26.3 反比例函数的应用（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

26.3反比例函数的应用 题型一 实际问题与反比例函数 1．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有：，即；故与之间的函数图象为反比例函数，且根据，实际意义得，应大于0，其图象在第一象限．即可得出结果．考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 【详解】解：， ． 故选：B． 2．（22-23八年级上·上海宝山·期末）已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出． 【详解】解：已知三角形的面积s一定， 则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为，即； 该函数是反比例函数，且，； 故其图象只在第一象限． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 3．（八年级·上海·课后作业）如图是某蔬菜大棚恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图像，其中段是反比例函数图像的一部分，则当时，大棚内的温度约为 ℃. 【答案】10.8// 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键． 先用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将代入函数解析式求出y的值即可. 【详解】设反比例函数的解析式为， 把点代入，得 ， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 所以当时，大棚内的温度约为10.8℃． 故答案为：10.8． 4．（2022·上海嘉定·二模）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出P与S之间的函数表达式； (2)如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？ 【答案】(1)； (2)0.2 m2 【分析】（1）设p=，将点A（3，200）代入求出k即可； （2）将p=3000代入求出s即可． 【详解】（1）解：设p=，将点A（3，200）代入， 得， ∴P与S之间的函数表达式为； （2）当p=3000时，， 解得s=0.2， ∴如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要0.2 m2． 【点睛】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，正确理解题意掌握反比例函数的知识是解题的关键． 题型二 一次函数与反比例函数的实际应用 1．（2023·上海·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 2．（八年级·上海·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 3．（上海·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 4．（2023·上海·一模）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为；药物燃烧时的函数解析式为； (2)没有效，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用时分别代入求出答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； 设药物熄灭后y关于x的函数关系式是， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴这次消毒没有效． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 题型三 反比例函数与一次函数图像综合判断 1．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当不同取值时，反比例函数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， ∴选项B符合题意； 当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、四象限， ∴选项中没有图象符合． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·月考）若，函数和函数在同一个坐标系中图像大致是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．分别根据一次函数和反比例函数图象的特点进行逐一分析即可，由于k的符号不确定，所以需分类讨论． 【详解】解：函数可化为， 当时， 函数的图象一、二、四象限；函数的图象在一、三象限，无此选项； 当时， 函数的图象一、三、四象限，函数的图象在二、四象限，只有A符合 故选：A． 4．（24-25八年级上·上海·单元测试）设，函数和在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象的性质即可作出判断．本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，理解性质是关键． 【详解】解：，则表示在第三象限内的部分，是指在第三象限内的分支． 故选：B． 题型四 反比例函数与一次函数的交点问题 1．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点，若点 、在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，比较反比例函数的函数值大小，先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据反比例函数的增减性质，进行判断即可． 【详解】解：联立，得：， ∵反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点， ∴， ∴双曲线过二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴； 故选B． 3．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则 ． 【答案】256 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质及代数式化简求值，解题的关键是利用交点的对称性和反比例函数的性质进行推导． 先根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，再结合反比例函数的性质，对代数式进行化简求值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为，将其与双曲线联立，可得，整理得， 由于正比例函数与双曲线的交点关于原点对称，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 将代入，可得 原式 ， 把代入上式，可得， 故答案为：256． 4．（24-25八年级上·上海·期末）在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，理解待定系数法是解题的关键．先根据待定系数法求出m、k的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数都经过点， ∴，， ∴， 故答案为：4． 题型一 反比例函数与几何综合 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边平行于x轴、y轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先根据题意求出点的坐标，再根据分别平行于轴，轴求出两点的坐标，再根据双曲线分别经过两点时的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上，其中点的横坐标为1， 则把代入，解得：， 则的坐标是， ∵， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴的中点坐标为， 当双曲线经过点时，， 当双曲线经过点时，， 因而． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法求反比例函数解析式，根据三角形面积得出m值是解题关键． 把A点坐标代入可得k值，即可求出反比例函数的解析式，由轴可得的长度，根据的面积为2可求出m的值，即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵的面积为2， ∴， 即， ∴， ∴ 解得或， ∵， ∴或， ∴点B的坐标为或． 故答案为：或． 3．（22-23八年级上·上海·期中）在矩形中，，分别以、在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与、合），过点的反比例函数的图像与边交于点． (1)求证：与的面积相等； (2)记，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)证明过程见详解 (2)当时，有最大面积，最大面积为 【分析】（1）设，，根据点，在反比例函数图像上，则可求出，，且，，由此即可求证； （2）确定，，，，将转化为含有的一元二次方程方程，根据一元二次方程的顶点式即可求解． 【详解】（1）证明：设，，的面积为，的面积为， ∵，都在反比例函数的图像上， ∴，，则，， ∴，， ∴． （2）解：根据题意可知，，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴当时，有最大面积，最大面积为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，反比函数与几何的综合问题，掌握反比例函数图形的性质，矩形的性质是解题的关键． 4．（八年级上·上海崇明·期末）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接AM．已知PN=4． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1)-14 (2)4 【分析】（1）由题意可得出，．再根据PN=4，可求出AN =7，即得出N的坐标，最后将N的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值； （2）由题意可得出，代入所求出的反比例函数解析式，即得出M的纵坐标，从而可求出PM的长，最后由三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）由题意可知，． ∵PN=4， ∴AN=AP+PN=3+4=7， ∴， ∴N(7，-2)． 将N(7，-2)代入，得： 解得：． （2）由题意可知． 由（1）可知反比例函数解析式为：， 将代入得： ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键． 题型二 反比例函数的其它综合应用 1．（上海·一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的横坐标为－4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①；②不等式的解集为－4<x<0或x>4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数解析式即可求出k值，然后对①进行判断；根据正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称可得点C的坐标，然后利用函数图象得出不等式的解集，进而对②进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义求出△ABO的面积，进而可得△ABC的面积，然后对③进行判断． 【详解】解：当x＝－4时，， ∴点A的坐标为， 将A代入y＝kx得：2＝－4k， 解得：，①正确； ∵正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的坐标为， ∴点C的坐标为， 由函数图象可得不等式的解集为：－4<x<0或x>4，②正确； ∵，点A、C到x轴的距离相等， ∴，③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的图象和性质以及反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 2．（23-24九年级下·上海黄浦·月考）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数(为常数，)的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即． 作轴，轴，与交于，先利用一次函数图像上点的坐标特征得到，得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设点坐标为，则点坐标为，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，解得，这样可确定点坐标为，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征得到． 【详解】解：如图：作轴，轴，与交于， 由直线可知点坐标为点坐标为， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点横坐标为，代入，则纵坐标是，则的坐标是：，点坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为， ∵双曲线过点两点， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知，如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点，点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，、分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交正比例函数的图象于点E． (1)当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标． (2)当点D在线段的延长线上运动时，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了点在图象上，点的坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同；平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同． （1）先利用待定系数法可求出正比例函数与反比例函数的解析式分别为，，从而可确定D点坐标为，根据题意可得A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，从而可确定A点坐标为，F点坐标为，即得到点E的横坐标； （2）设D点坐标为，从而可得A点坐标为，F点坐标为，即可求得，继续求得E点坐标为，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：设正比例函数与反比例函数的解析式分别为，，把分别代入得 ，解得：， ，解得：， ∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为，， 又∵点D的纵坐标为9， ∴把，代入得， 解得， ∴D点坐标为， ∵轴，轴， ∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6， ∵点A与点F在反比例的图象上， ∴把代入，得， 把代入，得， ∴A点坐标为，F点坐标为， 又∵轴， ∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为， 而点E在直线上，把代入得， ∴E点坐标为； （2）解：结论：．理由如下： 设D点坐标为， 则A点的纵坐标为，点F的横坐标为a， 把代入，得， 把代入，得， ∴A点坐标为，F点坐标为， ∴， 又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为， 而点E在直线上，把代入得， ∴E点坐标为， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：设点， ∵点是的中点，， ∴， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）设点D的坐标为， ∵点， ∴，， ， 由题意知，则分两种情况讨论： ①当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ②当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，与重合，故舍去， ∴点D的坐标为． 综上所述：点D的坐标为或． 1．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 2．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成正比例函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态，机器温度与时间成一次函数关系； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度（）与时间（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (2)求三明治机工作温度在及其以上持续的时间． 【答案】(1)当时，机器温度与时间的函数关系式为 (2)三明治机工作温度在及其以上持续8.8分钟 【分析】本题考查一次函数解应用题、反比例函数解应用题，读懂题意，利用待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． （1）由待定系数法列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）可知，当时，求出此时对应的时间，再由待定系数法求出反比例函数关系式，当时，求出此时对应的时间，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：设机器温度与时间的函数关系式为， 将代入得， 解得， ∴当时，机器温度与时间的函数关系式为； （2）解：当时，得，解得， 设断电阶段机器温度与时间的函数关系式为， 将代入，得，     解得， ∴断电阶段机器温度与时间的函数关系式为， 当时，得， 解得， 经检验是原方程的解， 则（分钟）． 答：三明治机工作温度在及其以上持续8.8分钟． 3．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数关系， (3)12千克 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意， 8分钟内将货物运送至2400米，从而（米/秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， ∴可设， 又∵图象过， ∴． ∴， 代入上式，均符合． ∴函数关系式为． （3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米， ∴（米/秒）． ∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）． 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 4．（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． （1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3反比例函数的应用 题型一 实际问题与反比例函数 1．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海宝山·期末）已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．（八年级·上海·课后作业）如图是某蔬菜大棚恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图像，其中段是反比例函数图像的一部分，则当时，大棚内的温度约为 ℃. 4．（2022·上海嘉定·二模）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出P与S之间的函数表达式； (2)如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？ 题型二 一次函数与反比例函数的实际应用 1．（2023·上海·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 2．（八年级·上海·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 3．（上海·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    4．（2023·上海·一模）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 题型三 反比例函数与一次函数图像综合判断 1．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·月考）若，函数和函数在同一个坐标系中图像大致是（） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·单元测试）设，函数和在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型四 反比例函数与一次函数的交点问题 1．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点，若点 、在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则 ． 4．（24-25八年级上·上海·期末）在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 ． 题型一 反比例函数与几何综合 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边平行于x轴、y轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为 ． 3．（22-23八年级上·上海·期中）在矩形中，，分别以、在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与、合），过点的反比例函数的图像与边交于点． (1)求证：与的面积相等； (2)记，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？ 4．（八年级上·上海崇明·期末）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接AM．已知PN=4． (1)求k的值； (2)求的面积． 题型二 反比例函数的其它综合应用 1．（上海·一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的横坐标为－4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①；②不等式的解集为－4<x<0或x>4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24九年级下·上海黄浦·月考）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知，如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点，点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，、分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交正比例函数的图象于点E． (1)当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标． (2)当点D在线段的延长线上运动时，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 1．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 2．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成正比例函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态，机器温度与时间成一次函数关系； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度（）与时间（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (2)求三明治机工作温度在及其以上持续的时间． 3．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 4．（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $