解答题04 作图与证明问题9大考向（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

解答题04 作图与证明问题（专项训练） （9大考向） 考向01 三角板拼图问题 1．同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形（直角三角板互不重叠），两个直角三角形斜边上的高都为． （1）①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边（结果用表示）； ②求四边形的面积． （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 【答案】（1）①角三角板直角边长为，角三角板直角边为和； ②； （2）见解答． 【分析】（1）①根据等腰直角三角形和角直角三角形的三边关系求解即可； ②根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形对边相等，邻角互补进行拼接即可． 【解答】解：（1）①作和的高，如图： ， △为等腰直角三角形， ， ， ， ， 角三角板直角边长为，角三角板直角边为和； ②， ， 平行四边形为矩形， ，， ； （2）①顶角为时， ②顶角为时， ，故不符合题意； ③顶角为时， ④顶角为时， 2．（2025•徐汇区一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为、、的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出、、的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了、的三角比． （1）计算：； （2）小杰的一副特制的三角板，如图1，在△和△中，，，，；小杰的想法是：将△和△的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点．连接．利用面积法求出，利用勾股定理求出，在△中，根据三角函数的定义求解． 【解答】解：（1）原式； （2）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点．连接． 在△中，，，， ，， △的面积， 在△中，，， ，△的面积， ，， ， ， 四边形的面积， ， ， ， ， ，， ，， ，． 考向02 三角形背景下的作图与证明问题 1．（2024•宝山区校级二模）某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆． 解决问题： （1）以城镇为出发点，设计了两种连接方案： 装①如图1，为中点）； ②如图2，为三边的垂直平分线的交点）． 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ （2）尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出（1）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）方案②铺设方案好； （2）如图见解答． 【分析】（1）如图1所示，在中，根据勾股定理得：，则铺设的通讯电缆长为；如图2所示同理可得：铺设的通讯电缆长为，即可求解； （2）如图，分别作、的中垂线，交点即为点即可． 【解答】解：（1）设等边三角形的边长为， 如图1所示，为等边三角形，， 为的中点，即， 在中，根据勾股定理得：， 则铺设的通讯电缆长为； 如图2所示，为等边三角形，且为三角形三条高的交点， ，则，， 故， 解得：， 则， 则铺设的通讯电缆长为， ， 则方案②铺设方案好； （2）如图，分别作、的中垂线，交点即为点． 2．（2025•奉贤区三模）（1）在△中，记、、的对边分别为、、． ①如图1，当△是等边三角形（即时，△的面积为 　 　 （结果用含的代数式表示）； ②如图2，当，，时，求△的面积； （2）三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形（如图3所示），当大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍时，直接写出、满足的数量关系 　　 ． 【答案】（1）①； ②； （2）． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质作高线，利用勾股定理得，利用三角形的面积公式即可解答； ②如图2，过点作，交的延长线于点，计算的长，根据三角形面积公式即可解答； （2）如图3，过点作于，先根据三角形的面积公式可得：，根据大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍，列等式可得，再由，即可解答． 【解答】解：（1）①如图1，过点作于点，则， △是等边三角形，且边长为， ， ， △的面积； 故答案为：； ②如图2，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ，， △的面积； （2）如图3，过点作于， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， △是等边三角形， ， 大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 考向03 四边形背景下的作图与证明问题 1．如图（1），△． （1）请利用无刻度的直尺和圆规，在平面内找一点，使四边形为平行四边形； （2）如图（2），如果平行四边形的面积为，在上取任意一点，在上任取一点，连接，，，，设与交于点，与交于点，如果△的面积为，△的面积为，则△和△的面积和为多少？（用含、和的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，四边形即为所求； （2）证明△的面积△的面积，△的面积△的面积，可得结论． 【解答】解：（1）如图，四边形即为所求； （2）如图2中，连接． 四边形是平行四边形， ， △的面积△的面积，△的面积△的面积， △的面积△的面积，△的面积△的面积， 平行四边形的面积为， △的面积， △和△的面积和． 2．（2025•徐汇区二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别联结、．那么四边形就是所求作的四边形． （1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； （2）如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）分别证明四边形，四边形是平行四边形即可； （2）求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线的夹角等于． 【解答】解：（1）作法正确． 理由：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ； （2）求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线的夹角等于． 方法：1．过点作并截取； 2．分别联结、．那么四边形就是所求作的四边形． 3．（2024•河南）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　 　 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在△中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】解：（1）②④； （2）①， 理由：延长至点，使，连接， 四边形是邻等对补四边形， ， ， ， ， △△， ，， ， ； ②； （3）或． 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明△△，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过作于，根据三线合一性质可求出，由①可得，在△中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【解答】解：（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）①， 理由：延长至点，使，连接， 四边形是邻等对补四边形， ， ， ， ， △△， ，， ， ； ②过点作交于点， ， ， ， ， 在△中，， 的长为； （3），，， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ， 当时， 方法一：如图，连接，过作于， ， 在△中，， 在△中，， ， 解得， ， ，， △△， ， 即， ，， ， ， 方法二：， ， △△， ， 即， ，， ， 根据（2）的结论， 则； 当时，如图，连接， ， △△， ，故不符合题意，舍去； 当时， 方法一：过作于， ，， △△， 即， 即， 解得， ，， △△， ， 即， ，， ， ， 方法二：设， 则， ， ， ， ， 根据（2）的结论， 则； 当时，如图，连接， ， △△， ，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 考向04 圆背景下的作图与证明问题 1．按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，经过，，三个格点，用无刻度的直尺作出圆心； （2）如图2，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点．请仅用无刻度直尺在图中作出的重心． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）根据网格线的特点及垂径定理作图； （2）根据平行四边形的性质及重心的性质作图． 【解答】解：（1）点即为所求； （2）延长交圆于，则四边形为正方形，连接，，相交于点，点即为所求． 2．有这样一道尺规作图题： 如图，点，，在上，连接，．求作：的中点． 下面是小东的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在右侧交于点，作射线交于点，则点即为所求． （1）在图中根据小东的作法画出点，试判断小东的作法是否正确，并说明理由． （2）请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析，正确，理由见解析； （2）见解析． 【分析】（1）按照小东的作法作出点，连接，，，，利用可证△△，根据全等三角形的性质可证，根据圆周角定理可证点是的中点； （2）利用尺规作图作的平分线交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 【解答】解：（1）小东的作法正确，理由如下： 如图所示，连接，，，， 在△和△中， ， △△， ， 是的中点； （2）如图所示，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，分别以点、为圆心大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，点即为所求． 3．问题提出 （1）如图①，已知线段，请画出满足的所有点组成的图形； 问题探究 （2）如图②，在边长为4的正方形内部有一点，当满足时，求△面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，某演出场地的三个角落里分别有三盏效果灯、、，其中米，米，米，这三盏效果灯的转动速度相同，且效果灯与的灯光始终可汇聚于一点．经过反复调试，发现三盏效果灯的灯光可以同时汇聚于一点（即，请你找出满足条件的点，并说明理由．若将点建为该演出场地的一个新角落，求该演出场地（即以点、、、为顶点的四边形）面积的最大值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解，面积最大值是4；（3）平方米． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，除与的交点外，直线上所有点都满足点的条件； （2）以为直径作，当△的底边的高为半径时，△的面积最大，计算最大面积即可； （3）作线段的垂直平分线，则点一定在直线上，分别以为直径作交线段的垂直平分线于点、和以为直径作与直线交于点，利用△△求出，继而求出四边形面积，再根据条件求出，两者比较得到四边形的最大值即可． 【解答】解：（1）如图①， 作线段的垂直平分线，则直线即为所求（与的交点除外）； （2）如图②，以为直径作， ， 点在上， 当△的底边的高为半径时，△的面积最大， △， 即△的面积最大值是4； （3）米，米，米， ， △是直角三角形，且， 三盏效果灯的灯光可以同时汇聚于一点，， 如图3，作线段的垂直平分线，则点一定在直线上， 以为直径作，交线段的垂直平分线于点、、此时，、即为满足条件的点，理由如下： 是的直径， ， ， ， 显然，当点位于处时，四边形的面积最大， 过点作，垂足为，设与直线交于点，则四边形为矩形， ， ， ， △△， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， （平方米）， 如图④，以为直径作与直线交于点，此时即为满足条件的点，理由如下： ， ， 此时，△（平方米）， ， 该演出场地（即以点、、、为顶点的四边形）面积的最大值为平方米． 考向05 函数背景下的作图与证明问题 1．（2025•普陀区二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②在轴的正半轴上截取，过点作轴交函数的图象于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 （1）根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数 的图象在图1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） （2）平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）见解答． 【分析】（1）由问题背景的例题知，将线段三等分，同理可借助函数，即可求解； （2）过点作轴的平行线交两个函数于点、，则点、的纵坐标分别为：、，以点为圆心，以长度为半径画弧交轴于点，则，过点作轴，以点为圆心，以长度为半径交于点，即可求解． 【解答】解：（1）由问题背景的例题知，将线段三等分，同理可借助函数， 如图： 故答案为：； （2）作出和的函数图象如下： 过点作轴的平行线交两个函数于点、，则点、的纵坐标分别为：、， 以点为圆心，以长度为半径画弧交轴于点，则， 过点作轴，以点为圆心，以长度为半径交于点，则点即为所求点． 考向06 用无刻度的直尺画图问题（高频考点） 1．如图，△中，边的垂直平分线交于点，交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，在边作一点，使； （2）在图2中，将△向方向平移得到△，点的对应点为，作矩形，使． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，矩形即为所求． 【分析】（1）连接、交于点，连接并延长交于，连接； （2）设和交于点，连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，延长交延长线于点． 【解答】解：（1）作法及理由：由题意知，点、分别是、的中点， 连接、交于点，则点为△的重心； 连接并延长交于，则点为的中点； 连接，则为△的中位线，且； 即为所求； 如图，点即为所求； （2）作法及理由：设和交于点，由平移的性质知，，， ， 又， ，四边形为矩形， 为的中点； 连接、交于点，连接并延长交于点， 由（1）可知为△的中位线，为的中点， ，； 连接并延长交于点，延长交延长线于点， 由可知，， 在四边形中，， 四边形为矩形， 同理可证四边形，四边形为矩形； ； 矩形即为所求． 如图，矩形即为所求． 2．（2025•长宁区二模）我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图 ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④联结． （1）求证：小明画出的四边形是平行四边形； （2）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点均在格点上，点在边上，．请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 【答案】见解析． 【分析】（1）分别证明，即可； （2）取格点，连接交于点（使得，在，上取点，（使得，，连接，，，四边形即为所求． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，四边形即为所求． 3．（2025•浦东新区校级三模）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹）． （1）在图①中，过点画直线． （2）在图②中，过点画直线． （3）在图③中，在边上取一点，使得． 【答案】见解析． 【分析】（1）根据平行线定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）取格点，，连接交于点，点即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，直线即为所求； （2）如图②中，直线即为所求； （3）如图③中，点即为所求． 4．如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点，请仅用无刻度的直尺按要求画格点三角形（三角形的顶点均在格点上）． （1）在图①中画一个等腰三角形，使底边长为，点在上，点在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转后的△． （2）在图②中画一个△，使，点在上，点在上． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）作等腰直角三角形，可得，即，可得结论． 【解答】解：（1）如图1（答案不唯一）； （2）如图2（答案不唯一）． 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先将绕点顺时针旋转，得到线段，再在上画点，使得； （2）在图2中，先画平分交于点，再画线段，使得，且． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程． 【分析】（1）取格点，连接，交过点且垂直的直线于，则； （2）延长至，使，连接，取的中点，连接，交于，则平分，取格点，，连接，，，则四边形是平行四边形，取格点，，连接，交于，连接，则为所求线段． 【解答】解：（1）如图1，为所求线段，为所求角； （2）如图2，为所求线段，为所求线段． 6．如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，，在三角形的顶点处，且，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）． （1）过点作的垂线段，使其长度为； （2）过（1）中的点作的平行线段，使其长度为3； （3）作一个平行四边形，使得各边的中点分别为，，，，为（2）中的点）． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）作图见解答过程； （3）作图见解答过程． 【分析】（1）根据等边三角形性质，找到点，连接即可； （2）按要求，找到符合题意的，连接即可； （3）利用等边三角形性质，根据中点定义，找到、、、，连接成四边形即可． 【解答】解：（1）过点作的垂线段，使其长度为，作图如下： （2）过点作的平行线段，使其长度为3，如图： （3）作平行四边形，使得各边的中点分别为，，，，如图： 7．（1）如图1，矩形的顶点在射线上，顶点、在射线上，且，只用无刻度的直尺作的角平分线； （2）如图2，为菱形中边的中点，只用无刻度的直尺在对角线上求作点，使． 【答案】（1）角平分线即为所求； （2）点即为所求． 【分析】（1）连接和交于点，连接并延长，即可得的角平分线； （2）连接与交于点，根据菱形的性质可得，，再根据三角形中位线定理即可得． 【解答】解：（1）如图，角平分线即为所求； （2）如图，点即为所求． 8．图①、图②、图③均是的矩形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中，过点作△边上的中线； （2）在图②中，过点作线段，将△分为面积相等的两部分； （3）图③中，在△内找一点，连结，，，使得． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【分析】（1）先作中线，相交于为，连接并延长交于即可； （2）作△的中线即可； （3）作△的中线，相交于即可． 【解答】解：（1）如图，线段即为所求， 由平行线分线段成比例，可得点、分别是边、的中点， 、是△的中线， 点是△的重心， 是△的中线； （2）如图，线段即为所求， 由平行线分线段成比例，可得点是边的中点， 是△的中线， ； （3）如图，点即为所求， 、是△的中线， 点是△的重心，，， 是△的中线．，， ，，， ， ． 9．利用下列结论进行画图（仅用无刻度的直尺）和计算：锐角三角形的三条中线相交于三角形内部一点；三条角平分线相交于三角形内部一点：三条高线相交于三角形内部一点． （1）如图1：已知，、分别是、的中点，请你在上找一点，使能平分的面积．（2）如图2：已知在中，，线段、把三等分，线段、把三等分，连接，则　 　． （3）如图3：在正方形网格中，的三个顶点的位置如图所示，请你作出的高． 【答案】（1）作图见解析过程； （2）46； （3）作图见解析过程． 【分析】（1）连接，，两条中线交于点，连接并延长和交的交点即为； （2）根据角平分线的性质和三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形内角平分线的交点性质得出是角平分线即可求解； （3）直接根据网格定点，，分别作出和的垂线，，两垂线交于点，连接并延长交于，即为所求的高． 【解答】解：（1）如图1，点即为所求； （2）线段、把三等分，线段、把三等分， ，， 平分，平分，，， ， 平分，平分，且交于点， 点是内角平分线的交点， 是角平分线， ， 故答案为：46； （3）如图3，即为所求的高． 考向07 数学方法探究 1．[建系法]（2025•宝山区二模）【问题】如图1，在△中，，，，是边上的点，连接，，求的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图2，以为原点，、所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系． 过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、， 由平行轴，可得， 由，，可得， 同理可得，，于是点坐标是， ． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图3，在△中，，，，点、分别在边、上，，，连接，点、分别在线段、上，，连接，求的长． 【答案】． 【分析】以为原点，、所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，过点作轴，轴于点，证明△△，，得出，同理得出，得出点坐标是，同理得出点坐标是，根据两点间距离公式求出结果即可． 【解答】解：如图，以为原点，、所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，过点作轴，轴于点， ， 轴， △△， ， ，， ， 同理可得，， 点坐标是， 同理可得，点坐标是， ． 2．综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 （1）根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心； （2）我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数． 【答案】（1）如图所示，重心即为所求： （2）． 【分析】（1）延长交于点，则重心即为所求； （2）过点作，垂足为点，延长交于点，易证且必过△重心，即为边上的中线，根据，推出，得到，证明△为等边三角形，得到，进而推出，根据，即可求解． 【解答】解：（1）延长交于点，则重心即为所求，如图所示，重心即为所求： （2）解：过点作，垂足为点，延长交于点， ，， ， 为重力作用线，是水平线， 且必过△重心，即为边上的中线， ， ， ， ， △为等边三角形， ， ， ， ． 考向08 以教材案例分析为背景的探究问题 1．学习《相似三角形》后，沪老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点把线段分成和两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点，分别落在边，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】活动一：作图见解析过程； 活动二：证明见解析过程． 【分析】活动一：作，，如图，四边形是所求作的平行四边形； 活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点是线段的黄金分割点． 【解答】活动一：解：如图所示，四边形是所求作的平行四边形． 活动二：证明：在中，， 是菱形， ，，， ，， ，， ， 是边上的高， ， ， ． ， 点是线段的黄金分割点． 2．（2024•闵行区二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次联结、、、、、． （1）根据正多边形的定义，我们只需要证明 　　，　　． （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次联结、、、、，那么五边形是正五边形 （2）已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，． 【答案】（1），； （2），证明见解答过程． 【分析】（1）根据正多边形的定义可知需要证明，，就可证明六边形是正六边形； （2）连接，，，，，求出，，，可得，，即可知，由为直径，可得，故，证明，得到，同理可得，即可证明，从而，，五边形是正五边形． 【解答】解：（1）根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形； 故答案为：，； （2）连接，，，，，如图： 根据题意，可得，， 点为半径的中点， ， ， 以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点， ， ， ， 以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截得交点， ， 为直径， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， ，， ，， 五边形是正五边形． 考向09 图形新定义问题 1．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图1，在邻余四边形中，，则 ； （2）如图2，在△中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； （3）如图3、图4，在邻余四边形中，为的中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】（1）； （2）证明详见解答； （3）①四边形为平行四边形，证明详见解答； ②的长为10． 【分析】（1）根据邻余四边形的定义即可作答； （2）垂直平分，，，根据勾股定理逆定理，，即可证明； （3）①四边形是邻余四边形，，进而推出△△，，四边形是平行四边形，进而即可证明； ②延长到点，使得，连接、，推出△△，，则，进而作答即可． 【解答】解：（1）邻余四边形，为锐角， ， ， 故答案为：； （2）证明：垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形； （3）①四边形为平行四边形， 四边形是邻余四边形， ， ， ， ， ，， ，， 是中点， ， △△， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 、、三点共线且， ．， ， ， ， ，， ，， 是中点， ， △△， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 、、三点共线，， ，， 四边形是平行四边形； ②如图，延长到点，使得，连接、， ，，， △△， ，， 四边形是邻余四边形， ， ，即， ， ，， ， 的长为10． 刷模拟 1．（2025•嘉定区二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】请在图1中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形（不需要证明） 【答案】【初步感知】；【实践探究】【拓展延伸】见解析． 【分析】【初步感知】利用正五边形与等腰三角形的性质求解； 【实践探究】连接，交于点，四边形即为所求； 【拓展延伸】各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【解答】解：【初步感知】，， ； 【实践探究】如图，四边形即为所求． 【拓展延伸】如图2中，正五边形即为所求． 2.（2025•青浦区二模）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点、、、、、是网格的格点． （1）请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图； （不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点； ②在图2中，作出△的重心； （2）利用②的作图结果，求的值． 【答案】（1）①见解答． ②见解答． （2）． 【分析】（1）①利用网格直接画图即可． ②结合三角形的重心的定义，取的中点，的中点，连接，相交于点，则点即为所求． （2）由图可得，，结合勾股定理求出的长，进而可得答案． 【解答】解：（1）①如图1，即为所求． ②如图2，取的中点，的中点，连接，相交于点， 则点即为所求． （2）由图可得，． 由勾股定理得，， ， 的值为． 3．（2025•杨浦区二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，△是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 【答案】花圃一：作图见解析，半圆形步道的半径为；花圃二：作图见解析，半圆的半径为． 【分析】花圃一：分别以点和点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，连接交于点即为所求的圆心；过点作于点，利用三线合一得到勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； 花圃二：延长，交于点，尺规作的角平分线交于点即为所求作的圆心；过点作于点，过点作于点，设，则，，，根据列方程求解即可． 【解答】解：花圃一：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 分别以点和点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，连接交于点即为所求的圆心，如图所示，点即为所求作的圆心； 过点作于点，故为半圆的半径， ，由作图得，垂直平分， ， ， ， ， 半圆形步道的半径为； 花圃二：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 延长，交于点，尺规作的角平分线交于点即为所求作的圆心，如图所示，点即为所求作的圆心， 过点作于点，过点作于点， ，且，为半圆的半径， ， △是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， ， 解得， ， 半圆的半径为． 4．（2025•浦东新区校级三模）纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是，定义了、、三组纸张尺寸． （1）观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为　 　 ； （2）探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点．则　　 ； （3）拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．则　　 ． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据折叠的特征可得纸的长边与重合，即长边为正方形的对角线，结论可得； （2）证明△△，得出，则可得出答案； （3）延长、相交于点．由勾股定理求出的长，证明△△，得出，则可得出答案． 【解答】解：（1）如图， 由折叠过程可以看到：第一次折叠，与重合，四边形为正方形，折痕为对角线，由勾股定理可得； 第二次折叠，第一次的折痕与纸较长的边重合，即与较长边重合．所以较长边． 纸较长边与较短边的比为：． 故答案为：； （2）如图， 设，， 折叠，使点落在上， ， ， 矩形， ， ， ， △△， ， ， ， ， 故答案为：； （3）延长、相交于点． 根据折叠的性质得， 正方形， ， ， ， ，， ， ， ， ， △△， ． ． 刷真题 1．（2025•上海）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究． （1）如图1，梯形中，，，点是中点，是梯形的顶点，将△绕旋转得到△，若，且此时，求的长（用含的代数式尝试表示）； （2）如图2，梯形，，，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点．（模仿1中的表述：点是中点，是梯形的顶点） 【分析】（1）如图1中，过点作于点．证明，，再证明可得结论； （2）取，，的中点，，，连接，延长交的延长线于点，连接，延长交的延长线于点即可， 【解答】解：（1）如图1中，过点作于点． ，， ， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， ，， △△， ， ，， ， ； （2）图形如图2所示． 方法：取，，的中点，，，连接，延长交的延长线于点，连接，延长交的延长线于点， 【点评】本题考查作图旋转变换，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2024•上海）同学用两副三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）． （1）若直角三角形斜边上的高都为，求： ①两个直角三角形的直角边（结果用表示）； ②平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边． 【分析】（1）①解直角三角形即可求解；②由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （2）根据题意画出图形即可． 【解答】解：（1）①如图，△为等腰直角三角板，，则， 如图，△为含的直角三角形板，，，，则，； 综上，等腰直角三角板直角边为 ，含 的直角三角形板直角边为和 ； ②由题意可知， 四边形是矩形， 由图可得，，， ， 故小平行四边形的底为 ，高为 ，面积为 ， ，， ， ， ， 底， ； 平行四边形的高； （2）如图，即为所作图形． 【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 2 / 87 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题04 作图与证明问题（专项训练） （9大考向） 考向01 三角板拼图问题 1．同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形（直角三角板互不重叠），两个直角三角形斜边上的高都为． （1）①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边（结果用表示）； ②求四边形的面积． （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 2．（2025•徐汇区一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为、、的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出、、的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了、的三角比． （1）计算：； （2）小杰的一副特制的三角板，如图1，在△和△中，，，，；小杰的想法是：将△和△的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 考向02 三角形背景下的作图与证明问题 1．（2024•宝山区校级二模）某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆． 解决问题： （1）以城镇为出发点，设计了两种连接方案： 装①如图1，为中点）； ②如图2，为三边的垂直平分线的交点）． 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ （2）尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出（1）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法）． 2．（2025•奉贤区三模）（1）在△中，记、、的对边分别为、、． ①如图1，当△是等边三角形（即时，△的面积为 　 　 （结果用含的代数式表示）； ②如图2，当，，时，求△的面积； （2）三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形（如图3所示），当大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍时，直接写出、满足的数量关系 　　 ． 考向03 四边形背景下的作图与证明问题 1．如图（1），△． （1）请利用无刻度的直尺和圆规，在平面内找一点，使四边形为平行四边形； （2）如图（2），如果平行四边形的面积为，在上取任意一点，在上任取一点，连接，，，，设与交于点，与交于点，如果△的面积为，△的面积为，则△和△的面积和为多少？（用含、和的式子表示） 2．（2025•徐汇区二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别联结、．那么四边形就是所求作的四边形． （1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； （2）如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 3．（2024•河南）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　 　 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在△中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 考向04 圆背景下的作图与证明问题 1．按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，经过，，三个格点，用无刻度的直尺作出圆心； （2）如图2，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点．请仅用无刻度直尺在图中作出的重心． 2．有这样一道尺规作图题： 如图，点，，在上，连接，．求作：的中点． 下面是小东的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在右侧交于点，作射线交于点，则点即为所求． （1）在图中根据小东的作法画出点，试判断小东的作法是否正确，并说明理由． （2）请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 3．问题提出 （1）如图①，已知线段，请画出满足的所有点组成的图形； 问题探究 （2）如图②，在边长为4的正方形内部有一点，当满足时，求△面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，某演出场地的三个角落里分别有三盏效果灯、、，其中米，米，米，这三盏效果灯的转动速度相同，且效果灯与的灯光始终可汇聚于一点．经过反复调试，发现三盏效果灯的灯光可以同时汇聚于一点（即，请你找出满足条件的点，并说明理由．若将点建为该演出场地的一个新角落，求该演出场地（即以点、、、为顶点的四边形）面积的最大值． 考向05 函数背景下的作图与证明问题 1．（2025•普陀区二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②在轴的正半轴上截取，过点作轴交函数的图象于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 （1）根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数 的图象在图1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） （2）平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 考向06 用无刻度的直尺画图问题（高频考点） 1．如图，△中，边的垂直平分线交于点，交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，在边作一点，使； （2）在图2中，将△向方向平移得到△，点的对应点为，作矩形，使． 2．（2025•长宁区二模）我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图 ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④联结． （1）求证：小明画出的四边形是平行四边形； （2）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点均在格点上，点在边上，．请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 3．（2025•浦东新区校级三模）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹）． （1）在图①中，过点画直线． （2）在图②中，过点画直线． （3）在图③中，在边上取一点，使得． 4．如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点，请仅用无刻度的直尺按要求画格点三角形（三角形的顶点均在格点上）． （1）在图①中画一个等腰三角形，使底边长为，点在上，点在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转后的△． （2）在图②中画一个△，使，点在上，点在上． 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先将绕点顺时针旋转，得到线段，再在上画点，使得； （2）在图2中，先画平分交于点，再画线段，使得，且． 6．如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，，在三角形的顶点处，且，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）． （1）过点作的垂线段，使其长度为； （2）过（1）中的点作的平行线段，使其长度为3； （3）作一个平行四边形，使得各边的中点分别为，，，，为（2）中的点）． 7．（1）如图1，矩形的顶点在射线上，顶点、在射线上，且，只用无刻度的直尺作的角平分线； （2）如图2，为菱形中边的中点，只用无刻度的直尺在对角线上求作点，使． 8．图①、图②、图③均是的矩形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中，过点作△边上的中线； （2）在图②中，过点作线段，将△分为面积相等的两部分； （3）图③中，在△内找一点，连结，，，使得． 9．利用下列结论进行画图（仅用无刻度的直尺）和计算：锐角三角形的三条中线相交于三角形内部一点；三条角平分线相交于三角形内部一点：三条高线相交于三角形内部一点． （1）如图1：已知，、分别是、的中点，请你在上找一点，使能平分的面积．（2）如图2：已知在中，，线段、把三等分，线段、把三等分，连接，则　 　． （3）如图3：在正方形网格中，的三个顶点的位置如图所示，请你作出的高． 考向07 数学方法探究 1．[建系法]（2025•宝山区二模）【问题】如图1，在△中，，，，是边上的点，连接，，求的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图2，以为原点，、所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系． 过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、， 由平行轴，可得， 由，，可得， 同理可得，，于是点坐标是， ． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图3，在△中，，，，点、分别在边、上，，，连接，点、分别在线段、上，，连接，求的长． 2．综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 （1）根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心； （2）我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数． 考向08 以教材案例分析为背景的探究问题 1．学习《相似三角形》后，沪老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点把线段分成和两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点，分别落在边，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点． 2．（2024•闵行区二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次联结、、、、、． （1）根据正多边形的定义，我们只需要证明 　　，　　． （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次联结、、、、，那么五边形是正五边形 （2）已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，． 考向09 图形新定义问题 1．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图1，在邻余四边形中，，则 ； （2）如图2，在△中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； （3）如图3、图4，在邻余四边形中，为的中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 刷模拟 1．（2025•嘉定区二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】请在图1中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形（不需要证明） 2.（2025•青浦区二模）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点、、、、、是网格的格点． （1）请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图； （不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点； ②在图2中，作出△的重心； （2）利用②的作图结果，求的值． 3．（2025•杨浦区二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，△是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 4．（2025•浦东新区校级三模）纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是，定义了、、三组纸张尺寸． （1）观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为　 　 ； （2）探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点．则　　 ； （3）拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．则　　 ． 刷真题 1．（2025•上海）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究． （1）如图1，梯形中，，，点是中点，是梯形的顶点，将△绕旋转得到△，若，且此时，求的长（用含的代数式尝试表示）； （2）如图2，梯形，，，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点．（模仿1中的表述：点是中点，是梯形的顶点） 2．（2024•上海）同学用两副三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）． （1）若直角三角形斜边上的高都为，求： ①两个直角三角形的直角边（结果用表示）； ②平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边． 2 / 87 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $