第 3 章 整式的乘除 章节（16知识详解+33典例分析）2025-2026学年（新教材浙教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第 3 章 整式的乘除 章节（16知识详解+33典例分析） 【知识点01】同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法法则的推导过程,都是正整数 。 2.同底数幂的乘法法则： 文字叙述 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 字母表示 _________________________________ 逆用 =(𝑚,𝑛都是正整数) 。 运用的条件 运用同底数幂的乘法法则必须满足两个条件： （1）底数相同；（2）是乘法运算。 示例 同底数幂的乘法 【知识点02】幂的乘方 1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。 例如，()是4个相乘，读作a的3次幂的4次方;()是n个相乘,读作a的m次幂的n 次方。 2.幂的乘方法则的推导过程： 3.幂的乘方法则： 文字叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 字母表示 ________ 推广 [()]=(𝑚,𝑛,𝑝都是正整数) 。 逆用 =()=(𝑎)(𝑚,𝑛都是正整数) 。 【知识点03】积的乘方 1.积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如， 等。 2.积的乘方法则的推导过程： →积的乘方的意义 →乘法交换律、结合律 是正整数 。 3.积的乘方法则： 文字叙述 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 字母表示 ___________________ 推广 (𝑎𝑏𝑐)=𝑎𝑏𝑐(𝑛为正整数) 。 逆用 𝑎𝑏=(𝑎𝑏)(𝑛为正整数) 。 【知识点04】单项式与单项式相乘 1. 单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。简记为“两相乘，一不变” 简记为“两相乘，一不变” 2.单项式乘单项式的步骤： （1）确定积的系数:积的系数等于各项系数的积； （2）确定相同字母:同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）确定单独字母:只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起作为积的因式。 示例1 单项式与单项式相乘 【知识点05】单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘的法则： 文字语言 字母表示 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。  𝑝（𝑎+𝑏+𝑐）=𝑝𝑎+𝑝𝑏+𝑝𝑐(𝑝，𝑎，𝑏，𝑐都是单项式)  实质上是利用分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式 示例2 单项式与多项式相乘 注意：多项式中的每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 敲黑板 （1）单项式与多项式相乘，实质上是利用分配律将其转化为单项式与单项式相乘。 （2）单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式，合并前，其项数与因式中多项式的项数相同。 【知识点06】多项式与多项式相乘 1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm 。 示例 多项式乘多项式 注意：（1）多项式乘多项式时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏。 （2）不要漏乘不含字母的项，注意符号不能出错。 （3）多项式乘多项式，结果仍为多项式，若有同类项，则要合并同类项。在合并同类项之前，所得积的项数应是两个多项式的项数之积，可用此方法检验是否漏乘或多乘。 2.几何意义： 如图，将大长方形看作一个整体，则S=(a+n)(b+m);将大长方形看作由四个长方形拼成的，则S=ab+am+nb+nm。 所以(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm。 【知识点07】平方差公式 1.平方差公式的推导： （1）用多项式乘法推导平方差公式 （提示：本节公式中的字母<m>a</m>,<m>b</m>可以是单项式，也可以是多项式） （2） 借助几何图形推导平方差公式图（1）中大长方形的面积为(a−b)(a+b) ； 将图（1）中阴影部分的小长方形变换到图（2）中的位置，图（2）的面积为a²−b² 。 由面积相等，得(a−b)(a+b)=a²−b²。 2.平方差公式： 平方差公式 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎²−𝑏² 。两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 特征 （1）等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 示例1 利用平方差公式计算 教材延伸 平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 （1）位置变化 (𝑏+𝑎)(−𝑏+𝑎)=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎²−𝑏²。 （2）符号变化 (−𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)=(−𝑏−𝑎)(−𝑏+𝑎)=(−𝑏)²−𝑎²=𝑏²−𝑎²。 （3）系数变化 (3𝑎+2𝑏)(3𝑎−2𝑏)=(3𝑎)²−(2𝑏)²=9𝑎²−4𝑏² 。 （4）指数变化 (𝑎³+𝑏²)(𝑎³−𝑏²)=(𝑎3)²−(𝑏²)²=− 。 （5）项数变化 (𝑎−𝑏+𝑐)(𝑎−𝑏−𝑐)=(𝑎−𝑏)²−𝑐² 。 （6）连用公式 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)(𝑎²+𝑏²)=(𝑎²−𝑏²)(𝑎²+𝑏²)=− 。 【知识点08】完全平方公式 1.完全平方公式的推导： （1）用多项式乘法推导完全平方公式(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²。 (a−b)²=(a−b)(a−b)=a²−ab−ab+b²=a²−2ab+b²。 （3） 借助几何图形推导完全平方公式 图形 阴影面积 (𝑎+𝑏)² 或𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²  (𝑎−𝑏)²或𝑎²−2(𝑎−𝑏)𝑏−𝑏²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²  等量关系 各图中阴影部分的面积相等 结论 (𝑎+𝑏)²=𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²  (𝑎−𝑏)²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²  用图形解释完全平方公式的方法还有很多，割拼方式如下 (a+b)²=a²+2×(a+a+b)b=a²+2ab+b² (a−b)²=a²−2ab+b² 2.完全平方公式： 完全平方公式 两数和 (𝑎+𝑏)²=𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏² 。 