第10讲 等边三角形与线段垂直平分线（知识详解+09典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪教版五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 等边三角形与线段垂直平分线（知识详解+09典例分析+习题巩固） 【知识点01】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【知识点02】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【知识点03】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【知识点04】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【题型一】等边三角形的性质 例1．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形， ∴∠GMN＝∠MGN＝∠DEF＝60°， ∵∠1+∠GMN+∠GME＝180°，∠2+∠MGN+∠EGM＝180°，∠3+∠DEF+∠MEG＝180°， ∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG＝3×180°， ∵∠GME+∠EGM+∠MEG＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、平角的定义；熟练掌握等边三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键． 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________． 【答案】/30度 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据是等边三角形，得，再结合三线合一的性质得，即可作答． 【详解】解：∴是等边三角形， ∴， ∵线段是等边的中线， ∴， 故答案为：． 变式2．（2022七年级下·上海·专题练习）甲、乙两人沿边长为60米的等边三角形ABC的边按A→B→C→A的方向行走，甲每分钟走65米，乙每分钟走50米，设甲在顶点A时，乙在顶点C，几分钟后甲、乙两人可第一次行走在同一条边上？（不含甲、乙两人在三角形相邻顶点时的情形） 【答案】分钟，详见解析 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、等边三角形的性质 【分析】将甲和乙经过的路径排成一条直线，因为甲在后面，且甲的速度快，所以甲刚好到一边时，乙还没有出去到另一条线，列出甲和乙路程与时间的式子，求出时间即可． 【详解】解：把甲和乙经过的路径排成一条直线， 即ABCABCABC.....． 设t分钟时甲乙在同一条边上，则有甲在顶点，乙在甲后面的边上， ∴65t＝60k（k是正整数），且60k＜50t+120＜60（k+1）， ∴， ∴取k＝5， ∴t＝， ∴分钟时甲、乙两人可第一次行走在同一条边上． 【点睛】本题主要考查路程问题转化成不等式问题的能力，关键是要考虑清楚甲乙同线时甲刚好在顶点． 【题型二】等边三角形的判定 例2．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的判定定理及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确； ②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确； ④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 变式1．（23-24七年级下·上海·月考）在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是______．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．（2024七年级下·上海虹口·期末）如图，是的中点，，，，且平分．求证：是等边三角形．补全下面的证明过程及理由． 证明：∵平分（已知）， ∴___________（___________）． ∵（已知）， ∴__________°． ∵（已知）， ∴__________（___________）， ∴． 又∵（已知）， ∴是等边三角形（____________）． 【答案】；角平分线的定义；60；；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等边三角形的判定 【分析】利用角平分线的性质得出的度数，再利用平行线的性质得出的度数，进而得出为等边三角形． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴． 又∵（已知）， ∴是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． 故答案为：；角平分线的定义；60；；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定以及平行线的性质，根据已知得出是解题关键． 【题型三】等边三角形的判定和性质 例3．（23-24七年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质求得，由旋转的性质得，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是边上的高， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 例4．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定；根据题意，将绕点逆时针旋转后得到的，又根据旋转的性质，得出是等边三角形，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：三角形中，，， ， 将绕点逆时针旋转后得到的， ，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形． 连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离． 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 变式2．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，△DEF是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等边三角形吗？试说明理由． 【答案】是，理由见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】根据等边三角形的性质得到∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°，根据平角的定义得到∠ADF＝∠BED＝∠CFE，由三角形的内角和得到∠A＝180°﹣∠2﹣∠ADF，∠B＝180°﹣∠1﹣∠BED，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFE，于是得到结论． 【详解】解：△ABC是等边三角形， 理由：∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°， ∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE， ∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ADF，∠B＝180°﹣∠1﹣∠BED，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFE， ∴∠A＝∠B＝∠C=60°， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形的内角和，平角的定义．熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型四】线段垂直平分线的性质 例5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质， 先画出图形，可知垂直平分，点D是边的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得，，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知垂直平分，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于，点D为边的中点，故，根据三角形的面积公式求出，根据的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵在中，，D为边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短时，． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 【题型五】线段垂直平分线的判定 例6．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 变式1．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】根据AB＝AC，OB＝OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D，BD＝6，从而可以得到BC的长，本题得以解决． 【详解】解：∵AB＝AC，OB＝OC， ∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AO是线段BC的垂直平分线， ∵AO与BC交于点D， ∴BD＝CD， ∵BD＝6， ∴BC＝2BD＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【题型六】作已知线段的垂直平分线 例7．已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】作已知线段的垂直平分线、三线合一 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断． 【详解】解：在图①中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故①符合题意； 在图②中，由作图可知，，平分， 由等腰三角形“三线合一”可知，是的垂直平分线，故②符合题意； 在图③中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故③符合题意； 在图④中，由作图可知，，， ∴不是的垂直平分线，故④不符合题意； 综上，4个作图中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 变式1．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 _______． 【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：12． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线， ． 【题型七】作垂线(尺规作图) 例8．（23-24七年级·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【详解】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 例9．（24-25七年级下·上海·期末）用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 【答案】图见解析 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了垂线的尺规作图，熟悉掌握垂线的作图方法是解题的关键． 根据垂直的作图方法直接作图即可． 【详解】解：如图所示即为所求： 变式1．如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若的周长为18，的长为3，则的周长为______． 【答案】24 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，根据的周长为18，推出，即可求出的周长． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，． 的周长为18， ， 的周长为． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）作的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图， 高即为所作； （2）如图所示： 垂线即为所作； （3）如图，点即为所求； 【题型八】作等腰三角形(尺规作图) 例10．如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵AB=AC， ∴． 由作图痕迹可知BC=BD， ∴． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键． 变式1．如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 【答案】110°/110度 【知识点】作等腰三角形(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°， ∵∠BCM=∠MAN+∠ABC， ∴∠BCM=110°． 故答案为：110° 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，三角形外角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，三角形外角的性质是解题的关键． 变式2．（22-23七年级下·山东青岛·期末）已知线段a，求作等腰三角形，使三边分别为a、、． 【答案】见解析 【知识点】作等腰三角形(尺规作图) 【分析】根据基本作图的基本要求，规范作图即可． 本题考查了线段的基本作图，熟练掌握基本作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 1.作射线； 2.在射线上依次截取； 3.分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，二弧交于点C， 4.连接, 则即为所求． ． 【题型九】最短路径问题 例11．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 变式1．如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从___地铁出口下车回家的路径最短． 【答案】B 【知识点】垂线段最短、最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径问题，线段、、、中哪一条最短，根据“垂线段最短”的性质，可得最短． 【详解】解：根据“垂线段最短”的性质，可得最短， 故答案为：B． 变式2．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，点P即为所求． 一、单选题 1．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若长为，长为，则EC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可得解 【详解】解：∵是垂直平分线， ∴， ∴ 故选择：C 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键． 2．下列说法中，正确的有（    ）个 ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点； ⑤的三边为，且满足关系，则为等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了轴对称的性质、等腰三角形的“三线合一”、线段垂直平分线的判定以及等边三角形的判定等知识点，熟记相关结论即可进行判断． 【详解】解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，如图所示： 故①错误； ②根据轴对称的性质可知，关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；故②正确； ③等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合；故③错误； ④根据线段垂直平分线的判定可知，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；故④正确； ⑤∵， ∴， ∴ 故为等边三角形．故⑤正确； 故选：C 3．如图所示，在中，，，的垂直平分线交点，垂足为点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．由，，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，推出，最后根据角的和差即可求解． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， ， ， 故选：A． 4．如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 5．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； 故选：C． 6．如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，首先利用等腰三角形的性质和旋转的性质可以得到，接着利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 为的中点， ， 故选项A正确，不符合题意； ∴， 故选项C错误，符合题意； ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 7．在中，则的度数为___________度． 【答案】60 【分析】根据条件可判断是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴是等边三角形 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是关键． 8．如图，在中，是的垂直平分线，，，则长是______．    【答案】16 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 9．如图，在等边中，是边上的一点，将绕点沿逆时针方向旋转得到．若，，则的周长为______． 【答案】14 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解题的关键．根据旋转的性质得，，， 可判断为等边三角形，则有，所以的周长，再结合等边三角形的性质，根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 将绕点沿逆时针方向旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， 的周长． 故答案为：14． 10．如图，在中，AB=2.2，BC=3.6，∠B=60°，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为___________． 【答案】1.4// 【分析】由将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上，可得，又由，可证得是等边三角形，继而可得，则可求得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 11．如图，点P是等边△ABC外一点，AP= 2，BP= 3，则PC的最大值为_______ 【答案】5 【分析】将绕顶点A逆时针旋转使边AB与边AC重合，得到，证明△是等边三角形得到和的长度，进而根据三角形两边之和大于第三边的基本性质进行解答即可． 【详解】解：将绕顶点A逆时针旋转使边AB与边AC重合，得到，连接PC，, 由旋转的性质得，△ ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ ∵△ ∴∠， ∴∠ ∴△是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴的最大值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形全等的判定与性质，灵活运用三角形两边之和大于第三边是解答此题的关键． 12．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若该莱洛三角形的周长（即外周三段弧的和）为，则的边长为______．    【答案】3 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】设的边长为x，根据题意，得 ， ∴， 解得， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，分别以点为圆心，4为半径长画，交图中网格线于点，连接交于点，则图中阴影部分的周长为____________． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，熟练掌握弧长公式是关键．连接，证明是等边三角形，得到，则，同理可得，，则，根据即可求出答案． 【详解】解：连接， 由网格可知，垂直平分交于点H， ∴ 由题意可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 故答案为： 14．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，，连接，则的周长为__________．    【答案】12 【分析】根据平移的性质得，，，由于，则可判断为等边三角形，于是得到的周长为12； 【详解】由平移的性质可知，， ， ∴， ∴为等边三角形， 故其周长为． 故答案为：12 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质． 15．在锐角中，已知平分交于垂直，垂足为，若，则的长是_____________． 【答案】 【分析】首先延长至，使，易得垂直平分，得，由平分，可得，进而可得，易得，，继而证得，则可证得结论． 【详解】解：如图，延长至，使，连接．    ∵平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 则 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 16．如图，直线与交于点O，P为其平面内一定点，，M，N分别为与上的两动点，连接，，，若，则周长的最小值为______． 【答案】3 【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，证明为等边三角形，当点M、N在上时，的周长最小，从而可得答案． 【详解】解：分别作点P关于、的对称点C、D，连接，连接、． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，， ∵点P关于的对称点为D， ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 当，，，共线时， 的周长，此时周长最短； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，将三角形的周长利用轴对称的性质转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键． 三、解答题 17．如图，已知钝角三角形，其中是钝角，求作边上的中线和高．    【答案】见解析 【分析】根据线段垂直平分线和过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作法解答即可． 【详解】解：边上的中线和高如图所示：    【点睛】本题考查了线段垂直平分线和过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图，熟练掌握具体的作法是解题的关键． 18．如图，在中，． (1)利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）依据线段垂直平分线的作法和作一条线段等于已知线段的作法画出图形即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点， ②作直线，垂足为，交于点， ③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点． 如图即为所作． （2）由（1）得的垂直平分线交于点， 连接， ∴， ∴的周长为： ， ∵，， ∴， ∴的周长为． 19．如图在中，，，的垂直平分线交于点D，垂足为E． (1)求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)27； (2)． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到△ABD的周长=AB+BC； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质求出，然后由三角形内角和定理求得的度数． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长是：； （2）解：如图，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 20．已知：如图，是等边三角形，点在的延长线上． ①已知条件：点为线段中点结论：； ②已知条件：结论：； ③已知条件：平分，结论：． 在①②③中，选择一个你认为正确的并加以证明． 【答案】①③正确，②不正确，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角等等，根据三线合一定理即可证明①②，由三线合一定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质推出，则由三角形内角和定理即可证明③． 【详解】证明：选择①：∵是等边三角形，点为线段中点， ∴； 选择②：∵是等边三角形，， ∴，即； 选择③：∵是等边三角形，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．【阅读材料】 分解因式： 以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”． 根据以上阅读材料解决问题： 【跟着学习】 分解因式： =_______． 【我也可以】 分解因式：； 拓展训练：已知为的三边，若，试判断的形状． 【答案】（1），，，，，；（2）；（3）拓展训练：是等边三角形 【分析】本题考查了分组分解因式、等边三角形的判定： （1）利用分组分解法即可求解； （2）利用分组分解法即可求解； （3）利用分组分解法即可求解； 熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． 【详解】解：（1）分解因式： ， 故答案为：，，，，，． （2）分解因式： ． （3）拓展训练： ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 22．阅读下列材料，解答相应问题： 已知是等边三角形，是高，设．点不与点、、重合到的距离，到的距离，到的距离． 如图1，当点与点重合时，我们容易发现：，因此得到：．    (1)小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论还成立吗？若成立，借助图证明你的猜想 (2)进一步猜想：当点在的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 之间的数量关系，并证明．(借助答题卡上的图4) (3)延伸，当点在直线，上时，借助图，直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)成立，见证明解析 (2)不成立，应为：，证明见解析 (3)当在上时，；当在的延长线上时，；当在的延长线上时，；当在上时， ； 当在延长线上时，；当在延长线上时， 【分析】（1）根据，设等边三角形的边长．进而即可求解； （2）根据题意画出图形，根据三角形的面积即可求解； （3）分六种情况讨论，分别画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图3，连接．    ∴． 设等边三角形的边长． ∵， ∴ ∴ ∴ （2）当点在的延长线上，上述结论不成立； 应为：． 证明：如图，连接．    设等边三角形的边长． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）如图，设等边三角形的边长． 当在上时，，即    当在的延长线上时，，即      当在的延长线上时，同理可得，    当在上时，同理可得，    当在延长线上时，    当在延长线上时，    综上所述，当在上时，；当在的延长线上时，；当在的延长线上时，；当在上时， ； 当在延长线上时，；当在延长线上时， 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积公式，分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 等边三角形与线段垂直平分线（知识详解+09典例分析+习题巩固） 【知识点01】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【知识点02】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【知识点03】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【知识点04】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【题型一】等边三角形的性质 例1．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________． 变式2．（2022七年级下·上海·专题练习）甲、乙两人沿边长为60米的等边三角形ABC的边按A→B→C→A的方向行走，甲每分钟走65米，乙每分钟走50米，设甲在顶点A时，乙在顶点C，几分钟后甲、乙两人可第一次行走在同一条边上？（不含甲、乙两人在三角形相邻顶点时的情形） 【题型二】等边三角形的判定 例2．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·上海·月考）在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是______．（只需写出一种情况） 变式2．（2024七年级下·上海虹口·期末）如图，是的中点，，，，且平分．求证：是等边三角形．补全下面的证明过程及理由． 证明：∵平分（已知）， ∴___________（___________）． ∵（已知）， ∴__________°． ∵（已知）， ∴__________（___________）， ∴． 又∵（已知）， ∴是等边三角形（____________）． 【题型三】等边三角形的判定和性质 例3．（23-24七年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 变式2．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，△DEF是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等边三角形吗？试说明理由． 【题型四】线段垂直平分线的性质 例5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【题型五】线段垂直平分线的判定 例6．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【题型六】作已知线段的垂直平分线 例7．已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 _______． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【题型七】作垂线(尺规作图) 例8．（23-24七年级·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例9．（24-25七年级下·上海·期末）用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 变式1．如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若的周长为18，的长为3，则的周长为______． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【题型八】作等腰三角形(尺规作图) 例10．如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 变式2．（22-23七年级下·山东青岛·期末）已知线段a，求作等腰三角形，使三边分别为a、、． 【题型九】最短路径问题 例11．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从___地铁出口下车回家的路径最短． 变式2．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 一、单选题 1．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若长为，长为，则EC的长为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的有（    ）个 ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点； ⑤的三边为，且满足关系，则为等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示，在中，，，的垂直平分线交点，垂足为点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 5．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在中，则的度数为___________度． 8．如图，在中，是的垂直平分线，，，则长是______．    9．如图，在等边中，是边上的一点，将绕点沿逆时针方向旋转得到．若，，则的周长为______． 10．如图，在中，AB=2.2，BC=3.6，∠B=60°，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为___________． 11．如图，点P是等边△ABC外一点，AP= 2，BP= 3，则PC的最大值为_______ 12．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若该莱洛三角形的周长（即外周三段弧的和）为，则的边长为______．    13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，分别以点为圆心，4为半径长画，交图中网格线于点，连接交于点，则图中阴影部分的周长为____________． 14．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，，连接，则的周长为__________．    15．在锐角中，已知平分交于垂直，垂足为，若，则的长是_____________． 16．如图，直线与交于点O，P为其平面内一定点，，M，N分别为与上的两动点，连接，，，若，则周长的最小值为______． 三、解答题 17．如图，已知钝角三角形，其中是钝角，求作边上的中线和高．    18．如图，在中，． (1)利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使； (2)若，求的周长． 19．如图在中，，，的垂直平分线交于点D，垂足为E． (1)求的周长； (2)若，求的度数． 20．已知：如图，是等边三角形，点在的延长线上． ①已知条件：点为线段中点结论：； ②已知条件：结论：； ③已知条件：平分，结论：． 在①②③中，选择一个你认为正确的并加以证明． 21．【阅读材料】 分解因式： 以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”． 根据以上阅读材料解决问题： 【跟着学习】 分解因式： =_______． 【我也可以】 分解因式：； 拓展训练：已知为的三边，若，试判断的形状． 22．阅读下列材料，解答相应问题： 已知是等边三角形，是高，设．点不与点、、重合到的距离，到的距离，到的距离． 如图1，当点与点重合时，我们容易发现：，因此得到：．    (1)小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论还成立吗？若成立，借助图证明你的猜想 (2)进一步猜想：当点在的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 之间的数量关系，并证明．(借助答题卡上的图4) (3)延伸，当点在直线，上时，借助图，直接写出结论，不必证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $