精品解析：湖南长沙市长雅中学2025-2026学年九年级下学期数学寒假作业回练

2026学年长雅中学九年级数学寒假作业回练 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A B. C. D. 0.13133 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( ) A. b＝1，c＝﹣6 B. b＝﹣1，c＝﹣6 C. b＝5，c＝﹣6 D. b＝﹣1，c＝6 4. 如图，在中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若，则的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 16 D. 20 5. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若三个点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 12. 分解因式：_______． 13. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，则这四名同学中成绩最稳定的是_________． 14. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 15. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为______． 16. 如图，点分别在函数图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________． 三、解答题：本题共7小题，共72分 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 21. 如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平行四边形周长为24，，，求的长． 22. 卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购买了A、B两种体育器材共120件作为奖品．已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材费用相同． （1）求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？ （2）若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花多少钱？ 23. 如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于，是的切线，为切点，连接，． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之积为非零常数m，则称这两个函数为关于m的“定积函数”，m称为定积系数．请根据该约定，解答下列问题： （1）求正比例函数与二次函数的定积系数m； （2）若点在反比例函数（k为非零常数）的图象上，且该函数与一次函数为关于的“定积函数”，当时，求代数式的值； （3）若一次函数与二次函数（n为常数）为关于m的“定积函数”，且这两个函数交于A，B两点（A在B的左侧），A，B两点的横坐标分别为和，且，满足 ①求m的值； ②如图，已知O为坐标原点，若M为函数的图象上位于第四象限的一个动点，连接、、，且交于点C，过点M作交于点N，记的面积依次为，，，求的取值范围． 25. 图，点在以为直径的半圆上运动（点不与，重合），， （1）求证：； （2）若，求的值； （3）点是线段上一动点（不与点，重合），过点作弦垂线，交于点，交的延长线于点，点是线段的中点，若，，，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年长雅中学九年级数学寒假作业回练 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的性质，利用合并同类项法则、同底数幂相除法则，积的乘方法则，二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、 ，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算正确，符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( ) A. b＝1，c＝﹣6 B. b＝﹣1，c＝﹣6 C. b＝5，c＝﹣6 D. b＝﹣1，c＝6 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，即可得到b与c的值. 【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c， ∴b＝﹣1，c＝﹣6 故选：B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根满足 ，是解题的关键. 4. 如图，在中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若，则的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质，得到，进而得到为中位线，进而求出的长，再利用周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 5. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，根据得到，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 6. 某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可． 【详解】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个， 由题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可． 7. 若三个点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可得到解答． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数的两个分支分别在第一、三象限， ∴反比例函数随的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的在各自象限内的增减性是解题的关键． 8. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即或，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 10. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，根据二次根式有意义，则被开方数大于或等于求出x的范围． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 13. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，则这四名同学中成绩最稳定的是_________． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题关键． 根据方差的意义，即“方差越小，数据波动越小”即可求解． 【详解】解：∵，，，， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁， 故答案为：丁． 14. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的底面圆的半径==3， 所以这个圆锥的侧面积=×2π×3×5=15π． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、作图—作角平分线，由勾股定理可得，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________． 【答案】（2，3） 【解析】 【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），进而列出方程求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，）， ∴m-（）=，解得：m=±2（负值舍去）， 经检验，m=2是方程的解， ∴D点坐标为（2，3）， 故答案是：（2，3）． 【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共72分 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把a的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 19. 如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1） （2）海警船继续向正东方向航行安全 【解析】 【分析】（1）作交的延长线于点，利用平行线的性质和角之间的关系，计算即可； （2）设海里，利用三角函数可得海里，海里，列出方程，求出，从而可得，与25比较即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作交延长线于点， 由题意可知，，，，， 则， ，， ； 【小问2详解】 海警船继续向正东方向航行安全，理由如下， 设海里， 在中，，即， 则海里， 在中，，即， 则海里， （海里）， ， 即，解得， ， 海警船继续向正东方向航行安全． 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1）见解析 （2）；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示， 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平行四边形的周长为24，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，得，可证明，得出，可得四边形是平行四边形，由即得是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，即得． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵平行四边形的周长为24， ∴菱形的周长为：， ∴， ∵， ∴ 又 ， ∴是等边三角形， ∴． 22. 卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购买了A、B两种体育器材共120件作为奖品．已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材费用相同． （1）求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？ （2）若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花多少钱？ 【答案】（1）购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设一件A种器材的价格为元，则一件B种器材的价格为元，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）设购买A器材件，则B器材件，总费用元，根据不等关系，列出不等式求出的取值范围，再根据题意，求出一次函数，利用函数的性质，求解即可． 小问1详解】 解：设一件A种器材的价格为元，则一件B种器材的价格为元， （元）， 根据题意得，， 解得， 经检验：是方程的解，且符合题意， ， 则购买一件A种器材需50元、一件B种器材需100元； 【小问2详解】 解：设购买A器材件，则B器材件，总费用元， 根据题意得，， 解得， ， ， 随的增大而减小， ，且为非负整数， 当时，取得最小值，为（元）， 则至少要花元． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于，是的切线，为切点，连接，． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10． 【解析】 【分析】（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证． 【详解】（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°． ∵OA=OB，BA⊥PO于D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB． 又∵PO=PO， ∴△PAO≌△PBO． ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴直线PA为⊙O的切线． （2）由（1）可知，， ， ， =90， ， ， ，即， 是直径， 是半径 ， ， ， 整理得； （3）是中点，是中点， 是的中位线， ， ， ， 是直角三角形， 在中，， ， ， ， ，则， 、是半径， ， 在中，，， 由勾股定理得： ，即， 解得：或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 24. 我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之积为非零常数m，则称这两个函数为关于m的“定积函数”，m称为定积系数．请根据该约定，解答下列问题： （1）求正比例函数与二次函数的定积系数m； （2）若点在反比例函数（k为非零常数）的图象上，且该函数与一次函数为关于的“定积函数”，当时，求代数式的值； （3）若一次函数与二次函数（n为常数）为关于m的“定积函数”，且这两个函数交于A，B两点（A在B的左侧），A，B两点的横坐标分别为和，且，满足 ①求m值； ②如图，已知O为坐标原点，若M为函数的图象上位于第四象限的一个动点，连接、、，且交于点C，过点M作交于点N，记的面积依次为，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查函数的图象交点，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，二次函数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）联立正比例函数与二次函数，求解两函数图象的交点坐标，即可求解； （2）令，得，根据根与系数的关系得到，因此根据“定积函数”定义得到，从而，将所求式子运用分式的加减进行求解即可； （3）①令，得，因此，根据得到，即可求出m的值； ②由得到图象与轴的交点坐标为，设，由，得到，因此．过点作轴交直线于点，则，求出，因此，即可解答． 【小问1详解】 解：解方程组，得或， ∴正比例函数与二次函数的图象的交点为，， ． 【小问2详解】 令，得， ∴， ∵反比例函数与一次函数为关于的“定积函数”， ∴，即， ∵点在反比例函数（k为非零常数）的图象上， ∴， ． 【小问3详解】 ①令，得 ， ， ． ， ∴，解得． ②， ， 的图象与轴的交点坐标为， 设， ∵， ， ， 过点作轴交直线于点，则， 由得直线与轴的交点坐标为， ∴， ， ， ， ． 25. 图，点在以为直径的半圆上运动（点不与，重合），， （1）求证：； （2）若，求的值； （3）点是线段上一动点（不与点，重合），过点作弦的垂线，交于点，交的延长线于点，点是线段的中点，若，，，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及垂直的定义得到，根据直角三角形两锐角互余可得，，即可得证； （2）设，，则，证明，根据相似三角形的性质得到，继而得到，，根据勾股定理得，可得方程，求解即可； （3）设，可得，由，得，则，，利用锐角三角函数，在中，，，在中，，，在中，，，然后代入化简即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是半圆的直径，， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴值为； 【小问3详解】 设， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，点是线段的中点，若， ∴，， ∴，， 在中，，， 在中，，， 在中，，， ∴ ， 即， ∵是线段上一动点（不与点，重合）且， ∴当点与点重合时，取得最小值，此时， ∴自变量的取值范围为， 综上所述，关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查圆周角的推论，直角三角形两锐角互余，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一元二次方程的应用等知识点．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $