微专题 等边三角形与线段垂直平分线（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

微专题 等边三角形与线段垂直平分线 目录 题型一、等边三角形的性质 1 题型二、等边三角形的判定 6 题型三、等边三角形的判定和性质 9 题型四、线段垂直平分线的性质 15 题型五、线段垂直平分线的判定 23 题型六、作已知线段的垂直平分线 29 题型七、作垂线（尺规作图） 32 题型八、作等腰三角形（尺规作图） 35 题型一、等边三角形的性质 例1．如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 【答案】85 【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平行光线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，根据等边三角形的性质可得垂直平分，连接交于点，则此时的值最小，最小为长，根据的面积公式可推出，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴，，， ∴点和关于直线对称， 连接交于点，则此时的值最小，最小为长，即⊥， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质和等边三角形性质．根据折叠性质可知：，，由等边性质可知，， 因为的周长比的周长小1cm，所以，结合即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 【变式1-3】如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 【变式1-4】如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 题型二、等边三角形的判定 例2．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-1】如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰、等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理及等边三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用三角形内角和求出，结合等腰三角形性质得到；再根据平行线的性质得到，结合已知条件推导出，最后通过证明，利用全等三角形对应角相等求出的度数； （2）由全等三角形的对应边相等得到，再结合全等的对应角求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 且； ∵， ∴； 又∵，， ∴； 在和中，， ∴； ∴； （2）解：由得：，； ∵， ∴； 又∵， ∴是等边三角形． 【变式2-2】如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 题型三、等边三角形的判定和性质 例3．在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质． 连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点． 先求，然后证明为等边三角形，再由平行线的性质得到，根据折叠的性质证明为等边三角形，再由角度和差计算求解． 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 【变式3-2】如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质. 设交于，可得为等边三角形，，即得，，又由旋转得，，即可得到，得到为等边三角形，进而可得，即可得到． 【详解】解：设交于，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵绕点D逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂直平分线的性质，先证明是等边三角形，根据垂直平分线的性质可得，在上时，取得最小值，进而根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 【变式3-4】如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么______． 【答案】6 【分析】根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称，得到，，结合，得到，得到是等边三角形，结合的周长是18，解答即可． 本题考查了对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵的周长是18， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式3-5】如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于______厘米． 【答案】18 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，从而求出是等边三角形，，从而得解． 【详解】解：∵、分别是关于、的对称点， ， ， ， ， 是等边三角形， 厘米， 故的周长厘米， 故答案为：18． 题型四、线段垂直平分线的性质 例4．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 【变式4-1】如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点为的外心，，， ∴点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式4-4】已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-5】如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 【变式4-6】已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，则，再由平行线的性质即可得到答案； （2）作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； （3）过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E，则，可证明，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得，则，则， 再由可得； （3）解：如图所示，过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五、线段垂直平分线的判定 例5．如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 【变式5-1】如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；作法所依据的数学定理或基本事实见解析（答案不唯一） 【分析】（1）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可； （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直． 【详解】（1）证明：由作图方法可知：，， ，， 又， ， ， ， 即， （2）解：如图，直线即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，尺规作垂线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 【变式5-2】已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定，掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）根据等边三角形的性质以及三角形内角和定理得出，即可证明，根据等边三角形的性质可得，即可证明垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）∵是直角三角形，为直角边， ∴ ∵是等边三角形，则， ∴， 由（1）可得 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴． 【变式5-3】如图，在 中，，点 D是的延长线上一点，是线段的垂直平分线，交于点 F． 求证：点 E在线段的垂直平分线上． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质及判定，平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，，等量代换得到，根据等角对等边得，根据线段的垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上． 【变式5-4】综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【答案】（1）垂直平分线段；证明见解析；（2）12． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先证，再证，即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，进而求解即可． 【详解】解：（1）垂直平分线段； 证明：已知，． 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴垂直平分线段． （2）由（1）知垂直平分线段， ∴， ∴． 题型六、作已知线段的垂直平分线 例6．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据作图过程可知直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后通过角度的和差关系即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线， ． 【变式6-2】已知直角，． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F． (2)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质，直角三角形性质，等腰三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F，点E、F即为所求作； （2）根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据直角三角形性质得到，，得到，得到，即得是等腰三角形． 【详解】（1）分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点， 作直线，分别交线段、与点E、F， E、F 即为所求作； （2）是等腰三角形，理由： 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式6-3】如图，在中，，．    (1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了基本尺规作图—线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上作图步骤和性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）：如图，即为所求；    （2）解：如图所示，   垂直平分线段， ， ． ， ， ． 题型七、作垂线（尺规作图） 例7．如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【答案】见解析 【分析】作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，即可得出结果． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 【变式7-1】尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （2）按照作一个角等于已知角的尺规作图法，过M点作，则直线平行于直线． 本题考查了基本的尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线和做一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 33．用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了垂线的尺规作图，熟悉掌握垂线的作图方法是解题的关键． 根据垂直的作图方法直接作图即可． 【详解】解：如图所示即为所求： 【变式7-2】用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图的基本技能，特别是利用垂直平分线和圆弧截取特定长度的方法构造直角三角形．解题的关键是通过作垂线确定直角，并利用圆规精确截取2单位和4单位长度，最终连接斜边完成三角形． 【详解】如图，任画一条直线，在线上取点B，以B为圆心画弧交直线于两点； 分别以为圆心，大于的等长半径画弧，交于点F； 连接，得直角（依据线段垂直平分线性质）． 在上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取4单位长度画弧交于C，则边的长为4倍的单位长度； 在直线上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取2单位长度画弧交于A，则边的长为2倍的单位长度： 最后用直尺连接两点． 则直角三角形就是所作的三角形． 【变式7-3】如图，在中，的垂直平分线与交于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）由线段垂直平分线的性质可得，则．根据，可得，则，则可得． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． （2）的垂直平分线与交于点， ， ． ， ． 与的度数之比为：， ， ． 题型八、作等腰三角形（尺规作图） 例8．利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可． 【详解】解：图①中，则，符合题意； 图②中，不符合题意； 图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意； 图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【答案】三线合一 【分析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质，由尺规作图可知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，可证平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的高． 【详解】解：分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分， (三线合一)， 是的高． 故答案为：三线合一． 【变式8-2】有一个等腰三角形被墨汁污染了，现在只有它的底边和还清楚可见（如图所示）．    (1)请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角形；（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） (2)在（）的条件下，如果射线与边相交边于点，且射线恰好将分割成两个等腰三角形，请画出射线，并求的度数． 【答案】(1)如解析图； (2)． 【分析】（）根据作角等于已知角的基本做法作图； （）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解． 【详解】（1）如图，     即为所求； （2）∵，都是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了作角等于已知角的基本做法作图，掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式8-3】已知．要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；（2）只需作出满足要求的一个图形即可． (1)点在直线上，在图①中作，使得，且点，分别在，上； (2)点在直线外，在图②中作，使得，且点，分别在，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图与应用设计作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）过点P作于点N，以P为圆心，为半径作弧交于点M，连接，即为所求； （2）过点P作于点J，交于点K，以J为圆心，为半径作弧交于点F，以P为圆心，为半径作弧交于点E，连接，即为所求 【详解】（1）解∶如图，即为所求 （2）解∶如图，即为所求 题型九、最短路径问题 例9．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，与三角形的高相关的计算． 延长至点，使得，连接，由线段垂直平分线的性质，可得，作于点，由垂线段最短，可得，连接，由的面积，可得，即可得的最小值． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 作于点，则， ∴当点P，Q，M三点共线时，且时，即点H和点P重合时，取得最小值，即的长度， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 【变式9-1】如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是_____________． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 【变式9-2】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 【变式9-3】如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点是折痕上一动点，若，则的周长的最小值为____． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图和性质、轴对称性质、最短距离问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）由轴对称性质，作的垂直平分线即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得， 则的周长为，当且仅当A、P、B共线时取等号，此时点P与点D重合，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求： （2）解：如图，连接， ∵直线l是的 垂直平分线， ∴， ∴的周长为，当且仅当A、P、B共线时取等号，此时点P与点D重合， ∵， ∴的周长的最小值为， 故答案为：11． 2 / 43 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 等边三角形与线段垂直平分线 目录 题型一、等边三角形的性质 1 题型二、等边三角形的判定 6 题型三、等边三角形的判定和性质 9 题型四、线段垂直平分线的性质 15 题型五、线段垂直平分线的判定 23 题型六、作已知线段的垂直平分线 29 题型七、作垂线（尺规作图） 32 题型八、作等腰三角形（尺规作图） 35 题型一、等边三角形的性质 例1．如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 【变式1-1】如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________． 【变式1-2】如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 【变式1-3】如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【变式1-4】如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 题型二、等边三角形的判定 例2．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【变式2-1】如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【变式2-2】如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 题型三、等边三角形的判定和性质 例3．在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【变式3-1】在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【变式3-2】如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 【变式3-3】在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【变式3-4】如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么______． 【变式3-5】如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于______厘米． 题型四、线段垂直平分线的性质 例4．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【变式4-1】如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 【变式4-2】如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 【变式4-3】如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【变式4-4】已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【变式4-5】如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【变式4-6】已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 题型五、线段垂直平分线的判定 例5．如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【变式5-1】如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【变式5-2】已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-3】如图，在 中，，点 D是的延长线上一点，是线段的垂直平分线，交于点 F． 求证：点 E在线段的垂直平分线上． 【变式5-4】综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 题型六、作已知线段的垂直平分线 例6．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为______． 【变式6-1】如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【变式6-2】已知直角，． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F． (2)连接，判断的形状并说明理由． 【变式6-3】如图，在中，，．    (1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，连接，求的度数． 题型七、作垂线（尺规作图） 例7．如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【变式7-1】尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 33．用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 【变式7-2】用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【变式7-3】如图，在中，的垂直平分线与交于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 题型八、作等腰三角形（尺规作图） 例8．利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【变式8-1】问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【变式8-2】有一个等腰三角形被墨汁污染了，现在只有它的底边和还清楚可见（如图所示）．    (1)请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角形；（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） (2)在（）的条件下，如果射线与边相交边于点，且射线恰好将分割成两个等腰三角形，请画出射线，并求的度数． 【变式8-3】已知．要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；（2）只需作出满足要求的一个图形即可． (1)点在直线上，在图①中作，使得，且点，分别在，上； (2)点在直线外，在图②中作，使得，且点，分别在，上． 题型九、最短路径问题 例9．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是_____________． 【变式9-2】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【变式9-3】如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点是折痕上一动点，若，则的周长的最小值为____． 2 / 43 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $