第四章-三角形-利用三角形全等测距离讲义2025-2026学年北师大版 七年级数学下册

第四章 三角形 利用三角形全等测距离 1. 全等三角形的应用原理 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。这一性质是测量距离的理论基础。 测量原理：如果两个三角形全等，那么它们的对应边长度相等。因此，可以通过测量容易到达的距离，来得到不易到达的距离。 测量距离的基本思想 1. 转化思想：将无法直接测量的距离转化为可以直接测量的距离。 2. 构造全等三角形：通过构造全等三角形，使需要测量的距离成为某个三角形的边。 3. 等量代换：利用全等三角形的对应边相等，用可测量的边代替不可测量的边。 2. 全等三角形的判定方法回顾 三角形全等的判定方法 1. 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2. 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3. 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 4. 角角边（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5. 斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 3. 测量距离的常用模型 常见测量模型 1. "不可到达的两点间距离"模型：如测量河宽、池塘宽度等。 2. "底部不可到达的物体高度"模型：如测量高楼、塔的高度。 3. "中间有障碍物的距离"模型：如测量被建筑物、山丘等隔开的两点距离。 二、重难点讲解 重难点1：构造全等三角形的策略 在实际测量中，如何构造合适的全等三角形是解决问题的关键。 构造全等三角形的基本方法 1. 选择合适的位置：在可到达的区域选择合适的位置，使构造的三角形包含需要测量的边。 2. 利用现有条件：利用直角、平行、中点、角平分线等现有条件简化构造。 3. 选择简单的判定方法：尽量选择SSS、SAS等条件容易满足的判定方法。 4. 考虑测量便利性：构造的三角形应便于测量，各边长度应在可测量范围内。 经典测量问题：测量河宽 问题：要测量一条河的宽度（河岸平行），但无法直接过河测量。 解决方案： 1. 在河的一侧选择两点A、B（A在河岸上，B在可到达的某点） 2. 作AC⊥AB，使点C在对岸的对应点 3. 在AB的延长线上取一点D，使BD=AB 4. 过D作DE⊥AD，使点E、A、C在同一直线上 5. 测量DE的长度，则DE等于河宽AC 原理：通过构造全等三角形（ASA或AAS），将对岸的距离AC转移到本岸可测量的距离DE。 重难点2：测量方案的设计与实施 设计一个可行的测量方案需要考虑实际条件限制。 测量方案设计步骤 1. 分析问题：明确要测量什么，有什么限制条件。 2. 选择方法：根据条件选择合适的全等三角形构造方法。 3. 设计方案：设计具体的测量步骤，包括选点、作线、测量等。 4. 理论验证：从理论上证明测量方法的正确性（证明三角形全等）。 5. 实际测量：按照方案进行实际测量。 6. 计算与检验：计算测量结果，检验结果的合理性。 重难点3：误差分析与控制 实际测量中总会存在误差，如何减小误差是提高测量精度的关键。 测量误差的来源 1. 仪器误差：测量工具本身的精度限制。 2. 人为误差：测量者的操作、读数误差。 3. 环境误差：温度、风力等环境因素影响。 4. 方法误差：测量方法本身的不完善。 减小误差的方法 1. 使用精确仪器：选择精度更高的测量工具。 2. 多次测量取平均：对同一量多次测量，取平均值作为测量结果。 3. 改进测量方法：选择更合理的测量方案，减少中间环节。 4. 规范操作：严格按照测量步骤操作，减少人为误差。 重难点4：实际问题的数学建模 将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，是解决问题的关键能力。 数学建模步骤 1. 理解实际问题：明确要解决什么问题，有哪些已知条件。 2. 抽象为几何问题：将实际问题中的物体、距离抽象为点、线、角。 3. 建立数学模型：构造全等三角形模型，确定已知量和未知量。 4. 求解模型：利用全等三角形的性质求解。 5. 验证与应用：验证结果的合理性，应用于实际问题。 三、易错点讲解 易错点1：全等条件不满足 常见错误：构造的三角形不满足全等条件，就认为它们全等。 错误示例：测量河宽时，在河的两岸各取一点A、C，在本岸取一点B，测量AB、BC的长度，就认为能求出AC。 错因分析：只知道三角形ABC的两边AB、BC，不知道夹角或其他条件，不能确定三角形，也就无法求出AC。 正确做法：构造的全等三角形必须满足三角形全等的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。在设计测量方案时，要确保能够获得足够的信息来证明三角形全等。 易错点2：测量步骤设计不合理 常见错误：设计的测量步骤在实际中难以实施，或需要测量的量本身也难以测量。 错误示例：设计测量方案时，需要测量某个难以到达的角的大小。 设计原则： 1. 所有需要测量的量都应该是可到达、可测量的。 2. 测量步骤应尽量简单，减少测量次数。 3. 尽量选择容易测量的量（如长度），避免测量角度等难以精确测量的量。 4. 测量工具应简单易得（如皮尺、测绳等）。 易错点3：忽视实际问题限制 常见错误：设计的测量方案在理论上正确，但忽视实际地形、障碍物等限制。 实际限制因素： · 地形不平坦，无法保证直线或直角 · 有障碍物阻挡视线或测量路径 · 测量工具长度有限，无法测量较长距离 · 天气条件影响测量精度 应对策略：设计方案时要考虑实际环境，必要时采用分段测量、多次测量等方法克服困难。 易错点4：误差控制不当 常见错误：测量时只测量一次，就认为结果是准确的。 误差控制方法： 误差类型 产生原因 控制方法 读数误差 测量者读数不准 多次读数，取平均值 对准误差 测量工具未对准 仔细对准，使用辅助工具 工具误差 测量工具不精确 使用更精确的工具，或进行校准 方法误差 测量方法不完善 改进测量方法，减少中间环节 易错点5：证明过程不严谨 常见错误：在证明构造的三角形全等时，理由不充分或证明过程不完整。 规范证明步骤： 1. 明确要证明哪两个三角形全等。 2. 列出全等的三个条件（注意对应关系）。 3. 说明每个条件的来源（已知、测量得到、等量代换等）。 4. 写出判定依据（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。 5. 得出结论，即对应边相等。 示例：证明△ABC≌△DEF 在△ABC和△DEF中， ∵ AB=DE（已知）， ∠B=∠E（已知）， BC=EF（测量得到）， ∴ △ABC≌△DEF（SAS）。 ∴ AC=DF（全等三角形对应边相等）。 易错点6：测量结果处理不当 常见错误：测量结果不合理的单位，或不进行合理性检验。 结果处理要求： 1. 测量结果要注明单位（如米、厘米等）。 2. 根据测量精度确定有效数字位数。 3. 对结果进行合理性检验（如河宽不可能为负数，高度应在合理范围内等）。 4. 如果可能，用不同方法测量同一量，比较结果。 易错点7：实际问题抽象错误 常见错误：将实际问题抽象为数学模型时，忽略重要条件或添加不存在的条件。 正确抽象方法： 实际问题元素 数学模型对应 注意事项 测量目标（如河宽） 线段的长度 明确起点和终点 测量点（如河岸点） 点 明确点的位置和相对关系 测量路径 线段 考虑实际是否可直线到达 角度（如视线方向） 角 实际中可能难以精确测量 易错点总结与应对策略 易错点 错误表现 正确做法 全等条件不满足 构造的三角形不满足全等条件 确保满足SSS、SAS、ASA、AAS、HL之一 测量步骤不合理 设计步骤难以实施 所有测量量应可到达、可测量 忽视实际限制 方案在理论上正确但实际不可行 考虑地形、障碍、工具等实际因素 误差控制不当 测量一次就认为准确 多次测量取平均，改进测量方法 证明过程不严谨 证明理由不充分 按规范步骤证明，条件齐全 结果处理不当 单位错误或不检验合理性 注明单位，检验结果合理性 实际问题抽象错误 忽略重要条件或添加不存在条件 准确抽象，不遗漏、不添加 一、 选择题 1 .(单选)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有，，，的四块），现要去玻璃店配块完全一样的，那么带哪一块去最合适（   ）． A.第块 B.第块 C.第块 D.第块 2 .(单选)七年级（）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，，分别是，的中点，，那么的依据是（   ）． A. B. C. D. 3 .(单选)如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸，之间的距离不可能是（   ）． A. B. C. D. 4 .(单选)如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（   ）． A. B. C. D. 5 .(单选)如图，一块三角形的玻璃碎成了四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（   ）． A.①② B.②③ C.①④ D.①③ 6 .(单选)如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找到一点，连接，在的延长线上找一点，使得，连接，在的延长线上找一点，使得，测得米，则池塘的宽为（   ）． A.米 B.米 C.米 D.米 7 .(单选)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃 他带的是（   ）． A.第块 B.第块 C.第块 D.第块 8 .(单选)数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（   ）． A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.全等三角形的对应角相等 二、 填空题 1 .如图，一块三角形玻璃被打碎了，变成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是拿           去，理由是           . 2 .如图，将两根钢条，的中点连在一起，使，能绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，可测量内槽宽．连接，，，可得，过点，由三角形全等可知的长等于内槽宽，那么判定的依据是           ． 3 .如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小红从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是           . 4 .如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸，间的距离可以是           （答案不唯一，写出一个即可）． 5 .有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是           ． 6 .如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为           米． 7 .如图，小明用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，，两堵木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，若两堵木块墙的高度关系为，，则           ． 8 .如图，一块三角形玻璃碎成了、两块，现需购买一块同样大小的三角形玻璃，为方便起见，只需带上第           块玻璃碎片． 三、 解答题 1 .综合与实践 【问题情境】 如图，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【方案解决】 同学们想出了如下的两种方案： 方案一：如图，先在平地上取一个可直接到达点，的点，再连接，，并分别延长，至点，，使 ， ，最后量出的距离就是的距离； 方案二：如图，过点作的垂线，在上取，两点，使 . 接着过点作的垂线，在垂线上选一点，使，，三点在一条直线上，则测出的长即是的距离. ( 1 )方案一是否可行？请说明理由. ( 2 )方案二是否可行？请说明理由. ( 3 )李明同学提出，在方案二中，并不一定需要 ， ，只需要           就可以了，请把李明所说的条件补上. 2 . 在学习完全等三角形章节后，数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸 ， 两点间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸，两点之间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点，，在同一直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为米 请你根据上述方案求出 ， 两点间的距离．（要写出证明过程） 3 . 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点、在一条直线上，测出的长度． 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出、两点之间的距离． 测量结果 ，， ． ，，． ( 1 )经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：           方案二：           ． ( 2 )请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 4 . 兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭点处，正对他的黄河中点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案： 课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离 测量工具 皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点； ②从点沿河岸继续向前走与等长的距离，到达点； ③在点向左转（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像与羊皮筏子在同一直线上时，停下记作点． 测量数据 米，米，米 ( 1 )凉亭与羊皮筏子之间的距离是           米； ( 2 )请说明小明做法的正确性． 5 .某港受潮汐的影响，近日每天小时港内的水深变化大体如图所示： 一艘货轮于上午时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港 已知这艘货轮卸完货后吃水深度为（吃水深度即船底与水面的距离）. 该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于时，才能进出该港.,根据题目中所给的条件，回答下列问题： ( 1 )要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于           ，卸货最多只能用           小时； ( 2 )已知该船装有 吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸 吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸 吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？ 6 .乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离，分别为 和．      ( 1 )与全等吗？ 请说明理由； ( 2 )爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 7 . 某中学七年级学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端、之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案：如图①，先在平地上取一个可以直接到达、的点，连接并延长至点，连接并延长至点，使，，最后量出的距离就是的长． 方案：如图②，过点作的垂线，在上取、两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为、之间的距离． 图① 图② ( 1 ) ① 你选择的方案是           （可选方案：方案、方案）； ② 请在图中画出方案示意图； ( 2 )结合你选的方案及示意图，用学过的知识说明理由． 8 . 如图是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测的量 长度/ 小梧将示意图抽象成如图的几何图，并连接．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 9 . 池塘两端，的距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案测量，的距离．老师查看后发现只有甲的方案可行． 甲：如图，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使，； ③连接，测出的长即可． 乙：如图，①确定直线，过点作直线； ②在直线上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交直线于点； ④测量的长即可．      ( 1 )请说明甲同学方案中的理由． ( 2 )请在乙同学的方案中“①”里面增加一个条件，使他的方案变得可行，你增加的条件是           ． 10 .在一次主题为“神奇的等腰直角三角尺”的数学探究活动中，卓越小组有以下研究： ( 1 )小组中动手操作能力最强的小华同学用块高度都为的小长方体积木，垒了两堵与地面垂直的木墙，BE（点，，，在同一平面内），两堵木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺（，），点在上，点与点分别与木墙的顶端重合，如图．小华说无需测量便可直接求出两堵木墙之间的距离，请你帮小华写出求解过程． ( 2 )小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四边形，其中，，，，接着小聪以点为直角顶点，画出的等腰直角三角尺，连接，如图．探索中发现无论以及的长度怎么变化，的面积始终不变，请直接写出的面积． 11 .为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． ( 1 )甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． ( 2 )请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是：           ，请说明理由． 12 .【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． ( 1 )【初步感知】 如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到点，使，连接．可以判定≌，从而得到．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是           （请直接写出答案）． ( 2 )【实践应用】 为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图所示的测量方案，他们首先取地面的中点，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． ( 3 )【拓展探究】 如图，和均为等腰直角三角形，连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．试探究：和的数量关系和位置关系并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 利用三角形全等测距离 1. 全等三角形的应用原理 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。这一性质是测量距离的理论基础。 测量原理：如果两个三角形全等，那么它们的对应边长度相等。因此，可以通过测量容易到达的距离，来得到不易到达的距离。 测量距离的基本思想 1. 转化思想：将法直接测量的距离转化为可以直接测量的距离。 2. 构造全等三角形：通过构造全等三角形，使需要测量的距离成为某个三角形的边。 3. 等量代换：利用全等三角形的对应边相等，用可测量的边代替不可测量的边。 2. 全等三角形的判定方法回顾 三角形全等的判定方法 1. 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2. 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3. 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 4. 角角边（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5. 斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 3. 测量距离的常用模型 常见测量模型 1. "不可到达的两点间距离"模型：如测量河宽、池塘宽度等。 2. "底部不可到达的物体高度"模型：如测量高楼、塔的高度。 3. "中间有障碍物的距离"模型：如测量被建筑物、山丘等隔开的两点距离。 二、重难点讲解 重难点1：构造全等三角形的策略 在实际测量中，如何构造合适的全等三角形是解决问题的关键。 构造全等三角形的基本方法 1. 选择合适的位置：在可到达的区域选择合适的位置，使构造的三角形包含需要测量的边。 2. 利用现有条件：利用直角、平行、中点、角平分线等现有条件简化构造。 3. 选择简单的判定方法：尽量选择SSS、SAS等条件容易满足的判定方法。 4. 考虑测量便利性：构造的三角形应便于测量，各边长度应在可测量范围内。 经典测量问题：测量河宽 问题：要测量一条河的宽度（河岸平行），但法直接过河测量。 解决方案： 1. 在河的一侧选择两点A、B（A在河岸上，B在可到达的某点） 2. 作AC⊥AB，使点C在对岸的对应点 3. 在AB的延长线上取一点D，使BD=AB 4. 过D作DE⊥AD，使点E、A、C在同一直线上 5. 测量DE的长度，则DE等于河宽AC 原理：通过构造全等三角形（ASA或AAS），将对岸的距离AC转移到本岸可测量的距离DE。 重难点2：测量方案的设计与实施 设计一个可行的测量方案需要考虑实际条件限制。 测量方案设计步骤 1. 分析问题：明确要测量什么，有什么限制条件。 2. 选择方法：根据条件选择合适的全等三角形构造方法。 3. 设计方案：设计具体的测量步骤，包括选点、作线、测量等。 4. 理论验证：从理论上证明测量方法的正确性（证明三角形全等）。 5. 实际测量：按照方案进行实际测量。 6. 计算与检验：计算测量结果，检验结果的合理性。 重难点3：误差分析与控制 实际测量中总会存在误差，如何减小误差是提高测量精度的关键。 测量误差的来源 1. 仪器误差：测量工具本身的精度限制。 2. 人为误差：测量者的操作、读数误差。 3. 环境误差：温度、风力等环境因素影响。 4. 方法误差：测量方法本身的不完善。 减小误差的方法 1. 使用精确仪器：选择精度更高的测量工具。 2. 多次测量取平均：对同一量多次测量，取平均值作为测量结果。 3. 改进测量方法：选择更合理的测量方案，减少中间环节。 4. 规范操作：严格按照测量步骤操作，减少人为误差。 重难点4：实际问题的数学建模 将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，是解决问题的关键能力。 数学建模步骤 1. 理解实际问题：明确要解决什么问题，有哪些已知条件。 2. 抽象为几何问题：将实际问题中的物体、距离抽象为点、线、角。 3. 建立数学模型：构造全等三角形模型，确定已知量和未知量。 4. 求解模型：利用全等三角形的性质求解。 5. 验证与应用：验证结果的合理性，应用于实际问题。 三、易错点讲解 易错点1：全等条件不满足 常见错误：构造的三角形不满足全等条件，就认为它们全等。 错误示例：测量河宽时，在河的两岸各取一点A、C，在本岸取一点B，测量AB、BC的长度，就认为能求出AC。 错因分析：只知道三角形ABC的两边AB、BC，不知道夹角或其他条件，不能确定三角形，也就法求出AC。 正确做法：构造的全等三角形必须满足三角形全等的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。在设计测量方案时，要确保能够获得足够的信息来证明三角形全等。 易错点2：测量步骤设计不合理 常见错误：设计的测量步骤在实际中难以实施，或需要测量的量本身也难以测量。 错误示例：设计测量方案时，需要测量某个难以到达的角的大小。 设计原则： 1. 所有需要测量的量都应该是可到达、可测量的。 2. 测量步骤应尽量简单，减少测量次数。 3. 尽量选择容易测量的量（如长度），避免测量角度等难以精确测量的量。 4. 测量工具应简单易得（如皮尺、测绳等）。 易错点3：忽视实际问题限制 常见错误：设计的测量方案在理论上正确，但忽视实际地形、障碍物等限制。 实际限制因素： · 地形不平坦，法保证直线或直角 · 有障碍物阻挡视线或测量路径 · 测量工具长度有限，法测量较长距离 · 天气条件影响测量精度 应对策略：设计方案时要考虑实际环境，必要时采用分段测量、多次测量等方法克服困难。 易错点4：误差控制不当 常见错误：测量时只测量一次，就认为结果是准确的。 误差控制方法： 误差类型 产生原因 控制方法 读数误差 测量者读数不准 多次读数，取平均值 对准误差 测量工具未对准 仔细对准，使用辅助工具 工具误差 测量工具不精确 使用更精确的工具，或进行校准 方法误差 测量方法不完善 改进测量方法，减少中间环节 易错点5：证明过程不严谨 常见错误：在证明构造的三角形全等时，理由不充分或证明过程不完整。 规范证明步骤： 1. 明确要证明哪两个三角形全等。 2. 列出全等的三个条件（注意对应关系）。 3. 说明每个条件的来源（已知、测量得到、等量代换等）。 4. 写出判定依据（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。 5. 得出结论，即对应边相等。 示例：证明△ABC≌△DEF 在△ABC和△DEF中， ∵ AB=DE（已知）， ∠B=∠E（已知）， BC=EF（测量得到）， ∴ △ABC≌△DEF（SAS）。 ∴ AC=DF（全等三角形对应边相等）。 易错点6：测量结果处理不当 常见错误：测量结果不合理的单位，或不进行合理性检验。 结果处理要求： 1. 测量结果要注明单位（如米、厘米等）。 2. 根据测量精度确定有效数字位数。 3. 对结果进行合理性检验（如河宽不可能为负数，高度应在合理范围内等）。 4. 如果可能，用不同方法测量同一量，比较结果。 易错点7：实际问题抽象错误 常见错误：将实际问题抽象为数学模型时，忽略重要条件或添加不存在的条件。 正确抽象方法： 实际问题元素 数学模型对应 注意事项 测量目标（如河宽） 线段的长度 明确起点和终点 测量点（如河岸点） 点 明确点的位置和相对关系 测量路径 线段 考虑实际是否可直线到达 角度（如视线方向） 角 实际中可能难以精确测量 易错点总结与应对策略 易错点 错误表现 正确做法 全等条件不满足 构造的三角形不满足全等条件 确保满足SSS、SAS、ASA、AAS、HL之一 测量步骤不合理 设计步骤难以实施 所有测量量应可到达、可测量 忽视实际限制 方案在理论上正确但实际不可行 考虑地形、障碍、工具等实际因素 误差控制不当 测量一次就认为准确 多次测量取平均，改进测量方法 证明过程不严谨 证明理由不充分 按规范步骤证明，条件齐全 结果处理不当 单位错误或不检验合理性 注明单位，检验结果合理性 实际问题抽象错误 忽略重要条件或添加不存在条件 准确抽象，不遗漏、不添加 一、 选择题 1 .(单选)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有，，，的四块），现要去玻璃店配块完全一样的，那么带哪一块去最合适（   ）． A.第块 B.第块 C.第块 D.第块 【答案】 C 2 .(单选)七年级（）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，，分别是，的中点，，那么的依据是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 3 .(单选)如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸，之间的距离不可能是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 此答案为AI． 4 .(单选)如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 在和中， ， ≌， ． 故选：． 5 .(单选)如图，一块三角形的玻璃碎成了四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（   ）． A.①② B.②③ C.①④ D.①③ 【答案】 B 由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以选项不符合题意； 由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片②③不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以选项符合题意； 由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①④能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以选项不符合题意； 由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以选项不符合题意． 故选：． 6 .(单选)如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找到一点，连接，在的延长线上找一点，使得，连接，在的延长线上找一点，使得，测得米，则池塘的宽为（   ）． A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】 D 此答案为AI． 7 .(单选)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃 他带的是（   ）． A.第块 B.第块 C.第块 D.第块 【答案】 B 此答案为AI． 8 .(单选)数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（   ）． A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.全等三角形的对应角相等 【答案】 A ，的中点都是， ，， 又， ≌（）， ， 故选 A ． 二、 填空题 1 .如图，一块三角形玻璃被打碎了，变成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是拿           去，理由是           . 【答案】 ③ 带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形； 带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形； 带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合判定；， 故答案为：③；. 2 .如图，将两根钢条，的中点连在一起，使，能绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，可测量内槽宽．连接，，，可得，过点，由三角形全等可知的长等于内槽宽，那么判定的依据是           ． 【答案】 3 .如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小红从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是           . 【答案】 【1】证明三角形全等 在和中， （对顶角相等）， （是中点）， ， 所以 （）． 【2】计算小明离地面的高度 因为 ，所以． 已知支点至地面的距离是， 那么小明离地面的高度是． 4 .如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸，间的距离可以是           （答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】 暂 暂 5 .有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是           ． 【答案】 暂 暂 6 .如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为           米． 【答案】 或 根据题意，设运动时间为，则，， ①点是中点，≌时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②≌时，，， ∴，即， 解得，， ∴， 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 7 .如图，小明用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，，两堵木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，若两堵木块墙的高度关系为，，则           ． 【答案】 暂 暂 8 .如图，一块三角形玻璃碎成了、两块，现需购买一块同样大小的三角形玻璃，为方便起见，只需带上第           块玻璃碎片． 【答案】 【1】分析题目题目中给出了两块三角形玻璃碎片，需要确定哪一块可以用来购买一块同样大小的三角形玻璃． 【2】应用全等三角形的判定方法根据全等三角形的判定方法，我们可以知道，如果两个三角形的两边和夹角相等，那么这两个三角形就是全等的．在这个问题中，第块玻璃碎片包含了这两边和夹角． 【3】得出结论答：只需带上第块玻璃碎片即可． 三、 解答题 1 .综合与实践 【问题情境】 如图，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【方案解决】 同学们想出了如下的两种方案： 方案一：如图，先在平地上取一个可直接到达点，的点，再连接，，并分别延长，至点，，使 ， ，最后量出的距离就是的距离； 方案二：如图，过点作的垂线，在上取，两点，使 . 接着过点作的垂线，在垂线上选一点，使，，三点在一条直线上，则测出的长即是的距离. ( 1 )方案一是否可行？请说明理由. ( 2 )方案二是否可行？请说明理由. ( 3 )李明同学提出，在方案二中，并不一定需要 ， ，只需要           就可以了，请把李明所说的条件补上. 【答案】 (1)可行．理由见解析 (2)可行．理由见解析 (3) (1)可行．理由如下： 在和中， ． ． (2)可行．理由如下： ，， ． 在和中， ． ． (3)只需即可． 理由如下： ， ． 在和中， ． ． 故答案为． 2 . 在学习完全等三角形章节后，数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸 ， 两点间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸，两点之间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点，，在同一直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为米 请你根据上述方案求出 ， 两点间的距离．（要写出证明过程） 【答案】 米，证明见解析 ，， ． ． 在和中， ． ． 又， 米， 即，两点间的距离为米． 3 . 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点、在一条直线上，测出的长度． 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出、两点之间的距离． 测量结果 ，， ． ，，． ( 1 )经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：           方案二：           ． ( 2 )请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 【答案】 (1)②③ (2)计算过程见解析． (1)方案一： 第一种：为的中点， ， ， ， 在和， ； 第二种：为的中点， ， ， ， 在和， ， 综上所述，方案一应用了条件②． 在和， ， 则方案二应用了条件③． 故答案为：②，③． (2) 为的中点， ， ， ， 在和， ， ≌ ， ． 4 . 兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭点处，正对他的黄河中点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案： 课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离 测量工具 皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点； ②从点沿河岸继续向前走与等长的距离，到达点； ③在点向左转（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像与羊皮筏子在同一直线上时，停下记作点． 测量数据 米，米，米 ( 1 )凉亭与羊皮筏子之间的距离是           米； ( 2 )请说明小明做法的正确性． 【答案】 (1) (2)见解析 (1)由≌得米， 故答案为：． (2)由题意可知，，， 又 ≌， 米， 即测得的长就是凉亭与游船之间的距离． 因此，小明的方案是正确的． 5 .某港受潮汐的影响，近日每天小时港内的水深变化大体如图所示： 一艘货轮于上午时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港 已知这艘货轮卸完货后吃水深度为（吃水深度即船底与水面的距离）. 该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于时，才能进出该港.,根据题目中所给的条件，回答下列问题： ( 1 )要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于           ，卸货最多只能用           小时； ( 2 )已知该船装有 吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸 吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸 吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？ 【答案】 (1)暂暂 (2)暂 (1)暂 (2)暂 6 .乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离，分别为 和．      ( 1 )与全等吗？ 请说明理由； ( 2 )爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 【答案】 (1)≌，见解析 (2) (1)≌．理由如下： ， ， ； ，， ≌； (2) ≌， ，； ，分别为和， ，， ； 妈妈在距地面 高的处，且， 爸爸在距离地面高的地方接住乐乐． 7 . 某中学七年级学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端、之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案：如图①，先在平地上取一个可以直接到达、的点，连接并延长至点，连接并延长至点，使，，最后量出的距离就是的长． 方案：如图②，过点作的垂线，在上取、两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为、之间的距离． 图① 图② ( 1 ) ① 你选择的方案是           （可选方案：方案、方案）； ② 请在图中画出方案示意图； ( 2 )结合你选的方案及示意图，用学过的知识说明理由． 【答案】 (1)①暂 ②暂 (2)暂 (1)①暂 ②暂 (2)暂 8 . 如图是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测的量 长度/ 小梧将示意图抽象成如图的几何图，并连接．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 【答案】 该广角灯的位置符合要求 该广角灯的位置符合要求，理由如下： ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 该广角灯的位置符合要求． 9 . 池塘两端，的距离法直接测量，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案测量，的距离．老师查看后发现只有甲的方案可行． 甲：如图，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使，； ③连接，测出的长即可． 乙：如图，①确定直线，过点作直线； ②在直线上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交直线于点； ④测量的长即可．      ( 1 )请说明甲同学方案中的理由． ( 2 )请在乙同学的方案中“①”里面增加一个条件，使他的方案变得可行，你增加的条件是           ． 【答案】 (1)见解析 (2) (1)，，， ， ． (2)增加， ， ， ，， ≌， ． 故答案为：． 10 .在一次主题为“神奇的等腰直角三角尺”的数学探究活动中，卓越小组有以下研究： ( 1 )小组中动手操作能力最强的小华同学用块高度都为的小长方体积木，垒了两堵与地面垂直的木墙，BE（点，，，在同一平面内），两堵木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺（，），点在上，点与点分别与木墙的顶端重合，如图．小华说需测量便可直接求出两堵木墙之间的距离，请你帮小华写出求解过程． ( 2 )小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四边形，其中，，，，接着小聪以点为直角顶点，画出的等腰直角三角尺，连接，如图．探索中发现论以及的长度怎么变化，的面积始终不变，请直接写出的面积． 【答案】 (1)两堵木墙之间的距离为．证明见解析． (2)． (1)根据题意，得，． 因为，，， 所以，，． 所以． 因为，所以 ． 所以，． 所以． 答：两堵木墙之间的距离为． (2)如图，过点作于点，过点作于点，连接． 所以． 因为，所以． 所以．所以． 因为，所以． 因为，所以 ． 所以，． 因为，所以． 与（）同理，得 ． 所以． 所以． 11 .为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． ( 1 )甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． ( 2 )请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是：           ，请说明理由． 【答案】 (1)甲同学的方案可行．理由见解析 (2)使；理由见解析 (1)根据全等三角形的判定与性质可得甲同学的方案可行； 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中 ， ， ，故甲同学的方案可行． (2)使，利用证明 ，再利用全等三角形的性质可得结论． 使； 理由：当时，， 在与中， ， ． 12 .【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． ( 1 )【初步感知】 如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到点，使，连接．可以判定≌，从而得到．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是           （请直接写出答案）． ( 2 )【实践应用】 为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图所示的测量方案，他们首先取地面的中点，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． ( 3 )【拓展探究】 如图，和均为等腰直角三角形，连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．试探究：和的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】 (1) (2) (3)，，理由见解析 (1)是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． (2)延长交的延长线于，如图所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ． (3)，，理由如下： 延长到，使，连接，如图所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $