专题13.5 直线与平面的位置关系（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“直线与平面的位置关系”核心知识点，系统梳理位置关系的定义、线面平行与垂直的判定及性质定理，衔接点面距离、线面距离和线面角的计算，构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 该资料以10类典型题型为主线，搭配例题与变式题，通过图形直观与符号语言培养数学语言表达，在推理证明与计算中发展数学思维。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过举一反三巩固知识，查漏补缺。

专题13.5 直线与平面的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 直线与平面的位置关系】 1 【题型2 直线与平面平行的判定】 4 【题型3 由线面平行的性质判定线线平行】 8 【题型4 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 10 【题型5 由线面平行求线段长度】 14 【题型6 直线与平面垂直的判定】 20 【题型7 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 24 【题型8 由线面垂直判断线段比例或点所在的位置】 27 【题型9 求点面距离、线面距离】 32 【题型10 直线与平面所成的角】 36 知识点1 空间中直线与平面的位置关系 1．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 【题型1 直线与平面的位置关系】 【例1】（24-25高一下·湖南·期末）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解题思路】根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可. 【解答过程】对于A：若，，则或或，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则，故C正确； 对于D：若，，则或与异面或与相交，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·广西梧州·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】由，分析出与的所有位置关系即可判断A，由，分析出的所有位置关系，即可判断B，由，分析出与的所有位置关系即可判断C；由，分析出的所有位置关系，即可判断D. 【解答过程】由，得与相交或 或，故A错误； 由，得，故B正确； 由，得或，故C错误； 由，得或相交或异面，故D错误. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【解题思路】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【解答过程】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一下·广东·月考）已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，，则与必异面 B．若点，点，则直线 C．若，，则 D．若点，点，则直线与相交 【答案】D 【解题思路】应用线面位置关系，线线位置关系关系判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，若，，则与平行或相交、或异面，故A为假命题； 对于B，若点，点，则直线平面或直线与平面相交，故B为假命题； 对于C，若，，则与平行或异面，故C为假命题； 对于D，若点，点，则直线与平面相交，故D为真命题； 故选：D. 知识点2 直线与平面平行 1．直线与平面平行的判定定理 (1)自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (2)图形语言 (3)符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. 2．直线与平面平行的性质定理 (1)自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. (2)图形语言 (3)符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (4)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. (2)利用直线与平面平行的判定定理：a⊂α，a∥b，b⊂α，则a∥α.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. (3)利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. 【题型2 直线与平面平行的判定】 【例2】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【解答过程】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·湖北·期末）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用线面平行判定定理逐项验证即可求解． 【解答过程】对于①：如图，取中点，连接，则有，又平面，所以与平面相交，故①错误 对于②：由，，所以，又平面，不在平面上，所以平面，故②正确； 对于③：由，又平面，不在平面上，所以平面，故③正确； 对于④：由，又平面，不在平面上，所以平面，故④正确. 故选：C. 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【解答过程】连接，再连接， 由底面为平行四边形，可得为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【变式2-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证. 【解答过程】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 【题型3 由线面平行的性质判定线线平行】 【例3】（24-25高二下·四川绵阳·月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 【答案】证明见详解 【解题思路】连接交于点，连接，先利用三角形中位线性质和线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证. 【解答过程】连接交于点，连接， 因为ABCD是平行四边形，所以为中点， 又M是PC的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以.    【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为正方形，设平面与平面的交线为．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据线面平行的判定及性质即可证明． 【解答过程】证明：在正方形中，， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知：，是两个平面，，是两条直线，且，，.求证：.    【答案】证明见解析 【解题思路】利用线面平行的判定定理和性质定理证明即可得出结果. 【解答过程】如图所示，过作平面交平面于， 因为，所以，同样过作平面交平面于， 因为，所以，所以， 又，，所以， 又，，所以，所以. 【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】由成比例得到，由线面平行的判定得到平面，由线面平行的性质得到，再由平行的传递性得到. 【解答过程】证明：， ， 平面，平面， 平面． ，， 平面平面， 平面，平面，平面平面， ，又， . 【题型4 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例4】（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【解答过程】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【解答过程】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【答案】 【解题思路】根据线面平行的性质定理得到，然后利用相似和菱形的性质求比值即可. 【解答过程】解：如图，连接BD交AC于点，连接OM． 因为平面MEF，平面平面，平面PAC， 所以，所以． 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以． 又，所以， 故，即的值为． 【变式4-3】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定. 【解答过程】（1）连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. （2）假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 【题型5 由线面平行求线段长度】 【例5】（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】过作交于，利用线面平行的性质可得 ，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【解答过程】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为平面，平面平面，平面， 所以，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 故选：B． 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【解答过程】连接，，则过点，如图所示： ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【答案】 【解题思路】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解. 【解答过程】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以.    【变式5-3】（24-25高一下·福建厦门·月考）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【解题思路】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【解答过程】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 知识点3 直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 3．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 4．点面距离、线面距离 (1)点到平面的距离 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. (2)直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. (3)点到平面的距离的常见求法 ①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. 5．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. (3)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形). 【题型6 直线与平面垂直的判定】 【例6】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【解答过程】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解题思路】由线面垂直定义和判定定理进行辨析即可. 【解答过程】对于①，∵平面，平面，∴， 又∵ ，，平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，③，由①，∵平面，平面，∴， 又∵，为的中点，∴， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，故②，③正确； 对于④，假设平面，则∵平面，∴， 又∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴，∴中，， 又∵ ，∴中，，∴，， ∴假设不成立，故④错误. ∴正确的有①②③，共个. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过构造平行四边形找到与平面内直线平行的线，从而证明线面平行； （2）根据线面垂直的性质和矩形的性质证明线面垂直. 【解答过程】（1）如图取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，在中，，且， 又因为底面为矩形，是的中点， 所以，且， 由此可得，且， 所以四边形是平行四边形， 那么， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形，所以， 而，、平面， 又平面， 所以平面. 【变式6-3】（24-25高一下·广东湛江·期末）如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由为矩形，得，又平面得，可知平面，从而，得证平面. （2）先证平面,得再证平面，得从而平面证明. 【解答过程】（1）为矩形， 平面平面 ， 又与平面， 平面． 又平面 又与平面， 平面. （2）由（1）知，平面 又与平面 平面；平面，所以； 为矩形 平面是平面内两条相交直线 平面 平面 平面平面， . 【题型7 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【答案】C 【解题思路】连接，易知，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证面，最后由线面垂直的性质确定与的位置关系. 【解答过程】 连接，因为是菱形，所以， 又菱形所在的平面，面，所以， 又，面，所以面，面， 所以 . 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【解题思路】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【解答过程】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【解答过程】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直得出线线垂直，即证明平面. 【解答过程】证明：如图，记与交于点，连接． 因为是平行四边形对角线的交点，所以为的中点． 因为，所以． 因为为中点，所以，又，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以． 【题型8 由线面垂直判断线段比例或点所在的位置】 【例8】（24-25高一下·山西·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案. 【解答过程】∵，，∴平面，故， 作交于点， 此时平面，在矩形中，， 所以四边形是正方形，所以，所以， 又为的中点， 所以为的中点，即，所以， 则实数的值为1， 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可. 【解答过程】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【解题思路】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【解答过程】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 【变式8-3】（2025·全国·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；. 【解题思路】在平面内找到一条直线与平行即可. 若平面，又由已知条件平面，平面与平面必然平行，因此容易想到为线段的中点，再证明即可. 【解答过程】（1）取中点，连接，， 在中，因为，分别是，中点， 所以，且， 在平行四边形中，因为是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）在线段上存在点，使得平面， 取的中点，连，连， 因为平面，平面，平面， 所以，， 在中，因为，分别是，中点，所以， 又由（1）知，所以，， 由得平面， 故当点是线段的中点时，平面.此时，. 【题型9 求点面距离、线面距离】 【例9】（24-25高一下·广西柳州·期末）在棱长为的正方体中，点到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】作出辅助线，得到线面垂直，点到平面的距离为的长，最后根据正方体的性质即可得解. 【解答过程】如图所示，连接，交于点， 因为四边形为正方形， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方体棱长为2， 所以， 所以点到平面的距离为. 故选：C.    【变式9-1】（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【解答过程】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 【变式9-2】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由线面垂直的性质得到，结合，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； （3）在平面内过点作交于点，即可证明平面，再求出，即可得解. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； （3）在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 【变式9-3】（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论. 【解答过程】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面， 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度， 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为. 【题型10 直线与平面所成的角】 【例10】（2025·江苏苏州·模拟预测）正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【解答过程】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴ ， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 【变式10-1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【解答过程】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 【变式10-2】（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解题思路】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【解答过程】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 【变式10-3】（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.5 直线与平面的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 直线与平面的位置关系】 1 【题型2 直线与平面平行的判定】 3 【题型3 由线面平行的性质判定线线平行】 4 【题型4 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 6 【题型5 由线面平行求线段长度】 7 【题型6 直线与平面垂直的判定】 11 【题型7 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 12 【题型8 由线面垂直判断线段比例或点所在的位置】 13 【题型9 求点面距离、线面距离】 15 【题型10 直线与平面所成的角】 16 知识点1 空间中直线与平面的位置关系 1．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 【题型1 直线与平面的位置关系】 【例1】（24-25高一下·湖南·期末）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-1】（24-25高一下·广西梧州·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【变式1-3】（24-25高一下·广东·月考）已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，，则与必异面 B．若点，点，则直线 C．若，，则 D．若点，点，则直线与相交 知识点2 直线与平面平行 1．直线与平面平行的判定定理 (1)自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (2)图形语言 (3)符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. 2．直线与平面平行的性质定理 (1)自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. (2)图形语言 (3)符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (4)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. (2)利用直线与平面平行的判定定理：a⊂α，a∥b，b⊂α，则a∥α.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. (3)利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. 【题型2 直线与平面平行的判定】 【例2】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·湖北·期末）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面. 【变式2-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【题型3 由线面平行的性质判定线线平行】 【例3】（24-25高二下·四川绵阳·月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为正方形，设平面与平面的交线为．求证：． 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知：，是两个平面，，是两条直线，且，，.求证：.    【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【题型4 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例4】（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【变式4-3】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型5 由线面平行求线段长度】 【例5】（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【变式5-3】（24-25高一下·福建厦门·月考）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 知识点3 直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 3．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 4．点面距离、线面距离 (1)点到平面的距离 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. (2)直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. (3)点到平面的距离的常见求法 ①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. 5．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. (3)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形). 【题型6 直线与平面垂直的判定】 【例6】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-2】（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 【变式6-3】（24-25高一下·广东湛江·期末）如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【题型7 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【变式7-1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【变式7-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 【题型8 由线面垂直判断线段比例或点所在的位置】 【例8】（24-25高一下·山西·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式8-1】（24-25高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【变式8-3】（2025·全国·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型9 求点面距离、线面距离】 【例9】（24-25高一下·广西柳州·期末）在棱长为的正方体中，点到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式9-1】（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【变式9-3】（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【题型10 直线与平面所成的角】 【例10】（2025·江苏苏州·模拟预测）正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【变式10-3】（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $