第10讲 二（三）元一次方程组的实际应用（知识详解+16典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 二（三）元一次方程组的实际应用（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】列二元一次方程组解应用题的基本步骤 1. 基本思想方法 列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组 . 2. 注意事项：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等 ；(4)方程(组)的解要符合问题的实际意义；(5)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程 . 3. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3)找：找出能表示题意的两个等量关系； (4)列：根据等量关系列出方程组； (5)解：解这个方程组，求出未知数的值； (6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案(包括单位名称). 【知识点02】列方程组解应用题的常见题型 类型  基本数量关系 和差倍分问题  较大量 = 较小量 + 多余量， 总量 = 一份的量 × 份数 行程问题 路程(s)= 速度(v)× 时间(t).  (1)相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总距离 .  (2)追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两地距离 = 追者走的路程 . (3)航行问题：①顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；②逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 工程问题  工作量 = 工作效率 × 工作时间 总工作量= 个体工作量之和 销售问题 利润= 售价- 成本 售价= 标价×(当打n 折销售时) 利润率=×100% 增长(降低)率问题 原量×(1+ 增长率)= 增长后的量 原量×(1- 降低率)= 降低后的量 【知识点03】三元一次方程组 1. 三元一次方程组：方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 如就是一个三元一次方程组. 2. 三元一次方程组必须同时满足以下条件 (1)方程组中一共有三个整式方程； (2)方程组中一共含有三个未知数； (3)每个方程中含未知数的项的次数都是1. 【知识点04】三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 三元一次方程组二元一次方程组 一元一次方程 2. 解三元一次方程组的一般步骤： (1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起. 【知识点05】三元一次方程组的简单应用 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系； (2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3)根据等量关系列出方程，建立方程组； (4)解方程组求出未知数的值并检验； (5)写出答案，包括单位名称 . 【题型一】根据实际问题列二元一次方程组 例1．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设应分成的组数组，课外活动小组的人数为人，根据题意得，方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【详解】解：∵设应分成的组数为组，课外活动小组总人数是人， 根据“每组7人，余下3人”可得：，整理得， 根据“每组8人，少人”可得：，整理得， ∴可得方程组． 变式1．（2026七年级下·河北·专题练习）甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据题意列方程组得________． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组，第一个等量关系为甲得到乙10钱后，甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，即甲的钱数是乙剩余钱数的6倍，第二个等量关系为乙得到甲10钱后，两人钱数相等． 【详解】解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为， 甲得到乙的钱后，甲的钱数为，乙剩余的钱数为， 由甲的钱数比乙剩余的钱数多倍，可得， 乙得到甲的钱后，乙的钱数为，甲剩余的钱数为， 由此时两人钱数相等，可得， 因此可得方程组． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 【答案】上坡路  和平路 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】分析题意，由已知设出未知数，找出题目中所含的等量关系列出二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路有，平路有， 根据题意，得解得 答：上坡路和平路分别为和． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目中的等量关系列出方程组是解决此题的关键． 【题型二】根据几何图形列二元一次方程组 例2．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图，根据配图给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 根据设小长方形的长和宽为y、x，可得到关于x、y的两个方程，即得答案． 【详解】解：∵设小长方形的宽为，长为， 如图可知，1个小长方形的宽加1个小长方形的长等于7；1个小长方形的长减去1个小长方形的宽等于3． ∴． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程：________（填写一个）． 【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积，据此即可列方程． 【详解】解：正方形的面积为， 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积， ∴， 故答案：． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 【题型三】方案问题(二元一次方程组的应用) 例3．（2024·四川宜宾·模拟预测）物理教师将一根米的导线交给小组长将其截成20厘米和30厘米两种长度的导线（每种长度的导线至少1根），则最多能截出（）根导线 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设可以截出x根20厘米长的导线，y根30厘米长的导线，根据截出导线的总长度为米（即320厘米），可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各x，y的值，再将其相加取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设可以截出x根20厘米长的导线，y根30厘米长的导线， 根据题意得， ． ∵x，y均为正整数， ∴或或或或， ∴或14或13或12或11， ∴最多能截出15根导线． 故选C． 变式1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）小慧去花店购买鲜花，若买6支玫瑰和4支百合，则她所带的钱还剩下8元：若买4支玫瑰和6支百合，则她所带的钱还缺2元．若只买10支玫瑰，则她所带的钱还剩下______元． 【答案】 28 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据“所带钱数不变”建立方程关系，再通过方程变形求出只买10支玫瑰时剩余的钱数． 设玫瑰和百合的单价分别为特定未知数，小慧所带钱数为固定值；根据两种购买方案列出关于总钱数的二元一次方程；通过方程变形消去百合单价的未知数，直接得出总钱数与10支玫瑰价格的差值，即为剩余钱数． 【详解】解：设每支玫瑰元，每支百合元，小慧所带的钱为元． 根据题意得：， 整理得： 得： 即， ． 移项得：，即只买10支玫瑰，所带的钱还剩下28元． 故答案为：28． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）在一座小楼上挂满如下图所示的灯球，甲种灯球上有3个大球，下缀6个小球；乙种灯球上有3个大球，下缀18个小球．大球共396个，小球共1440个． (1)求甲、乙两种灯球的个数； (2)小明打算购买30个灯球，其中甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的2倍，则最少购买多少个甲种灯球？ 【答案】(1)甲种灯球有78个，乙种灯球有54个． (2)20个 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据大球和小球的总数，分别列出关于甲、乙两种灯球数量的方程，联立求解； （2）根据“甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的倍”这一条件，设出未知数并列出不等式，求出满足条件的最小整数解． 【详解】（1）解：设甲种灯球有个，乙种灯球有个． 大球总数：； 小球总数：． 得 化简方程组： 得 ②① ． 代入①：． 故甲种灯球有个，乙种灯球有个． （2）解：设购买个甲种灯球，则购买个乙种灯球． 依题意，得， 解得． 故最少购买个甲种灯球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是：从题目中准确提取等量关系，建立方程组求解灯球数量以及根据不等关系建立不等式，求出满足条件的最小整数解． 【题型四】行程问题(二元一次方程组的应用) 例4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）自行车一般是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为．现有某品牌自行车的前轮胎行驶达到5000公里时报废，后轮胎行驶达到3000公里时报废．如果该自行车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　） A．3250公里 B．3500公里 C．3750公里 D．4000公里 【答案】C 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 设总行驶距离为公里，在行驶公里后交换轮胎．每个轮胎在前后位置上的磨损总和为1．建立方程组求解． 【详解】设总行驶距离为公里，交换轮胎前行驶公里． 根据题意得，， 解得， ∴这对轮胎最多可以行驶3750公里． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时千米的速度下山，以每小时千米的速度走平路，到达乙地共用分钟；他返回时，以每小时千米的速度通过平路，以每小时千米的速度上山，共用了小时，甲、乙两地的距离是______． 【答案】千米 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为千米，坡路为千米，根据题意列出关于，的二元一次方程组求解， 最后把两段路程相加即可． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为千米． 故答案为：千米． 变式2．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 【题型五】工程问题(二元一次方程组的应用) 例5．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是______天，计划生产_____辆电动车． 【答案】 6 220 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，依据题意列出方程组是正确解答此题的关键． 设预定期限为天，计划生产辆汽车，然后依据每天生产35辆，则差10辆才能完成任务，每天生产40辆，则可超额生产20辆，列出方程组，接下来解这个关于、的方程组即可． 【详解】解：设预定期限为天，计划生产辆汽车， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 故答案为：6，220． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 【题型六】数字问题(二元一次方程组的应用) 例6．（23-24七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 变式1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 【答案】35 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为8和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新数比原数大18，得，化简得，即． 解方程组，解得， 故原数为． 故答案为：35． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 【题型七】年龄问题(二元一次方程组的应用) 例7．（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 【答案】28 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 【题型八】分配问题(二元一次方程组的应用) 例8．（25-26七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．根据“乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚”，可列方程，根据“甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚”，可列方程，即得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【答案】 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【答案】生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人， 根据题意，得，解得 答：生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人． 【题型九】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 例9．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表： 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据甲和乙的数据列出方程组，求出解再判断即可. 【详解】解：设红豆棒冰的单价为x元，奶油棒冰的单价为y元． 假设甲、乙两人都正确，则 解得 当时， ． 所以甲、乙、丁三人的总价都算对了，丙的总价算错了． 故选：C. 变式1．（24-25七年级下·四川泸州·月考）某书店销售甲、乙两种图书，如果原价买这两种图书共需要元书店推销时甲种图书打八折，乙种图书打七五折，结果买两种图书共少用元则原来甲种图书需要______元 【答案】 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设原来甲种图书需要元，乙种图书需要元，根据“原价买这两种图书共需要元，打折后买两种图书共少用元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设原来甲种图书需要元，乙种图书需要元， 根据题意得：， 解得：， ∴原来甲种图书需要元． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【答案】张老师购买种打折书籍本 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组和实际问题、二元一次方程的特殊解，关键是找到恰当的等量关系列方程或方程组；根据销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，列二元一次方程组即可求出的售价；根据购买了原价或打折的两种书籍，共花费元列方程分情况讨论求出种打折书籍的数量． 【详解】解：设书籍的售价为元/本，书籍的售价为元/本， 根据题意可得解得， 设张老师购买种打折书籍本，购买种打折书籍本， 购买原价种书籍本，则购买原价种书籍本， 根据题意可知，， 整理得， ∴， ∵，，，均为自然数， 为的倍数，且， 当时，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，， 当时，（舍）， 答：张老师购买种打折书籍本． 【题型十】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 例10．（2023·贵州遵义·一模）703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 变式1．（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【答案】34 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【题型十一】几何问题(二元一次方程组的应用) 例11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是（    ） A．16 B．20 C．25 D．36 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为，宽为，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值，再利用正方形的面积公式可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为，宽为， 依题意，得：， 解得：， ∴． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为________________． 【答案】，， 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设的最长边为a，最短边为c，利用差与和的关系求出a和c，再通过周长求出第三边b． 【详解】解：设的最长边为a，最短边为c，第三边为b 则， 得， 解得； 得， 解得． 由周长，得， 解得． 故答案为：，，． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【答案】小长方形的长为，宽为． 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，观察图①、图②，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为． 【题型十二】图表信息题(二元一次方程组的应用) 例12．（23-24七年级下·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则___________． 1 6 2 【答案】 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系列式求解是关键． 通过九宫格中每行、每列及对角线上三个数的和相等，列出方程组求解． 【详解】解：设每行、每列及对角线上三个数的和为， 设第一行第三列的数，则， ∴， 从左上到右下的对角线上数的关系：，即， ∴， 从左下到右上的对角线上数的关系：，即， ∴， 设第三行和第二列的数为，则， ∴， 联立方程组得，， 解得，， 故答案为：． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）已知图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．求的值，并在空白处填上符合要求的数． 3 2 y 【答案】，表格见解析 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及有理数的加法，利用已知条件列出方程组是解题的关键． 利用已知条件列出方程组求解，然后根据表格填写数据即可． 【详解】解：∵图中各行、各列及对角线上的3个数之和都相等， ∴． 解得， ∴， ∴各行、各列及对角线上的3个数之和都为3， 填表如下： 3 2 5 1 0 4 【题型十三】古代问题(二元一次方程组的应用) 例13．（24-25七年级下·全国·单元测试）我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有个人，共分两银子， 根据题意，得． 故选：A． 变式1．（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则_________， _________． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 设一只雀重x斤，一只燕重y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【详解】解：设一只雀重x斤，一只燕重y斤， 根据题意，得 整理，得 解得， ∴一只雀重斤，一只燕重斤， 故答案为：，． 变式2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺，据此列方程组并解方程组即可得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 【题型十四】其他问题(二元一次方程组的应用) 例14．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）期中考试后，小明两次上街买奖品，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱，则他买的笔和笔记本的单价分别是（   ） A．0.8元/支，2.6元/本 B．0.8元/支，3.6元/本 C．1.2元/支，2.6元/本 D．1.2元/支，3.6元/本 【答案】D 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，利用两次买笔和笔记本所花钱数进而得出方程组是解题关键． 利用第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱，得出方程组求解即可． 【详解】解：设笔和笔记本的单价分别是元，元， 根据题意得：， 解得， 即买的笔和笔记本的单价分别是1.2元，3.6元． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）某农场用台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦公顷，台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦公顷，台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦______公顷． 【答案】/ 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设台大收割机小时收割小麦公顷，台小收割机小时收割小麦公顷，根据“台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦公顷，台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦公顷”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设台大收割机小时收割小麦公顷，台小收割机小时收割小麦公顷， 根据题意得：， 解得：， 公顷， 台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦公顷． 故答案为： 变式2．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 (1)胜一场积___________分，负一场积___________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1)2；1 (2)这支球队胜了3场 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设这支球队胜了m场，负了n场，根据一共有9场比赛，且胜场总积分与负场总积分相等建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积y分， 根据敬业队和诚信队的得分可得， 解得， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：设这支球队胜了m场，负了n场， 由题意得，， ∴， 答：这支球队胜了3场． 【题型十五】三元一次方程组的定义及解 例15．（23-24七年级下·广西桂林·期末）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 【答案】/ 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 【题型十六】三元一次方程组的应用 例16．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 【答案】36 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【详解】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 变式2．（24-25七年级下·河南周口·期末）[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【答案】(1)，19； (2)购买5 支铅笔、5块橡皮．5本日记本共需30元． 【知识点】三元一次方程组的应用、加减消元法 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数x、y满足，， ∴得， 得． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， ∴， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 一、单选题 1．甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据相遇问题中的路程关系建立方程组求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 2．某同学带了20元去文具店买笔记本和笔，他买了1个笔记本，2支笔，还剩5元．设每个笔记本x元，每支笔y元，得方程．则下列说法中，正确的是（   ） A．每个笔记本9元 B．若每个笔记本是11元，则每支笔是4元 C．若是方程的解，则m，n都可以表示笔记本、笔的单价 D．若m，n分别表示笔记本、笔的单价，则m，n一定是方程的解 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程的知识解答．根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A．每个笔记本可能是9元，例如也可能是11元，故A错误； B．把代入得，解得：， 因此若每个笔记本是11元，则每支笔是2元，故B错误； C．若是方程的解，则m，n不一定可以表示笔记本、笔的单价，如，，故C错误； D．若m，n分别表示笔记本、笔的单价，则m，n一定是方程的解，故D正确； 故选：D． 3．A地至B地的航线长1200千米，一艘轮船从A地顺水开往B地需30小时，它逆水返回需要40小时，设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．设轮船在静水中的平均速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设轮船在静水中的平均速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，则： 船顺水行驶速度为：千米/小时． 船顺水行驶速度为：千米/小时． 依题意，得：． 故选：B． 4．如图，5块相同的长方形地砖拼成一个长方形，若每块长方形地砖的长为，宽为，根据图形可以列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察图形，找出长和宽与已知长度的关系，以及长和宽之间的数量关系，从而列出方程组．本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，熟练掌握从图形中找出数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵ 从图形中可以看出长方形地砖的长是宽的倍，即． ∵ 大长方形的长为，且大长方形的长由一个地砖的长和两个地砖的宽组成， ∴ ． 综上，可列方程组为， 故选：A ． 5．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，建立方程分析正整数解是解题的关键．设购买种图书本，种图书本，根据共购买A、B两种图书480元列方程，求二元一次方程的正整数解即可求解． 【详解】解：设购买种图书本，种图书本，根据题意，得 , ， 为正整数， ，且为偶数， 解得， ，即， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有9种购买方案． 故选：C． 6．已知方程组的解，使成立，则的值是(   ) A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先利用方程组得出用含m的代数式表示x、y，再把x、y的值代入到，解方程即可得到m的值． 【详解】解：由题意可知，①，②， 由①+②并化简，可得， 由②×2-①并化简，可得， 将，的值代入，可解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法． 7．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪.现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根木，木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键是弄清题意、找准等量关系、列对方程组是解题的关键． 根据等量关系“”和“”列出方程组即可． 【详解】解：设绳子长x尺，木长y尺， 根据题意可得：． 故选：A． 8．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：则，即，正确； 丙：，正确； 故选：D． 二、填空题 9．某社区为了美化环境，投入一定资金用于绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共70棵，其中甲种树木每棵85元，乙种树木每棵78元，共用去资金5740元.求甲、乙两种树木各购买了多少棵？设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，则列出的方程组是___________. 【答案】 【分析】根据题意可得等量关系：①甲、乙两种树木共70棵；②共用去资金5740元，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设甲种树木的数量为x棵，乙种树木的数量为y棵， 根据题意可得等量关系：①甲、乙两种树木共70棵；②共用去资金5740元，根据等量关系列出方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查列二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，得到等量关系． 10．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为________． 【答案】375 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设每个小长方形的长为，宽为，根据图形给出的信息得方程组，解出即可． 【详解】解：设每个长方形的长为，宽为，由题意， 得， 解得． ． 故答案为：375． 11．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行；若3人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据若2人坐一辆车，则9人需要步行；若3人坐一辆车，则有两辆空车列方程组即可解决． 【详解】解：设有x辆车，人数为y人，由题意得： ， 故答案为：． 12．若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍还少50°，则∠B等于___________． 【答案】50°或 【分析】由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A=∠B或∠A+∠B=180°，又由∠A比∠B的两倍少50°，即可求得∠B的度数． 【详解】解：∵∠A和∠B的两边分别平行， ∴∠A=∠B或∠A+∠B=180°， ∵∠A比∠B的两倍少50°， 即∠A=2∠B-50°， ∴2∠B-50°=∠B或2∠B-50°+∠B=180°， ∴∠B=50°或∠B= 故答案为：50°或． 【点睛】此题考查了平行线的性质与方程组的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A=∠B或∠A+∠B=180°，注意分类讨论思想的应用． 13．2021新春佳节之际，某商家推出收费印制巴蜀中学logo的新春礼品，礼品主要包含三种：对联，门神和红包，如果印制对联3副、门神2副、红包5个，需付人民币31.5元；如果印制对联2副、门神1副、红包1个，需付人民币22元，某人想印制16副对联、10副门神、22个红包共需付人民币______元． 【答案】170 【分析】设对联1副需x元、门神1副需y元、红包1个需z元，根据等量关系对联3副、门神2副、红包5个，需付人民币31.5元列等式；根据等量关系对联2副、门神1副、红包1个，需付人民币22元列等式，把16x+10y+22z拆分成4(3x+2y+5z)+2(2x+y+z)整体代入计算即可． 【详解】解：设印制对联1副需x元、门神1副需y元、红包1个需z元， 根据题意得： ∵16x+10y+22z=4(3x+2y+5z)+2(2x+y+z)=4×31.5+2×22=126+44=170元 故答案为170． 【点睛】本题是三元方程应用题，掌握根据等量关系列等式，把代数式拆分成4(3x+2y+5z)+2(2x+y+z)是解题关键． 14．对于一个三位数 ， 如果满足∶ 它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 7 ， 那么称这个数为 “幸福数”． 例如∶是“幸福数”；是“幸福数”；不是“幸福数”． 若 将一个“幸福数”的个位数的 2 倍放到十位， 原来的百位数变成个位数， 原来的十位数 变成百位数， 得到一个新的三位数(例如∶ 若， 则)， 若也是一个“幸福数”， 则满足条件的所有的值______． 【答案】或/654或362 【分析】设一个“幸福数”m的个位数字是x，十位数字是y，则百位数字是（x、y是非负整数且，），进而找出x与y的关系，从而解决本题． 【详解】解：设一个“幸福数”m的个位数字是x，十位数字是y，则百位数字是（x、y是非负整数且，）． ∴t的个位数字是7+x-y，十位数字是2x，百位数字是y且，，x与y是非负整数． ∴． ∵t是“幸福数”， ∴． ∴． ∴当时，（，不合题意，舍去）； 当时，（非整数，不合题意，舍去）； 当时，，则； 当时，（非整数，不合题意，舍去）； 当时，，则． 综上：或． 【点睛】本题考查了新定义，二元一次方程的应用，熟练掌握运用方程的思想是解决本题的关键． 三、解答题 15．解下列方程组： （1）     （2）     （3）     （4） （5） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可得； （2）利用代入消元法解方程组即可得； （3）利用加减消元法解方程组即可得； （4）利用加减消元法解方程组即可得； （5）先将第一个方程代入第二个方程和第三个方程，然后利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解：（1）， 由②①得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 则方程组的解为； （2）， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：，即， 则方程组的解为； （3）， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 则方程组的解为； （4）， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 则方程组的解为； （5）， 将①代入②和③得：，即， 将⑤代入④得：， 解得， 将代入①得：，即， 则方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． 16．解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，掌握消元法是关键． 根据题意，运用消元法将三元一次方程组转换为二元一次方程组，再转换为一元一次方程求即可． 【详解】解：， 得，， 得，， ④，⑤联立方程组得，， 得，， 解得，， 把代入④得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 17．根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为元千克，元千克．    素材 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重千克，价格元． 素材 小温恰好用元各买了若干份，型什锦糖． 问题解决 任务 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？ 任务 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 【答案】任务：每份什锦糖的单价为元 任务：每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． 任务：根据总价÷数量=单价进行计算即可； 任务：设每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克，根据题意可列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】解：任务：每份什锦糖的单价为（元）， 答：每份什锦糖的单价为元； 任务：设每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克， 由题意得， ， 解得， 即每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克． 18．2023年9月23日至10月8日第十九届亚运会将在杭州举办．某商场用25000元购进亚运吉祥物的摆件和挂件，售完后共获利11700元．其中摆件每件进价40元，售价58元；挂件每件进价30元，售价45元． (1)请分别求出该商场购进摆件和挂件的数量．（用二元一次方程组解决问题） (2)618促销期间，商场第二次以原进价购进摆件和挂件，购进摆件的件数不变，而购进挂件的件数是第一次的2倍，摆件按原售价出售，而挂件打折销售．若摆件和挂件销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于10800元，则挂件最低可以打几折？（用一元一次不等式解决问题） 【答案】(1)该商场购进摆件和挂件分别为400件和300件 (2)最低打8折 【分析】（1）设该商场购进摆件、挂件分别是x件、y件，然后根据“某商场用25000元购进亚运吉祥物的摆件和挂件，售完后共获利11700元”列二元一次方程组解答即可； （2）设挂件打a折，再根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该商场购进摆件、挂件分别是x件、y件， ,解得：． 答：该商场购进摆件和挂件分别为400件和300件． （2）解：设挂件打a折， ， 解得． 答：最低打8折． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解答本题的关键． 19．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治现有一段长米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成甲工程队每天整治米，乙工程队每天整治米，共用时天求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______； 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)见解析 【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：①， 故答案为：，； ②表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：．根据为正整数，可得，且能被3整除，即可得到，即，从而得到方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解（写出一组即可）______； (2)若为正整数，求满足条件的正整数的值； (3)为了奖励每周表现优异的数学学习小组，某教师购买了单价为5元的笔记本与单价为8元的钢笔两种奖品，共花费220元，有几种购买方案？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)的值为8或10或12或22 (3)共有5种购买方案．方案一：36本笔记本，5支钢笔；方案二：28本笔记本，10支钢笔；方案三：20本笔记本，15支钢笔；方案四：12本笔记本，20支钢笔；方案五：4本笔记本，25支钢笔． 【分析】本题考查二元一次方程的解及应用． （1）先用表示出，再根据为正整数确定其解即可； （2）由题意得是15的正因数，解出即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，依题意得：，先用表示，再根据都是正整数，确定的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵为正整数 ∴，且能被2整除 ∴的值为2或4或6 ∴的值为5或3或1，相应的值为1或2或3 ∴正整数解为或或 故答案为：或或； （2）∵是正整数 ∴是15的正因数 ∴或或或 ∴的值为8或10或12或22； （3）设购买本笔记本，支钢笔， 依题意得： ∴ 又∵均为正整数 ∴ 解得：， ∵能被5整除 ∴的值为5或10或15或20或25 ∴相应的的值为36或28或20或12或4 或或或或 答：共有5种购买方案． 方案一：36本笔记本，5支钢笔； 方案二：28本笔记本，10支钢笔； 方案三：20本笔记本，15支钢笔； 方案四：12本笔记本，20支钢笔； 方案五：4本笔记本，25支钢笔． 21．某品牌童装专卖店新推出A、B、C三种款式的春装.四月的某个周末的销售量（单位：件）如表： A B C 合计 周六的销售量 y 30 周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y 合计 10 3y 30+5x+2y (1)请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x、y的代数式表示）； (2)已知A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件， ①求x，y的值； ②已知三种款式的单价均为整数且高于100元，A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，那么B款式的单价可以是 （写出所有可能的结果） 【答案】(1)10﹣x，20+x﹣y，20+5x﹣y；表格见解析 (2)128元或119元或110元或101元． 【分析】（1）根据题意，补全表格中的划线部分即可； （2）①由题意：A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件．列出二元一次方程组，解方程组即可； ②设B款式春装的单价为a元，C款式春装的单价为b元，则A款式春装的单价为3a元，由题意：A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，列出二元一次方程，再由三种款式的单价均为整数且高于100元，求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：A款式的春装周六的销售量为10﹣x， 则B款式的春装周六的销售量为30﹣（10﹣x）﹣y＝20+x﹣y， C款式的春装合计为20+x﹣y+4x＝20+5x﹣y， 故答案为：10﹣x，20+x﹣y，20+5x﹣y； 补全表格如下： A B C 合计 周六的销售量 10﹣x y 20+x﹣y 30 周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y 合计 10 3y 20+5x﹣y 30+5x+2y （2）①依题意得：， 解得：， 即x＝2，y＝4； ②由①得：10﹣x＝8，20+x﹣y＝18， 设B款式春装的单价为a元，C款式春装的单价为b元，则A款式春装的单价为3a元， 依题意得：8×3a+4a+18b＝5600，整理得：14a+9b＝2800， 则a＝200b， ∵三种款式的单价均为整数且高于100元， ∴或或或， ∴B款式春装的单价可能为128元或119元或110元或101元． 故答案为：128元或119元或110元或101元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二（三）元一次方程组的实际应用（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】列二元一次方程组解应用题的基本步骤 1. 基本思想方法 列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组 . 2. 注意事项：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等 ；(4)方程(组)的解要符合问题的实际意义；(5)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程 . 3. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3)找：找出能表示题意的两个等量关系； (4)列：根据等量关系列出方程组； (5)解：解这个方程组，求出未知数的值； (6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案(包括单位名称). 【知识点02】列方程组解应用题的常见题型 类型  基本数量关系 和差倍分问题  较大量 = 较小量 + 多余量， 总量 = 一份的量 × 份数 行程问题 路程(s)= 速度(v)× 时间(t).  (1)相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总距离 .  (2)追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两地距离 = 追者走的路程 . (3)航行问题：①顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；②逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 工程问题  工作量 = 工作效率 × 工作时间 总工作量= 个体工作量之和 销售问题 利润= 售价- 成本 售价= 标价×(当打n 折销售时) 利润率=×100% 增长(降低)率问题 原量×(1+ 增长率)= 增长后的量 原量×(1- 降低率)= 降低后的量 【知识点03】三元一次方程组 1. 三元一次方程组：方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 如就是一个三元一次方程组. 2. 三元一次方程组必须同时满足以下条件 (1)方程组中一共有三个整式方程； (2)方程组中一共含有三个未知数； (3)每个方程中含未知数的项的次数都是1. 【知识点04】三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 三元一次方程组二元一次方程组 一元一次方程 2. 解三元一次方程组的一般步骤： (1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起. 【知识点05】三元一次方程组的简单应用 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系； (2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3)根据等量关系列出方程，建立方程组； (4)解方程组求出未知数的值并检验； (5)写出答案，包括单位名称 . 【题型一】根据实际问题列二元一次方程组 例1．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设应分成的组数组，课外活动小组的人数为人，根据题意得，方程组为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026七年级下·河北·专题练习）甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据题意列方程组得________． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 【题型二】根据几何图形列二元一次方程组 例2．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程：________（填写一个）． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【题型三】方案问题(二元一次方程组的应用) 例3．（2024·四川宜宾·模拟预测）物理教师将一根米的导线交给小组长将其截成20厘米和30厘米两种长度的导线（每种长度的导线至少1根），则最多能截出（）根导线 A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）小慧去花店购买鲜花，若买6支玫瑰和4支百合，则她所带的钱还剩下8元：若买4支玫瑰和6支百合，则她所带的钱还缺2元．若只买10支玫瑰，则她所带的钱还剩下______元． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）在一座小楼上挂满如下图所示的灯球，甲种灯球上有3个大球，下缀6个小球；乙种灯球上有3个大球，下缀18个小球．大球共396个，小球共1440个． (1)求甲、乙两种灯球的个数； (2)小明打算购买30个灯球，其中甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的2倍，则最少购买多少个甲种灯球？ 【题型四】行程问题(二元一次方程组的应用) 例4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）自行车一般是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为．现有某品牌自行车的前轮胎行驶达到5000公里时报废，后轮胎行驶达到3000公里时报废．如果该自行车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　） A．3250公里 B．3500公里 C．3750公里 D．4000公里 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时千米的速度下山，以每小时千米的速度走平路，到达乙地共用分钟；他返回时，以每小时千米的速度通过平路，以每小时千米的速度上山，共用了小时，甲、乙两地的距离是______． 变式2．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【题型五】工程问题(二元一次方程组的应用) 例5．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是______天，计划生产_____辆电动车． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【题型六】数字问题(二元一次方程组的应用) 例6．（23-24七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 变式1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【题型七】年龄问题(二元一次方程组的应用) 例7．（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【题型八】分配问题(二元一次方程组的应用) 例8．（25-26七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【题型九】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 例9．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表： 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式1．（24-25七年级下·四川泸州·月考）某书店销售甲、乙两种图书，如果原价买这两种图书共需要元书店推销时甲种图书打八折，乙种图书打七五折，结果买两种图书共少用元则原来甲种图书需要______元 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【题型十】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 例10．（2023·贵州遵义·一模）703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 变式1．（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 变式2．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【题型十一】几何问题(二元一次方程组的应用) 例11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是（    ） A．16 B．20 C．25 D．36 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为________________． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【题型十二】图表信息题(二元一次方程组的应用) 例12．（23-24七年级下·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则___________． 1 6 2 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）已知图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．求的值，并在空白处填上符合要求的数． 3 2 y 【题型十三】古代问题(二元一次方程组的应用) 例13．（24-25七年级下·全国·单元测试）我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则_________， _________． 变式2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【题型十四】其他问题(二元一次方程组的应用) 例14．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）期中考试后，小明两次上街买奖品，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱，则他买的笔和笔记本的单价分别是（   ） A．0.8元/支，2.6元/本 B．0.8元/支，3.6元/本 C．1.2元/支，2.6元/本 D．1.2元/支，3.6元/本 变式1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）某农场用台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦公顷，台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦公顷，台大收割机和台小收割机同时工作小时共收割小麦______公顷． 变式2．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 (1)胜一场积___________分，负一场积___________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【题型十五】三元一次方程组的定义及解 例15．（23-24七年级下·广西桂林·期末）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 变式1．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【题型十六】三元一次方程组的应用 例16．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 变式2．（24-25七年级下·河南周口·期末）[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 一、单选题 1．甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 2．某同学带了20元去文具店买笔记本和笔，他买了1个笔记本，2支笔，还剩5元．设每个笔记本x元，每支笔y元，得方程．则下列说法中，正确的是（   ） A．每个笔记本9元 B．若每个笔记本是11元，则每支笔是4元 C．若是方程的解，则m，n都可以表示笔记本、笔的单价 D．若m，n分别表示笔记本、笔的单价，则m，n一定是方程的解 3．A地至B地的航线长1200千米，一艘轮船从A地顺水开往B地需30小时，它逆水返回需要40小时，设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，可列方程组（　　） A． B． C． D． 4．如图，5块相同的长方形地砖拼成一个长方形，若每块长方形地砖的长为，宽为，根据图形可以列出方程组为（   ） A． B． C． D． 5．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 6．已知方程组的解，使成立，则的值是(   ) A．0 B． C．1 D．2 7．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪.现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根木，木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 二、填空题 9．某社区为了美化环境，投入一定资金用于绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共70棵，其中甲种树木每棵85元，乙种树木每棵78元，共用去资金5740元.求甲、乙两种树木各购买了多少棵？设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，则列出的方程组是___________. 10．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为________． 11．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行；若3人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为________． 12．若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍还少50°，则∠B等于___________． 13．2021新春佳节之际，某商家推出收费印制巴蜀中学logo的新春礼品，礼品主要包含三种：对联，门神和红包，如果印制对联3副、门神2副、红包5个，需付人民币31.5元；如果印制对联2副、门神1副、红包1个，需付人民币22元，某人想印制16副对联、10副门神、22个红包共需付人民币______元． 14．对于一个三位数 ， 如果满足∶ 它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 7 ， 那么称这个数为 “幸福数”． 例如∶是“幸福数”；是“幸福数”；不是“幸福数”． 若 将一个“幸福数”的个位数的 2 倍放到十位， 原来的百位数变成个位数， 原来的十位数 变成百位数， 得到一个新的三位数(例如∶ 若， 则)， 若也是一个“幸福数”， 则满足条件的所有的值______． 三、解答题 15．解下列方程组： （1）     （2）     （3）     （4） （5） 16．解方程组． 17．根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为元千克，元千克．    素材 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重千克，价格元． 素材 小温恰好用元各买了若干份，型什锦糖． 问题解决 任务 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？ 任务 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 18．2023年9月23日至10月8日第十九届亚运会将在杭州举办．某商场用25000元购进亚运吉祥物的摆件和挂件，售完后共获利11700元．其中摆件每件进价40元，售价58元；挂件每件进价30元，售价45元． (1)请分别求出该商场购进摆件和挂件的数量．（用二元一次方程组解决问题） (2)618促销期间，商场第二次以原进价购进摆件和挂件，购进摆件的件数不变，而购进挂件的件数是第一次的2倍，摆件按原售价出售，而挂件打折销售．若摆件和挂件销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于10800元，则挂件最低可以打几折？（用一元一次不等式解决问题） 19．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治现有一段长米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成甲工程队每天整治米，乙工程队每天整治米，共用时天求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______； 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 20．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：．根据为正整数，可得，且能被3整除，即可得到，即，从而得到方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解（写出一组即可）______； (2)若为正整数，求满足条件的正整数的值； (3)为了奖励每周表现优异的数学学习小组，某教师购买了单价为5元的笔记本与单价为8元的钢笔两种奖品，共花费220元，有几种购买方案？ 21．某品牌童装专卖店新推出A、B、C三种款式的春装.四月的某个周末的销售量（单位：件）如表： A B C 合计 周六的销售量 y 30 周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y 合计 10 3y 30+5x+2y (1)请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x、y的代数式表示）； (2)已知A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A、B两款的销售总量还多4件， ①求x，y的值； ②已知三种款式的单价均为整数且高于100元，A款的单价是B款单价的3倍，如果周六的总销售额为5600元，那么B款式的单价可以是 （写出所有可能的结果） 1 学科网（北京）股份有限公司 $