大小 方法技巧： · 作差法：若，则；若，则；若，则。 · 作商法：当，都是正数时，若，则；若，则；若，则。当，都是负数时，情况相反。 · 通分法：将两个分式通分，化为同分母分式，比较分子的大小。 二、二次根式比较大小 方法技巧： · 被开方数比较法：当两个二次根式的根指数相同时，被开方数越大，二次根式的值越大。例如，，因为。 · 平方法：若，，且，则。例如，比较和，，，因为，所以。 · 作差法：将两个二次根式相减，判断差的正负。 · 倒数法：当两个二次根式都是正数时，倒数大的反而小。例如，比较和，，，因为，所以。 命题点 4 分式、根式化简求值 一、分式化简求值 方法技巧： · 先对分式进行化简，包括约分、通分、因式分解等，将分式化为最简分式或整式。 · 代入求值时，要注意使原分式有意义，即代入的数值不能使分母为零。 · 如果已知条件是一个等式，可先对等式进行变形，再整体代入化简后的分式。 二、二次根式化简求值 方法技巧： · 先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减乘除运算。 · 代入求值时，要注意被开方数的取值范围，确保二次根式有意义。 · 对于含有分母的二次根式，要进行分母有理化。分母有理化的方法是分子、分母同乘分母的有理化因式。 命题点01 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 命题点02 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 命题点03 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 【典例02】（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 命题点04 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【典例02】（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， 当时，原式． 中考预测题 1．要使分式有意义，则的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的运算，根据合并同类二次根式的法则，二次根式的乘除法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 比较大小：2_____5（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】> 【分析】先对根式及整数进行变形，然后比较大小即可确定． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次根式比较大小的方法，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 4. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： = ， 当时， 原式． 好题速递 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）与相等的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，能正确根据幂的乘方和积的乘方法则进行化简是解此题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方进行化简，再判断即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意； 选项B：，故不符合题意； 选项C：，故符合题意； 选项D：，故不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据题目给出的数列规则，先通过已知的前三个数求出a的值，再依次求出第四、第五、第六个数，利用相邻三个数的关系逐步推导即可． 【详解】解：∵数列中任意相邻三个数满足第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差， 且前三个数为，a， ∴， 即 解得 由a、、b的关系得： ∴第五个数为 则第六个数为， ∴第6个数为． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）将一个边长为1的等边三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作等边三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）…不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．记为如图中第个图形的面积，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，图形类规律探索，分式四则混合的应用，先利用等边三角形的性质求出，再根据图形规律求出，最后再根据图形规律求出即可． 【详解】解：过点A作与点D， 由等边三角形的性质可得出， ∴， ∴， ∴， 根据对比第二个图像和第一个图形可知：第一次操作后增加了3个边长为的等边三角形， 则图二面积， 第二次操作后，增加了个边长为的等边三角形，即图3， 此时 ， 故选：A 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）年南京马拉松于月日在南京奥体中心东门鸣枪起跑．本次比赛共吸引了位大众选手报名，最终约名选手中签参赛．数字用科学记数法表示为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，将数字用科学记数法表示，需写成形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）生活中有各式各样的钟表．如图①、②分别是圆形、长方形钟表的示意图．在长方形钟表中，，整点时刻“3”“6”“9”“12”分别标在，的中点处．若整点时刻“1”“2”分别标在，边上（不包括端点），则的长度的取值范围是____． 【答案】/ 【分析】分两种情况：如图，当在处时，结合题意可得：，，，，进一步求解可得，如图，当在处时，同理可得：，，，，进一步可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，当在处时， 结合题意可得：，，，， ∴， ∴， ∴， 如图，当在处时， 同理可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：整点时刻“1”“2”分别标在，边上（不包括端点），则的长度的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，钟面角的含义，作出符合题意的图形是解本题的关键. 6．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，小明在学习了《密码中的数学》后设计了一种数字圆盘，按顺时针方向编号1~20，并利用三种颜色循环标记这些编号制定一种解密规则：沿着圆盘顺时针方向按照“红一绿一白一红一绿一白……”的规律，每经过一个编号便标记1次．比如小明先在1号处标记1次红色，然后在2号处标记1次绿色，接着在3号处标记1次白色，在4号处又再次标记红色…当绕圆循环若干圈后不同编号处不同颜色的标记次数均对应不同的密码：已知绕圆周循环了2025圈，那么此时编号4处被标记了_____次红色． 【答案】675 【分析】本题考查找规律，解题的关键是能够找出题目的中的规律． 根据图形的变化规律得第圈会在4号圆盘内标记红色，即可求出结果． 【详解】解：第一圈在1、4、7、10、13、16、19号圆盘内标记红色， 第二圈在2、5、8、11、14、17、20号圆盘内标记红色， 第三圈在3、6、9、12、15、18号圆盘内标记红色， 第四圈在1、4、7、10、13、16、19号圆盘内标记红色， … 第1、4、7、10…圈会在4号圆盘内标记红色， ， ∴绕圆周循环了2025圈，那么此时编号4处被标记了675次红色． 故答案是：675． 7．（25-26七年级上·江苏南京·期末）先化简再求值：，其中▓，▓．黑色部分是小明不小心用墨水污染的条件，可是小亮却认为无需知道x、y的值，也能求出代数式的值．你同意小亮同学的说法吗？请说明理由． (1)我 （填“同意”或“不同意”） (2)理由： 【答案】(1)同意； (2)见解析． 【分析】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是通过去括号、合并同类项，判断化简结果是否与、有关． 【详解】（1）解：我同意． 故答案为：同意． （2）解：理由： ， 化简后结果为2021，与、的取值无关，故无需知道、的值，也能求出代数式的值． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）【阅读与理解】：一个两位数，如果各位数字之和能被整除，那么这个两位数就能被整除我们可以用说理的方法说明这个结论成立，解答过程如下：解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，那么这个两位数可以用代数式表示为，因为能被整除，并且能被整除，所以一定能被整除接下来我们探究能被整除的三位数的特征． 【举例说明】：请写出两个能被整除的三位数______、______； 【迁移应用】：由特例，提出猜想：如果各位数字之和能被整除，那么这个三位数能被整除.请仿照上面的方法进行说明；验证猜想是否正确． 【答案】举例说明：，（答案不唯一）；迁移应用：正确，见解析 【分析】本题考查了整式的加减． 举例说明：写出两个能被整除的三位数即可； 迁移应用：设这个三位数的个位数字为，十位数字为，百位数字为，则这个三位数为，可化为，而一定能被整除，题干已给出各位数字之和能被整除，则这个三位数能被整除． 【详解】举例说明：解：能被整除的三位数有，， 故答案为：，（答案不唯一）； 迁移应用：正确，理由： 设这个三位数的个位数字为，十位数字为，百位数字为，则这个三位数为， ，而一定能被整除， 当能被整除，并且能被整除，所以一定能被整除． 中考闯关 1．查询，2026年元旦当天整个长三角铁路发送旅客量达到370万人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将370万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：将370万用科学记数法表示为． 故选：B． 2．已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握物体的密度质量体积是解题的关键． 根据物体的密度公式计算即可． 【详解】解：它的密度ρ为． 故选：B． 3．设是一个三位数，若它可以被9整除，则下列说法正确的是（    ） A．a可以被9整除 B．可以被9整除 C．可以被9整除 D．可以被9整除 【答案】D 【分析】用数位与数位上的数字表示数，通过将三位数转化为含9的倍数的代数式，结合整除性质推导判断即可． 本题考查能被9整除的数的特征，代数式表示数． 【详解】解：∵三位数的数值为 又∵ ∵是9的倍数，且能被9整除 ∴必须能被9整除 ∴选项D正确， 故选：D． 4．目前，人形机器人领域的竞争尚处于早期阶段，但预计未来数十年该市场将迎来爆发式增长，花旗集团研究显示，到2050年时，全球人形机器人数量预计将激增至48000000台，用科学记数法可表示为___________台． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解： 故答案为： 5．如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线．切一刀将饼分成2块；切两刀可将饼分成3块，若两刀在饼内有1个交点（不含边界），最多可将饼分成4块；三刀在饼内最多有3个交点（不含边界），最多可将饼分成7块；那么切刀在饼内最多有个交点（不含边界），最多可将饼分成块，则，之间的数量关系是_________． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，一刀2块没有交点，两刀最多4块，1个交点，三刀最多7块，3个交点，根据，依次类推即可得出结果． 【详解】解：一刀2块没有交点，； 两刀最多4块，1个交点，； 三刀最多7块，3个交点，； 依次类推， 切刀在饼内最多有个交点（不含边界），最多可将饼分成块，则； 故答案为：． 6．用相同大小的正六边形拼接泡沫地垫（正反两面分别为灰色和白色）按如图的方式来铺设一个儿童活动室地面，中间的正六边形地垫为灰色，在它的周围铺上6块相同大小的白色地垫，在这圈白色地垫的外围再铺上一圈灰色地垫，在这圈灰色地垫的外围再铺上一圈白色地垫……，按这种方式铺下去，现有2026块这样的地垫，当铺满最后完整的一圈时，最后这圈地垫的颜色为_____色，此时还剩下__________块地垫． 【答案】 白 75 【分析】本题考查了图形规律的探索，找到正确的规律是解决本题的关键． 先根据题意可得，规律：奇数圈是白色，偶数圈是灰色，总数为块，进而求解即可． 【详解】解：由题意得，中心（第0圈）：1块，灰色， 第1圈：6块，白色（围绕中心）， 第2圈：12块，灰色（在第1圈外面）， 第3圈：18块，白色（在第2圈外面）， 第4圈：24块，灰色（在第3圈外面）， …， ∴每一圈的地垫数量都是6的倍数，第圈有块， 颜色规律：奇数圈（第1、3、5．．．圈）是白色，偶数圈（第2、4、6．．．圈）是灰色， ∵铺完第1圈：块， 铺完第2圈：块， 铺完第3圈：块， 铺完第4圈：块， …， ∴总数为 ， 由题意得，当时： 块； 当时： 块， ∵， ∴最后完整的一圈是第25圈， ∵第25圈是奇数圈， ∴颜色是白色， ∴剩余的地垫数量是：块． 故答案为：白，75； 7．如图1，呈现的是开平方运算关系． (1)的值为__________，的平方根为__________； (2)解关于的方程：； (3)通过探究发现，与其算术平方根具有函数关系，记．利用几何软件画出以及的图象，如图2，请结合图象回答下列问题： ①当时，_______（填“＞”“＝”或“＜”）； ②当满足__________时，． 【答案】(1)，； (2)； (3)①；②． 【分析】本题考查了求一个数的平方根，从函数图象获取信息． （1）根据平方根的定义计算2的平方即可求出的值，根据一个数的平方根互为相反数得到，求其平方根即可； （2）根据平方根的定义可知，进而根据平方根解方程即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：， ∵是n的两个平方根， ∴， ∴的平方根为； 故答案为：，； （2）解：∵是n的两个平方根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （3）解：①由函数图象可知，当时，； 故答案为：； ②由函数图象可知，当满足时，，即． 故答案为：． 8．综合与实践： 如图1，近视的本质是眼球结构改变导致光线无法准确聚焦在视网膜上．若由于用眼过度，眼轴变长或角膜（晶状体）屈光力加强，焦点会落在视网膜前方，导致看远处物体模糊． 小明在学习眼睛的成像原理时，了解到：眼睛的晶状体相当于一个可变焦距的凸透镜，视网膜相当于光屏．正常眼睛的“明视距离”为，即看距眼睛的物体最清晰、不易疲劳．看远处物体时，晶状体焦距变长；看近处物体时，晶状体焦距变短．已知：小明是正常视力，其眼睛的晶状体到视网膜的距离（像距）固定为． 当物体清晰成像在视网膜上时，如图2所示，满足凸透镜成像公式：， (1)当小明全神贯注地阅读一本放在明视距离的书本时，眼睛的焦距______（精确到）． (2)小明由于长期用眼过度，导致眼睛近视，需要佩戴眼镜来矫正视力，如图3所示眼镜镜片是凹透镜，其原理是使平行光线透过凹透镜后进行发散，进而使发散后的光线通过晶状体后，使物体成像在视网膜上．小明的眼轴长度为．已知标准正视眼的眼轴长度，眼睛度数（屈光率）与实际眼轴长度和标准眼轴长度的关系为，近视度数（取正值），则小明眼睛近视度数是______（取整数，注意单位要统一）． (3)关于薄透镜（忽略厚度）成像公式为，符号规则（实正虚负规则）． ①如图4，结合所学的数学知识证明“凹透镜成像”公式：；（提示：此焦点为虚） ②若凸透镜成像时，记，对应的．请证明：当时，有． 【答案】(1) (2)167 (3)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，分式的运算，不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据公式计算求解即可； （2）根据公式计算求解即可； （3）①过点作于P，延长交于Q，可证明四边形，四边形和四边形都是矩形，得到，，证明，得到，证明，得到，则，据此可证明结论；②根据，推出，可证明则，即． 【详解】（1）解：∵，且， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴小明眼睛近视度数是； （3）证明：①如图所示，过点作于P，延长交于Q， 由题意得，，，，，，则， ∴四边形，四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 2 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点01 数与式 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+17道中考预测题） 考点一 有理数 命题点 1 绝对值、相反数、倒数 命题点 2 比较大小 命题点 3 相反意义的量 命题点 4 科学记数法 中考预测题4道 考点二 实数 命题点 1 算术平方根与立方根 命题点 2 实数在数轴上表示 命题点 3 估算无理数 命题点 4 实数的混合运算 中考预测题4道 考点三 代数式 命题点 1 幂的运算 命题点 2 代数式的整体代入 命题点 3 代数式的规律 命题点 4 代数式的化简求值 中考预测题4道 考点四 因式分解 命题点 1 分解因式 中考预测题1道 考点五 分式与二次根式 命题点 1 分式、根式有意义 命题点 2 分式、根式简单运算 命题点 3 分式、根式比较大小 命题点 4 分式、根式化简求值 中考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 有理数 1.绝对值、相反数、倒数 2.比较大小 3.相反意义的量 4.科学记数法 1.常以选择题、填空题出现； 2.会直接考查概念辨析，如-2的相反数是； 3.会结合实际背景，如以温度、海拔等实际场景比较有理数大小； 4.常以正负数表示相反意义的量，如零下、零上； 5.结合社会热点、场景会直接把带单位的数转化为科学计数法的形式。 实数 1.算术平方根与立方根 2.实数在数轴上表示 3.估算无理数 4.实数的混合运算 1.常以选择题、填空题出现，实数运算会以基础计算在解答题中出现； 2.会直接考查概念辨析，如算术平方根的非负性和简单的计算（9的算术平方根）； 3.常结合数轴判定实数大小或无理数的位置； 4.通过夹逼法确定无理数的范围 5.结合零指数、负指数、根式化简等综合运算； 代数式 1.幂的运算 2.代数式的整体代入 3.代数式的规律 4.代数式的化简求值 1.常以选择题、填空题出现，化简求值题会以解答题出现； 2.常考查同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等运算法则的辨析与简单计算； 3.常几何已知条件数与式带入求代数式的值，强调整体思想的应用； 4.通过数字、图形或算式的变化，探究规律并用代数式表示； 5.会先进行正式的化简，再带入集体数值计算，常结合乘方公式。 因式分解 分解因式 1.主要以选择题、填空题出现； 2.多以直接分解因式的形式考查，偶尔结合代数式化简或分式运算综合出现。 分式与二次根式 1.分式、根式有意义 2.分式、根式简单运算 3.分式、根式比较大小 4.分式、根式化简求值 1.主要以选择题、填空题出现，化简求值题会以解答题出现； 2.会考查分式分母不为零、根式被开方数非负的条件、多为简单概念辨析； 3.设计分式的加减乘除、根式的化简与合并，运算量较小，注重法则应用； 4.通过作差、作商、平方法等比较大小，偶尔结合实际背景或几何意义； 5.会先化简分式或根式，再代入数值计算，常结合整体代入思想或条件限制。 1. 有理数 1.1 核心概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，可表示为两个整数之比（分母不为0）。数轴是理解有理数的重要工具，包含原点、正方向和单位长度三要素。 1.2 重要性质 · 相反数：a的相反数是-a，若a+b=0则a、b互为相反数 · 绝对值：|a|=a（a≥0）或-a（a<0），几何意义是数轴上点到原点的距离 · 倒数：非零数a的倒数是1/a，若ab=1则a、b互为倒数 1.3 运算规律 运算类型 运算法则 常用技巧 加法 同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值 凑整法：3.75+=1.5；拆项法：(-5)+(+3)=-(5-3)=-2 乘法 同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0 交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac 乘方 aⁿ表示n个a相乘，(-a)ⁿ=(-1)ⁿaⁿ 奇负偶正：(-2)³=-8，(-3)⁴=81；10ⁿ=1后面n个0 1.4 科学记数法 表示形式：a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为整数） 示例：380000=3.8×10⁵；0.000027=2.7×10⁻⁵ 2. 实数 2.1 实数分类 实数包括有理数和无理数。无理数是无限不循环小数，如π≈3.1415926... 2.2 平方根与立方根 · 平方根：若x²=a（a≥0），则x=±，其中为算术平方根（非负） · 立方根：若x³=a，则x=，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 2.3 二次根式性质 · ()²=a（a≥0） · =|a|=a（a≥0）或-a（a<0） · =·（a≥0，b≥0） · =（a≥0，b>0） 2.4 实数运算技巧 分母有理化：=；= 3. 代数式 3.1 整式概念 单项式：数与字母的积组成的代数式，如-3x²y（系数-3，次数3） 多项式：几个单项式的和，如2x²-3x+1（二次三项式） 3.2 整式运算 运算类型 法则 示例 合并同类项 字母和指数相同的项，系数相加 3x²y+5x²y=8x²y 幂的运算 aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ；(ab)ⁿ=aⁿbⁿ ³=-8a⁶ 乘法公式 (a+b)(a-b)=a²-b²；(a±b)²=a²±2ab+b² (3x-2y)²=9x²-12xy+4y² 3.3 代数式求值 直接代入法：当x=2时，3x²-5=3×4-5=7 整体代入法：已知x+y=5，xy=3，则x²+y²=(x+y)²-2xy=25-6=19 4. 因式分解 4.1 基本方法 · 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)，如6x³y²-3x²y=3x²y(2xy-1) · 公式法：a²-b²=(a+b)(a-b)；a²±2ab+b²=(a±b)² · 十字相乘法：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，如x²-5x+6=(x-2)(x-3) 4.2 步骤与技巧 一提（公因式）二套（公式）三查（是否彻底） 示例：分解因式 2x³-8x=2x=2x(x+2)(x-2) 5. 分式与二次根式 5.1 分式性质 分式有意义：分母≠0；分式值为0：分子=0且分母≠0 基本性质：=（c≠0） 5.2 分式运算 · 加减法：先通分，再加减，如 + = · 乘除法：分子乘分子，分母乘分母；除法转化为乘法， 5.3 二次根式运算 加减法：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式， 乘法：·=（a≥0，b≥0） 5.4 易错点提示 · 分式运算结果要化为最简分式 · 二次根式化简时被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数 · 注意运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 考点一 有理数 《解题指南》 命题点1 绝对值、相反数、倒数 常见考法： 1. 化简绝对值：先判断绝对值内代数式的符号，再去绝对值符号 2. 非负性应用：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0 3. 绝对值方程：如|x-3|=5，解得x=8或x=-2 命题点2 比较大小 作差比较法 · 若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b 作商比较法（适用于正数） · 若a/b>1，则a>b；若a/b=1，则a=b；若a/b<1，则a<b 命题点3 相反意义的量 注意事项 · 不能只说“增加”或“减少”，必须明确相反意义的基准 · 不带单位的量不是相反意义的量（如+5与-3无实际意义） 命题点4 科学记数法 注意事项 · a的取值范围必须是1≤|a|<10，不能写成10的倍数 · n的确定要准确，可通过移动小数点位置判断（向右移n为正，向左移n为负） · 带单位的数需先统一单位再表示，如3万=3×104，2亿=2×108 命题点01 绝对值、相反数、倒数 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）的相反数是(    ) A． B． C． D．3 命题点02 比较大小 【典例01】（2025·江苏扬州·中考真题）下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：____（填“”“”或“”） 命题点03 相反意义的量 【典例01】（2024·江苏南通·中考真题）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作__________年． 命题点04 科学记数法 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育．将166200用科学记数法表示为_______． 中考预测题 1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”如: 粮库把运进10吨粮食记为“”, 则“”表示（   ） A．运出15 吨粮食 B．亏损15 吨粮食 C．卖掉15吨粮食 D．消耗15吨粮食 2．的绝对值的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 3. 比较大小：________．（填“”、“”或“”号） 4. 据悉，我国长征五号遥十运载火箭在2025年12月20日，在文昌航天发射场点火起飞，将探测器送入地月转移轨道，近地点约200公里，远地点约400000公里．数400000用科学记数法表示为_____． 考点二 实数 《解题指南》 命题点1：算术平方根与立方根 方法技巧： · 双重非负性应用：对于，需满足a≥0且≥0。 · 化简技巧：被开方数分解质因数，将平方项开方。 · 立方根符号法则：=， · 方程求解：形如x²=a（a≥0）的解为x=±；形如x³=a的解为x= 命题点2：实数在数轴上表示 方法技巧： · 有理数表示：整数直接标注，分数需转化为小数或按比例分割单位长度 · 无理数表示：利用勾股定理构造直角三角形。 · 大小比较：数轴上右边的点表示的数总比左边的大 · 绝对值几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，即|a| 命题点3：估算无理数 常用方法： · 夹逼法：确定无理数所在的整数区间，再逐步缩小范围。 · 平方法/立方法：将无理数平方或立方后与已知数比较。 · 近似值记忆：常见无理数近似值：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236，π≈3.1416 · 误差控制：根据题目要求保留相应小数位数，估算时多算一位确保精度 命题点4：实数的混合运算 方法技巧： · 零指数与负指数：a⁰=1（a≠0），a⁻ᵖ=1/aᵖ（a≠0，p为正整数） · 根式化简：先将根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 · 分母有理化：对于分母含根式的式子，分子分母同乘分母的有理化因式。 · 特殊角三角函数值：结合实数运算时，需牢记30°、45°、60°的三角函数值 · 运算律应用：灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律简化计算 · 符号规则：同号得正，异号得负，注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正 命题点01 算术平方根与立方根 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 命题点02 实数在数轴上表示 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 命题点03 估算无理数 【典例01】（2024·江苏淮安·中考真题）如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【典例02】（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 命题点04 实数混合运算 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）计算． 中考预测题 1．9的算术平方根是（   ） A．3 B． C．81 D． 2．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数，，0，1，2，那么表示数的点应落在（ ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 3. 若整数满足，则的值是______． 4. 计算：． 考点三 代数式 《解题指南》 命题点 1 幂的运算 一、同底数幂的乘法 技巧： · 当底数互为相反数时，可先转化为同底数幂。例如，，当为偶数时，；当为奇数时，。 · 注意指数为1的情况，如，在计算时不要忽略。 二、同底数幂的除法 技巧： · 当指数相减为0时，结果为1，即（）。 · 当出现负指数时，（，是正整数），可将负指数幂转化为正指数幂的倒数进行计算。 三、幂的乘方 技巧： · 注意与同底数幂的乘法区分开，幂的乘方是指数相乘，同底数幂的乘法是指数相加。 · 对于多层乘方，从里向外逐层计算，如。 四、积的乘方 技巧： · 当积中有多个因式时，每个因式都要乘方，不能遗漏。例如，。 · 逆用积的乘方法则可以简化计算，如。 命题点 2 代数式的整体代入 一、直接整体代入 当已知一个代数式的值，要求另一个与它相关的代数式的值时，可直接将已知代数式作为一个整体代入。 二、变形后整体代入 当已知条件与所求代数式形式上不完全相同，但通过对已知条件或所求代数式进行变形，可以转化为能够整体代入的形式。 三、设元整体代入 对于一些复杂的代数式，可设一个中间变量来表示一个整体，从而简化计算。 命题点 3 代数式的规律 探索代数式的规律是培养观察、分析和归纳能力的重要途径，通常需要通过观察给出的代数式或一组数，找出其中的变化规律，然后用代数式表示出来。 一、数字规律 通过观察一组数字的排列，找出数字之间的关系，如等差关系、等比关系、平方关系、立方关系等。 二、图形规律 根据图形的变化，找出图形的数量、形状等与序号之间的关系，并用代数式表示。 三、算式规律 观察一组算式，找出算式中数字或运算符号的变化规律，进而总结出一般规律。 命题点 4 代数式的化简求值 整式的化简主要包括去括号、合并同类项等步骤。 步骤： 1. 去括号：如果括号前是“+”号，去掉括号后，括号内的各项不变号；如果括号前是“-”号，去掉括号后，括号内的各项都要变号。 2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 3. 代入求值：将化简后的代数式中字母的值代入，按照运算顺序进行计算。 命题点01 幂的运算 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 命题点02 代数式的整体代入 【典例01】（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为________． 命题点03 代数式的规律 【典例01】（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 命题点04 代数式的化简求值 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 中考预测题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为（    ） A． B．3 C． D．2 3. 有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为________． 4. 先化简，再求值：，其中． 考点四 因式分解 《解题指南》 1. 先看是否有公因式，若有则先提取公因式； 2. 再看项数：两项式考虑平方差公式或立方和（差）公式；三项式考虑完全平方公式或十字相乘法；四项及以上考虑分组分解法； 3. 分解后检查各因式是否还能继续分解，确保分解彻底； 4. 最后将分解结果写成最简形式（各因式中不再有公因式，且按字母顺序排列）。 命题点01 分解因式 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏南通·中考真题）分解因式_______________． 中考预测题 1．对于任意整数a，多项式都能(    ) A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 考点五 分式与二次根式 《解题指南》 分式与二次根式解题方法技巧 命题点 1 分式、根式有意义 一、分式有意义的条件 方法技巧： · 直接令分母不等于零，解不等式即可。 · 若分母是多项式，需先因式分解，再求使分母不为零的条件。 · 注意：分式有意义与分子无关，只与分母有关。 二、二次根式有意义的条件 方法技巧： · 直接令被开方数大于等于零，解不等式。 · 若被开方数是多项式，需先化简，再求取值范围。 · 若二次根式在分母中，则被开方数不仅要大于等于零，还不能等于零，即被开方数大于零。 命题点 2 分式、根式简单运算 一、分式的简单运算 1. 分式的加减法 方法技巧： · 通分前先对分母进行因式分解，以便找到最简公分母。 · 分子是多项式时，加减运算要加括号，避免符号错误。 2. 分式的乘除法 方法技巧： · 先对分子、分母进行因式分解，然后约分，再进行乘法运算。 · 除法运算转化为乘法运算时，要注意将除式的分子、分母颠倒位置。 二、二次根式的简单运算 1. 二次根式的加减法 方法技巧： · 化简二次根式是关键，化简时要把被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。 · 判断是否为同类二次根式，只需看化简后的被开方数是否相同，与根号外的系数无关。 2. 二次根式的乘除法 方法技巧： · 运用法则进行计算时，要注意被开方数的取值范围。 · 结果要化为最简二次根式。 命题点 3 分式、根式比较大小 一、分式比较大小 方法技巧： · 作差法：若，则；若，则；若，则。 · 作商法：当，都是正数时，若，则；若，则；若，则。当，都是负数时，情况相反。 · 通分法：将两个分式通分，化为同分母分式，比较分子的大小。 二、二次根式比较大小 方法技巧： · 被开方数比较法：当两个二次根式的根指数相同时，被开方数越大，二次根式的值越大。例如，，因为。 · 平方法：若，，且，则。例如，比较和，，，因为，所以。 · 作差法：将两个二次根式相减，判断差的正负。 · 倒数法：当两个二次根式都是正数时，倒数大的反而小。例如，比较和，，，因为，所以。 命题点 4 分式、根式化简求值 一、分式化简求值 方法技巧： · 先对分式进行化简，包括约分、通分、因式分解等，将分式化为最简分式或整式。 · 代入求值时，要注意使原分式有意义，即代入的数值不能使分母为零。 · 如果已知条件是一个等式，可先对等式进行变形，再整体代入化简后的分式。 二、二次根式化简求值 方法技巧： · 先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减乘除运算。 · 代入求值时，要注意被开方数的取值范围，确保二次根式有意义。 · 对于含有分母的二次根式，要进行分母有理化。分母有理化的方法是分子、分母同乘分母的有理化因式。 命题点01 分式、根式有意义 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏连云港·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 命题点02 分式、根式运算 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）计算：______． 命题点03 分式、根式比较大小 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【典例02】（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 命题点04 分式、根式化简求值 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【典例02】（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 中考预测题 1．要使分式有意义，则的取值应满足（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3. 比较大小：2_____5（填“＞”、“＝”或“＜”）． 4. 先化简，再求值：，其中． 好题速递 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）与相等的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）将一个边长为1的等边三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作等边三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）…不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．记为如图中第个图形的面积，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）年南京马拉松于月日在南京奥体中心东门鸣枪起跑．本次比赛共吸引了位大众选手报名，最终约名选手中签参赛．数字用科学记数法表示为__________． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）生活中有各式各样的钟表．如图①、②分别是圆形、长方形钟表的示意图．在长方形钟表中，，整点时刻“3”“6”“9”“12”分别标在，的中点处．若整点时刻“1”“2”分别标在，边上（不包括端点），则的长度的取值范围是____． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，小明在学习了《密码中的数学》后设计了一种数字圆盘，按顺时针方向编号1~20，并利用三种颜色循环标记这些编号制定一种解密规则：沿着圆盘顺时针方向按照“红一绿一白一红一绿一白……”的规律，每经过一个编号便标记1次．比如小明先在1号处标记1次红色，然后在2号处标记1次绿色，接着在3号处标记1次白色，在4号处又再次标记红色…当绕圆循环若干圈后不同编号处不同颜色的标记次数均对应不同的密码：已知绕圆周循环了2025圈，那么此时编号4处被标记了_____次红色． 7．（25-26七年级上·江苏南京·期末）先化简再求值：，其中▓，▓．黑色部分是小明不小心用墨水污染的条件，可是小亮却认为无需知道x、y的值，也能求出代数式的值．你同意小亮同学的说法吗？请说明理由． (1)我 （填“同意”或“不同意”） (2)理由： 8．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）【阅读与理解】：一个两位数，如果各位数字之和能被整除，那么这个两位数就能被整除我们可以用说理的方法说明这个结论成立，解答过程如下：解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，那么这个两位数可以用代数式表示为，因为能被整除，并且能被整除，所以一定能被整除接下来我们探究能被整除的三位数的特征． 【举例说明】：请写出两个能被整除的三位数______、______； 【迁移应用】：由特例，提出猜想：如果各位数字之和能被整除，那么这个三位数能被整除.请仿照上面的方法进行说明；验证猜想是否正确． 中考闯关 1．查询，2026年元旦当天整个长三角铁路发送旅客量达到370万人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将370万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 3．设是一个三位数，若它可以被9整除，则下列说法正确的是（    ） A．a可以被9整除 B．可以被9整除 C．可以被9整除 D．可以被9整除 4．目前，人形机器人领域的竞争尚处于早期阶段，但预计未来数十年该市场将迎来爆发式增长，花旗集团研究显示，到2050年时，全球人形机器人数量预计将激增至48000000台，用科学记数法可表示为___________台． 5．如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线．切一刀将饼分成2块；切两刀可将饼分成3块，若两刀在饼内有1个交点（不含边界），最多可将饼分成4块；三刀在饼内最多有3个交点（不含边界），最多可将饼分成7块；那么切刀在饼内最多有个交点（不含边界），最多可将饼分成块，则，之间的数量关系是_________． 6．用相同大小的正六边形拼接泡沫地垫（正反两面分别为灰色和白色）按如图的方式来铺设一个儿童活动室地面，中间的正六边形地垫为灰色，在它的周围铺上6块相同大小的白色地垫，在这圈白色地垫的外围再铺上一圈灰色地垫，在这圈灰色地垫的外围再铺上一圈白色地垫……，按这种方式铺下去，现有2026块这样的地垫，当铺满最后完整的一圈时，最后这圈地垫的颜色为_____色，此时还剩下__________块地垫． 7．如图1，呈现的是开平方运算关系． (1)的值为__________，的平方根为__________； (2)解关于的方程：； (3)通过探究发现，与其算术平方根具有函数关系，记．利用几何软件画出以及的图象，如图2，请结合图象回答下列问题： ①当时，_______（填“＞”“＝”或“＜”）； ②当满足__________时，． 8．综合与实践： 如图1，近视的本质是眼球结构改变导致光线无法准确聚焦在视网膜上．若由于用眼过度，眼轴变长或角膜（晶状体）屈光力加强，焦点会落在视网膜前方，导致看远处物体模糊． 小明在学习眼睛的成像原理时，了解到：眼睛的晶状体相当于一个可变焦距的凸透镜，视网膜相当于光屏．正常眼睛的“明视距离”为，即看距眼睛的物体最清晰、不易疲劳．看远处物体时，晶状体焦距变长；看近处物体时，晶状体焦距变短．已知：小明是正常视力，其眼睛的晶状体到视网膜的距离（像距）固定为． 当物体清晰成像在视网膜上时，如图2所示，满足凸透镜成像公式：， (1)当小明全神贯注地阅读一本放在明视距离的书本时，眼睛的焦距______（精确到）． (2)小明由于长期用眼过度，导致眼睛近视，需要佩戴眼镜来矫正视力，如图3所示眼镜镜片是凹透镜，其原理是使平行光线透过凹透镜后进行发散，进而使发散后的光线通过晶状体后，使物体成像在视网膜上．小明的眼轴长度为．已知标准正视眼的眼轴长度，眼睛度数（屈光率）与实际眼轴长度和标准眼轴长度的关系为，近视度数（取正值），则小明眼睛近视度数是______（取整数，注意单位要统一）． (3)关于薄透镜（忽略厚度）成像公式为，符号规则（实正虚负规则）． ①如图4，结合所学的数学知识证明“凹透镜成像”公式：；（提示：此焦点为虚） ②若凸透镜成像时，记，对应的．请证明：当时，有． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $