湖南长沙市长郡梅溪湖中学2025-2026学年九年级下学期寒假全真模拟自主检测 数学学科

寒假全真模拟自主检测 数学学科 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 心形线 B. 蝴蝶曲线 C. 四叶玫瑰线 D. 等角螺旋线 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 6. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数，则下列说法正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 该函数图象一定过点， D. 当时， 8. 某市对学生的综合评价分学习成绩，身体素质和艺术修养三部分，学习成绩，身体素质与艺术修养成绩按计入综合评价．若小明学习成绩为90分，身体素质成绩为80分，艺术修养成绩为85分，则他的综合评价得分为（ ） A. 84 B. 85 C. 86 D. 87 9. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为（    ）寸． A. 6.5 B. 12.5 C. 13 D. 15 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①； ②二次函数图象与轴的另一个交点是； ③； ④三点都在该二次函数的图象上，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 12. 若分式有意义，则的取值范围是___________． 13. 一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____． 14. 如图，点都在上，，则的度数等于______． 15. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 16. 在数学中，“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何．最终都会收敛到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某位同学对各位数字不同的两位数进行了如下操作：将其各位数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是___________． 三、解答题（本大题含9个小题，共72分，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值． 19. 银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸的大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面． （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 20. 随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷。某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生，在扇形统计图中“”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率． 21. 如图，在矩形中，对角线交于点O，分别过点作的平行线交于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的周长． 22. 健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，已知是的外接圆，是的直径，且，延长到E，且有． （1）求证：是的切线； （2）若，，求圆的直径； （3）在（2）的条件下求切线的长． 24. 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． （1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； （2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； （3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 25. 如图，为的直径，过点作的切线，是上一点（点与点不重合），且，连接交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求切线的长； （3）记的面积为的面积为，四边形的面积为，若满足，试证明：； 寒假全真模拟自主检测 数学学科 一、单选题（每题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（每题3分，共18分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】63 三、解答题（本大题含9个小题，共72分，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分） 【17题答案】 【答案】4 【18题答案】 【答案】， 【19题答案】 【答案】（1）大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）大桥立柱在水面以上的高度为米． 【20题答案】 【答案】（1）100； （2） 补充图形，如图所示： （3）甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）20 【22题答案】 【答案】（1）共有5种进货方案； （2）购进A型净水器台，则购进B型净水器台，能使得总利润最大，最大利润是元 【23题答案】 【答案】（1）见解析 （2）12 （3） 【24题答案】 【答案】（1）二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是， （2） （3） 【25题答案】 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $