第10讲 分式的运算（知识详解+15典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 分式的运算（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的乘法 1.分式的乘法法则 ： 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母 . 用字母表示为： 2. 法则的运用方法 (1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分； (2)若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； (3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”参与运算. 【知识点02】分式的除法 1. 分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . 用字母表示为： 2. 法则的运用方法 (1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算； (2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1 的“分式”进行运算. 【知识点03】分式的乘方 1. 分式的乘方法则 分式乘方等于把分子、分母分别乘方. 用字母表示为 (n 为正整数). 根据负整数次幂的意义，可知( )=( AB). 2. 分式乘方的方法 (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，一定要将分子、分母分别乘方，不能将 错写成 ； (3)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现的错误. 【知识点04】分式的乘除、乘方混合运算 1. 分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 2. 分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 【知识点05】分式的通分 1. 分式的通分：化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分 . 2. 最简公分母：异分母分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母 . 3. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 . 【知识点06】同分母分式的加减法 1. 同分母分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用字母表示为 . 2. 同分母分式相加减的一般步骤特别解读 “ 分子相加减”就是把各个分式的分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来. (1)分母不变，把分子相加减； (2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； (3)结果应化成最简分式或整式. 【知识点07】异分母分式的加减法 1. 异分母分式的加减法法则特别解读 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积. 2. 异分母分式相加减的一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分. 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 【知识点08】分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果必须是最简分式或整式. 【题型一】分式乘法 例1．（2023·安徽·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘法 【分析】先计算乘方，再计算乘法，即可求解． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 变式1．的结果为______． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式乘法法则以及因式分解的方法． （1）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，约去分子分母的公因式，从而得到最简结果； （2）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，对于能因式分解的式子先因式分解，再约去分子分母的公因式，从而得到最简结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【题型二】分式除法 例2．（25-26七年级下·安徽合肥·单元测试）若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的除法运算；设“□”中的式子为，把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【详解】解：设“口”中的式子为， 原式 ， 所以当时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 变式1．计算 ______． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将除法化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．计算：． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的除法运算和因式分解，掌握先因式分解，再将除法转化为乘法，注意符号变化并约分是解题的关键． 先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法，注意与的符号关系，再约分计算． 【详解】解：原式 ． 【题型三】分式乘除混合运算 例3．甲､乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据追击与相遇问题列出关系式，联立后变形即可求出所求式子的值． 【详解】不妨设甲乙两人开始时相距千米，甲的速度为，乙的速度为， 则根据题意有a（v1+v2）=s和b（v1-v2）=s， 于是， 所以  ， 即． 甲的速度是乙的倍． 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的混合运算，关键是根据行程问题和追及问题分析速度路程时间的关系解答． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）__________． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 变式2．计算：． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题关键． 根据分式的乘除法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【题型四】分式乘方 例4．计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】分式乘方 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 变式1．计算：＝_____． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】分式的乘方等于分子分母分别乘方，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方法则． 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘方、分式除法、分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先计算乘方，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式. 【题型五】含乘方的分式乘除混合运算 例5．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 变式1．计算_______． 【答案】/ 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算即可求出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可； （2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 【题型六】同分母分式加减法 例6．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同分母分式加减法 【分析】根据同分母加减运算法则进行运算，再进行约分即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 变式1．______． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】此题考查分式的加减运算．根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察下列式子： ，， ， (1)根据上述规律，写出第个式子______； (2)请猜想，若为正整数，则______，并证明你猜想的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【知识点】数字类规律探索、同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了数字的规律变化，分式的加减运算，解题时要能读懂题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，，即可判断得解； （2）依据题意，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，，， ， 根据上述规律，第个式子为：． 故答案为：． （2）解：若为正整数，则．证明如下： 由题意，， 等式成立． 故答案为：． 【题型七】异分母分式加减法 例7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母的分式的加减运算．利用，求出，再求出倒数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知u、f，则v＝_____． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 根据已知条件，先求出，进行通分后，再求出v即可． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 【答案】(1)8，56 (2) (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法 【分析】本题考查了数字规律探索，异分母分式的加法运算，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）观察每条式子各个分母的关系，总结规律：等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积即可作答； （2）通过总结规律：等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积； （3）运用通分的运算法则即可得出结论． 【详解】（1）解：，，，且， ， 故答案为：8，56； （2），，， 观察可知等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积， ； （3） ． 【题型八】整式与分式相加减 例8．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】整式与分式相加减 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 变式1．计算______． 【答案】 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下： 【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)4或2或5或1． 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查用整体思想以及换元思想将一个分子次数比分母大的分式拆分成整式与分式和的形式． （1）根据方法一求解即可； （2）根据方法一求解即可； （3）根据方法一拆分成一个整式和一个分式的和的形式，分类讨论即可． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）原式 ； （3）原式 ∵分式的值为整数， ∴， ∴． 【题型九】已知分式恒等式，确定分子或分母 例9．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、加减消元法 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 变式1．已知，其中，，，为常数，则______． 【答案】6 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 变式2．已知，求、的值． 【答案】， 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】首先化简方程，然后根据等式关系，列出二元一次方程组，解得即可. 【详解】解：原方程可化为， ， 可得， 解得，． 【点睛】此题主要考查分式加减运算的恒等式，关键是列出关于、的二元一次方程组． 【题型十】分式加减混合运算 例10．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减混合运算、列代数式 【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 变式1．化简：______ 【答案】 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 变式2．计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． (2)计算：． 【答案】(1)；； (2)1． 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分式的基本性质，通分即可得出结果； （2）先把分子分母因式分解，约分，再计算加减即可． 【详解】（1）解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分， 故答案为：；； （2）解： ． 【题型十一】分式加减的实际应用 例11．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 变式1．（24-25七年级·安徽铜陵·期中）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】解：A地到B地的路程：（千米）， 提速后的速度：（千米/小时）， 提速后的时间：（小时）， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【答案】（1）当时，长方形A的周长大于B的周长；当时，长方形A的周长等于B的周长；当时，长方形A的周长小于B的周长；（2）；（3）乙购买水果的总重量更大 【知识点】整式加减的应用、分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先表示出两个长方形的周长，然后作差，再根据a的取值范围判断即可； （2）先求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先根据甲和乙的花费相同，得出，再表示出乙购买的水果总量，，然后作差比较大小即可． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 【题型十二】分式加减乘除混合运算 例12．（2025·安徽合肥·一模）设，，定义新运算：，若，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故不正确； B．∵， ， ∴，故正确； C．∵，， ∴，故不正确； D．，， ∴，故不正确； 故选B． 变式1．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题： （1）______； （2）若，则_____． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据定义的运算代入计算； （2）根据定义运算得到等式，运用分式的运算法则化简求值． 【详解】解：（1）； （2） ∴ ∴则． 【点睛】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）计算：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的，除法变乘法，约分化简即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【题型十三】分式化简求值 例13．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，可设，()，将分式化为最简分式，代入、即可求解；能将分式正确化简，并利用辅助未知数求解是解题的关键． 【详解】解：， 可设，()， ； 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值等于______． 【答案】1 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，根据，得到，整体代入代数式进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ∴； 故答案为：1． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简所求式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型十四】最简公分母 例14．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母即可． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C． 变式1．分式的最简公分母是___________． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可． 【详解】解： ∴最简公分母为， 故答案为：． 【题型十五】通分 例15．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】通分 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 变式1．分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为_______． 【答案】 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可． （2）根据通分的定义把分式变形即可． （3）根据通分的定义把分式变形即可． （4）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 一、单选题 1．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简公分母的定义求解，再选择即可． 【详解】分式与的分母分别是、，故最简公分母是． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 2．①，都是分式；②分式的基本性质之一可以表示为；③是最简分式；④与的最简公分母是．以上四个结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据最简分式的概念、分式的基本性质，最简分式及最简公分母的确定逐一判断即可． 【详解】都是分式，是整式，故①不符合题意； 分式的基本性质之一可以表示为，故②不符合题意； 的分子与分母除1外，再没有公因式，是最简分式，故③符合题意； 与的最简公分母是，故④不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的含义，分式的基本性质，最简分式与最简公分母，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式；通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．解题的关键是掌握相关概念． 3．化简的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两个括号内的分式通分进行加减运算，然后利用完全平方公式将分子进行化简，然后再约分，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 故选：A 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是正确计算的前提． 4．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：（吨）． 故选：D． 5．如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a﹣1）m的正方形，若两块试验田的水稻都收了600kg．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（　　） A．优选1号单位面积产量高 B．优选2号单位面积产量高 C．两种水稻单位面积产量相等 D．优选1号单位面积产量不大于优选2号单位面积产量 【答案】B 【分析】优选1号单位面积产量与优选2号单位面积产量差为，利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再判断结果与零的大小可得答案． 【详解】解：优选1号单位面积产量与优选2号单位面积产量差为： = =， ∵a+1＞0，（a﹣1）2＞0， ∴＜0， ∴优选1号单位面积产量低于优选2号单位面积产量， 即优选2号单位面积产量高， 故选：B． 【点睛】本题考查分式加减的实际应用，根据题意列出正确的分式算式并灵活计算是解题关键． 6．并联电路中两个电阻的阻值分别为、，电路的总电阻R和、满足，已知R和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出，再求出倒数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查异分母的分式的加减运算．熟练异分母分式的加减法则，是解题的关键． 7．已知，则a，b的值分别为（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【分析】先利用异分母分式加减法法则进行计算可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．当时，代数式的值为（   ） A．-6 B．6 C．-12 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算先把分母分解因式，再利用乘法分配律进行计算，再进行加法运算，整体代入即可得答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴原式 故选：B 9．下面是甲、乙、丙三位同学在黑板上计算 甲同学的做法： 原式＝(x+3)(x﹣2)+(2﹣x) ＝x2+x﹣6+2﹣x ＝x2﹣4 乙同学 原式＝﹣ ＝ ＝ 丙同学 原式＝﹣ ＝ ＝1 则关于这三位同学的做法，你认为（　　） A．甲同学的做法正确 B．乙同学的做法正确 C．丙同学的做法正确 D．三位同学的做法都不正确 【答案】C 【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可求得答案． 【详解】解：甲同学的第一步有错误，代数式的化简不能直接去分母，则甲同学的做法不正确； 乙同学：原式＝﹣ ＝ ＝ ＝ ＝1， 则乙同学的做法不正确； 丙同学：原式＝﹣ ＝ ＝1， 则丙同学的做法是正确的， 故选：C． 【点睛】此题考查了分式的加减法，合并同类项，以及多项式乘多项式，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 10．对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则． 其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵， ∴ ；故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 无法得到；故③错误； 综上：正确的有1个； 故选B． 【点睛】本题考查定义新运算，有理数的加减运算，分式的运算．理解并掌握定义新运算的规则，是解题的关键． 二、填空题 11．计算：=_______． 【答案】 【分析】直接利用分式除法运算法则进行化简求出答案． 【详解】解： = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的除法，要熟练掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 12．设，，则的值等于_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，完全平方公式，算术平方根，由，得，通过，然后整体代入求得，又，则，最后通过算术平方根即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ______． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先计算前两项的和，再求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 14．若分式，则分式_______． 【答案】13 【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可． 【详解】解： 故答案为：13 【点睛】本题考查了分式的加减法，根据题意得出是解决问题的关键． 三、解答题 15．已知，求下列代数式的值． 【答案】 【分析】先把化简为，然后将整理为，即可得解． 【详解】解： ， 因为， 所以， 则． 【点睛】本题考查了分式化简求值以及整体代入法，把正确化简为是解题的关键． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可； （2）原式括号内两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同事利用除法法则变形，约分即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，正确计算是解题的关键． 17．先化简，再求值：（－1）÷，其中a＝（）－2－（π－3.14）0． 【答案】，5 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求出a的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式____________________； (2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）分别找到各部分分子和分母的规律，写出第5个等式即可； （2）根据题意猜想，再利用分式的加减运算法则验算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 第5个等式：； （2）猜想的第个等式：， 证明： ． 【点睛】本题考查了数字型规律，分式的加减运算，解题的关键是找到所给等式的规律，并用分式的运算法则验证． 19．一项工程，甲单独做x天完成，乙单独做需y天完成． (1)甲乙合作，需多少天完成？ (2)工程完成后共得劳动报酬m元，甲乙应各分得多少元？ 【答案】(1)天 (2)甲分得元，乙分得元 【分析】本题主要考查了如何列代数式，解题时要能根据题意列出式子是本题的关键． （1）本题须先分别求出甲乙的工作效率，再用总工作量除以总工作效率即可； （2）先求出工程完成后甲、乙分别完成的工作量，然后再分别乘以劳动报酬m元即可． 【详解】（1）解：∵甲单独完成需要x天，乙单独完成需要y天， ∴甲单独完成的工作效率是，乙单独完成的工作效率是， ∴两人合作需要的时间为：； ∴甲乙合作，需要天； （2）解：∵甲单独完成的工作效率是，乙单独完成的工作效率是， ∴工程完成后，甲完成，应分得（元）， 乙完成，应分得（元）． 20．有甲，乙两块边长为a米（）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．    【答案】甲试验田的单位面积产量高 【分析】由总产量除以总面积可得单位面积产量，再比较大小即可． 【详解】解：由题意，得甲试验田的单位面积产量为（千克）， 乙试验田的单位面积产量为千克． ∵，且， ∴，即， ∴甲试验田的单位面积产量高． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算的应用，理解题意，确定解题的方法是解本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 分式的运算（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的乘法 1.分式的乘法法则 ： 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母 . 用字母表示为： 2. 法则的运用方法 (1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分； (2)若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； (3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”参与运算. 【知识点02】分式的除法 1. 分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . 用字母表示为： 2. 法则的运用方法 (1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算； (2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1 的“分式”进行运算. 【知识点03】分式的乘方 1. 分式的乘方法则 分式乘方等于把分子、分母分别乘方. 用字母表示为 (n 为正整数). 根据负整数次幂的意义，可知( )=( AB). 2. 分式乘方的方法 (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，一定要将分子、分母分别乘方，不能将 错写成 ； (3)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现的错误. 【知识点04】分式的乘除、乘方混合运算 1. 分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 2. 分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 【知识点05】分式的通分 1. 分式的通分：化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分 . 2. 最简公分母：异分母分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母 . 3. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 . 【知识点06】同分母分式的加减法 1. 同分母分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用字母表示为 . 2. 同分母分式相加减的一般步骤特别解读 “ 分子相加减”就是把各个分式的分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来. (1)分母不变，把分子相加减； (2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； (3)结果应化成最简分式或整式. 【知识点07】异分母分式的加减法 1. 异分母分式的加减法法则特别解读 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积. 2. 异分母分式相加减的一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分. 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 【知识点08】分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果必须是最简分式或整式. 【题型一】分式乘法 例1．（2023·安徽·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．的结果为______． 变式2．计算： (1)； (2)． 【题型二】分式除法 例2．（25-26七年级下·安徽合肥·单元测试）若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 变式1．计算 ______． 变式2．计算：． 【题型三】分式乘除混合运算 例3．甲､乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）__________． 变式2．计算：． 【题型四】分式乘方 例4．计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 变式1．计算：＝_____． 变式2．计算： (1)； (2)． 【题型五】含乘方的分式乘除混合运算 例5．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算_______． 变式2．计算： (1)； (2)． 【题型六】同分母分式加减法 例6．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 变式1．______． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察下列式子： ，， ， (1)根据上述规律，写出第个式子______； (2)请猜想，若为正整数，则______，并证明你猜想的结论． 【题型七】异分母分式加减法 例7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知u、f，则v＝_____． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 【题型八】整式与分式相加减 例8．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 变式1．计算______． 变式2．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下： 【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 【题型九】已知分式恒等式，确定分子或分母 例9．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．已知，其中，，，为常数，则______． 变式2．已知，求、的值． 【题型十】分式加减混合运算 例10．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．化简：______ 变式2．计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． (2)计算：． 【题型十一】分式加减的实际应用 例11．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级·安徽铜陵·期中）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【题型十二】分式加减乘除混合运算 例12．（2025·安徽合肥·一模）设，，定义新运算：，若，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题： （1）______； （2）若，则_____． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）计算：． 【题型十三】分式化简求值 例13．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值等于______． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【题型十四】最简公分母 例14．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 变式1．分式的最简公分母是___________． 【题型十五】通分 例15．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为_______． 变式2．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．①，都是分式；②分式的基本性质之一可以表示为；③是最简分式；④与的最简公分母是．以上四个结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．化简的结果是(   ) A． B． C． D． 4．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a﹣1）m的正方形，若两块试验田的水稻都收了600kg．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（　　） A．优选1号单位面积产量高 B．优选2号单位面积产量高 C．两种水稻单位面积产量相等 D．优选1号单位面积产量不大于优选2号单位面积产量 6．并联电路中两个电阻的阻值分别为、，电路的总电阻R和、满足，已知R和，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则a，b的值分别为（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 8．当时，代数式的值为（   ） A．-6 B．6 C．-12 D．12 9．下面是甲、乙、丙三位同学在黑板上计算 甲同学的做法： 原式＝(x+3)(x﹣2)+(2﹣x) ＝x2+x﹣6+2﹣x ＝x2﹣4 乙同学 原式＝﹣ ＝ ＝ 丙同学 原式＝﹣ ＝ ＝1 则关于这三位同学的做法，你认为（　　） A．甲同学的做法正确 B．乙同学的做法正确 C．丙同学的做法正确 D．三位同学的做法都不正确 10．对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则． 其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．计算：=_______． 12．设，，则的值等于_______． 13．已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ______． 14．若分式，则分式_______． 三、解答题 15．已知，求下列代数式的值． 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：（－1）÷，其中a＝（）－2－（π－3.14）0． 18．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式____________________； (2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 19．一项工程，甲单独做x天完成，乙单独做需y天完成． (1)甲乙合作，需多少天完成？ (2)工程完成后共得劳动报酬m元，甲乙应各分得多少元？ 20．有甲，乙两块边长为a米（）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．    1 学科网（北京）股份有限公司 $