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差 (𝑎−𝑏)²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 特征 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，两者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同。 示例 利用完全平方公式计算 【知识点09】整式的化简 与数的运算规则相同，整式的化简也遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。能运用乘法公式的则运用公式，以简化运算过程。 整式化简的一般步骤： （1）观察所要化简的整式，明确所含的运算，确定运算顺序； （2）选择运算法则或公式； （3）按选定的运算法则或公式，依照运算顺序进行计算； （4）结果中有同类项的一定要合并，使结果最简。 【知识点10】应用整式解决实际问题 应用整式解决实际问题的一般步骤： （1）理解题意，根据题中的数量关系列代数式； （2）化简代数式； （3）代入字母的值求代数式的值。 【知识点11】同底数幂的除法 1.同底数幂相除的法则推导过程： 2.同底数幂相除的法则： 文字叙述 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 字母表示 条件 运用同底数幂相除的法则必须满足两个条件： （1）底数相同；（2）是除法运算。 逆用 =÷(𝑎≠0，𝑚,𝑛 都是正整数，且𝑚>𝑛) 。 推广 ÷÷=(𝑎≠0，𝑚,𝑛,𝑝 都是正整数，且𝑚>𝑛+𝑝) 。 【知识点12】零指数幂 零指数幂的性质：任何不等于零的数的零次幂都等于1。即=1(a≠0) 。 示例1 零指数幂 教材延伸 <m>的推导过程 如果把公式>,<<，<都是正整数，且<<推广到>的情形，那么有>，而>,所以。 【知识点13】负整数指数幂 负整数指数幂的性质： 任何不等于零的数的−p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数。即（a0，p是正整数)。 注意： 因为0的负整数指数幂没有意义，所以有意义的条件是a≠0. 示例2 负整数指数幂 【知识点14】用科学记数法表示绝对值较小的数 1.用科学记数法表示绝对值较小的数：一个绝对值较小的数，用科学记数法表示成a×10的形式（其中1≤|a|<10，n 为正整数）。 2.确定n的两种方法： ①n等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的那个零）； ②小数点向右移到第一个不为零的数后，小数点移动了几位，n就等于几。 说明： （1）大于−1 的负数也可以用类似的方法表示，如−0.000 002 56可以表示成−2.56×。 （2）将用科学记数法表示的小于1的正数a×还原时，a 中的小数点向左移|n|位，不足的数位用“0”补齐。如2.56×，其中a=2.56，|n|=6 ，所以2.56的小数点向左移动6位，不足的数位用“0”补齐，所以2.56×=0.000 002 56 。 示例3 用科学记数法表示 绝对值较小的数 【知识点15】单项式除以单项式 1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2.单项式除以单项式的步骤： （1）先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数，要特别注意系数的符号； （2）同底数幂相除，所得的商作为商的一部分； （3）只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏。 示例4 单项式除以单项式 【知识点16】多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 字母表示：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0) 。 示例5 多项式除以单项式 注意：多项式除以单项式时，要逐项计算，既要注意符号的变化，又要注意商为1（或−1 ）的项不能漏掉，并且商的项数与这个多项式的项数相同。 【题型一】同底数幂相乘 1．（2023·浙江丽水·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．熟记法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2023七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）利用同底数幂的乘法法则计算即可； （3）利用同底数幂的乘法法则计算即可； （4）利用同底数幂的乘法法则计算即可； （5）利用同底数幂的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，，则的值是（    ） A．729 B．243 C．27 D．9 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，可得，即可解答，熟知同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则_________． 【答案】2 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】根据，结合，计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵，， ∴， 故答案为：2． 【题型三】幂的乘方运算 5．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 6．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）若，，则_____________． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【题型四】幂的乘方的逆用 7．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，，，均为正整数，则 ______ 用含，的代数式表示． 【答案】/ 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】逆用幂的乘方、同底数幂的乘法进行运算即可． 【详解】解：当，时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【题型五】积的乘方运算 9．（24-25七年级下·浙江温州·期中）化简的结果是______． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则，进行解题即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型六】积的乘方的逆用 10．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算：_____． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方运算． 逆用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（22-23七年级·浙江金华·月考）阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案． （2）根据第一问的计算可知指数相同的幂相乘时，可先将底数相乘，指数不变． （3）根据第二问的结论计算即可． 【详解】（1）解： =1； （2）解：原式=， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． 【题型七】计算单项式乘单项式 12．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是： 则小沈这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分配律 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】该题考查了单项式乘法，根据单项式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意小沈这一步做法的依据是“乘法的交换律和结合律”， 故选：A． 13．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算的结果为 ___________． 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘单项式的运算法则运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型八】计算单项式乘多项式及求值 14．（22-23七年级·浙江宁波·期中）将代数式去括号后，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的运算法则，计算时注意符号，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键． 15．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法，进行计算即可求解． （2）根据单项式乘以多项式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型九】单项式乘多项式的应用 16．（23-24七年级下·浙江·期中）两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积和整式乘法，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积，先表示出，，再根据题意得到等式，进行变形得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 17．（23-24七年级·浙江杭州·月考）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a． (1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）． ②当时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）． 【答案】(1)①；②1200 (2)增大； 【知识点】单项式乘多项式的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键． （1）①先用和的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把，代入①中的代数式进行计算即可； （2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积． 【详解】（1）解：①总长为，宽为， 园子的长为：， 园子的面积为：； 故答案为：； ②当，时， ； （2）解：园子的宽不变，长增加了， 园子的面积增大了， 在园子的长边上开了1的门， 园子的长为：， 园子的面积为：， 园子增加的面积为：， 答：园子的面积增加了，此时园子的面积． 故答案为：增大． 【题型十】利用单项式乘多项式求字母的值 18．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 【题型十一】计算多项式乘多项式 19．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则计算后即可求得答案． 【详解】解：， 则被污染的部分为， 故选：A． 20．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，一块长方形农场米，米，为了扩大农场面积，计划将增加2米，增加3米． (1)扩大后农场的面积增加了多少平方米？ (2)现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉．经了解，花卉的种植成本为每平方米60元．若米，这个种植计划能实现吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个种植计划能实现，见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、计算多项式乘多项式 【分析】（1）先分别表示出扩大后长方形的长和宽，算出扩大后的面积与原来的面积，两者作差得到增加的面积，核心是长方形面积公式（面积 = 长×宽 ）的运用． （2）先把代入（1）中增加面积的表达式，算出阴影区域面积，再乘以每平方米种植成本得到总花费，与元比较，判断计划能否实现，关键是代入求值和数的大小比较． 本题主要考查长方形面积公式的应用、整式的运算及代数式求值，熟练掌握长方形面积计算、整式展开与化简、代入求值比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ． （2）解：当时， 因为， 所以这个种植计划能实现． 【题型十二】（x+p）（x+q）型多项式乘法 21．（24-25七年级下·浙江台州·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘法以及等式的性质，解题的关键是通过多项式乘法法则将等式左边展开，然后对比等式两边同类项的系数． 先利用多项式乘法法则将展开，再根据等式两边同类项系数相等求出的值． 【详解】解：． 等式两边与的系数都分别相等，那么常数项也应相等， 所以． 故选：A． 【题型十三】已知多项式乘积不含某项求字母的值 22．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，合并同类项．利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令项的系数为0得到关于a的方程求解即可． 【详解】解： , ∵多项式的乘积中不含项， ∴，解得：． 故选D． 23．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为________． 【答案】3 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．根据展开式中含项的系数为3，求得的值即可． 【详解】解：∵ ， ∵代数式中含项的系数为3， ∴， 解得， 故答案为：3． 【题型十四】多项式乘多项式——化简求值 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知．则的值为（    ） A．6 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】利用多项式乘多项式法则展开，再将已知式子整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式及其化简求值，解题的关键是掌握多项式的运算法则． 25．（22-23七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值： (1) ，其中； (2)，其中． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x的值代入即可求解； （2）根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x、y的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则等知识，解题的关键是掌握乘法运算法则，属于中考常考题型． 【题型十五】多项式乘多项式与图形面积 26．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）现有如图所示的卡片若干张，其中A型、B型为正方形卡片，C型为长方形卡片，若要用这三种类型卡片拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C型卡片的张数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是根据题意求出大正方形的面积．先根据长方形的面积公式求出大长方形的面积，然后根据整式乘法法则计算结果进行判断即可． 【详解】解：大长方形的面积为：， 1张A型卡片的面积是，1张B型卡片的面积是，1张C型卡片的面积是，所以要拼成一个长为，宽为的大长方形，需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张． 故选：D． 27．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（）根据题意和图形列出代数式即可； （）由可得，即得，进而即可求解； 本题考查了列代数式，多项式乘以多项式的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∴长方形的周长． 【题型十六】多项式乘法中的规律性问题 28．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据这一规律计算： （1）______． （2）______． 【答案】 / 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式的规律，解题的关键是理解题意，得出规律． （1）根据代数式的规律即可得； （2）根据代数式的规律得，进行化简即可得出答案． 【详解】（1）解：观察代数式可得， 故答案为：； （2）解：观察代数式可得， 把代入得， ∴． 故答案为：． 【题型十七】整式乘法混合运算 29．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法法则． （1）先算乘法，再合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： 原式 （2） 原式 【题型十八】运用平方差公式进行运算 30．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解答此题的关键． 根据平方差公式的特征对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B． ，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C．，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：C． 31．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）（1）计算：； （2）解方程 【答案】（1）1 （2） 【知识点】运用平方差公式进行运算、代入消元法 【分析】本题考查了平方差公式，解二元一次方程组，掌握方程组的解法是解答本题的关键． （1）把变为利用平方差公式计算即可； （2）用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 把方程①代入方程②， ∴ 把代入①，得． 原方程组的解是 【题型十九】平方差公式与几何图形 32．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的推导方法是解答本题的关键． 用代数式分别表示图甲和图乙的面积，再根据两个图的面积相等的关系可得结论． 【详解】解：图甲的面积可以看作一个长方形， ∴面积为， 图乙可以看作两个正方形的面积差， 即， 两个图的面积相等， ， 故选：D． 33．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【答案】(1)B (2)①；② 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）等积法列出等式即可； （2）①利用（1）中的等式，进行求解即可； ②算式乘以前面乘以，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为； 故选B． （2）①由（1）可知：， ∵， ∴； ② ‘’ ． 【题型二十】运用完全平方公式进行运算 34．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式． 利用完全平方公式展开并代入已知条件即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 35．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于的等式成立，则的值为_____． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，先利用完全平方公式化对等式右边进行化简，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵等式成立， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型二十一】完全平方公式在几何图形中的应用 36．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． 根据，以及逐项进行计算判断即可． 【详解】解：由题意得，， A．若，即，而， 所以，因此选项不符合题意； B．若，即，而， 因此，即，因此选项不符合题意； C．若，即，而， 所以，因此选项符合题意； D．若，即，而， 因此，所以，即，因此选项不符合题意． 故选：C． 37．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，用四个等腰直角三角形可拼成一个大正方形． (1)试用含，的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积是，，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2)3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式以及代数式求值，熟练掌握等腰直角三角形和正方形的面积公式，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）利用三角形的面积公式分别求出四个等腰直角三角形的面积，再求出正方形的面积，然后根据“阴影部分的面积正方形的面积四个三角形的面积之和”即可得出答案； （2）根据阴影部分的面积是，利用（1）的结论得，再根据得，则，由此即可得出正方形的面积，然后即可得出边长． 【详解】（1）解：如图所示： 根据三角形的面积公式得：，，，， ， 又正方形的边长为， ， ； （2）解：∵阴影部分的面积是， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， 由（1）可知：， ∴大正方形的边长为3． 【题型二十二】求完全平方式中的字母系数 38．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，为完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 根据完全平方公式的形式解答即可． 【详解】解：因为符合完全平方公式的形式，所以A正确； 因为不符合完全平方公式的形式，所以B不正确； 因为不符合完全平方公式的形式，所以C不正确； 因为不符合完全平方公式的形式，所以D不正确． 故选：A． 【题型二十三】整式的混合运算 39．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式混合运算；掌握运算法则及平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）先进行单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先利用平方差公式、完全平方公式运算，再进行加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型二十四】通过对完全平方公式变形求值 40．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形． (1)根据图和图，写出，，之间的一个等量关系______； (2)利用（）中的结论解决下列问题：，，求的值； (3)如图，正方形和正方形面积之和为，点、点在边上，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)图中阴影部分的面积为． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （）利用（）的结论进行解答即可； （）设，，则，，根据，求出，再根据，求出，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：图整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，个长方形的面积和为， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 【题型二十五】同底数幂的除法运算 41．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法进行计算即可求解． 【详解】解：A. 和不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 42．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方运算，即可求解． 【详解】解： ． 【题型二十六】同底数幂除法的逆用 43．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查的是同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于熟练掌握幂的公式的逆运算． 根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的除法逆运算即可求解． 【详解】解：∵，， 故选：B． 44．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则 __________． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆用．逆用同底数幂的除法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：4． 【题型二十七】零指数幂 45．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 46．（24-25七年级下·浙江温州·期中）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）2；（2） 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、加减消元法 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）根据零指数幂和乘方运算法则进行计算即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 得， 得， 解得：， 把代入①，得， 所以方程组的解为． 【题型二十八】负整数指数幂 47．（2025七年级下·浙江·专题练习）如果，，，那么它们的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，先求出，，，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴，即． 故选：D． 48．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)-7a9 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算． （1）根据乘方的定义，可知，根据任何不为的数的次幂为，可知，根据负整数指数幂的运算法则，可知，可得：原式，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则，可得：，根据积的乘方的法则，可得：，再根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【题型二十九】用科学记数法表示绝对值小于1的数 49．（25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （2）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （3）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （4）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型三十】还原用科学记数法表示的小数 50．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）已知空气的单位体积质量为克/厘米3，将用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．科学记数法的标准形式为（，n为整数）．本题把数据中的小数点向左移动3位就可以得到． 【详解】解：． 故选：D． 【题型三十一】计算单项式除以单项式 51．（24-25七年级下·浙江金华·期末）有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查整式的除法，根据题意列式为，然后利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 即长方体的高为， 故答案为：． 52．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂运算法则分别计算，然后合并即可； （）先算单项式除以单项式，积的乘方，最后算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型三十二】多项式除以单项式 53．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为___________．（用含，的代数式表示） 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】先根据题意列出计算式，然后根据整式除法的运算法则计算即可．本题考查了整式除法，解题的关键是熟记法则并灵活运用．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 【详解】解：根据题意，另一边长为：． 故答案为：． 54．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，多项式除以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减； （2）根据多项式除以单项式运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型三十三】整式四则混合运算 55．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若代数式的值与无关，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y的取值无关，可知关于y的项的系数为0，从而可以求得k的值． 【详解】解： ∵关于y的代数式：的值与y无关， ∴， 解得， 即当时，代数式的值与y的取值无关． 故选：A. 56．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式四则混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、分式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则等运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式法则、同底数幂相乘法则和合并同类项法则进行计算即可； （2）先把被减数的分母分解因式，再进行通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，最后约分即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 3 章 整式的乘除 章节（16知识详解+33典例分析） 【知识点01】同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法法则的推导过程,都是正整数 。 2.同底数幂的乘法法则： 文字叙述 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 字母表示 _________________________________ 逆用 =(𝑚,𝑛都是正整数) 。 运用的条件 运用同底数幂的乘法法则必须满足两个条件： （1）底数相同；（2）是乘法运算。 示例 同底数幂的乘法 【知识点02】幂的乘方 1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。 例如，()是4个相乘，读作a的3次幂的4次方;()是n个相乘,读作a的m次幂的n 次方。 2.幂的乘方法则的推导过程： 3.幂的乘方法则： 文字叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 字母表示 ________ 推广 [()]=(𝑚,𝑛,𝑝都是正整数) 。 逆用 =()=(𝑎)(𝑚,𝑛都是正整数) 。 【知识点03】积的乘方 1.积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如， 等。 2.积的乘方法则的推导过程： →积的乘方的意义 →乘法交换律、结合律 是正整数 。 3.积的乘方法则： 文字叙述 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 字母表示 ___________________ 推广 (𝑎𝑏𝑐)=𝑎𝑏𝑐(𝑛为正整数) 。 逆用 𝑎𝑏=(𝑎𝑏)(𝑛为正整数) 。 【知识点04】单项式与单项式相乘 1. 单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。简记为“两相乘，一不变” 简记为“两相乘，一不变” 2.单项式乘单项式的步骤： （1）确定积的系数:积的系数等于各项系数的积； （2）确定相同字母:同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）确定单独字母:只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起作为积的因式。 示例1 单项式与单项式相乘 【知识点05】单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘的法则： 文字语言 字母表示 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。  𝑝（𝑎+𝑏+𝑐）=𝑝𝑎+𝑝𝑏+𝑝𝑐(𝑝，𝑎，𝑏，𝑐都是单项式)  实质上是利用分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式 示例2 单项式与多项式相乘 注意：多项式中的每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 敲黑板 （1）单项式与多项式相乘，实质上是利用分配律将其转化为单项式与单项式相乘。 （2）单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式，合并前，其项数与因式中多项式的项数相同。 【知识点06】多项式与多项式相乘 1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm 。 示例 多项式乘多项式 注意：（1）多项式乘多项式时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏。 （2）不要漏乘不含字母的项，注意符号不能出错。 （3）多项式乘多项式，结果仍为多项式，若有同类项，则要合并同类项。在合并同类项之前，所得积的项数应是两个多项式的项数之积，可用此方法检验是否漏乘或多乘。 2.几何意义： 如图，将大长方形看作一个整体，则S=(a+n)(b+m);将大长方形看作由四个长方形拼成的，则S=ab+am+nb+nm。 所以(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm。 【知识点07】平方差公式 1.平方差公式的推导： （1）用多项式乘法推导平方差公式 （提示：本节公式中的字母<m>a</m>,<m>b</m>可以是单项式，也可以是多项式） （2） 借助几何图形推导平方差公式图（1）中大长方形的面积为(a−b)(a+b) ； 将图（1）中阴影部分的小长方形变换到图（2）中的位置，图（2）的面积为a²−b² 。 由面积相等，得(a−b)(a+b)=a²−b²。 2.平方差公式： 平方差公式 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎²−𝑏² 。两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 特征 （1）等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 示例1 利用平方差公式计算 教材延伸 平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 （1）位置变化 (𝑏+𝑎)(−𝑏+𝑎)=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎²−𝑏²。 （2）符号变化 (−𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)=(−𝑏−𝑎)(−𝑏+𝑎)=(−𝑏)²−𝑎²=𝑏²−𝑎²。 （3）系数变化 (3𝑎+2𝑏)(3𝑎−2𝑏)=(3𝑎)²−(2𝑏)²=9𝑎²−4𝑏² 。 （4）指数变化 (𝑎³+𝑏²)(𝑎³−𝑏²)=(𝑎3)²−(𝑏²)²=− 。 （5）项数变化 (𝑎−𝑏+𝑐)(𝑎−𝑏−𝑐)=(𝑎−𝑏)²−𝑐² 。 （6）连用公式 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)(𝑎²+𝑏²)=(𝑎²−𝑏²)(𝑎²+𝑏²)=− 。 【知识点08】完全平方公式 1.完全平方公式的推导： （1）用多项式乘法推导完全平方公式(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²。 (a−b)²=(a−b)(a−b)=a²−ab−ab+b²=a²−2ab+b²。 （3） 借助几何图形推导完全平方公式 图形 阴影面积 (𝑎+𝑏)² 或𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²  (𝑎−𝑏)²或𝑎²−2(𝑎−𝑏)𝑏−𝑏²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²  等量关系 各图中阴影部分的面积相等 结论 (𝑎+𝑏)²=𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²  (𝑎−𝑏)²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²  用图形解释完全平方公式的方法还有很多，割拼方式如下 (a+b)²=a²+2×(a+a+b)b=a²+2ab+b² (a−b)²=a²−2ab+b² 2.完全平方公式： 完全平方公式 两数和 (𝑎+𝑏)²=𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏² 。 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差 (𝑎−𝑏)²=𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 特征 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，两者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同。 示例 利用完全平方公式计算 【知识点09】整式的化简 与数的运算规则相同，整式的化简也遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。能运用乘法公式的则运用公式，以简化运算过程。 整式化简的一般步骤： （1）观察所要化简的整式，明确所含的运算，确定运算顺序； （2）选择运算法则或公式； （3）按选定的运算法则或公式，依照运算顺序进行计算； （4）结果中有同类项的一定要合并，使结果最简。 【知识点10】应用整式解决实际问题 应用整式解决实际问题的一般步骤： （1）理解题意，根据题中的数量关系列代数式； （2）化简代数式； （3）代入字母的值求代数式的值。 【知识点11】同底数幂的除法 1.同底数幂相除的法则推导过程： 2.同底数幂相除的法则： 文字叙述 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 字母表示 条件 运用同底数幂相除的法则必须满足两个条件： （1）底数相同；（2）是除法运算。 逆用 =÷(𝑎≠0，𝑚,𝑛 都是正整数，且𝑚>𝑛) 。 推广 ÷÷=(𝑎≠0，𝑚,𝑛,𝑝 都是正整数，且𝑚>𝑛+𝑝) 。 【知识点12】零指数幂 零指数幂的性质：任何不等于零的数的零次幂都等于1。即=1(a≠0) 。 示例1 零指数幂 教材延伸 <m>的推导过程 如果把公式>,<<，<都是正整数，且<<推广到>的情形，那么有>，而>,所以。 【知识点13】负整数指数幂 负整数指数幂的性质： 任何不等于零的数的−p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数。即（a0，p是正整数)。 注意： 因为0的负整数指数幂没有意义，所以有意义的条件是a≠0. 示例2 负整数指数幂 【知识点14】用科学记数法表示绝对值较小的数 1.用科学记数法表示绝对值较小的数：一个绝对值较小的数，用科学记数法表示成a×10的形式（其中1≤|a|<10，n 为正整数）。 2.确定n的两种方法： ①n等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的那个零）； ②小数点向右移到第一个不为零的数后，小数点移动了几位，n就等于几。 说明： （1）大于−1 的负数也可以用类似的方法表示，如−0.000 002 56可以表示成−2.56×。 （2）将用科学记数法表示的小于1的正数a×还原时，a 中的小数点向左移|n|位，不足的数位用“0”补齐。如2.56×，其中a=2.56，|n|=6 ，所以2.56的小数点向左移动6位，不足的数位用“0”补齐，所以2.56×=0.000 002 56 。 示例3 用科学记数法表示 绝对值较小的数 【知识点15】单项式除以单项式 1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2.单项式除以单项式的步骤： （1）先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数，要特别注意系数的符号； （2）同底数幂相除，所得的商作为商的一部分； （3）只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏。 示例4 单项式除以单项式 【知识点16】多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 字母表示：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0) 。 示例5 多项式除以单项式 注意：多项式除以单项式时，要逐项计算，既要注意符号的变化，又要注意商为1（或−1 ）的项不能漏掉，并且商的项数与这个多项式的项数相同。 【题型一】同底数幂相乘 1．（2023·浙江丽水·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，，则的值是（    ） A．729 B．243 C．27 D．9 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则_________． 【题型三】幂的乘方运算 5．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）若，，则_____________． 【题型四】幂的乘方的逆用 7．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，，，均为正整数，则 ______ 用含，的代数式表示． 【题型五】积的乘方运算 9．（24-25七年级下·浙江温州·期中）化简的结果是______． 【题型六】积的乘方的逆用 10．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算：_____． 11．（22-23七年级·浙江金华·月考）阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 【题型七】计算单项式乘单项式 12．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是： 则小沈这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分配律 13．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算的结果为 ___________． 【题型八】计算单项式乘多项式及求值 14．（22-23七年级·浙江宁波·期中）将代数式去括号后，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 【题型九】单项式乘多项式的应用 16．（23-24七年级下·浙江·期中）两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级·浙江杭州·月考）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a． (1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）． ②当时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）． 【题型十】利用单项式乘多项式求字母的值 18．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【题型十一】计算多项式乘多项式 19．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，一块长方形农场米，米，为了扩大农场面积，计划将增加2米，增加3米． (1)扩大后农场的面积增加了多少平方米？ (2)现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉．经了解，花卉的种植成本为每平方米60元．若米，这个种植计划能实现吗？请说明理由． 【题型十二】（x+p）（x+q）型多项式乘法 21．（24-25七年级下·浙江台州·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【题型十三】已知多项式乘积不含某项求字母的值 22．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 23．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为________． 【题型十四】多项式乘多项式——化简求值 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知．则的值为（    ） A．6 B．2 C．0 D．1 25．（22-23七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值： (1) ，其中； (2)，其中． 【题型十五】多项式乘多项式与图形面积 26．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）现有如图所示的卡片若干张，其中A型、B型为正方形卡片，C型为长方形卡片，若要用这三种类型卡片拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C型卡片的张数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 27．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 【题型十六】多项式乘法中的规律性问题 28．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据这一规律计算： （1）______． （2）______． 【题型十七】整式乘法混合运算 29．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）计算： (1) (2) 【题型十八】运用平方差公式进行运算 30．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）（1）计算：； （2）解方程 【题型十九】平方差公式与几何图形 32．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【题型二十】运用完全平方公式进行运算 34．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 35．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于的等式成立，则的值为_____． 【题型二十一】完全平方公式在几何图形中的应用 36．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 37．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，用四个等腰直角三角形可拼成一个大正方形． (1)试用含，的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积是，，求大正方形的边长． 【题型二十二】求完全平方式中的字母系数 38．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，为完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【题型二十三】整式的混合运算 39．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）化简： (1) (2) 【题型二十四】通过对完全平方公式变形求值 40．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形． (1)根据图和图，写出，，之间的一个等量关系______； (2)利用（）中的结论解决下列问题：，，求的值； (3)如图，正方形和正方形面积之和为，点、点在边上，若，求图中阴影部分的面积． 【题型二十五】同底数幂的除法运算 41．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 42．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 【题型二十六】同底数幂除法的逆用 43．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 44．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则 __________． 【题型二十七】零指数幂 45．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·浙江温州·期中）（1）计算：； （2）解方程组：． 【题型二十八】负整数指数幂 47．（2025七年级下·浙江·专题练习）如果，，，那么它们的大小关系为（　　） A． B． C． D． 48．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）计算： (1) (2) 【题型二十九】用科学记数法表示绝对值小于1的数 49．（25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三十】还原用科学记数法表示的小数 50．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）已知空气的单位体积质量为克/厘米3，将用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【题型三十一】计算单项式除以单项式 51．（24-25七年级下·浙江金华·期末）有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 52．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 【题型三十二】多项式除以单项式 53．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为___________．（用含，的代数式表示） 54．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）计算： (1) (2) 【题型三十三】整式四则混合运算 55．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若代数式的值与无关，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 56．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）计算： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $