精品解析：辽宁大连市2025-2026学年下学期高三第二次教学质量调研数学试卷

2025-2026学年下学期高三第三次 教学质量管理调研数学试卷 满分150分 时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴 在答题卡上指定位置. 2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效. 4．画图清晰，并用2B铅笔加深. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解. 【详解】由，得，则，所以，即由可以推出， 由，得，即，所以由可以推出， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知复数满足，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用复数的四则运算列方程求解即可. 【详解】设，则， 所以，， 解得，即， 所以， 故选：D 4. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 5. 已知，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，化简得出，再利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】由题意得，， 令，则， 则， 因为，所以，即，等号成立时， 则，， 则的最大值为，故的最大值是. 故选：B 6. 抛物线的准线与轴交于点.过作直线交抛物线于点，点在抛物线对称轴上，且.则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】注意到点.过作直线，其方程设为.代入抛物线方程得 . 而，则. 设点中点为. 由. 则的取值范围是. 7. 已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 与、的具体值有关 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，， 所以， 因为，， 所以. 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，求出之间的等量关系，进而通过换元法构造函数，根据函数导数与函数单调性和极值之间的关系，求出函数单调区间和极值，判断函数最大值，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以当有唯一解，即，即，可得， 所以， 令，则，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 【答案】AB 【解析】 【分析】A.根据，由判断；B.由题意知这组数据完全线性相关，再根据直线斜率的正负判断；C.由两边取自然对数求解判断；D.根据值越大，“与有关系”的可能性越大判断. 【详解】A.已知，且，则，故正确； B.若一组样本数据对应的样本点都在直线上，说明这组数据完全线性相关，又因为直线斜率是负相关，所以这组样本数据的相关系数为-1，故正确； C.由两边取自然对数得，求得线性回归方程为，所以，，则，故错误； D.对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，“与有关系”的可能性越大，所以判断“与有关系”的把握性越大，故错误； 故选：AB 10. 已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推关系判断A，根据首项可能为0判断B，根据分组求和判断C，解不等式可判断D. 【详解】由可得，两式相减得，故A正确； 因为可能为0，故不一定为等比数列，故B不正确； 因为，故C正确； 当为奇数时，不妨设，则 ，则有； 因为，故，即，时，，故D正确. 11. 随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON分别是由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与相切于点F，且与、分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB垂直的、（垂足均不与O重合），在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（ ） A. 的范围是 B. 新增步道CD的长度可以为 C. 新增步道FG、FH长度之和不可能为 D. 当点F为的中点时，草坪的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】在三角形中把相应边长用的三角函数表示，利用三角函数解决问题. 【详解】设， 对于选项A，由题意可得，解得，A选项错误； 对于选项B，，则，， 所以， 令，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以新增步道CD的长度可以为，B选项正确； 对于选项C，则，， 所以， 即得， 由,得，即有， 从而. 故新增步道FG、FH长度之和不可能为. C选项正确； 对于选项D，点F为的中点时，则，则 则，从而， ，草坪的面积为. D选项正确. 第II卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸相应位置上 12. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解. 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等， ，，则的展开式中的通项为： ，令，解得， 故该展开式中的系数为 故答案为：60 13. 现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 【答案】24 【解析】 【详解】①甲、乙中有且只有1人被抽到有种抽法， 若抽到的三人中不含丙，则从剩余的三人中抽取2人有种抽法， 抽到的3人安排其中一人唱歌有种抽法， 根据分步乘法计数原理，共有种抽法. ②若抽到的三人中含丙，则丙需被安排去唱歌，甲乙选1人跳舞，除甲、乙、丙的3人中选1人跳舞， 共有种， 根据分类加法原理，共有种抽法. 14. 已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的外接球球心为，三棱锥的外接球球心为，设，利用半径相等，求出两个三棱锥外接球半径，得到答案. 【详解】设的中心为G，三棱锥的外接球球心为， 因为三棱锥为正四面体，所以三点共线， 设，取的中点为，则， 所以，同理， 由勾股定理得， 设，则， 由勾股定理得， 因为，所以，解得， 所以三棱锥的外接球半径为， 设的中心为H，则四点共线， 三棱锥的外接球球心为， 且，则， 过点作⊥于点，则，， 设，则， 其中， 其中，， 因为，所以，解得， 所以三棱锥的外接球半径为， 即三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）． （1）若，求AD的长度； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理、三角形的面积公式及三角恒等变换求解. 【小问1详解】 在中，，， 由正弦定理可得，， ∴. 【小问2详解】 不妨设，则，，， 在中，由正弦定理得， 则， 由于，得，∴， ∴，∴. 16. 欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. （1）按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； （2）按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）按照贝叶斯公式直接计算即可； （2）（i）按照播放次数分情况求解；（ii）写出的所有可能取值并计算所对应的概率，然后列出分布列，计算即可. 【小问1详解】 设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件， “任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件， 所以，， 在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为. 【小问2详解】 （i）播放1次A频道成为优选频道的概率为， 播放3次A频道成为优选频道的概率为， 所以按照约定2，两个频道共播放不超过4次时，A频道成为优选频道的概率为. （ii）的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． （1）若点是棱AP上一点，且平面PCD，求； （2）若，，平面PCD与平面PAB交于直线，求直线与平面PAD所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，得证面面平行，最后由面面平行的性质定理得出线线平行，即可得出比例； （2）空间向量法计算线面角的正弦值. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以，，且， 所以是等边三角形． 如图，取AD的中点N，连接BN，MN，所以． 又，则．又因为不包含于平面，平面PCD，所以平面PCD． 又因为平面PCD，，平面，平面，所以平面平面PCD． 因为平面平面，平面平面， 所以，所以是棱AP的中点，即． 【小问2详解】 如图，延长DC，AB交于点，连接PE，则直线PE为直线， 过点作，交AC于点，连接OB，OD． 因为平面平面ABCD，平面平面， 平面PAC，所以平面ABCD． 又，，，所以是直角三角形，且， 所以，，． 又，所以，且． 以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，． 设平面PAD的一个法向量为， 则 令，得，所以． 设直线PE与平面PAD所成的角为， 则， 即直线与平面PAD所成的角的正弦值为． 18. 椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为. （1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程； （2）若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明：椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为， 四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，， 则，，而，， ，故， 由得的坐标分别为， 故，同理的坐标分别为， 设点到直线的距离为，四边形的面积为, 所以，， 则，为定值. 【解析】 【分析】（1）利用点差法计算. 设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，， 该弦中点为，将坐标代入椭圆方程，作差，然后化简得，即直径的共轭直径所在的直线方程为； （2）四边形显然为平行四边形，联立直线的方程和椭圆的方程，分别求得四点的坐标分别为，，，，然后利用两点间距离公式和点到直线距离公式，求得面积为. 【小问1详解】 设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，， 弦中点为，则，， 相减得：， 由于，，且，所以得：， 故该直径的共轭直径所在的直线方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：直线与椭圆的基本题型：（1）位置关系的判断；（2）弦长、弦中点问题；（3）轨迹问题；（4）定值、最值及参数范围问题；（5）存在性问题．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，易忽视直线的斜率不存在的情况．点差法，设而不求是一个很经典的方法. 19. 定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）证明：当时，曲线不存在“自公切线”； （3）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，，， 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则l的斜率，， 即， 同时， 故，即 不妨设，令，， 则， 所以在区间上单调递减，，故不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性转化为导函数在区间恒成立，分离参数求解； （2）根据新定义转化为，换元后利用导数证明方程不成立即可得证； （3）根据新定义利用导数，分类讨论求解. 【小问1详解】 当时，，， 由题意可知，，即在区间上恒成立， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以为偶函数， 又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”． 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则和只可能一正一负，不妨设 ， ， 则l的斜率， 即 同时， 所以， 所以或，即 或， ①当 时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在 上单调递增，， 所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当 时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 因为，且时，， 当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”． ②当时，，又，所以， 因为，所以， 所以， 设函数，， 当时，，单调递减； 当时， ，单调递增， 且，，， 所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或，即或时，无解，即没有“自公切线”． 又因为当时， 在情况① 中， ，； 在情况②中，，； 所以当时， 与同时成立，有且只有一条“自公切线”． 综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高三第三次 教学质量管理调研数学试卷 满分150分 时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴 在答题卡上指定位置. 2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效. 4．画图清晰，并用2B铅笔加深. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数满足，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 抛物线的准线与轴交于点.过作直线交抛物线于点，点在抛物线对称轴上，且.则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 7. 已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 与、的具体值有关 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 10. 已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 11. 随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON分别是由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与相切于点F，且与、分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB垂直的、（垂足均不与O重合），在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（ ） A. 的范围是 B. 新增步道CD的长度可以为 C. 新增步道FG、FH长度之和不可能为 D. 当点F为的中点时，草坪的面积为 第II卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸相应位置上 12. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 13. 现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 14. 已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）． （1）若，求AD的长度； （2）求的取值范围． 16. 欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. （1）按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； （2）按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． （1）若点是棱AP上一点，且平面PCD，求； （2）若，，平面PCD与平面PAB交于直线，求直线与平面PAD所成角的正弦值． 18. 椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为. （1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程； （2）若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值. 19. 定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）证明：当时，曲线不存在“自公切线”； （3）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $