第11讲 不等式与一元一次不等式 （知识详解+11典例分析+习题巩固）2025-2026学年（人教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 不等式与一元一次不等式 （知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】不等式的概念 1.不等式：用符号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫作不等式.用“≠”“≤”“≥”表示不等关系的式子也是不等式 2. 常见的不等号 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3＋2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3＋3>5 ≤ 小于等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 x≤ 8 ≥ 大于等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于 x ≥ 5 ≠ 不等于号 不相等 不相等 4 ≠ 5 注意 (1)有些不等式中不含未知数，例如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，例如2x>5中，字母x表示未知数. (2)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立；否则，不等式不成立. 3. 常见的不等式基本语言及其符号表示 不等式基本语言 a 是正数 a 是负数 a 是非正数 a 是非负数 a，b 同号 a，b 异号 符号表示 a> 0 a< 0 a ≤ 0 a ≥ 0 ab> 0 ab< 0 【知识点02】不等式的解及不等式的解集 1. 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解 . 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数是不等式的解，若不成立，则该数不是不等式的解 . 2. 不等式的解集： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集 . 特别说明： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 . 3.不等式的解、不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 示例：不等式x+1>2 x=2，3等 x>1 区别 不等式的解是使不等式成立的未知数的值 不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值 联系 不等式的解集包含所有不等式的解，所有不等式的解组成不等式的解集 4. 解不等式： 求不等式的解集的过程叫作解不等式 . 5. 在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集表示未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)： 不等式的解集 x>a x ≥ a x<a x ≤ a 数轴表示 【知识点03】不等式的性质 1. 不等式的基本事实 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实： (1)对称性：交换不等式两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a. (2)传递性：不等关系可以传递. 如果a>b，b>c，那么a>c. 2. 不等式的性质 性质  文字描述  数学语言 不等式的性质 1 不等式两边加 ( 或减 ) 同一个数( 或式子 ) 不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 不等式的性质 2 不等式两边乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc (或>)  不等式的性质 3 不等式两边乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0， 那么ac<bc(或< ) 注意 两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 3. 不等式的性质与等式的性质的异同点 不等式 等式 相同点 (1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立 不同点 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 等式两边乘(或除以)同一个负数，等式仍成立 【知识点04】一元一次不等式的定义 1. 定义： 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式 . 一元一次不等式的“三 要 素”：(1)不等式的两边都是整式；(2)只含一个未知数；(3)未知数的次数是 1. 2.一元一次不等式与一元一次方程的相同点和不同点 一元一次不等式 一元一次方程 示例 2x+ 3 > - 1  2x+ 3 = - 1 相同点 (1)只含有一个未知数； (2)含有未知数的式子都是整式； (3)未知数的次数是1 不同点 用不等号表示不等关系 用等号表示相等关系 【知识点05】一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化 为 x<a(x≤a)或 x>a(x≥a)的 形 式 . 解 一 元 一 次 不 等式的步骤如下： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数 不等式的性质2，3 (1)不要漏乘不含分母的项；(2)若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) 分配律、去括号法则 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边 不等式的性质1 (1)所移的项要改变符号，不移的项不变号 (2)移项时，不等号的方向不改变 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变 合并同类项法则 系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数(或乘未知数的系数的倒数)，将不等式化为x ＜ m(x ≤ m)或x>m(x ≥ m)的形式 不等式的性质2，3 当不等式两边都除以(或乘)同一个负数时，不等号的方向要改变 2.解一元一次不等式与解一元一次方程的相同点和不同点 解一元一次不等式 解一元一次方程 相同点 步骤相同：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 不同点 依据 不等式的性质 等式的性质 解的个数 一般有无数个解 只有一个解 解(集)的形式 x<m(x ≤ m)或x>m(x ≥ m) x=m 【知识点06】列一元一次不等式解决实际问题 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案. 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤如下： 内容 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系 抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“超过”等 设 设出适当的未知数 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现 列 根据题中的不等关系列出不等式 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一 解 解不等式，求出其解集 符号不要出错 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意 一满足不等式，二符合实际意义 答 写出答 应把表示不等关系的文字补上 【题型一】不等式的定义 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握用不等号连接的式子是不等式，等式和单独的代数式不是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如等）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用，是不等式； ② 使用，是不等式； ③ 使用，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用，是不等式； ∴不等式有①、②、⑤，共个． 故选：C． 变式1．（22-23七年级下·河南开封·月考）某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】根据题意，将实际问题中的气温变化范围转化为不等式表示即可得到答案． 【详解】解：由题意得当天气温（℃）的变化范围是． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 【题型二】不等式的解集 例2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】不等式的解集 【分析】根据，0，1都是不等式的解，写出不等式即可． 【详解】解：∵，0，1都是不等式的解， ∴该不等式可以是（答案不唯一）． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 【题型三】不等式的性质 例3．（25-26七年级下·新疆昌吉·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【详解】解：∵， ∴、，该选项错误． 、，该选项正确． 、，该选项错误． 、，该选项错误． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）若，且，则_________（用“<”或“>”填空）． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． 变式2．（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质 【分析】（1）根据不等式的性质进行解答即可； （2）根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， 不等式两边同时加上1，得； （2）解：， 不等式两边同时减去1，得， 不等式的两边同时乘，得． 【题型四】一元一次不等式的定义 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 变式1．（25-26七年级下·重庆·月考）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 【答案】1 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且， 解得． 变式2．（22-23七年级下·全国·单元测试）在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 【答案】见解析 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义举例说明即可． 【详解】解：∵当系数等于0时，不等式中x无论取何值，不等式的解集均为全体实数或无解， 此时不等式中不含有未知数，  例如：若不等式为：，当x的系数时，此时，不等式变为，无论x取何值，此不等式均不成立．； 【点睛】本题考查的是一元一次不等式应具备系数不为条件，因为系数为时，不等式的解集均为全体实数或无解，此时不等式中不含有未知数． 【题型五】求一元一次不等式的解集 例5．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】一元一次不等式去分母时需要给不等式每一项都乘以所有分母的最小公倍数，去括号时要注意符号变化，据此计算判断即可． 【详解】解：∵分母6和3的最小公倍数为6， ∴不等式两边每一项同时乘以6，得：． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据不等式的解集为，判断的符号，得到与的数量关系和的符号，再求解不等式即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 不等式的解集为，不等号方向发生改变， ， 根据不等式的性质，不等式两边同除以得， ， 整理得， ，即， ， 对于不等式， 根据不等式的性质，不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 将代入得． 变式2．（25-26七年级下·湖北恩施·月考）解不等式：； 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项和系数化为1的步骤解不等式即可； 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【题型六】求一元一次不等式的整数解 例6．（25-26七年级下·湖南湘潭·月考）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）关于x的不等式的非负整数解有_________个． 【答案】3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】先解不等式得到解集，再根据非负整数的定义统计解的个数即可． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式的非负整数解为，共个． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 【答案】21 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式解决实际问题，分x为奇数和x为偶数两种情况，分别列出不等式，求出x的值，再找出最小正整数即可． 【详解】解：当x为奇数时，根据题意，得， 解得， ∴正整数； 当x为偶数时，， 解得， ∴正整数， 综上，输入的最小正整数x是21． 【题型七】在数轴上表示不等式的解集 例7．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： 变式1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）下图中的数轴所表示的不等式的解集是_______． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式的解集在数轴上表示的方法． 根据数轴所示写出不等式即可． 【详解】解：数轴所表示的不等式的解集是， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·重庆·月考） 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】先对一元一次不等式依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项求出解集，再在数轴上用空心圆圈和向右的射线表示出该不等式的解集即可． 【详解】解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ； 在数轴上表示不等式的解集为： 【题型八】求一元一次不等式解的最值 例8．（23-24七年级下·广西贺州·月考）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式解的最值 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 变式1．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是______． 【答案】8 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知．请确定的最大值． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式解的最值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 【题型九】列一元一次不等式 例9．（25-26七年级下·全国·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）根据“x与y的2倍的和是非负数”，列出的不等式为_________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】先表示出y的2倍，再表示x与y的2倍的和，最后根据非负数的定义列出不等式即可． 【详解】解：由题意得：y的2倍为，x与y的2倍的和为，非负数是大于或等于0的数， 所以，． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系是解题的关键； 由题意可知，到之间为半个小时，即，所以根据时间小于半小时来写出不等式即可． 【详解】解：因为小明在之前赶到了书店， 所以小明到书店的时间为小于半个小时，即小于， 由题意得． 【题型十】用一元一次不等式解决实际问题 例10．（25-26七年级下·山东东营·月考）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设商品打折，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】解：设商品打折， 由题意得，， 解得， ∵打折数越小，折扣力度越大， ∴的最小值为， ∴最多可以打折． 变式1．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 【答案】6.6 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设可打折，根据要保持利润率不低于，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设可打折，由题意，得：，解得． 故至多可打6.6折． 变式2．（2026·陕西西安·一模）某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 【答案】最多可以购买29个A型书签 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【详解】解：设购买个A型书签，则购买个B型书签， 由题意，得：， 解得：； ∴最多可以购买29个A型书签． 【题型十一】用一元一次不等式解决几何问题 例11．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【知识点】坐标系中的平移、写出直角坐标系中点的坐标、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】（1）可求，，可得A、B纵坐标相同，故线段轴，即可求解； （2）①由得，则可得，，由平移的性质可得，，则可得，，进而可求出c的值 ②分四种情况讨论：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ），先列出S与b的关系式，再根据列不等式求出b的范围即可． 【详解】（1）解：若，， 则，， 则轴， ． （2）解：①若， 则， ∴，， ∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点． ∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，， ∴，， ∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点． ，， 解得，． ②由①得，． （ⅰ）如图，当时， ， ∵， ， 解得， 时，成立； （ⅱ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅲ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅳ）如图，当时， ， ， ， 解得， ∴当时，成立； 综上，当时，b的取值范围是：且． 【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的线段长、平移变换、动点三角形面积问题、一元一次不等式的应用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 变式2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示正确的是    故选B． 2．若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、若，则，得不到，原说法错误，不符合题意； B、若，则，原说法正确，符合题意； C、若，得不到，原说法错误，不符合题意； D、若，得不到，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则m的可能取值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据第二象限内的点的纵坐标大于零，可得不等式，解不等式，可得答案． 【详解】解：由点A（-1，m-4）在第二象限，得m-4＞0 解得m＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 4．已知方程组的解满足x－y＜0，则（    ）． A．m＞－1 B．m＞1 C．m ＜－1 D．m＜1 【答案】C 【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可． 【详解】解：， ①﹣②得：x﹣y＝2m+2， 代入x﹣y＜0得：2m+2＜0， 解得：m＜﹣1． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式、二元一次方程组的解，熟练掌握一元一次不等式和二元一次方程组的解法是解本题的关键． 5．在某校举行的冬季篮球赛中，选手王娜在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，如果她的前十场的平均成绩高于18分，那么她的第十场的成绩至少为（    ） A．27分 B．29分 C．31分 D．33分 【答案】B 【分析】首先求得第六场−−第九场的平均成绩（分）．根据她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，说明前五场该选手的得的总分最多17×5−1＝84（分）．因而可知前九场的总分不会超过68＋84．再根据她的前十场的平均成绩高于18分，即至少为18×10＋1＝181．则她的第十场的成绩至少即可求出． 【详解】解：设她的第十场的成绩得分x（分）． 第六场−−第九场的平均成绩为（分），超过了前五场的平均成绩． 因此，前五场该选手得的总分最多17×5−1＝84（分），但是她的十场的平均成绩高于18分， 由题意得x＋（23＋14＋11＋20）＋84≥18×10＋1， 解得x≥29． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解． 6．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 【答案】D 【分析】设原三位数，其中，，为整数，令，根据，得到，再通过确定的可能取值，逐一验证得到结果． 【详解】解：设原三位数，其中，，为整数，令， ，这六个数的和中，在百位、十位、个位上各出现次， 这六个数的和为， 即，可得， ， ，即， 解得， 为整数， ， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； ． 二、填空题 7．已知与5的和不大于7，用不等式表示为：______． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，列出不等式为：． 故答案为：． 8．若点在第二象限，则a的取值范围是________ 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，列出不等式即可解答． 【详解】解：依题意可得：， 解得， 故答案为： 9．“沙金红杏”是享誉三晋、名扬海外的珍稀果品，被称为山西三大名杏之首．现有两个品种的“沙金红杏”，品种的进价为12元/千克，品种的进价为9元/千克，杜师傅计划采购这两个品种的“沙金红杏”共50千克，且总费用不超过540元，那么最多能采购品种“沙金红杏”______千克． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设采购品种“沙金红杏”x千克，则采购B品种“沙金红杏”千克，根据购买费用不超过540元列出不等式求解即可． 【详解】解：设采购品种“沙金红杏”x千克，则采购B品种“沙金红杏”千克， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为30， ∴最多能采购品种“沙金红杏”30千克， 故答案为：30． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，且x，y满足x+y＞3．则m的取值范围是 ___． 【答案】m＞1 【分析】先求出方程组的解，根据x+y＞3得出不等式m+1+m＞3，再求出不等式的解集即可． 【详解】解：解方程组得：， ∵x+y＞3， ∴m+1+m＞3， 解得：m＞1， 故答案为：m＞1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识点，能求出关于m的不等式是解此题的关键． 11．下列命题中： ①若，则；             ②若，则； ③若，则；       ④若，则． 正确的有________．（只填写正确命题的序号） 【答案】②③ 【分析】根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②若，则，故②正确； ③若，，，故③正确； ④若，当时，则；当，则，故④错误； 故正确的有：②③， 故答案是：②③． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 12．若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先解不等式得，再根据关于的不等式只有2个正整数解，得出不等式的正整数解为1，2，据此得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式只有2个正整数解， ∴不等式的正整数解为：1，2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式及其正整数解的情况，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 13．关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，解一元一次不等式，利用加减消元法得到，结合题意得到，求出结果即可． 【详解】解： 得：， ， ， 故答案为：． 14．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是________． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 三、解答题 15．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可． 【详解】（1）解：（不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质2）， 解得． （2）解： （不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质3）， 解得． 16．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“去括号、移项、合并同类项、把系数化为”的步骤求解即可； （2）根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为”的步骤求解即可 【详解】（1）解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 把系数化为，得：； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 把系数化为，得：． 17．李师傅在扶贫工作者的指导下，计划用6个大棚种植香瓜和甜瓜，根据种植经验及市场情况，他打算同时种两种瓜，一个大棚只种一个品种的瓜，并预计明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下表： 品种 产量（斤/棚） 销售价格（元/斤） 成本（元/棚） 香瓜 2000 12 8000 甜瓜 4500 3 5000 李师傅至少种植多少个大棚的香瓜，才能使获得的利润不低于8万元？ 【答案】李师傅至少种植4个大棚的香瓜，才能使获得的利润不低于8万元． 【分析】设李师傅种植x个大棚的香瓜，则种植 个大棚的甜瓜，根据表格信息，可列出关于 的不等式，解出即可． 【详解】解：设李师傅种植x个大棚的香瓜，则种植 个大棚的甜瓜，根据题意，得： ， 解得． ∵x取整数， ∴李师傅至少种植4个大棚的香瓜，才能使获得的利润不低于8万元． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 18．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；去括号时符号错误 (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 解集在数轴上表示如下图所示： 19．已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】(1)或或或 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，非负整数解的确定等知识点，掌握一元一次不等式的解法和方程的代入求解是解题的关键． （1）先解不等式得到解集，再在解集中找出所有非负整数； （2）先确定不等式的最大整数解，将其代入方程，解关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 它的非负整数解为或或或． （2）解：由（1）可知该不等式的最大整数解为． 把代入方程，得， 解得． 20．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【答案】（）；（）；（）． 【分析】本题考查了列不等式，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：（）根据题意得，， ， ∴； （）根据题意得， ， ∴； （）根据题意得，， ， ， ， ， ∴． 21．已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②，，． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此可证明结论； （2）①同理可得，则，则可证明，则，据此可证明结论；②根据①可得或，则或或，再讨论a、m的值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵a，m均为整数，且，，， ∴或， ∴或或， 当时， ∵， ∴，即，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∵，且c、b都是整数， ∴， ∴，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，，． 22．某医疗器械厂计划购入一批口罩生产机器，其中甲型机器每台的售价为10万元，每小时可以生产200个口罩；乙型机器每台的售价为45万元，每小时可以生产1400个口罩． （1）若该厂采购资金共600万元，设购入甲型机器x台，完成下列表格． 型号 单价（万元） 数量（台） 总价（万元） 甲 10 ________ 乙 45 ________ ________ （2）在（1）的条件下，当购买甲型机器的数量是乙型机器的3倍时，求甲、乙两种机器购入了多少台． （3）若该厂已有5台甲型口罩生产机器，2台乙型口罩生产机器，若计划总生产量为每小时5000个口罩，则需额外购入甲乙两种口罩生产机器共n台，但由于场地有限，最多只能放下55台机器，则n的值为________．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）甲型机器24台，乙型机器8台；（3）39或45 【分析】（1）设购入甲型机器台，则购入甲型机器所需总价为万元，购入乙型机器所需总价为万元，购入乙型机器台； （2）根据购买甲型机器的数量是乙型机器的3倍，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设需额外购入甲型机器台，则需额外购入乙型机器台，根据最多只能放下55台机器，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可确定得值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：（1）设购入甲型机器台，则购入甲型机器所需总价为万元，购入乙型机器所需总价为万元，购入乙型机器台． 填表如下： 型号 单价（万元） 数量（台） 总价（万元） 甲 10 10x 乙 45 （2）依题意得：， 解得：， （台）． 答：购入甲型机器24台，乙型机器8台． （3）设需额外购入甲型机器台， 则需额外购入乙型机器台， ， 解得：． 又为整数， 或14， （台）或（台）． 故答案为：39或45． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 23．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 【答案】(1) 胜一场积3分，负一场积1分 (2) 不能实现，见解析 (3) 至少要胜8场 【分析】（1）任务一：设胜一场积x分，负一场积y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）任务二：设梦想队胜了m场，则负了场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列出一元一次方程，解方程，即可得出结论； （3）任务三：设他们要胜n场，则负场，根据该校上届获得冠军的积分是24分，雄狮队在本届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：任务一：设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意，得， 解得， 答：胜一场积3分，负一场积1分； （2）解：任务二：不能实现，理由如下： 设梦想队胜了m场，则负了场， 由题意，得， 解得， ∵2.5不是整数，不符合题意， ∴不能实现； （3）解：任务三：设他们要胜n场，则负场， 由题意，得， 解得， ∵n是整数， ∴n取8． 答：至少胜8场． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 不等式与一元一次不等式 （知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】不等式的概念 1.不等式：用符号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫作不等式.用“≠”“≤”“≥”表示不等关系的式子也是不等式 2. 常见的不等号 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3＋2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3＋3>5 ≤ 小于等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 x≤ 8 ≥ 大于等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于 x ≥ 5 ≠ 不等于号 不相等 不相等 4 ≠ 5 注意 (1)有些不等式中不含未知数，例如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，例如2x>5中，字母x表示未知数. (2)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立；否则，不等式不成立. 3. 常见的不等式基本语言及其符号表示 不等式基本语言 a 是正数 a 是负数 a 是非正数 a 是非负数 a，b 同号 a，b 异号 符号表示 a> 0 a< 0 a ≤ 0 a ≥ 0 ab> 0 ab< 0 【知识点02】不等式的解及不等式的解集 1. 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解 . 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数是不等式的解，若不成立，则该数不是不等式的解 . 2. 不等式的解集： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集 . 特别说明： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 . 3.不等式的解、不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 示例：不等式x+1>2 x=2，3等 x>1 区别 不等式的解是使不等式成立的未知数的值 不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值 联系 不等式的解集包含所有不等式的解，所有不等式的解组成不等式的解集 4. 解不等式： 求不等式的解集的过程叫作解不等式 . 5. 在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集表示未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)： 不等式的解集 x>a x ≥ a x<a x ≤ a 数轴表示 【知识点03】不等式的性质 1. 不等式的基本事实 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实： (1)对称性：交换不等式两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a. (2)传递性：不等关系可以传递. 如果a>b，b>c，那么a>c. 2. 不等式的性质 性质  文字描述  数学语言 不等式的性质 1 不等式两边加 ( 或减 ) 同一个数( 或式子 ) 不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 不等式的性质 2 不等式两边乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc (或>)  不等式的性质 3 不等式两边乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0， 那么ac<bc(或< ) 注意 两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 3. 不等式的性质与等式的性质的异同点 不等式 等式 相同点 (1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立 不同点 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 等式两边乘(或除以)同一个负数，等式仍成立 【知识点04】一元一次不等式的定义 1. 定义： 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式 . 一元一次不等式的“三 要 素”：(1)不等式的两边都是整式；(2)只含一个未知数；(3)未知数的次数是 1. 2.一元一次不等式与一元一次方程的相同点和不同点 一元一次不等式 一元一次方程 示例 2x+ 3 > - 1  2x+ 3 = - 1 相同点 (1)只含有一个未知数； (2)含有未知数的式子都是整式； (3)未知数的次数是1 不同点 用不等号表示不等关系 用等号表示相等关系 【知识点05】一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化 为 x<a(x≤a)或 x>a(x≥a)的 形 式 . 解 一 元 一 次 不 等式的步骤如下： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数 不等式的性质2，3 (1)不要漏乘不含分母的项；(2)若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) 分配律、去括号法则 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边 不等式的性质1 (1)所移的项要改变符号，不移的项不变号 (2)移项时，不等号的方向不改变 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变 合并同类项法则 系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数(或乘未知数的系数的倒数)，将不等式化为x ＜ m(x ≤ m)或x>m(x ≥ m)的形式 不等式的性质2，3 当不等式两边都除以(或乘)同一个负数时，不等号的方向要改变 2.解一元一次不等式与解一元一次方程的相同点和不同点 解一元一次不等式 解一元一次方程 相同点 步骤相同：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 不同点 依据 不等式的性质 等式的性质 解的个数 一般有无数个解 只有一个解 解(集)的形式 x<m(x ≤ m)或x>m(x ≥ m) x=m 【知识点06】列一元一次不等式解决实际问题 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案. 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤如下： 内容 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系 抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“超过”等 设 设出适当的未知数 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现 列 根据题中的不等关系列出不等式 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一 解 解不等式，求出其解集 符号不要出错 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意 一满足不等式，二符合实际意义 答 写出答 应把表示不等关系的文字补上 【题型一】不等式的定义 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（22-23七年级下·河南开封·月考）某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【题型二】不等式的解集 例2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【题型三】不等式的性质 例3．（25-26七年级下·新疆昌吉·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）若，且，则_________（用“<”或“>”填空）． 变式2．（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【题型四】一元一次不等式的定义 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·重庆·月考）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为______． 变式2．（22-23七年级下·全国·单元测试）在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 【题型五】求一元一次不等式的解集 例5．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 变式2．（25-26七年级下·湖北恩施·月考）解不等式：； 【题型六】求一元一次不等式的整数解 例6．（25-26七年级下·湖南湘潭·月考）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）关于x的不等式的非负整数解有_________个． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 【题型七】在数轴上表示不等式的解集 例7．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）下图中的数轴所表示的不等式的解集是_______． 变式2．（25-26七年级下·重庆·月考） 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【题型八】求一元一次不等式解的最值 例8．（23-24七年级下·广西贺州·月考）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 变式1．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是______． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知．请确定的最大值． 【题型九】列一元一次不等式 例9．（25-26七年级下·全国·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）根据“x与y的2倍的和是非负数”，列出的不等式为_________． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【题型十】用一元一次不等式解决实际问题 例10．（25-26七年级下·山东东营·月考）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 变式1．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 变式2．（2026·陕西西安·一模）某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 【题型十一】用一元一次不等式解决几何问题 例11．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 变式2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则m的可能取值为（    ） A． B． C．4 D． 4．已知方程组的解满足x－y＜0，则（    ）． A．m＞－1 B．m＞1 C．m ＜－1 D．m＜1 5．在某校举行的冬季篮球赛中，选手王娜在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，如果她的前十场的平均成绩高于18分，那么她的第十场的成绩至少为（    ） A．27分 B．29分 C．31分 D．33分 6．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 二、填空题 7．已知与5的和不大于7，用不等式表示为：______． 8．若点在第二象限，则a的取值范围是________ 9．“沙金红杏”是享誉三晋、名扬海外的珍稀果品，被称为山西三大名杏之首．现有两个品种的“沙金红杏”，品种的进价为12元/千克，品种的进价为9元/千克，杜师傅计划采购这两个品种的“沙金红杏”共50千克，且总费用不超过540元，那么最多能采购品种“沙金红杏”______千克． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，且x，y满足x+y＞3．则m的取值范围是 ___． 11．下列命题中： ①若，则；             ②若，则； ③若，则；       ④若，则． 正确的有________．（只填写正确命题的序号） 12．若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为______． 13．关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式，则a的取值范围是__________． 14．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是________． 三、解答题 15．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 16．解下列不等式： (1)； (2)． 17．李师傅在扶贫工作者的指导下，计划用6个大棚种植香瓜和甜瓜，根据种植经验及市场情况，他打算同时种两种瓜，一个大棚只种一个品种的瓜，并预计明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下表： 品种 产量（斤/棚） 销售价格（元/斤） 成本（元/棚） 香瓜 2000 12 8000 甜瓜 4500 3 5000 李师傅至少种植多少个大棚的香瓜，才能使获得的利润不低于8万元？ 18．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 20．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 21．已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 22．某医疗器械厂计划购入一批口罩生产机器，其中甲型机器每台的售价为10万元，每小时可以生产200个口罩；乙型机器每台的售价为45万元，每小时可以生产1400个口罩． （1）若该厂采购资金共600万元，设购入甲型机器x台，完成下列表格． 型号 单价（万元） 数量（台） 总价（万元） 甲 10 ________ 乙 45 ________ ________ （2）在（1）的条件下，当购买甲型机器的数量是乙型机器的3倍时，求甲、乙两种机器购入了多少台． （3）若该厂已有5台甲型口罩生产机器，2台乙型口罩生产机器，若计划总生产量为每小时5000个口罩，则需额外购入甲乙两种口罩生产机器共n台，但由于场地有限，最多只能放下55台机器，则n的值为________．（直接写出答案） 23．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 1 学科网（北京）股份有限公司 $