精品解析：湖南省长沙市立信中学2024-2025学年九年级下学期入学数学试卷

2024－2025学年度第二学期寒假学习情况反馈 初三数学试卷 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号： 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大愿题号后面的答愿提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( ) A. n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. n mile 7. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( ) A. B. C. D. 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 9. 如图，，分别与，交于点，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若对于任意非零实数，抛物线总不经过点，则符合条件的点P（ ） A 有无穷多个 B. 有且只有1个 C. 有且只有2个 D. 至少有3个 二、填空题（本大题共6个小題，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 12. 化简：______． 13. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 14. 一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 15. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_____． 16. 毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里． 三、解答题（本大题共9个小题，第17，18，19题每小題6分，第20题，21题每小题8分，第22，23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分．解答应写出变要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 （1）求的长； （2）求的周长． 20. 为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了　 　名居民； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品． 21. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，，求的半径． 22. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 23. 在矩形中，为边上一点，把△沿翻折，使点恰好落在边上点． （1）求证：； （2）若，，求长； （3）若，求的值． 24. 已知关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，我们将称之为函数的“最值平均数”． （1）若函数，当时，求函数的“最值平均数”的值： （2）若函数（）的“最值平均数”等于，求的值； （3）对于函数， ①试写出函数的“最值平均数”的表达式（结果用含有、的式子表示），并写出相应的的范围； ②是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“最值平均数”的最大值的2倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，点在圆上运动，满足，过点的切线交延长线于点． （1）求证：； （2）记的面积为，若，求； （3）如图2，点是线段上一动点（不与重合），于P，交于点．若，设，且，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期寒假学习情况反馈 初三数学试卷 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号： 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大愿题号后面的答愿提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键． 2. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm 【答案】B 【解析】 【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论． 【详解】A.∵5+4=9，9=9， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B.8+8=16，16＞15， ∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C5+5=10，10=10， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D.6+7=13，13＜14， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交于第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可． 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 6. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( ) A. n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. n mile 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长． 【详解】过C作CD⊥AB于D点， ∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴CD=AC•cos∠ACD=60×． 在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD=30， ∴AB=AD+BD=30+30． 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile． 故选D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 7. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图判断即可． 【详解】由三视图可知：该几何体为圆锥． 故选D． 【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大． 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 9. 如图，，分别与，交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】解：， ， （对顶角相等）， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 10. 若对于任意非零实数，抛物线总不经过点，则符合条件的点P（ ） A. 有无穷多个 B. 有且只有1个 C. 有且只有2个 D. 至少有3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题． 【详解】∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a，∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4），∴（x0+4）≠a（x0﹣1），∴x0=﹣4或x0=1，∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题（本大题共6个小題，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求解即可． 【详解】式子在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 化简：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法法则，根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 13. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 14. 一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积； 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 15. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答． 【详解】正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，偶数为2，4，6， 故点数为偶数的概率为， 故答案为． 【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 16. 毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的，即可求出答案． 【详解】解：设地球的半径为万里， 则， 解得， ∴火星的半径为万里， ∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为万里． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17，18，19题每小題6分，第20题，21题每小题8分，第22，23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分．解答应写出变要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入即可得． 【详解】解：原式， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 19. 如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 （1）求的长； （2）求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； 【小问1详解】 解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． 【小问2详解】 解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 20. 为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了　 　名居民； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品． 【答案】（1）50；（2）平均数是8.26；众数为8；中位数为8；（3）需要一等奖奖品100份． 【解析】 【分析】（1）根据总数=个体数量之和计算即可； （2）根据平均数、众数、中位数的定义计算即可； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可； 【详解】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人）， （2）平均数=（4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26； 众数：得到8分的人最多，故众数为8分． 中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分； （3）得到10分占10÷50=20%， 故500人时，需要一等奖奖品500×20%=100（份）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，锐角三角函数，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． （1）连接，利用角平分线性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 平分 ， ， ， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在中，，， ， 为圆的直径， ∴， 又∵， ， ∴的半径为． 22. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【答案】（1）该班级胜负场数分别是场和场； （2）该班级这场比赛中至少投中了个分球． 【解析】 【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可． （2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案． 【小问1详解】 解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得， 答：该班级胜负场数分别是场和场； 【小问2详解】 设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球， 根据题意得：， 解得， 答：该班级这场比赛中至少投中了个分球． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． 23. 在矩形中，为边上一点，把△沿翻折，使点恰好落在边上的点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题． （1）利用矩形的性质和翻折的性质证明两个角相等，即可得出结论； （2）由翻折的性质和矩形的性质得出相等的边，由得出，假设，则，代入列出方程求解即可； （3）假设，则，利用勾股定理表示出相关的边长，根据三角形相似，利用，列出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴ 由翻折的性质得，， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由矩形和翻折的性质得，，，， 由勾股定理得，， 假设，则， 由（1）得，， ∴， 即， 解得， ∴的长为； 【小问3详解】 解： 假设，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，，， 由（1）得，， ∴， 即， 解得，， ∴． 24. 已知关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，我们将称之为函数的“最值平均数”． （1）若函数，当时，求函数“最值平均数”的值： （2）若函数（）的“最值平均数”等于，求的值； （3）对于函数， ①试写出函数的“最值平均数”的表达式（结果用含有、的式子表示），并写出相应的的范围； ②是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“最值平均数”的最大值的2倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2024 （2） （3）①当时或当时，；当时，；当时，② 存在， 【解析】 【分析】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，反比例数，二次函数的性质，解题的关键在于分类讨论时，的取值范围的取舍． （1）求出函数在取值范围内的最大值和最小值，然后根据公式求出“最值平均数”； （2）根据新定义结合反比例函数的性质列出，即可求解； （3）①根据函数的增减性，分三种情况进行讨论最值问题求解即可； ②根据①中结论，得出“最值平均数”的最大值，然后列出求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴函教的“最值平均数”的值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，为最大值； 当时，为最小值； ∴“最值平均数”为， 解得：（负值已舍）； 【小问3详解】 解：①由二次函数解析式得，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，即时，随的增大而增大； 当时，即时，随的增大而减小； 此时，； 当时，，， 此时，； 当时，， 此时，； ②存在，，理由如下： 由①得函数最大值为顶点处 ，  当 或  时，的表达式为二次函数，开口向下，在  处取得最大值 ；  当 或  时，最大值为 （小于 ）， ∴ ∴ ． 25. 如图1，点在圆上运动，满足，过点的切线交延长线于点． （1）求证：； （2）记的面积为，若，求； （3）如图2，点是线段上一动点（不与重合），于P，交于点．若，设，且，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理的逆定理可知，从而得到，再由切线的性质得到，等量代换即可得证； （2）在中，；在中，；由（1）可得，从而，设，根据题中条件变形求解得到即可得到答案； （3）由，设，则，由，则，利用相似三角形的判定与性质得到、，根据，代值化简得到，再根据，由平行线分线段成比例代值化简即可得到答案． 【小问1详解】 证明：在中，， ，则， 为圆的切线， ，即， ； 【小问2详解】 解：在中，；在中，； 由（1）知，则， ， 设， 由得，则，即， 平方并整理得，再平方得到，解得或（舍）， ，则； 【小问3详解】 解：， 设，则， 设，则， ， ， 由（1）知， ，则， ； ，， ，则， ； ， ， ， ． 【点睛】本题综合性强，难度较大，涉及勾股定理的逆定理、切线性质、同角的余角相等、正切函数值定义、解一元二次方程、三角形相似的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，根据题意，结合所求，灵活运用所学几何知识证明是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $