精品解析：湖南长沙市长郡梅溪湖中学2025-2026学年九年级下学期寒假全真模拟自主检测 数学学科

寒假全真模拟自主检测 数学学科 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 心形线 B. 蝴蝶曲线 C. 四叶玫瑰线 D. 等角螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握它们的概念，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值． 【详解】解：50亿光年光年； 故选C． 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 5. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数和中位数，熟记众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是48，因此众数是48； 将这组数据从小到大排序为：47，47，48，48，48，49，49，50， 第4，5位是48，48，因此中位数是， 故答案为：C． 6. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 7. 已知一次函数，则下列说法正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 该函数图象一定过点， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，∴y随x的增大而减小，故此选项错误，不符合题意； B、一次函数的图象经过第二、三、四象限，故此选项错误，不符合题意； C、当时，，当时，，即该函数图象不过点，，故此选项错误，不符合题意； D、当时，，又y随x的增大而减小， ∴当时，，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 8. 某市对学生的综合评价分学习成绩，身体素质和艺术修养三部分，学习成绩，身体素质与艺术修养成绩按计入综合评价．若小明学习成绩为90分，身体素质成绩为80分，艺术修养成绩为85分，则他的综合评价得分为（ ） A. 84 B. 85 C. 86 D. 87 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法即可求解． 【详解】解：他的综合评价得分为：（分）． 故选：C． 9. 《九章算术》是中国传统数学重要著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为（    ）寸． A. 6.5 B. 12.5 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设寸，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，根据其建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设寸， 弦于点，寸，寸， 寸， ， ， 解得， 半径长为寸． 故选：C． 10. 如图，二次函数图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①； ②二次函数图象与轴的另一个交点是； ③； ④三点都在该二次函数的图象上，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，该二次函数的图象的对称轴为，则，即可判断A；根据对称性可求出另一交点，即可判断B；由图象可知，求出，即可判断C；根据点到对称轴越近，函数值越小可判断D，即可求解． 【详解】解：∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数的图象的对称轴为，且图象过点， ∴图象过另一点，故②正确； 由图象可知， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为，开口向上， ∴点到对称轴的距离越近，函数值越小 ∵到对称轴的距离； 到对称轴距离； 到对称轴的距离 ∵, ∴,故④正确， 综上，正确的结论是②③④， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案：． 12. 若分式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式，二次根式有意义的条件，掌握分式，二次根式有意义的条件列式是关键． 根据分式，二次根式有意义的条件列式得，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， 故答案为： ． 13. 一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了用频率估计概率，掌握“经过大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在一个常数，这个常数等于该事件发生的概率”，据此即可解答． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到白球的频率稳定在， ∴箱子里球的总个数（个）， ∴红球的个数（个）， 故答案为：4． 14. 如图，点都在上，，则的度数等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB=|k|， ∴|k|=2， ∵k＜0， ∴k=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 16. 在数学中，“数字黑洞”指是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何．最终都会收敛到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某位同学对各位数字不同的两位数进行了如下操作：将其各位数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是___________． 【答案】63 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义分别计算出前六次操作的结果，可得规律每五次操作位一个循环，操作的结果依次为27，45，09，81，63，据此规律求解即可． 【详解】解：第一次操作，初始数为36，最大数为63，最小数为36，则最大数与最小数的差为， 第二次操作，初始数为27，最大数为72，最小数为27，则最大数与最小数的差为， 第三次操作，初始数为45，最大数为54，最小数为45，则最大数与最小数的差为，补零后为09， 第四次操作，初始数为09，最大数为90，最小数为09，则最大数与最小数的差为 第五次操作，初始数为81，最大数为81，最小数为18，则最大数与最小数的差为， 第六次操作，初始数为63，最大数为63，最小数为36，则最大数与最小数的差为， ……， 以此类推可知，从第一次操作开始，每五次操作位一个循环，操作的结果依次为27，45，09，81，63， ∵， ∴将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是63， 故答案为：63． 三、解答题（本大题含9个小题，共72分，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先利用分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件得出且，所以选择代入求值即可． 【详解】解： ， 且， 代入，原式． 19. 银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸的大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面． （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）大桥立柱在水面以上的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （）先证明米，然后根据正弦的定义求出； （）根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴（米）， 在中，（米） 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米； 【小问2详解】 解：在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴(米) , 答：大桥立柱在水面以上的高度为米． 20. 随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷。某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生，在扇形统计图中“”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率． 【答案】（1）100； （2）见解析 （3）甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： 【解析】 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属于中等题型． （1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用的百分比即可求出的扇形圆心角度数． （2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图． （3）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率 【小问1详解】 解：喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为， 此次共抽查了：（人， 喜欢用沟通所占比例为：， ”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：喜欢用短信的人数为：（人， 喜欢用微信的人数为：（人， 补充图形，如图所示： 【小问3详解】 解：列出树状图，如图所示： 所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：． 21. 如图，在矩形中，对角线交于点O，分别过点作的平行线交于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； （1）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而利用菱形的判定解答即可； （2）根据矩形的性质和菱形的性质得出面积解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴． 22. 健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）共有5种进货方案； （2）购进A型净水器台，则购进B型净水器台，能使得总利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、一次函数的应用； （1）设购进A型净水器x台，则购进B型净水器台，依题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解； （2）设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设购进A型净水器x台，则购进B型净水器台，依题意，得， 解得：， ∴， ∴共有5种进货方案； 【小问2详解】 解：设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意得， ∴ ∵，随的增大而增大， 又∵ ∴当时，取得最大值，最大利润为：（元） ； 答：购进A型净水器台，则购进B型净水器台，能使得总利润最大，最大利润是元． 23. 如图，已知是的外接圆，是的直径，且，延长到E，且有． （1）求证：是的切线； （2）若，，求圆的直径； （3）在（2）的条件下求切线的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据已知条件易证，继而得到，根据直径所对的圆周角为直角即可证得结论； （2）连接交于F，根据已知条件易证，根据垂径定理得出，根据三角形中位线定理求出，设的半径为r，则，，在和中，根据勾股定理得出，解方程求出r，即可求解； （3）根据勾股定理求出，根据圆内接四边形的性质可得出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线 【小问2详解】 解：连接交于F， 由（1）知：， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴圆的直径； 【小问3详解】 解：在中， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，弧、弦的关系，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 24. 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． （1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； （2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； （3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 【答案】（1）二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解； （2）对于二次函数，令，则，得到交点M，N的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，由，即可求出a的值； （3）由，得到，，，，从而，由题意可得，，从而，根据二次函数的增减性并结合，可求出L的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，二次函数中，，，， ∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数， 解方程组得，， 经检验，，都是方程组的解， ∴一次函数与反比例函数图象的交点为，， 即二次函数的“共赢点”是，； 【小问2详解】 ∵二次函数与x轴的交点为M，N， ∴令，则， ∴交点M，N的横坐标满足，， ∴， ∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”， ∴由得， ∴， ∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，， 纵坐标，， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点M，N， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴，，，， ∴， ∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，， ∴，是方程，即的两个根， ∴，， ∵ ， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 25. 如图，为的直径，过点作的切线，是上一点（点与点不重合），且，连接交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求切线的长； （3）记的面积为的面积为，四边形的面积为，若满足，试证明：； 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据，可得，证明，得出，即可得证； （2）设，则，进而根据完全平方公式变形，勾股定理，求得，进而即可求解； （3）过点作于、记的面积为的面积为，根据已知等式变形，得出，进而证明，证明得出，结合，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ，即， ， ， ，即， 又是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：为的直径， ， 又， ， 设，则， ， ，则， ， 又 ， 或（舍去）， 又∵， ∴， ∵， ∴ ； 【小问3详解】 证明：如图，过点作于点， 记的面积为的面积为， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 即． ， ， ，即， 到的距离和到的距离相等， ， 又， ， 是的切线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， 四边形是圆内接四边形， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假全真模拟自主检测 数学学科 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 心形线 B. 蝴蝶曲线 C. 四叶玫瑰线 D. 等角螺旋线 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 6. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数，则下列说法正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 该函数图象一定过点， D. 当时， 8. 某市对学生的综合评价分学习成绩，身体素质和艺术修养三部分，学习成绩，身体素质与艺术修养成绩按计入综合评价．若小明学习成绩为90分，身体素质成绩为80分，艺术修养成绩为85分，则他的综合评价得分为（ ） A. 84 B. 85 C. 86 D. 87 9. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为（    ）寸． A 6.5 B. 12.5 C. 13 D. 15 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①； ②二次函数图象与轴另一个交点是； ③； ④三点都在该二次函数的图象上，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 若分式有意义，则的取值范围是___________． 13. 一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____． 14. 如图，点都在上，，则的度数等于______． 15. 如图，已知A为反比例函数图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 16. 在数学中，“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何．最终都会收敛到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某位同学对各位数字不同的两位数进行了如下操作：将其各位数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是___________． 三、解答题（本大题含9个小题，共72分，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值． 19. 银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面． （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 20. 随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷。某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生，在扇形统计图中“”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率． 21. 如图，在矩形中，对角线交于点O，分别过点作的平行线交于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的周长． 22. 健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，已知是外接圆，是的直径，且，延长到E，且有． （1）求证：是的切线； （2）若，，求圆的直径； （3）在（2）的条件下求切线的长． 24. 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． （1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； （2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； （3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 25. 如图，为的直径，过点作的切线，是上一点（点与点不重合），且，连接交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求切线的长； （3）记的面积为的面积为，四边形的面积为，若满足，试证明：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $