解答题05 中考相似三角形核心模型9大考向（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解答题05 中考相似三角形核心模型（专项训练） (9大考向) 趋势领航·探考向 A型相似 反A型相似 X型相似 区字型相似 一线三等角型相似 射影型相似 母子型 旋转型相似 考法破译·知规律 1127 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考向一、A型相似的运用与构造 模型1A型相似 条件：DE/IBC. D 结论：△ADE~△ABC;△ADN~△ABM;△ANE~△AMC; DN AN NE BM AM MC M 模型2作平行线构A型相似 条件：D为△ABC的边AB上一点. 方法一：过点D作DE/IBC交AC于点E,则△ADE~△ABC; 方法二：过端，点B作BF//CD交AC的延长线于点F,则△ADCn△ABF B 1.如图，在ABC中，AC=2,BC=3,∠C=60°，D为AB边上一点，过点D作BC的平行线交AC于 点E,过点E作AB的平行线交BC于点F. D (I)求证：△ADE∽△EFC; (②)若DE:CF=2:3,求ADE与ABC的面积比. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，AC=15,BC=10,AF交DE于点G. 2127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E G D (I)求正方形CDEF的边长； (2)求EG的长. 考向二、反A型相似的运用与构造 模型1用反A相似模型 A 条件：∠AED=LC· 结论： ①△AED~△ACB: ②AE·AB=AD·AC 模型2作垂线构反A相似模型 条件：∠B=90°，E为AB上一点. 方法：过点E作ED⊥AC于点D. 结论：①△AED~△ACB: ②AE·AB=AD·AC B 3.(2025·上海普陀二模)已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,DE⊥BC交 BC的延长线于点E,BO·BD=BC·BE. 3/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：四边形ABCD为菱形： (2)连结AE交DC于点F,如果AE⊥CD,求证： CF OC DE BO 4.(2025·上海·二模)如图所示，AC是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居AC两侧，联结 AD,CD,AB,CB.延长DO交AB于点E,联结EC交BD于点F,线段AC与BD交于点G. D (I)如果E为AB中点，求证：∠0GB=3LAD0. (2)联结0F,如果0F⊥CB,求证：OEED=2FC2. 考向三、平行线分线段成比例的应用 5.(2026上海黄浦一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，OD是ABC的中位线，P是线段OA上一点， 连接PD并延长交BC的延长线于点Q. 4127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C 1)如果CQ=OD,求证：LPD0=∠P0D; (2)过点P作PT∥BC交AC于点T,连接T0并延长交CB的延长线于点S,再连接OQ,求证：OS=OQ 6.(25-26九年级上·上海期中)如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，AD=3,BC=6, tanB=3,以AB为直径作oO,交边DC于E、F两点. B E (1)求证：DE=CF; (2)求直径AB的长. 7.(24-25九年级上·上海金山月考)如图，ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC, ∠DCA=∠B,求证： 5127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E (I)△ADE∽△ACD; DE AC ②CDAB 考向四、X型相似的运用与构造 D 模型1X型相似 条件：CD‖AB 结论：△AOBn△COD B 模型2作平行线构X型相似 条件：BD为△ABC的角平分线。 方法：过点A作AEBC交BD的诞长线于点E 结论： ①AE=AB: ②△AED~△CBD C 8.(25-26九年级上·上海浦东新期末)己知，如图，在ABC中，点D、E分别在边AB和AC上， AD·AB=AE·AC,点F是BE与CD的交点. (I)求证：△FDBn△FEC. 6/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如果AB=15,AC=18,AD=6,求EF:DF. 9.(2025·上海静安·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C、D作CE∥BD, DE∥AC,CE和DE交于点E. B D E (I)求证：四边形ODEC是矩形； (②)连接AE,交CD于点F,当LADB=60°，AD=2V5时，直接写出FA的长. 10.(25-26九年级上·上海黄浦·期中)己知：如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC,点D在 边AB上，CD与BE相交于点F,BC·BE=BA·BF. 7/27 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D (I)求证：CD⊥AB; (2)求证：EF·BF=2CF·DF. 11.(25-26九年级上·上海闵行期中)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，BC=CD,点E在 CD上，且DE=AD,连接AE并延长交BC的延长线于点M,过点E作EF垂直AB于点F,连接BD, 分别交AE、EF于点G、H, A D G M (I)求证：△FHB∽△GHE; (2)求证：BE·DH=BD·EH. 12.(2026上海黄浦·一模)如图，过菱形ABCD顶点A分别作边BC、CD的垂线，垂足为E、F,交对角 线BD于点M、N. 8/27 厨学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N B D (I)求证：BM=DN; (2)连接EN,如果EN∥AB,求cos∠ABC的值； (3)如果△ABM与五边形CFNME的面积均为1，求菱形ABCD的面积. 考向五、区字型相似的运用与构造 A F D 模型1找直角三角形相似 条件：E,F为矩形ABCD边上的，点，DE⊥CF. 结论：△AED∽△DFC E B y 入 F D 模型2构直角三角形相似 1 条件：M,N,E为矩形ABCD边上的点，DE⊥MN. 方法：过点C作CF/IMN交AD于点F. E 结论：△AED~△DFC B M C 13.(25-26九年级上上海月考)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=6,过点A作 AE⊥AB,且AE=18,连接BE交AC于点P. 91/27 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B (1)求CP的长 (②)以点A为圆心，以AP为半径作OA,试判断直线BE与OA的位置关系，并说明理由. 14.(2026上海黄浦一模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AD:AB:BC=1:2:4. (I)求证：AC⊥BD: (②)求cot∠ACD的值. 10/27 解答题05 中考相似三角形核心模型(专项训练) （9大考向） A型相似 反A型相似 X型相似 区字型相似 一线三等角型相似 射影型相似 母子型 旋转型相似 考向一、A型相似的运用与构造 模型1 A型相似 条件：． 结论： 模型2 作平行线构A型相似 条件：为的边上一点． 方法一：过点作交于点，则 ； 方法二：过端点作交的延长线于点，则 1．如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1)证明见解析； (2)与的面积比为． 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 2．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 考向二、反A型相似的运用与构造 模型 1 用反A相似模型 条件： ． 结论： ①； ② 模型 2 作垂线构反A相似模型 条件：为上一点． 方法：过点作于点． 结论：①； ② 3．（2025·上海普陀·二模）已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点O，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点F，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，推出可得结论； （2）证明，推出，证明四边形是矩形，推出，证明，推出可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）证明：如图，过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，矩形及菱形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形及菱形的性质与判定是解题的关键． 4．（2025·上海·二模）如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先由三角形中位线定理求得，再由垂径定理结合同圆中等弧对等弦得到，则，而，那么，故，再由三角形的外角性质即可证明； （2）可得，则，由圆周角定理得到，故，则点共圆，那么，可证明，则，再等量代换求证即可． 【详解】（1）证明：如图： ∵是直径， ∴， ∵分别为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧与弦的关系，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大． 考向三、平行线分线段成比例的应用 5．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是相关性质的灵活应用． （1）根据题意，得到，进而可得为的中点，再结合即可得证； （2）连接，由平行线段截线段成比例得到，再证，得到，进而得到，再利用“”证明即可求解． 【详解】（1）证明：是的中位线， 且， ， ， ， ，即， ， ，即， ，即为的中点， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 6．（25-26九年级上·上海·期中）如图，梯形中，，，，，，以为直径作，交边于E、F两点． (1)求证：； (2)求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算 【分析】此题主要考查垂径定理、勾股定理以及三角函数的综合应用，熟练掌握，即可解题． （1）过点O作，垂足为H，首先根据，，，得出，进而根据得出，然后根据垂径定理得出，进而得出； （2）过点A作，垂足为点G，，首先根据，得出，得出四边形为矩形，进而得出，再根据三角函数得出，最后根据勾股定理得出． 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为H， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，过圆心， ∴， ∴， 即：； （2）解：过点A作，垂足为点G，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∴． 7．（24-25九年级上·上海金山·月考）如图，中，、分别是边、上的点，且，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键； （1）利用平行线的性质结合已知条件可得，进而利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的性质可得，证明，可得，进一步即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考向四、X型相似的运用与构造 模型1 X型相似 条件： 结论： 模型2 作平行线构X型相似 条件：为的角平分线。 方法：过点作交的诞长线于点 结论： ①； ② 8．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知，如图，在中，点分别在边和上，，点是与CD的交点． (1)求证：． (2)如果，求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得到，即可得出结论； （2）由，，求出，得到，由，得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（2025·上海静安·二模）如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，当，时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）先判定为平行四边形，再根据菱形的性质进行证明即可； （2）根据的直角三角形的性质求出进而求出，再根据相似三角形和勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图， ∵中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，在Rt中，，平分，点在边上，与相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将已知条件转化为比例式，结合角平分线得到的角相等，证明三角形相似，再利用直角三角形内角和及相似三角形的性质证明． （2）作辅助线，先利用（1）中相似得到角相等，进而证明等腰三角形，得到线段关系，再证明另一组三角形相似，通过相似性质推导结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴，即． （2）解：过作于． 由（1）得， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵，， ∴，， ∴． ∴，即． ∵， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，点在上，且，连接并延长交 的延长线于点．过点作垂直于点，连接，分别交于点、． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等知识，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，则由三线合一定理可得，则，再结合，即可证明结论； （2）可证明；再证明是等腰直角三角形，得到则可证明；证明，得到；证明垂直平分，得到，则，即． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·上海黄浦·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明、利用菱形的性质求面积、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及余弦的定义． （1）根据已知条件及菱形的性质得出，，，证得，得出，，再证得，得出； （2）根据已知条件结合菱形的性质得出，，继而利用相似三角形的性质得出，，由得到，设，，列出关于a和b的表达式，从而得出的值； （3）连接交于点O，过点M作，根据题意设，利用相似三角形的性质得出相关图形的面积表达式，最终可列方程求得菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接交于点O， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考向五、区字型相似的运用与构造 模型1 找直角三角形相似 条件：为矩形边上的点，． 结论： 模型 2 构直角三角形相似 条件：为矩形边上的点，． 方法：过点作交于点． 结论： 13．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知中，，过点作，且，连接交于点． (1)求的长 (2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线与相切，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆切线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质求出，根据题意易证，进而证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）利用勾股定理求出，再求出，由（1）知，利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到，结合是的半径，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：直线与相切，理由如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． 14．（2026·上海黄浦·一模）如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】直角梯形的定义、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了锐角三角函数，梯形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先证，再根据角的关系可得，进而得到即可证明； （2）由勾股定理得，，再证，得到，进而得到，，再利用代入计算即可． 【详解】（1）证明：设相交于点， ，则可设，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：根据题意，， ， ， ， ， ，即， ， 解得， ， 解得，， 由（1）知，即， ． 15．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知：如图，在矩形中，点E在边的延长线上，过A作，垂足为点F，，与边交于点G，联结．    (1)求证：； (2)连接与交于点H，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定证明、利用矩形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据和矩形的性质，结合直角三角形的锐角互余，可证得，根据相似三角形对应边成比例，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得结论； （2）由题意易得四边形为正方形，利用正方形的性质，三角形外角的性质，等边对等角和，可求得，可知，然后根据，，得到，，利用等量代换即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图所示，    ∵， ∴矩形为正方形， ∴，，， 由（1）可知，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在菱形中，是上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明、三线合一、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知菱形的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明得到，证明，得到，则可得到，据此可证明结论； （2）连接，证明，得到，由相似三角形的性质得到，则，则可证明，即，再由三线合一定理可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 又∵是的中点， ∴，即． 考向六、一线三等角型相似的运用与构造 模型 一线三等角 条件：点在上，结论： 17．（2025·上海杨浦·一模）在正方形中，E为正方形内一点，且，延长交于F，延长交于P． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据正方形的性质以及等边对等角，得，运用四边形内角和性质进行列式计算，即可作答． （2）过点作于点，过点作于点，运用正方形的性质以及角的等量代换，得，证明，故，又因为，得，因为于点，故，由（1）可知，，故是等腰直角三角形，结合勾股定理整理得，将，代入，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点作于点，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， 由（1）可知，， ∵过点作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ 则结合勾股定理得 ∴ 将，代入，得， 整理得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（2026·上海松江·一模）如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，求出，进而推出，证明，即可得证； （2）证明，得到，等角的余角相等结合对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考向七、射影型相似的运用与构造 模型 1 射影定理 条件：， 结论： ① ② 模型 2 作高用射影定理 条件： 在同一条直线上， 思路：作斜边上的高后，有二次相似． 方法：过点作于点． 结论： 19．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用等边对等角可得出，连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证； （2）连接，证明，得出，求出，再根据已知条件得出，从而得出，证明，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用以上知识是解题的关键． 20．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，垂足为点，点是边上一点，，垂足为点，交于点． (1)如果平分，求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，证明，得到，则，证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 21．（25-26九年级上·上海·月考）如图，四边形，连接，，且． (1)求证：； (2)若的延长线交于点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似． （1）根据，即可证明； （2）证明，得出，则，故，证明，得出，即可得出，证出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，余角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）证明，然后根据相似三角形的性质和垂直的定义即可得证； （2）证明，得出，证明，得出，则，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 考向八、母子型相似的运用与构造 模型 1 母子相似 条件：为 上一点， 结论：①② 模型 2 构母子相似 条件：． 方法一：延长交于点． 结论：． 方法二：过点作交的延长线于点． 结论： 23．（25-26九年级上·上海闵行·月考）已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与相交于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得到，而，则，得到，即可得证； （2）可证明， 而，那么，则，代入，得到，而，得到，由，得到，故． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在四边形中，对角线与交于点，，过作对角线的垂线交边于点，垂足为点，已知． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，由锐角三角函数比得出，即，然后利用等量代换得出，最后利用同旁内角互补，两直线平行即可得出结论； （2）证明，得出，假设，，则，证明，，得出对应边成比例，表示出相关线段的长度，然后求出等式左右两边的值进行比较即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 假设，，则， 由勾股定理得， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数比，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 25．（19-20九年级下·上海虹口·月考）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质证明、利用弧、弦、圆心角的关系求证、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由四边形是菱形，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）由E为弧中点，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：为弧中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即 26．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】（1）通过对已知条件变形得到比例式，结合公共角证明，利用相似三角形对应角相等及等腰三角形的性质，推导得出； （2）先利用第（1）问的相似结论得到角相等，结合等腰三角形的性质推导出角相等，再通过三角形外角性质与角的代换，证明新的相似三角形，最终利用相似三角形对应边成比例完成等积式的证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即； （2）证明：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例． 27．（2025·上海·模拟预测）如图1，在中，在四边形中．连接交于点，连接交于点，满足． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，当四边形为正方形，且在线段上时，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和判定，解题关键是利用比例的性质转化线段比． （1）由可得，由可得，由此证明，即可得出，进而证明，由两组邻边平行的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形． （2）先证明，得出，，再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， （2）证明：如图： 在正方形中 又∵ ∴ ∴ ，， ∵在正方形中，， 又∵ ． 28．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，． (1)求证：； (2)当时，求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由是边上的中线，得，由，证明，得，所以，因为，所以； （2）由，得，而，所以，因为，所以，则，由，得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 29．（2025·上海·模拟预测）如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合、求角的正切值 【分析】（1）利用角相等，角的两边对应成比例即可证明两三角形相似； （2）为求，则过点作，垂足为点，利用求解．为求，先求，故过点作，垂足为点，易求，设，根据几何关系依次计算即可． 本题考查了三角形相似的判定、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用． 【详解】（1）证明：∵， ， 在与中， ， ∴． （2）解：过点作，垂足为点．过点作，垂足为点． ∴是等腰直角三角形， 根据勾股定理可知， 设， 则， 在中，∵， ． 30．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．    (1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明） (2)若，求的正切值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，，，然后利用等量代换即可得出，从而证明结论； （2）首先根据勾股定理求出的长度，然后证明，最后利用求解即可． 【详解】（1）连接，如图，   是的直径， ， ， ∵E为的中点， ， ， ， ， ∵切于点，， ， 是的切线 （2）在中， ， ， ， ， ， 即， 连接，则， ，    考向九、旋转型相似的运用与构造 条件： ． 结论： ① ； ②. 31．（25-26九年级上·上海·月考）如图所示，正方形中，点、分别在边、上，且． (1)证明：； (2)证明：正方形的边长是与的比例中项． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）可知：，，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及正方形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即正方形的边长是与的比例中项． 32．（2026·上海长宁·一模）已知，如图，在四边形中，，，，．其中． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明，结合可证明； （2）根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 33．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由，得，由，得，所以∽，则，即可由，，证明． 由∽，得，变形为，由，，证明∽，得，则，所以 此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∽， ， ，， ． （2）证明：∽， ， ， ，， ∽， ， ， ． 34．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．（2024·上海·模拟预测）如图，是⊙O的直径，是弦，点E在圆外，于D，交于F，连接，，，． (1)求证：，并判断直线与的位置关系． (2)求证： ． 【答案】(1)见解析． (2)见解析． 【难度】0.4 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解决问题（2）的关键． （1）利用两个角相等得，得，再根据两边成比例且夹角相等证明；根据圆周角定理得，则，从而有，即可证明结论． （2）通过证明得到，再证明出，根据面积之比等于相似比的平方得到，即可证明结论． 【详解】（1）证明：与相切，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O是中点， ∴， ． 36．（25-26九年级下·上海金山·开学考试）如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.52 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由得，得到，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．（2026·上海杨浦·二模）如图，四边形为平行四边形，连接、交于，点在线段上，且． (1)延长、交于，求证：； (2)点在的延长线上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.3 【知识点】利用平行四边形的性质证明、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则，结合可证明，从而命题得证； （2）作的外接圆，根据题干和平行四边形的性质可得，则、、、四点共圆，从而得到．由（1）可知，因此，则，变形得．根据圆周角定理可得，从而证明，命题得证． 【详解】（1）证明：如图， 在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，作的外接圆， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆，即点在的外接圆上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】利用对角互补联想到四点共圆，结合圆周角定理证明相似三角形是解题关键． 刷模拟 1．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 3．（25-26九年级上·上海宝山·月考）如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)24 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，找出相似三角形是解题的关键． （1）由可得，由三角形外角的性质可得，结合可得，进而可得，即可证明； （2）设，则，根据推出，可求x的值，再证，可得． 【详解】（1）证明：平行四边形中，， ， ，， ， ， 又， ； （2）解：， 设，则， ，， 由（1）知， ， ， ， 解得（负值舍去）， ，． ， ， ，， ， 又平行四边形中，， ， ， 又， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·上海金山·周测）已知：如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为点，延长交边于点． (1)当为的中点时，求证：； (2)当为中点时，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线． （1）先根据斜边上的中线性质得到，则，再证明，利用相似三角形的性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，则利用等量代换得到，然后根据比例的性质得到结论； （2）先由得到，用代换得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质和得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ，为的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）证明：， ， 为中点时， ， ， ， ， ， ， ， ． 刷真题 1．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用弧、弦、圆心角的关系求证、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 3．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 2 / 76 1 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $