第九章 图形的变换（举一反三讲义）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学第九章“图形的变换”复习讲义通过“基础巩固-能力提升-思维拓展”三层题型系统梳理知识体系，以“例+变式”结构呈现平移、轴对称、旋转等核心概念及作图、性质应用，清晰展现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如平移概念辨析（春晚主标识实例）夯实基础，能力题如平移性质解决古城河造桥最短路径培养推理能力，思维拓展题如图案设计发展创新意识，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学。

第九章 图形的变换（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 【基础巩固】 1 【题型1 平移的概念】 1 【题型2 利用平移的性质进行简单作图】 3 【题型3 轴对称的概念】 7 【题型4 轴对称作图】 9 【题型5 垂直平分线的概念及尺规作线段的垂直平分线】 12 【题型6 轴对称图形、找出图形的对称轴】 17 【题型7 旋转的相关概念】 19 【题型8 中心对称图形】 21 【题型9 利用旋转的性质作图】 23 【能力提升】 26 【题型10 利用平移的基本性质解决问题】 26 【题型11 利用轴对称的性质解决问题】 29 【题型12 利用旋转的基本性质解决问题】 31 【题型13 利用中心对称的性质解决问题】 33 【思维拓展】 36 【题型14 分析图案的形成过程】 36 【题型15 利用图形变换构建图案】 38 【题型16 平移、轴对称、旋转之间的关系】 42 【题型17 设计美丽的图案】 47 【基础巩固】 【题型1 平移的概念】 【例1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 【变式1-1】（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 【变式1-2】（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移，保持“田”字的“十”字不变，再移动3根变成“品”字图案即可． 【详解】解：如图：相同数字表示移动前后位置， 由图形可得“田”字图案，至少平移其中的3根火柴，可以变成一个“品”字图案， 故答案为：． 【题型2 利用平移的性质进行简单作图】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，根据点A和点B的位置可判断出平移方式，根据平移方式作图即可． 【详解】解：∵经过平移，小船上的点A移到了点B， ∴观察图形即可看出，该小船向下平移了5格，向左平移了11格． 所画图形如图所示： 【变式2-1】如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸中将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的三角形． (2)连接，，则这两条线段之间的关系是______． (3)三角形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，三角形面积． (1)根据点向右平移，再向上平移得到点，分别把点、向右平移，再向上平移得到点、，连接点、、，得到即为所求； (2)根据平移前后两个图形的对应点连线平行或重合且对应点连接的线段相等，可得结果； (3)由平移可知与的面积相等，把边看作的底，高为，利用三角形的面积公式求出的面积即为的面积． 【详解】（1）解：如下图所示， 由图可知点向右平移，再向上平移得到点， 分别把点、向右平移，再向上平移得到点、， 连接点、、， 得到， 即为所求； （2）解：由平移的性质可知且；    （3）解：三角形的面积为：． 【变式2-3】如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为 ．（每小方格的边长为） 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，先根据题意画出平移后的图形，然后根据图形即可得出正方形与重叠部分面积，正确理解图形经过或覆盖的区域的形状是解题的关键． 【详解】解：∵正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形， ∴如图， 根据图形可得正方形与重叠部分面积为， 故答案为：． 【题型3 轴对称的概念】 【例3】（25-26八年级上·全国·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【变式3-1】如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ． 【答案】轴对称（或翻折变换） 【分析】根据网格结构和几何变换的特点解答． 【详解】解：如图，△ABC沿虚线翻折变换得到△DEC． 故答案为：轴对称（或翻折变换）． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握网格结构和几何变换的特点是解题的关键． 【变式3-2】国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 【变式3-3】如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 【题型4 轴对称作图】 【例4】（25-26八年级上·广西崇左·月考）请按下列要求画图：在图中，直线m是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式4-1】如图，画出关于直线对称的图形． 【答案】作图见详解 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质“对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等；沿对称轴将图形对折，两侧的图形能够完全重合；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”作图即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质作图如下， 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)请在图中画出以为对称轴，的对称三角形； (2)的面积是________ 【答案】(1)作图见详解； (2)18． 【分析】本题考查了作图—轴对称变换∶几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查求网格中三角形的面积． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线的对称点即可； （2）根据网格线的特点及三角形的面积公式，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； ； （2）解：的面积． 故答案为：18． 【变式4-3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． (1)画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小； (3)连接、，计算四边形的面积． 【答案】(1)画图见详解； (2)点位置见详解； (3) 【分析】本题考查轴对称图形绘制、最短路径问题（轴对称性质）及图形面积计算，运用转化思想，关键是利用轴对称性质画图和找最短路径，易错点为对称点绘制不准确及面积计算时分割图形错误． （1）根据轴对称性质画对称点然后连接,得到对称图形； （2）利用轴对称性质找的对称点，连接其与交直线得； （3）分割四边形为三角形和梯形等计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图， 由图形可知四边形可以分成两个三角形； 即底是格，高是格，每格长度为， 则； 底是格, 高是格，每格长度为， ， 所以：． 【题型5 垂直平分线的概念及尺规作线段的垂直平分线】 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作线段垂直平分线．根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是4， 故选：D． 【变式5-1】下列说法正确的是（   ） A．线段的垂直平分线是一条线段 B．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 C．线段的垂直平分线是垂直于该线段且过该线段中点的直线 D．线段的垂直平分线有无数条 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，线段的垂直平分线只有一条，根据该定义，依次进行判断，即可． 【详解】解：A、线段的垂直平分线是一条直线，原说法错误，不符合题意； B、经过线段中点且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，原说法错误，不符合题意； C、线段的垂直平分线是垂直于该线段且过该线段中点的直线，正确，符合题意； D、线段的垂直平分线只有一条，原说法错误，不符合题意 故选：C． 【变式5-2】在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使，则满足条件的格点C有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】使，则点C在的垂直平分线，作图即可求解． 【详解】解：作AB的垂直平分线， 如图，与方格纸交于5个格点， 故满足条件的点C有5个， 故选A． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线的定义；根据题意确定点C在的垂直平分线，作出图形是解题的关键． 【变式5-3】如图，中，，点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点，点第一次相遇时，点，点同时停止运动，设点，点的运动时间为秒．    (1)当时，　 　；当时，　 　． (2)当点在上时，　 　；当点在上时，　 　（分别用含t的代数式表示）． (3)点在上时，若为直角三角形时，直接写出的值． (4)连接，当线段的垂直平分线经过的某一顶点时，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3)满足条件的t的值为或5 (4)满足条件的t的值为或或或 【分析】（1）根据等边三角形的性质和路程解答即可； （2）根据速度和时间得出路程，进而解答即可； （3）由题意当时，点落在上，此时点也在上．当点或点是的中点时，是直角三角形．由此构建方程求解即可； （4）分四种情形，分别画出图形，构建方程求解． 【详解】（1）解：当，，， 当时，点经过的路程为，， 故答案为：；； （2）解：当点在上时，； 当点在上时，； 故答案为：；； （3）解：由题意当时，点落在上，此时点也在上． 当点或点是的中点时，是直角三角形． 或， 综上所述，满足条件的的值为或5； （4）解：如图1中，当线段的垂直平分线经过点时，， 解得，    如图2中，当线段的垂直平分线经过点时，， 解得．    如图3中，当线段的垂直平分线经过点时，， 解得．    如图4中，当线段的垂直平分线经过点时，， 解得．    综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论是思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【题型6 轴对称图形、找出图形的对称轴】 【例6】（25-26八年级上·山东临沂·期末）从个性化学习、高效答疑、拓展资源等多个方面给学生的学习带来帮助．以下是4款不同图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义（平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，直线叫做对称轴），根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； B选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； C选项：图形是轴对称图形，符合题意； D选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 【变式6-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 【变式6-2】（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴的条数，熟练掌握此知识点是关键．逐项分析轴对称图形的对称轴的条数，即可得出答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，共有4条对称轴； B.是轴对称图形，共有3条对称轴； C.是轴对称图形，共有4条对称轴； D.是轴对称图形，共有6条对称轴， 对称轴条数最多的是D选项的图形． 故选：D． 【变式6-3】在字母、、、、、中不是轴对称图形的是 ，有两条对称轴的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解答：题中的、、、、为轴对称图形，不是轴对称图形． 其中、、、有一条对称轴，有两条对称轴． 故答案为：，． 【题型7 旋转的相关概念】 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式7-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式7-3】如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 【题型8 中心对称图形】 【例8】（25-26九年级上·山东德州·期末）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项图形是中心对称图形，符合题意； C. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 【变式8-2】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 【变式8-3】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有 ． 是中心对称图形的有 ． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有 ． 【答案】 （2）、（3）、（5）、（6） （1）、（3）、（4） （3） （7）、（8） 【分析】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是掌握相关概念．轴对称图形：把图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转后能够与原图形重合，则这个图形称为中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：是轴对称图形的有（2）、（3）、（5）、（6）； 是中心对称图形的有（1）、（3）、（4）； 既是轴对称图形又是中心对称图形的有（3）； 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有（7）、（8）；． 故答案为：（2）、（3）、（5）、（6）；（1）、（3）、（4）；（3）；（7）、（8） 【题型9 利用旋转的性质作图】 【例9】已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．    (1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； (2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可； （2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可； 【详解】（1）解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示；    （2）解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示； 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型． 【变式9-1】如图，绕点O旋转后，点G是点B的对应点，画出旋转后的三角形． 【答案】见解析 【分析】根据旋转变换的性质画出图形即可． 【详解】解：连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转一个等于的角度，得到线段，连接，便得到旋转后的． 如图， 即为所求三角形， 【点睛】本题主要考查了旋转变换，熟练掌握旋转的性质，并根据旋转的性质找到对应点的位置是解题的关键． 【变式9-2】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)． (1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）； (2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据中心对称定义作图即可； （2）作AB的垂直平分线即可； 【详解】（1）解：如图，△A'B'C 为所作； （2）解：如图，点 O 或 O′为所作． 【点睛】本题考查了复杂-作图，掌握中心对称和垂直平分线的定义和画法是解题关键 【变式9-3】（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查图形的旋转与中心对称作图，核心是掌握“旋转时对应点到旋转中心的距离相等、夹角等于旋转角”以及“中心对称时对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分”的性质． （1）根据旋转的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形； （2）根据中心对称的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：作出绕点顺时针旋转得到的如图所示； （2）解：作出关于点的中心对称的图形如图所示； 【能力提升】 【题型10 利用平移的基本性质解决问题】 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示是由两个完全重叠的直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移线段的长度得到的图形，试求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移、梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质推出，进而求解． 【详解】解：∵， ， ， ∴； 由题意知， ∴， ． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 【变式10-2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形，长，宽．为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，若沿着小路的正中间步行，从入口到出口步行的路线（图中虚线）的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 所以从入口A到出口B步行的路线（图中虚线）的长为， 故选：C． 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平移解决最短路径问题，解题的关键是通过平移将折线路程转化为直线距离，利用“两点之间线段最短”的原理确定最短路径． 将点M沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点将点N沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点连接使其与河岸分别交于D、F两点；过D、F分别作垂直于对应河岸的线段、即为所求的桥的位置，此时M到N的路程最短． 【详解】解：如图，作，且河宽，作，且河宽，连结与河岸相交于D，F两点，作，，即为所求造的桥使得M到N路程最短． 【题型11 利用轴对称的性质解决问题】 【例11】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 【变式11-1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于 ． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． 【变式11-2】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【题型12 利用旋转的基本性质解决问题】 【例12】（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕点逆时针旋转得到，得出，又因为，故进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式12-1】（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 【变式12-2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 根据旋转的性质，利用旋转角，计算即可． 【详解】解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 【变式12-3】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质． 由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用除以即可． 【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2， 即旋转角的度数最小为． 故答案为：． 【题型13 利用中心对称的性质解决问题】 【例13】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式13-1】（2025七年级上·全国·专题练习）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、与不是对应角，是， 不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式13-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在滑梯侧面设计一张安全标语海报（阴影部分）．已知点O是曲线的对称中心，点A的对称点是C．若，则海报的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，因为曲线关于点成中心对称，则①和②的面积相等，因为，所以. 【详解】解：如图，连接， 点O是曲线的对称中心， ①和②的面积相等， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称，解题的关键是正确推理运算． 【变式13-3】（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则 ， ， ， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 【思维拓展】 【题型14 分析图案的形成过程】 【例14】如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何变换的几个类型的特征分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、图形只能通过旋转变换得到，所以A选项错误； B、图形通过平移、旋转或轴对称变换都能得到，所以B选项正确； C、图形不能通过平移、旋转或轴对称变换得到，所以C选项错误； D、图形只能通过平移变换得到，所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 【变式14-1】如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【答案】旋转 【分析】本题考查几何变换类型，解题的关键是利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图形可知，②可看作①绕着点顺时针旋转得到， 故答案为：旋转． 【变式14-2】以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 【变式14-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了利用旋转变换、轴对称变换设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【详解】解：①如图1，将阴影部分三角形沿着翻折，得到； ②如图2，将分别绕着的中点和的中点旋转，得到，； ③如图3，将四边形沿着翻折，即可得到四边形； ④将图3绕着点旋转，即可得到图4． 【题型15 利用图形变换构建图案】 【例15】（2024·上海黄浦·二模）如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【答案】D 【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键． 【详解】解：把型号4逆时针旋转，再通过平移可把图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠； 故选D 【变式15-1】（25-26七年级上·上海普陀·期末）以基本（单位）纹样（图案）为基础，根据一定的变换方式（如：平移、旋转、轴对称等）重复排列所构成的不间断图案称为连续纹样． (1)下列单位纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的纹样是________． (2)已知图2的二方连续纹样是由图1的一个单位纹样连续排列形成的，那么这个单位纹样的变换方式是_______和______． (3)如图3，在网格中有一个单位纹样，将这个单位纹样通过两种变换方式排列，形成一个二方连续纹样．（使得整个网格有四个单位纹样） 【答案】(1)柿蒂纹 (2)轴对称；平移 (3)见解析 【分析】本题考查图形的平移，轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键， （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可得到答案； （2）根据“连续纹样”的定义并结合图1和图2可得到答案； （3）根据（2）中的图形的变换规律即画出图形． 【详解】（1）解：如意纹：是轴对称图形，不是中心对称图形； 柿蒂纹：是轴对称图形，也是中心对称图形； 梅花纹：是轴对称图形； 回字纹：是中心对称图形； 故答案为：柿蒂纹． （2）解：由图可得：图1变换到图2的过程为： 第一单位图先轴对称得到第二单位图，再将第一单位和第二单位图整个平移， 故答案为：轴对称；平移． （3）解：由（2）的规律可得图，如下： 【变式15-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）观察图案． (1)请说说由图案（）到图案（）的变化过程； (2)请利用图案（）再设计一个图案． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题主要考查了轴对称图形的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）找出基本图形（）与图形（）之间的关系，再找出图形（）与图案（）之间的关系即可得出答案； （）根据基本图形（），利用旋转的性质即可得出所设计的图案（答案不唯一）. 【详解】（1）解：过基本图形（）的点构造水平直线，如图形（）所示； 作基本图形关于直线的对称图形，如图形（）所示： 在图形（）中，作直线，以为对称轴作图形（）关于直线的对称图形，如图形（）所示； 在图形（）中，作直线，以为对称轴作图形（）关于直线的对称图形，如图形（） 所示； 所以图形（）就是所求的图案； （2）解：如图所示即为利用基本图形（）所设计的图案（答案不唯一）． 【变式15-3】如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题． (1)图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是　 　对称图形（填“轴”或“中心”）． (2)请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求： ①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影； ②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)中心 (2)见解析 【分析】（1）利用中心对称图形的意义得到答案即可； （2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形； ②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 【详解】（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形， 故答案为：中心； （2）如图2是轴对称图形而不是中心对称图形； 图3既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【点睛】本题考查利用旋转或轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按要求作图即可． 【题型16 平移、轴对称、旋转之间的关系】 【例16】如图所示，在正方形网格上有一个． 画出关于直线MN的对称图形； 画出关于点O的对称图形； 若网格上的最小正方形边长为1，求的面积； 能否由平移得到？能否由旋转得到？这两个三角形指与存在什么样的图形变换关系？ 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（4）见解析 【分析】根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； 根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； 利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后计算即可得解； 根据图形和几何变换的定义解答． 【详解】如图所示； 如图所示； 的面积， ， ； 不能由平移得到， 不能由旋转得到， 与可以轴对称得到． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点位置是解题的关键． 【变式16-1】如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，将△ABC先向右平移5个单位，得到△A1 B1C1，再作△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2， （1）请在网格上作出△A1B1C1与△A2B2C2(不写作法)； （2）根据图形可知，△AA1B的面积为 　；△AA1B1的面积 　；若P为直线BB1上任一点，则△PAA1的面积为　． 【答案】（1）见解析；（2）；；． 【分析】（1）利用平移的性质先画出△A1B1C1，然后利用网格特点中心对称的性质画出△A2B2C2； （2）根据平移的性质得到AB∥B1A1，A A1∥B B1，推出，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所作； （2）根据平移的性质，知AB∥B1A1，A A1∥B B1， ∴， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了作图：平移变换和中心对称，等底等高的两个三角形面积相等．得出对应点位置是解题关键． 【变式16-2】如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】(1)射线、2厘米 (2)O、120 (3) (4)与（答案不唯一） 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】（1）解：∵经过平移得到， ∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点， ∴平移的距离为， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴厘米， 故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合， 故答案为：射线、2厘米； （2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合； 故答案为：O、120； （3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合； 故答案为：； （4）解：与是中心对称的两个三角形． 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点． 【变式16-3】如图， (1)请在下面方格纸中画出关于直线的对称图形，再画出关于直线的对称图形． (2)观察你所画的图形，发现与之间有什么关系？（可以看作是由经过一次什么变换得到的） (3)通过做这个题你会发现，一个图形关于什么位置关系的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次什么变换？ 【答案】(1)见解析 (2)可由向右平移6个单位长度得到 (3)一个图形关于平行的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换 【分析】本题考查了画轴对称图形，平移与轴对称的关系；掌握轴对称的性质是关键． （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再依次连接即得到；再分别作出三个顶点关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）根据所画图形即可作出判断； （3）由前两问即可发现规律． 【详解】（1）解：所作的及如下图： （2）解：观察所画的图形，发现可由向右平移6个单位长度得到； （3）解：一个图形关于平行的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换． 【题型17 设计美丽的图案】 【例17】认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形的定义． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）（1）特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形； 故答案为：是轴对称图形；是中心对称图形； （2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【变式17-1】阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照轴对称的意义得出答案即可； （2）按照轴对称的定义和中心对称的定义设计，所设计的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【详解】（1）解：（1）参考图案，如图所示： （2）（2）参考图案，如图所示： 【点睛】本题考查利用轴对称或中心对称设计图案，关键是理解轴对称和中心对称的定义． 【变式17-2】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 【答案】见解析. 【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得． 【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示： 【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念． 【变式17-3】思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转） 例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图． 【答案】见解析 【分析】由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称等方法变换出一些图案．利用翻折或旋转变换，即可得到图案． 【详解】解：如图三所示，选择E就可以经过复制自己拼成图一；如图四所示，选择F就可以经过复制自己拼成图一. 【点睛】本题主要考查了利用翻折或旋转变换设计图案，由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复杂图案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 图形的变换（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 【基础巩固】 1 【题型1 平移的概念】 1 【题型2 利用平移的性质进行简单作图】 2 【题型3 轴对称的概念】 3 【题型4 轴对称作图】 4 【题型5 垂直平分线的概念及尺规作线段的垂直平分线】 6 【题型6 轴对称图形、找出图形的对称轴】 7 【题型7 旋转的相关概念】 8 【题型8 中心对称图形】 9 【题型9 利用旋转的性质作图】 10 【能力提升】 11 【题型10 利用平移的基本性质解决问题】 11 【题型11 利用轴对称的性质解决问题】 12 【题型12 利用旋转的基本性质解决问题】 13 【题型13 利用中心对称的性质解决问题】 14 【思维拓展】 15 【题型14 分析图案的形成过程】 15 【题型15 利用图形变换构建图案】 16 【题型16 平移、轴对称、旋转之间的关系】 18 【题型17 设计美丽的图案】 20 【基础巩固】 【题型1 平移的概念】 【例1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【变式1-1】（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 【题型2 利用平移的性质进行简单作图】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船． 【变式2-1】如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸中将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的三角形． (2)连接，，则这两条线段之间的关系是______． (3)三角形的面积为______． 【变式2-3】如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为 ．（每小方格的边长为） 【题型3 轴对称的概念】 【例3】（25-26八年级上·全国·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ． 【变式3-2】国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【变式3-3】如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 【题型4 轴对称作图】 【例4】（25-26八年级上·广西崇左·月考）请按下列要求画图：在图中，直线m是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半． 【变式4-1】如图，画出关于直线对称的图形． 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)请在图中画出以为对称轴，的对称三角形； (2)的面积是________ 【变式4-3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． (1)画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小； (3)连接、，计算四边形的面积． 【题型5 垂直平分线的概念及尺规作线段的垂直平分线】 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】下列说法正确的是（   ） A．线段的垂直平分线是一条线段 B．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 C．线段的垂直平分线是垂直于该线段且过该线段中点的直线 D．线段的垂直平分线有无数条 【变式5-2】在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使，则满足条件的格点C有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式5-3】如图，中，，点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点，点第一次相遇时，点，点同时停止运动，设点，点的运动时间为秒．    (1)当时，　 　；当时，　 　． (2)当点在上时，　 　；当点在上时，　 　（分别用含t的代数式表示）． (3)点在上时，若为直角三角形时，直接写出的值． (4)连接，当线段的垂直平分线经过的某一顶点时，直接写出的值． 【题型6 轴对称图形、找出图形的对称轴】 【例6】（25-26八年级上·山东临沂·期末）从个性化学习、高效答疑、拓展资源等多个方面给学生的学习带来帮助．以下是4款不同图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】在字母、、、、、中不是轴对称图形的是 ，有两条对称轴的是 ． 【题型7 旋转的相关概念】 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式7-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式7-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8 中心对称图形】 【例8】（25-26九年级上·山东德州·期末）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【变式8-2】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 【变式8-3】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有 ． 是中心对称图形的有 ． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有 ． 【题型9 利用旋转的性质作图】 【例9】已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．    (1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； (2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【变式9-1】如图，绕点O旋转后，点G是点B的对应点，画出旋转后的三角形． 【变式9-2】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)． (1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）； (2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB． 【变式9-3】（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【能力提升】 【题型10 利用平移的基本性质解决问题】 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示是由两个完全重叠的直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移线段的长度得到的图形，试求图中阴影部分的面积． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【变式10-2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形，长，宽．为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，若沿着小路的正中间步行，从入口到出口步行的路线（图中虚线）的长为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 【题型11 利用轴对称的性质解决问题】 【例11】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于 ． 【变式11-2】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【变式11-3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型12 利用旋转的基本性质解决问题】 【例12】（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【变式12-2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为 度． 【题型13 利用中心对称的性质解决问题】 【例13】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式13-1】（2025七年级上·全国·专题练习）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【变式13-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在滑梯侧面设计一张安全标语海报（阴影部分）．已知点O是曲线的对称中心，点A的对称点是C．若，则海报的面积为 ． 【变式13-3】（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【思维拓展】 【题型14 分析图案的形成过程】 【例14】如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【变式14-2】以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【变式14-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【题型15 利用图形变换构建图案】 【例15】（2024·上海黄浦·二模）如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【变式15-1】（25-26七年级上·上海普陀·期末）以基本（单位）纹样（图案）为基础，根据一定的变换方式（如：平移、旋转、轴对称等）重复排列所构成的不间断图案称为连续纹样． (1)下列单位纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的纹样是________． (2)已知图2的二方连续纹样是由图1的一个单位纹样连续排列形成的，那么这个单位纹样的变换方式是_______和______． (3)如图3，在网格中有一个单位纹样，将这个单位纹样通过两种变换方式排列，形成一个二方连续纹样．（使得整个网格有四个单位纹样） 【变式15-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）观察图案． (1)请说说由图案（）到图案（）的变化过程； (2)请利用图案（）再设计一个图案． 【变式15-3】如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题． (1)图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是　 　对称图形（填“轴”或“中心”）． (2)请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求： ①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影； ②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【题型16 平移、轴对称、旋转之间的关系】 【例16】如图所示，在正方形网格上有一个． 画出关于直线MN的对称图形； 画出关于点O的对称图形； 若网格上的最小正方形边长为1，求的面积； 能否由平移得到？能否由旋转得到？这两个三角形指与存在什么样的图形变换关系？ 【变式16-1】如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，将△ABC先向右平移5个单位，得到△A1 B1C1，再作△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2， （1）请在网格上作出△A1B1C1与△A2B2C2(不写作法)； （2）根据图形可知，△AA1B的面积为 　；△AA1B1的面积 　；若P为直线BB1上任一点，则△PAA1的面积为　． 【变式16-2】如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【变式16-3】如图， (1)请在下面方格纸中画出关于直线的对称图形，再画出关于直线的对称图形． (2)观察你所画的图形，发现与之间有什么关系？（可以看作是由经过一次什么变换得到的） (3)通过做这个题你会发现，一个图形关于什么位置关系的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次什么变换？ 【题型17 设计美丽的图案】 【例17】认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【变式17-1】阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【变式17-2】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 【变式17-3】思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转） 例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $