清单02 高考数学考前重点题型归纳（汇总版，含28个专题，813个重点题型，抢分清单）2026年高考数学终极冲刺讲练测

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 清单02 高考数学考前重点题型归纳 (含28个专题，813个重点题型) 内容导览 题型01集合5个重点题型 题型02常用逻辑用语13个重点题型 题型03复数15个重点题型 题型04平面向量26个重点题型 题型05等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06三角函数与诱导公式11个重点题型 题型07三角恒等变换24个重点题型 题型08三角函数的图象及性质40个重点题型 题型09解三角形小题35个重点题型 题型10解三角形大题36个重点题型 题型11函数的概念及其表示10个重点题型 题型12函数的基本性质45个重点题型 题型13指数对数幂函数40个重点题型 题型14函数的图象6个重点题型 题型15函数与方程与函数模型22个重点题型 题型16导数小题36个重点题型 题型17导数大题40个重点题型 题型18数列小题40个重点题型 题型19数列大题25个重点题型 题型20立体几何小题35个重点题型 题型21立体几何大题35个重点题型 题型22直线与圆32个重点题型 题型23圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题型24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题型25排列组合27个重点题型 题型26二项式定理17个重点题型 题型27概率统计小题52个重点题型 题型28概率统计大题35个重点题型 1/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重点题型归纳 第四部分 题型22 直线与圆32个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 利用两直线垂直的充要条件（斜率乘积为一1或一般式系数关系)列方 两直线垂直求参数 程求解。 动直线过定点与点到直 将含参直线方程整理为关于参数的形式，令参数系数为零得定点；当 线距离最值 直线与定点连线垂直时，点到直线距离最大，最大值即为两点间距离。 直线与圆相交的弦长最 直线过圆内定点，弦长最小时，圆心到直线的距离最大（即直线与定 值 点、圆心连线垂直)，利用弦长公式求解。 判断两圆位置关系，利用几何性质：两圆相交时，外公切线交点位于 两圆相交的公切线交点 圆心连线上，且到两圆心距离之比等于半径之比，结合定比分点公式 求交点坐标。 由弦长公式得圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式列方程求 5 已知弦长求参数 解参数。 点与圆、直线与圆位置关 点与圆位置关系由点到圆心距离与半径比较判断；直线与圆位置关系 6 系的充要条件 由圆心到直线距离与半径比较判断；结合充要条件定义判断。 直线与圆相交求斜率范 设直线点斜式，由圆心到直线距离小于半径列不等式，解出斜率范围， 7 围 注意斜率不存在的情况。 平行直线与圆相交构成 平行直线与圆相交，若四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相 矩形 等，由距离公式列方程求参数和。 9 圆关于直线对称与圆上 利用对称性设出圆的标准方程，代入已知点求圆心半径；圆上点到直 点到直线距离最值 线距离的最大值和最小值分别为圆心到直线距离加减半径，求和即得。 分别求出两圆圆心和半径，根据外切或内切列出圆心距等于半径和或 10 两圆相切求参数 差，解方程求参数，注意分类讨论。 圆外一点与圆上点新成 过圆外一点作圆的两条切线，当点与切点连线与圆相切时，该点与圆 11 角最大问题 上点连线的夹角最大，利用直角三角形边角关系求解。 12 圆与直线相切及弦长求 由切点与圆心连线垂直于切线求圆心坐标满足的方程，再由弦长公式 半径 和点到直线距离公式列方程组求半径。 求两圆上动点与直线上动点距离之和的最小值，可作一圆关于直线的 13 动点最值问题（对称转化） 对称圆，将问题转化为圆心距减去半径之和。 直线与圆相交的弦长最 直线过圆内定点，当圆心到直线距离最大时弦长最小，此时直线与过 14 值 定点和圆心的直线垂直，利用几何关系求弦长及余弦值。 切点弦所在直线过定点 设切点，利用切点弦方程，通过恒等式求出直线过定点，则点到直线 及点到直线距离最值 距离的最大值为该点与定点之间的距离。 轨迹方程与切线夹角最 由垂足定义得轨迹为圆，过圆外一点作圆的两条切线，切线夹角的正 16 值 弦最大值对应圆心角最值，通过几何关系求解。 弦中点轨迹与两圆有公 由弦长和半径得弦心距，从而得弦中点轨迹为圆；两圆有公共点等价 共点求参数 于圆心距介于半径差与和之间，列不等式求参数范围。 2/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18 取弦中点，将向量数量积转化为圆心到弦中点的距离与半径的关系， 向量数量积的最值 结合几何意义求最大值。 o 直线与圆相交的圆心角 由圆心角范围得到圆心到直线的距离范围，利用点到直线距离公式列 范围求参数 不等式，结合直线过圆上定点，解出参数范围。 直线过定点、弦长、相交 将直线方程变形得定点；利用弦长公式和点到直线距离公式判断；根 20 与相切的条件（多选题） 据圆心到直线距离与半径关系判断位置关系。 点到直线距离、两圆相交 判断直线与圆相离，求最小距离；两圆方程相减得公共弦方程，再求 21 弦长、公切线、曲线交点 弦长；由圆心距与半径关系判断公切线条数；联立曲线方程求交点， 面积（多选题） 再求三角形面积。 圆上点到直线距离最值、 四边形面积最值、数量积 利用圆心到直线距离求圆上点到直线距离最值；将四边形面积表示为 22 切线长与半径乘积，利用勾股定理求最值；利用数量积定义结合函数 最值、切点弦方程（多选 单调性求最值；以切点弦所在直线为两圆公共弦，联立方程求解。 题) 由圆心距与半径和差判断位置关系；两圆相交时，公共弦所在直线方 23 两圆位置关系、公共弦方 程、公切线（多选题） 程为两圆方程相减；圆心到直线距离等于半径时直线为切线。 两圆方程相减得公共弦所在直线，求圆心到直线距离，再利用弦长公 24 两圆公共弦长 式求解。 由向量数量积为零得两半径垂直，从而圆心到直线的距离等于半径的 直线与圆相交的等腰直 25 角三角形条件求参数 兰倍，利用点到直线距离公式求参数。 等边三角形与直线与圆 26 等边三角形边长为圆半径，故圆心到直线的距离为半径的倍，代入 相交求参数 距离公式求解。 与两平行直线相切的圆 设圆心坐标，利用圆心到两直线距离相等且等于半径，列方程组求解 27 方程 圆心和半径。 矩形对角线中点轨迹与 28 由矩形性质得对角线中点相同且相等，转化为求中点轨迹圆上点到定 距离范围 点距离的范围，再转化为弦长范围。 圆过两点且圆心在直线 29 上，求与圆相交的直线参 先求圆心和半径，再由圆心到直线距离小于半径列不等式解参数范围。 数范围 由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，由圆过定点得圆心到定 直线与圆相切且圆过定 30 点距离等于半径，转化为圆心到两直线距离相等，利用几何意义求半 点，求半径最小值 径最小值。 31 动直线交点轨迹与分式 两动直线垂直且过定点，交点轨迹为圆；将分式变形为斜率形式，转 最值 化为圆上点到定点斜率的最值，利用切线求最值。 动点轨迹与线段长度最 由圆的切线性质得动点满足的等式，化简得轨迹为直线，则线段长度 32 小值 的最小值即为原点到该直线的距离。 一、单选题 1.(2026四川绵阳模拟预测)若直线：x+y-1=0与直线l:c-y+2=0(k∈R)垂直，则k=() A,-1 B.0 C.1 D.2 3/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026重庆模拟预测)点A(6,1)到直线1：(52-1)x-(27入-1)y+22=0的最大距离是() A.4 B.5 C.6 D.V34 3.(2026云南模拟预测)已知直线1：ax-by+2a+b=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于A、B两点，则 AB的最小值为() A.2 B.22 C.4 D.42 4.(2026广东佛山一模)圆O:x2+y2=4和圆02：x2+y2+6x+8y+9=0的两条公切线的交点坐标为 () A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 5. (2025高三全国.专题练习)已知直线l:mx-y-m+1=0与圆C:(x-2)}+(y-1)2=1交于A,B两点， 若∠ACB=90°，则m=() A.-1 B.√2 C.±√2 D.±1 6. (2026江西南昌一模)己知圆0：x2+y2=1,p:点P(a,b)在圆0外，9：直线1：+by=1与圆0有 两个公共点，则P是9的()条件 A,充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 7.(2026山东模拟预测)在平面直角坐标系中，过点P(3,4)的直线1与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0有两 个交点，则直线1斜率的取值范围是() A. B. c( 8. (2026四川德阳二模)若两条直线l:y=2x+m,12:y=2x+n与圆x2+y2=16的四个交点能构成矩形， 则m+n=() A.0 B,1 C.2 D.4 9. (2026福建泉州一模)已知直线1：x-y-2=0,圆C关于y轴对称，且过点A(-1,3),B(1,1),则圆C上 的点到1的距离的最大值与最小值之和等于() A.2 B.2W2 C.32 D.4V2 10.(2026湖南怀化一模)已知圆C:(x-1)2+y2=1与圆C2:(x+2)2+(y-4)2=a2(a>0)相切，则a= 4/69 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.4 B.6 C.4或6 D.16或36 11.(2026广东广州二模)己知点P在圆(x-2)2+y2=1上，点O(0,0),A(1,1),当∠POA最大时，则 coS∠POA=() A.3+2 B.5-V2 C.6+2 D.6-V2 2 2 4 4 12.(2026湖南模拟预测)已知圆E与直线y=x相切于点A(1,1),与直线y=-x相交于B,C两点，且 |BC=4,则圆E的半径为() A.5 B.√6 c.万 D,2W2 13.(2026广东茂名一模)已知P,M,N分别为直线x-y-3=0,圆C:x2+y2=1,圆C2:x2+y2+2x=0 上的动点，则PM+PN的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 14.(25-26高三上广东期末)设动直线1：mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:(x-4)}+(y-5)}=12于 A,B两点（点C为圆心），当∠ACB最小时其余弦值为() A.2 B.4 c. D.1 6 15.(2026湖北孝感二模)在平面直角坐标系x0y中，已知圆0：x2+y2=16,点M(-2,0).点P在直线 2x+y+10=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B,则点M到直线AB的距离的最大值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 16.(2026广东汕头模拟预测)M(-3,2)为平面直角坐标系x0y中一点，直线的方程为 1:ax+y+a=0(a∈R),过点M作1的垂线，垂足为Q,记Q点的轨迹为曲线E,过直线x+y-4=0上任 意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B,则∠APB正弦值的最大值为() A号 B.27 c.3v27 D.4V27 5 10 25 17.(25-26高二下·江西赣州开学考试)点A,B是圆C:(x-2)2+(y-m)2=4上两点，1AB=2√3，若在 圆C2:(x-2)2+(y+1)2=9上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为() A.[-5,-3]U1,3]B.[-3,-1U3,5]C.1,3] D.[3,5] 5/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(2026辽宁大连一模)已知点P是圆C:(x-2)+y2=4上一点，直线：x-y-k+1=0与圆C相交于 A,B两点，则PA+PB的最大值为() A.2+V2 B.2+2√2 C.4+V2 D.4+2√2 19.(2026辽宁抚顺一模)已知直线1：y=x+2与圆C:(x-V3+(y+1)}=12相交于A、B不同两点，劣 弧所对的圆心角为∠ACB,若∠4CB<,测实数k的取值范国为《) A.（-5,+oo B.（-V5,v5U(5,+∞) （ 二、多选题 20.(2026贵州黔东南模拟预测)己知直线1：ax-y-a+4=0与圆C:(x-4)2+y+2)2=9,则() A.直线1过定点(1,4) B.当a=-1时，直线1被圆C所截的弦长为3√2 C.当直线1与圆c相交时，-3<a<0 4 D.当直线1与圆C相切时，a=-3 4 21.(2026河南模拟预测)已知⊙O:x2+y2=4,则下列说法正确的是(） A.⊙0上一点到直线1：y=x+4距离的最小值是4v2-2 B.⊙0和圆C1:x2+y2+2x+4y-4=0的相交弦长是4 C.⊙0和圆C2:x2+y2+6x+8y+16=0有且只有两条公切线 D.⊙O和曲线C:y2=3x交于A,B两点，则△OAB的面积为√ 22.(2026江西赣州一模)已知圆C:x2+y2=4,过直线：x+y-4=0上任意一点P作圆C的两条切线， 切点分别为A,B,则() A.圆C上的点到直线1的最大距离为21+V②) B.四边形PACB面积的最小值为4 C.PA.PB的最小值为8 6/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.当点P坐标为(1,3)时，直线AB的方程为x+3y-4=0 23.(2026吉林通化模拟预测)已知圆C:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+0y-4)2=r2(r>0),则下列说法正 确的有() A.若r=2,则两圆外离 B.若两圆相交，则2<r<8 C.若r=3,则两圆的公共弦所在直线方程为6x+8y-16=0 D.若r=2,则直线3x+4y-15=0为两圆的公切线 三、填空题 24.(2025广东东莞模拟预测)圆x2+y2-4x+4y+4=0与圆x2+y2=4的公共弦长为 25,（2026四川广安.一模)直线am-2y+V5=0与圆x2+y2=2相交于A,B两点，且∠A0B=90°(0为坐 标原点)，则a= 26.(25-26高二上天津武清·月考)已知圆C:x2+y2-2x-2y-2=0与直线1：x-y+b=0,若直线1与圆 C相交于A,B两点，且△ABC为等边三角形，则b=一· 27.(2026天津河东·一模)已知直线1：x-2y+3=0,1:2x-y-3=0,若圆C的圆心在x轴正半轴上， 且与直线，12都相切，则圆C的方程为 28.（2026江苏一模)已知圆C:x2+y2=9,A,B是C上的两个动点，点P(2,0),∠APB=90°.若四边形 APBQ是矩形，则PO的取值范围为一· 29.(2026安徽合肥·模拟预测)已知圆C经过点A(0,4),B(2,6),且圆心C在直线y=2x上，若直线1： c-y+2k+2=0与圆C相交，则实数k的取值范围为一， 30.(2026北京平谷.一模)己知直线x=-2与圆C:(x-a2+(y-b)2=r2(r>0)相切，并且圆C过(2,0)点， 则r的最小值是 31,(2026安徽安庆一模)动直线l:x+2y-2k=0与动直线2：2kc-y+k+1=0相交于点C(a,b),则 2a+b-1 a-2 的最小值为 32.(2425高二上安徽合肥期末)过动点P作圆C:(x-4)+(y-3)2=3的切线P№，点9为切点，若 7/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P9=PO(O为坐标原点)，则P9的最小值是 题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 抛物线定义求点到焦点距离 利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到淮线的距离，代 入纵坐标求解。 2 椭圆焦点坐标求参数 根据焦点位置确定a、b关系，利用椭圆中a、b、c的关系列方程求 解参数。 由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，列方程求横 抛物线定义求点坐标 坐标，再代入求纵坐标。 4 椭圆焦点弦长 写出过焦点的直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式或焦半 径公式求弦长。 5 双曲线方程判定 根据双曲线标准方程中分母异号，列不等式组求解参数范围。 由椭圆长轴与短轴关系得a、b关系，由抛物线焦点坐标得c,再结 6 椭圆与抛物线综合求参数 合a2=b2+c2求参数。 7 双曲线渐近线斜率与离心率 由渐近线斜率得b/a,代入离心率公式e=V(1+b/a))求解。 椭圆与双曲线离心率关系求参 8 分别求出两曲线的离心率，代入关系式解方程求参数。 数 利用向量关系将点坐标用椭圆参数表示，代入椭圆方程，结合a、 9 椭圆中向量条件求离心率 b、c关系求离心率。 利用椭圆定义及特殊角关系，通过解三角形或几何性质建立a、c方 10 椭圆焦点三角形求离心率 程求离心率。 由折痕性质得动点到定点与定直线距离相等，根据抛物线定义判 11 折痕问题与抛物线定义 断轨迹形状。 利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合向量共线条件 12 抛物线定义与向量共线求参数 列方程求解。 双曲线弦长与距离之和求离心 求出弦端点坐标，利用点到直线距离公式列方程，结合双曲线中 13 率 a、b、c关系求离心率。 角平分线性质与双曲线定义求 利用角平分线定理得线段比，结合双曲线定义和余弦定理列方程 14 离心率 求离心率。 由焦点三角形面积求点纵坐标，代入椭圆方程求横坐标，再计算 15 椭圆焦点三角形面积与数量积 向量数量积。 双曲线中点弦存在性求离心率 利用点差法求中点弦斜率条件，结合点与双曲线位置关系列不等 16 范围 式，求离心率范围。 双曲线焦点到渐近线距离与三 利用点到直线距离求垂线段长，由三角形面积列方程，结合a、b、 17 角形面积求离心率 c关系求离心率。 由公共焦点得关系，利用等边三角形条件求交点坐标，再联立渐 18 双曲线与抛物线综合求方程 近线与抛物线求参数。 设点坐标，利用斜率积公式及点在双曲线上消元，结合离心率条 19 双曲线顶点与斜率积求渐近线 件求渐近线方程。 20 双曲线焦点到渐近线距离与三 利用点到直线距离公式求垂线段长，由三角形面积列方程求a、b 8/69 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角形面积求渐近线斜率 关系，得渐近线斜率。 利用双曲线定义求各段长度，在三角形中利用余弦定理或勾股定 21 双曲线焦点弦与定义求离心率 理建立a、c方程。 椭圆中等腰三角形条件求离心 由向量条件得等边三角形，利用椭圆定义和余弦定理列方程求离 22 率 心率。 双曲线渐近线与平行线交点求 求出渐近线方程，过已知点作平行线，联立求交点，再用两点式 23 直线方程 求直线方程。 由通径长度与焦点弦关系，利用几何性质列方程，结合a、b、c关 24 椭圆通径与垂直关系求离心率 系求离心率。 椭圆中位线与圆条件求直线斜 利用焦半径公式和中位线性质，结合圆半径条件求点坐标，再求 25 率 直线斜率。 椭圆焦点三角形与余弦定理求 利用椭圆对称性和定义求边长，在三角形中用余弦定理列方程求 26 离心率 离心率。 双曲线焦点弦与向量垂直求离 利用双曲线定义和向量垂直条件，在三角形中用勾股定理或余弦 27 心率 定理建立a、c方程。 双曲线焦点弦与比例关系求离 设参数表示各段长，利用双曲线定义和余弦定理列方程，解出离 28 心率 心率。 双曲线焦点弦与向量共线求离 利用向量条件求点坐标关系，结合双曲线定义和勾股定理建立、 29 心率 c方程。 双曲线渐近线与中点坐标求离 利用中点坐标公式和点在渐近线上，结合斜率关系列方程，求、 30 心率 b关系得离心率。 之 双曲线中点弦与圆条件求渐近 利用中点坐标公式和点在双曲线上，结合圆半径条件列方程，求 线 渐近线方程。 椭圆焦点三角形面积比与等腰 由面积比得线段比，利用椭圆定义和等腰三角形性质，结合余弦 32 条件求离心率 定理求离心率。 双曲线离心率、直线斜率、数 求离心率；直线与双曲线联立判别式求斜率范围；设点坐标用参 33 量积最值（多选题） 数表示数量积求最值；直线与圆相切求斜率。 双曲线焦距、离心率、渐近线、 由焦距求a,再求离心率和渐近线；由焦点三角形条件分类讨论， 34 焦点三角形周长（多选题） 结合双曲线定义求周长。 椭圆焦点三角形周长、面积、 利用椭圆定义求周长；焦点三角形面积公式求面积；向量数量积 35 向量数量积最值、切线面积最 用基本不等式求最值；切线方程与坐标轴围成三角形面积用基本 值（多选题） 不等式求最值。 抛物线定义、点坐标、向量数 利用抛物线定义求点坐标；由点坐标求向量数量积；由点坐标和 36 量积、点到直线距离（多选题） 斜率公式求角正切；由点到直线距离公式求距离。 双曲线焦点弦与勾股定理求离 37 设参数表示各段长，利用双曲线定义和勾股定理求离心率和斜率。 心率及斜率（多选题） 抛物线定义、圆与直线相切、 利用抛物线定义判断圆与直线相切；由半径最小值求圆面积最小 38 值；用基本不等式求最值；用坐标表示垂直条件解方程判断存在 最值、垂直条件（多选题） 性。 抛物线定义、距离最值（多选 39 利用抛物线定义将距离转化，结合三点共线求最值。 题) 抛物线焦点弦、中点弦、弦长 设直线方程联立抛物线，利用焦半径公式和韦达定理求弦长、中 40 和面积最值（多选题）》 点坐标，再结合基本不等式求最值。 41 抛物线旋转与四叶草曲线性质 由对称性求各抛物线方程；求曲线交点及距离最值；判断点是否 9/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (多选题) 在曲线内部；设直线联立求斜率。 利用椭圆上点到焦点距离范围求离心率；焦点三角形面积公式求 42 椭圆焦点三角形性质（多选题） 面积；内切圆半径公式求半径；正弦定理结合比例性质求离心率。 由旋转前后渐近线关系判断；求双曲线方程及离心率；联立直线 43 双曲线旋转与性质（多选题） 与双曲线求交点个数；判断两圆位置关系。 曲线对称性、直线与曲线交点、 利用对称性验证；联立直线与曲线方程判断解的存在性；联立曲 44 区域面积（多选题） 线与圆方程求公共点；利用不等式确定面积范围。 45 椭圆方程、弦长、点差法、垂 由短轴长和向量数量积最值求椭圆方程；求通径长；点差法求中 直弦长和定值（多选题） 点弦方程；利用弦长公式求垂直弦长和为定值。 直线与抛物线相交、向量数量 联立方程用韦达定理求数量积；求垂线方程得交点坐标，验证垂 46 积、斜率关系（多选题） 直；由焦半径关系求点坐标得斜率；利用弦长关系求斜率。 双曲线焦点三角形、渐近线、 利用焦点三角形面积和余弦定理求离心率；由a、b关系写渐近线； 正切值、内心性质（多选题） 设点坐标用正切值相等求参数关系；由内心性质证等式。 抛物线定义、切线、向量数量 由焦半径最小值求；设直线联立求弦长范围；由切线性质求角范 48 积、角平分线（多选题） 围；利用向量夹角或角平分线性质证等角。 双曲线光学性质、切线、几何 利用光学性质得切线方程；判断点是否在切线上；利用几何关系 49 性质（多选题） 证点在圆上：切线定义得公共点个数。 50 椭圆离心率求参数 根据离心率公式列方程，注意焦点位置，解出参数。 51 椭圆焦点三角形周长 利用椭圆定义，将焦点三角形周长转化为2a+2c,代入数值求解。 抛物线焦半径与直角条件求距 52 离 利用焦半径公式和直角条件列方程求点坐标，再求距离。 抛物线焦半径与正弦定理求线 利用抛物线定义和正弦定理，结合锐角条件求点坐标，再求焦半 53 段长 径。 平行直线与两抛物线交点围成 54 四边形面积 设直线方程，求出交点坐标，判断四边形形状为矩形，计算面积。 两抛物线焦点与直线交点求参 由抛物线定义求焦点坐标，设直线方程，利用向量共线或距离关 55 数 系列方程求参数。 一、单选题 1.(2026福建·模拟预测)已知抛物线y2=4x上的一点M的纵坐标为2，则点M到焦点的距离为（) A.1 B.2 C.3 D.4 2026四川成都二模》已知圆C名+三a>0)的一个焦点是0)，则a= 4 A.5 B.3 C.5 D.5 3.(2026贵州黔东南模拟预测)己知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点A(m,n)在抛物线C上，且 h-m,则m=《) A.8 B.6 C.5 D.4 4.(2026山东淄砖一模)已知椭圆C:+少2=1的左、右焦点分别为万和5，过5且领斜角为兰的宜 10/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线I与C交于A,B两点，则AB=() B. 4v2 D.22 3 3 5. (2026贵州贵阳一模)已知方程 =1表示双曲线，则实数m的取值范围是() m+1m+2 A.（-2,-1) B.（-1,+o∞) C.（-0,-2) D.（-0,-2)U(-1,+0) 6.(2026江苏一发)者图于+茶=口>b>0)的长轴长是短维长的5份，右供点是搭物线)广-2 的焦点，则只=() p A,② B.√2 C.2 2 D.2√2 7,2526高三上费州黔向期未)已知双曲线苦若-1(a>0,b>0)的一条嵩近线的斜率为5，则 双曲线的离心率为() A.25 B.2 c.25 D.3 3 8.(2026江苏镇江模拟预测）已知曲线G:言+少=1(a>川，曲线G:￥-y=1的离心率分别为4， x2 x e2,且e=V5e,则a=() A.25 B.2 C.5 D.5 3 9. 2026安徽准南一模)已知椭圆C千+号=1a>6>0)的右熊点为P,上顶点为4，直线A交C于 另一点B.若0F=0A+2OB,则C的离心率为() 3 3 A司 B.Z c.3 3 D.2 2 D2026四广交一模D已F,B分别是椭圆C。+Q>b>0的左、右焦点，P是椭圆CF 点，若PF⊥FF,PF=2PF引，则椭圆C的离心率为() A.2 2 B.3 3 C. D 11,(2026山东青岛·一模)如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线I为折痕将矩形在其下方的 部分向上翻折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F,过点F作FP垂直于CD交直线I于点P, 点P的轨迹为曲线W的一部分，则W为() 11/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 12.(2026河北保定一模)已知抛物线：y2=2px(p>0)的焦点为F,点D为C的准线上一点，线段DF 与C交于点E,若D-},E=子则P=（) A.4 B.z C.3 D.1 4 13.(2026河商许昌模拟预测)已知双曲线聋片-16>0)，B是过右焦点F且垂直于x箍的弦，若点 A,B到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为() B. C.v7 D.2 2 x2 y2 14.（2026黑龙江一模)已知双曲线C:言存=1(a>0,6>0),,B分别为左、右焦点，过且倾斜 角为60°的直线1与C在第一象限的交点为P,∠PFE的平分线与线段P℉交于点Q.若PQ=2QF,则 该双曲线的离心率是() A.5 B.1+V3 C.2+V5 D.3+V5 15.(2026江西赣州一模)已知椭圆C:￡+上=1的左右焦点分别为，B,点P在椭圆C上，若△PF5 43 的面积为1，则PE·PE=() 2 B. 2 C.8 8 A.- 3 3 D. 3 16.(25-26高三上山东济宁月考》若双曲线兰 3a 京存=1(a>0,b>0)不存在以点a, 为中点的弦，则该 双曲线离心率的取值范围为() c.5 1335 17.(2026黑龙江哈尔滨一模)己知双曲线C: 亡-兰=1《a>0,b>0)的右焦点为F,半焦距为0. a2 b2 过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H,且AOHF的面积为5.2，则C的离心率为《) 12/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.2或 C.2或√5 D.2或25 3 18。（226天津河东一模)已知双通我：号茶-1(a>Q6>0)与抛物线C:r=2px>0有相同的线 点F,抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，三角形FAB为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线 交于原点O与另一点M,三角形OFM的面积为6√2，则双曲线的方程为() A.=1B. x2 y2 =1 C.= 24 42 2 D苦y 9。②026河南南阳装拟预震已知双曲袋C号若-(a>Q6>0的左、有顶点分别为4B,点P足C 上异于4，B的一点，若直线PA,PB的斜率之积为C的离心率的臣倍，则C的渐近线方程为() 2 A.y=±5x B.y=±x C.y=±√2x D.y=+2x 2 20.（2025山东颗城一按)过双自骏C:子-片-0>0b>0的右焦点F作芙中一条近绕的重线，重 足为P,若|PF=3,△OFP的面积为6(O为坐标原点)，则C的渐近线的斜率为() A.±3 5 B.±4 C.3 D.±4 4 3 2L,(25.26高三下河南驻马店开学考试)若双曲线「：。之2(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为 F,过耳的直线与「的左、右两支分别交于A,B两点，且AB=BF=2A,则Γ的离心率为(）· A.2 B.3 C.6 D.√7 2026山东济南一模)已知椭圆C:,+3=1a>b>0)的左、右焦点分别为，乃，A是C的左钉 P为C所在平面内一点，且∠EP=60°.若△PFE与△PFA均为等腰三角形，则C的离心率为() A.3 B. 6 2 C.Z D.3 23.(2026江西核拟预测>已知双曲线C:-千-1上一点P(5,2),若过P分别作双曲线C的两条新近 线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M,N,则直线MN的方程为() A.2W2x-y+3=0 B.2W2x-y+1=0C.2√2x-y-1=0 D.2V2x-y-3=0 24,(2026山东威海一模)已知椭圆E:+片=1@>6>0)的左、右焦点分别为R,乃，过上且垂直于 轴的直线交E于A,B两点，若∠AFB=60°，则E的离心率为() 13/69 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 A.⑤ B.3 3 2 C. D.5 3 25.(2026贵州模拟预测)已知椭圆C:亡+ =1的左、右焦点分别为，F,椭圆C的上半部分有一点 1612 P,若以原点O为圆心，半焦距为半径的圆过线段P℉的中点，则直线P的斜率为() A.1 B.√2 C.5 D.2 26、(25,26商三上四川达州东末)已知4，B是椭服Cc:号+茶-(>6>0)上关于原点对称的两点，5 是椭圆C的左焦点，在△MB中有B=24,∠ARB-牙，则椭圆C的离心率为〈） A.⑤ B. 6 C.7 D.22 3 3 3 3 27.（2026闵北张家口一)已知双自酸C:若片-口>0,6>0)的左、右商个g点分5别为5.5，过5 的直线1与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，且满足B=3FA,1⊥OA(O为坐标原点)， ∠FBE=60°，则双曲线C的离心率为() A.5 B.2 C.7 D,3 2.（2026山东临于模)已知双曲战C:号若=a>06>0的左右袋点分别为，5，经过5的直 线与C的右支交于A,B两点，且4=AB,c0s∠BM),则C的离心率是(） A.21 B.5 3 3 C.5 D.5 29.225山西明料一腰)已知双曲线C:子茶=a>0>0)的左右有点分别为，5，过直5 线与C的右支交于点儿8，R丽=丽-，测略《) A.4-2√2 B.5-22 C.6-22 D.19-82 0。（2026黑龙江哈尔滨楼拟预测)板双曲线C:荐景=a>0b>0的右顶店为4，过点4且斜字为2 的直线与C的两条渐近线分别交于P,Q两点（其中点P在第一象限）若O为坐标原点，点M满足 040=20M,hM1-5。,则双曲线C的离心幸为() A.7 2 B.②i 5 3 c D. 2 14/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 引.2公25离三上天净满青期末)已如改击数C:手若=a>06>0)的顶点为4，过4简直线/与C 的右支交于点B,若线段AB的中点在圆O:x2+y2=a2上，且OB=√7OA,则双曲线C的渐近线方程为 () A.y=±V2xB.y=±x C.y=±V3x D.y=+2v2x 2,(2026安徽安庆一模)已知椭圆C花+片a>6>0)的左、右焦点分别为、乃，过5的直线 椭圆C交于M、N两点，若SAs=3S△M5,且∠FFN=∠FE,则椭圆C的离心率为() A B. 3 D.V6 4 二、多选题 33.(2026山东济宁一模)已知双曲线C:女上=1的左、右焦点分别为R乃，过R且斜率为k的直线1 49 与C的右支交于点P,则() A.C的离心率为 3 3 B. 3k<月 2 2 C.PE·PE的最小值为-9 D.若以实轴为直径的圆与1相切，则cos∠EP5,=3 5 34.(25.26高=上广东江门期末)已知双曲线C:号广=1(a>0)的左右两个焦点分别是R,万， a2-12 焦距为8，则() A.a=4 B.双曲线C的离心率为2 C.双曲线C的渐近线方程为√3x±y=0 D.若M是双曲线C上一点，且M=5,则△FM的周长为22或14 35.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知椭圆C:艺+y=1,F,5分别是椭圆C的左右焦点，0是原点，D 是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有() A.△FPF的周长是2√2+2 15/69 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B.∠FPE=时，AFPE,的面积是5 3 C.PPF的最大值是2 D.过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A,B两点，则△ABO面积的最小值为√2 36.(2026陕西榆林模拟预测)已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,点M(x,y)在抛物线C上，若|MF=9, O为坐标原点，则() A.xo=33 B,=6W2 C.IOM63 D,点F到直线OM的距离为2√2 37.（2026山东青岛一传)已灯双曲线C:等若-1(0>0b>0)的左、右焦点分别为F,乃，过点5 的直线与C的左支相交于P,Q两点，P9⊥PF,4|P2=3PF|,则() A.PO=2a B.PF=-20F C.C的离心率为 D.直线PQ的斜率为4 3 38.（2026山西运城一模)己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线I:x=-1与x轴交于点H,M是抛 物线C上的动点，以M为圆心的圆M经过点F,O为坐标原点，则() A.圆M与直线I相切 B.圆M的面积的最小值是4π MH OM 23 C. MF列 的最大值是√2 D.存在点M,使得 MF 3 39.(2026河北张家口一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(1,3),P为C上的动点，则() A.满足PA=PF的点P恰有两个 B.PA+PF的最小值为3 C.PA-PF的最小值为-2 D.P-PF的最大值为3 40.(2026湖北黄冈一模)如图，过抛物线E:y2=8x的焦点F作两条互相垂直的直线4,2,1与E交于 A,B两点，与E交于C,D两点（点A,C在x轴上方），M,N分别是弦AB和CD的中点，则() 16/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.设点P(3,1),则△PFA的周长最小值为5+√2 B.2|AF|+|BFI的最小值为3+4√2 C.MW的最小值为8 D.△AFC和△BFD的面积之和的最小值为32 41,(25-26高三下·陕西渭南开学考试)如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线 所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交 点分别为A,B,C,D.已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为y2=4x,过点F(1,0) 作直线1与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P,Q,且 QF=3FP,则() A开口向下的能物线的焦点坐标为0一》 B,曲线E上两点间距离的最大值为8√2 C.点(3,3)不在曲线E的内部 D.直线1的斜率为V 22026河北张家口一德)已知随圆C千+@>b>0)的左、右焦点分别为，5，点P是椭圆0 上一点，则下列说法正确的是() A.若1sP5≤5，则椭圆C的离心率为 B.若b=2,FP.F,P=0,则△PFF的面积为2 17/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若a=5,b=3,∠RPR=60,则aPF5内切圆的￥径为5 3 D.若∠P5=15°，∠PF=105°，则椭圆C的离心率为5 2 8.2026辽宁辽阳一模)双南线号芳-=a>06>0可由以坐标原点为中心的腊线y=+兰m去0 绕其中心旋转一定角度得到。现将曲线E:y=5:-5绕原点旋转一定角度可得到双曲线 3 2x C: 京尔=1(a>0,6>0),其左右焦点分别为6和B,点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是() A直线)-尊：是曲线E的一条新近线 B.双曲线C的离心率为2 C.若广=4(x+m)与双曲线C有四个交点，则m>-13 12 D.以P℉为直径的圆与圆x2+y2=1相切 44.(2026浙江模拟预测)己知曲线E:x2+y2=sinx+cos2y,P(x,y)为曲线E上的动点，则下列结 论正确的是() A.曲线E关于直线y=x对称 B,点P不可能在直线y=x+π上 C.曲线E与圆x2+y2=1有4个公共点 D.记曲线E所国成的区城的面积为S,则<S<2红 45。(2026安徽合肥模拟预测D已知梢圆E:二+1(a>b>0)的短轴长为23，左、右焦点分别 为，F,P为E上一动点，且PFPF的最大值为4，则下列说法正确的有() A.E的方程为父+ =1 43 B.若过点F目垂直于x轴的直线交E于A,B两点，则AB- C.若M,N是E上两点，且MN的中点为Q(1,1),则直线MN的方程为3x+4y-7=0 D.若过点R且互相垂直的两条直线与E分别交于点C,G和点D,H,则cG+DA2 1 17 46.(2026湖北宜昌·二模)已知直线1：y=k(x-1)k>0)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，F为抛物线 的焦点，过点F作I的垂线交直线x=-1于点D,则() 18/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.04-0B=0 B.DA-DB=0 C.若AF=2BF,则k=2√2 D.若DF=45, 则k=√5 3 47.(2026山东淄博一模)已知双曲线C: 年存=1(a>0,6>0)的上、下焦点分别为R和5，下顶点 y2 x2 限内C上的动点，当∠EP心三时，△FPS的面积为3a,则下页 A,双曲线C的离心率e=2 B.双曲线C的渐近线方程为y=±√3x C.∠PEA=2∠PAE D.△P℉A的内心I(m,n)满足3n2-m2=3a2 48.(2026江西一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线1与x轴的交点为K,过点K的直 线与抛物线交于两点P,Q,过P,Q作1的垂线，垂足分别为T,S,若点A是抛物线上的一动点，且满足FA 的最小值为)，则() A.y2=x B.lorfo 。周号 D.∠PFQ=2∠SFT 9。（2026广东佛山二模氵已知0为坐标原点，双曲线C号茶-16>0，b>0的左右焦点分别为 ,F,点P在C上，直线I为∠FPF的内角平分线，过F作FH⊥1于点H,则() A.当PF⊥x轴时，点O在直线l上 B.当PF⊥x轴时，点H在y轴上 C.点H在圆x2+y2=a2上 D,直线1与双曲线C的公共点只有1个 三、填空题 50.(2026广东广州一模)已知椭圆+上-1（m>0)的离心率为5 ,则m= m+l m 51,(2026湖北荆门模拟预测)过椭圆女+广-1的右焦点乃的直线AB交椭圆于A、B丙点，万是椭圆 4b2 19/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的左焦点，则△AFB的周长为 52.(2026河北邯郸一模)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，A是C的准线与x轴的交点，B是C上的 点，且AB=AF,则BF= 53,（2026河南许昌模拟预测)抛物线y=8x的焦点为F,准线与x轴交于点E,A为抛物线上一点，若 ∠AFE为锐角，V7sin∠AEF=3sin∠AFE,则AE= 54.(2026湖北武汉模拟预测)平行于x轴的直线交抛物线C:y2=2x于点P,交抛物线C2:y2=8x于 点B,记抛物线C,和C,的焦点分别为F和F,若E=PF,则四边形FERB的面积为 55.(25-26高三下福建泉州开学考试)已知抛物线C:y2=4x的焦点为E,抛物线C2:y2=16x的焦点为 F,若直线y=m(m>0)分别与C,C2交于P,Q两点，且PF-QF=3,则m= 题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 抛物线焦点弦与 联立直线与抛物线方程，利用弦长公式和点到直线距离公式表示三角形面积， 1 三角形面积 列方程求直线斜率，注意斜率不存在的情况。 双曲线中点弦存 利用点差法求中点弦斜率，联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双 在性 曲线是否有两个交点，从而判断中点是否存在。 抛物线中的垂直 设直线方程联立抛物线，利用向量数量积证垂直由角平分线性质得斜率关系， 3 与角平分线 利用韦达定理求定点，再用弦长公式和距离公式求面积最值。 椭圆焦点弦与向 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，将角的条件转化为向量数量积的不等式， 量夹角 结合判别式求斜率范围。 抛物线定义与三 利用抛物线定义求点坐标和方程联立直线与抛物线，由中点条件求参数，判 角形外接圆 断三角形形状，再求外接圆半径。 双曲线焦点到渐 由焦点到渐近线距离和点坐标求双曲线方程联立直线与双曲线，利用韦达定 近线距离与向量 共线 理和向量共线条件求参数，再用弦长公式求弦长。 椭圆离心率与几 由离心率和焦点坐标关系求椭圆方程设点坐标，表示直线方程，求与坐标轴 何证明 交点，利用中点坐标性质证明线段相等。 抛物线准线与焦 由抛物线定义和几何关系求参数：设直线方程联立抛物线，利用韦达定理和弦 8 点弦 长公式，结合已知条件列方程求斜率。 椭圆中直线与坐 由顶点坐标和离心率求椭圆方程设直线方程，联立椭圆求交点坐标，表示与 9 标轴交点 坐标轴交点，利用向量垂直或共线列方程求斜率。 椭圆通径与点到 由通径长和点到直线距离求椭圆方程；设直线方程联立椭圆，利用韦达定理， 10 直线距离 将向量数量积条件转化为坐标关系，求范围，再证直线过定点。 20/69 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 双曲线定义与重 由双曲线定义求轨迹方程；利用重心坐标公式和三角形面积求点坐标；设直线 11 心坐标 方程，联立双曲线，用韦达定理和参数表示点坐标，证点在定直线上。 椭圆中等腰三角 设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，由等腰三角形条件得斜率关系，求出定 12 形与面积最值 值；再用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。 双曲线焦点弦与 由离心率和焦点到渐近线距离求双曲线方程设直线方程，联立双曲线，利用 13 圆过定点 韦达定理求弦中点坐标和半径，写出圆的方程，令yO解出定点坐标。 椭圆中圆过焦点 由椭圆的定义和焦点坐标求方程设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理， 证 14 与定点 明以弦为直径的圆恒过焦点，通过向量数量积为零验证。 15 椭圆中光线反射 由焦距和过定点求椭圆方程设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求点关 与对称性 于x轴的对称点，验证反射光线经过另一点。 椭圆中平行四边 设点坐标，利用平行四边形向量关系表示点坐标，代入椭圆方程得关系式用 16 形面积最值 三角函数表示面积，结合基本不等式求最值。 抛物线与双曲线 联立抛物线方程与双曲线渐近线求交点坐标，由弦长求抛物线方程设直线方 17 渐近线交点及圆 程，利用圆直径所对圆周角为直角得垂直条件，转化为向量数量积为零，用韦 过定点 达定理求定点。 双曲线离心率与 选择条件求双曲线方程设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和点到直线 18 渐近线 距离公式，结合三角形面积求直线方程。 抛物线中的等差 由点在抛物线上求抛物线方程；利用斜率公式求数列通项，证等差数列；利用 19 数列与三角形面 积 弦长公式和点到直线距离公式求三角形面积。 直线与抛物线相 联立直线与抛物线，利用判别式为零证相切，求直线与坐标轴交点，用坐标表 20 切及三角形面积 比 示三角形面积，通过比例关系证明面积相等。 21 椭圆中向量共线 由点在椭圆上求椭圆方程利用向量共线表示点坐标，代入椭圆方程得参数关 与面积最值 系，用三角形面积公式和基本不等式求最值。 22 椭圆中通径与点 由长轴长和通径条件求椭圆方程：利用点差法求斜率关系，得定值：用两角差 差法 的正切公式和基本不等式求角的最值。 椭圆中等腰梯形 由离心率和三角形面积求椭圆方程设直线方程，利用韦达定理求弦中点，由 23 存在性 等腰梯形性质得对角线垂直，列方程判断解的存在性。 椭圆中斜率关系 由顶点坐标和离心率求椭圆方程设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，将 24 与三角形面积 斜率条件转化为坐标关系，求斜率；再用弦长公式求三角形面积。 椭圆中点弦与直 由焦点三角形面积和边角关系求椭圆方程设直线方程，利用韦达定理和点关 25 线过定点及面积 于x轴对称，求直线方程，证过定点；用弦长公式和点到直线距离公式表示面 最值 积，利用基本不等式求最值。 椭圆中斜率积为 由斜率积为定值求轨迹方程；联立直线与椭圆，用弦长公式求弦长：设直线方 26 定值与三角形面 程，利用韦达定理，由x轴平分角得斜率关系，求定点，再用面积公式和基本 积 不等式求范围。 由圆的垂直平分线性质得双曲线定义，求方程利用点差法求中点弦斜率，由 双曲线定义与点 27 对称性得参数关系，求值；联立直线与双曲线，由点横坐标为正求斜率范围， 差法及角范围 再用向量夹角公式求角范围。 由顶点坐标和斜率积求椭圆方程设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，由 椭圆中斜率积为 28 定值与面积最值 斜率关系求参数，用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和函 数单调性求最值。 29 双曲线渐近线与 由渐近线斜率求离心率设点坐标，利用斜率公式和点在双曲线上，证明斜率 21/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 斜率积为定值及 积为定值；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和基本不等式求最值。 最值 椭圆中垂直关系 由焦距和短轴长求椭圆方程联立直线与椭圆求交点坐标，用斜率公式证垂直 30 与面积最值 用面积公式表示三角形面积，利用换元法和基本不等式求最值。 由点坐标和斜率求抛物线方程联立直线与抛物线，利用韦达定理，由四点共 抛物线中四点共 31 圆得对角互补，转化为向量数量积为零，求直线方程用坐标表示三角形面积， 圆与面积比范围 求比值范围。 椭圆中三角形外 由上顶点和直线与椭圆交点求椭圆方程设直线方程，联立椭圆，求交点坐标， 32 接圆面积最值 设外接圆方程，代入三点坐标，用半径公式表示半径，利用函数单调性求最值。 椭圆中直线与坐 标轴交点成等差 由长轴长和直线与圆相切求椭圆方程设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理， 33 数列及面积比定 求直线与y轴交点坐标，证等差中项；利用中点坐标性质证面积比为定值。 值 椭圆离心率与中 由离心率和长轴长求椭圆方程设直线方程，利用点差法求斜率关系，证直线 34 点弦及最值 垂直；设点坐标，代入椭圆和曲线方程，用换元法求最值。 双曲线焦点到渐 由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程设点坐标，利用中点坐标 35 近线距离与点差 公式和点在渐近线上求轨迹，用椭圆定义求最值，利用正弦定理和坐标关系求 法及正弦定理 比值范围。 双曲线通径与内 由离心率和通径长求双曲线方程设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和 36 切圆性质 参数范围求最值：利用内切圆切线长性质证切点为焦点，由对称性证点在圆上。 椭圆焦点弦与中 由椭圆定义和余弦定理求椭圆方程设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求 37 点轨迹及面积比 中点坐标，消参得轨迹方程求中垂线与坐标轴交点，用坐标表示面积，利用 范围 换元法求范围。 抛物线切线方程 由点到直线距离求抛物线方程利用导数或判别式求切线方程，由切线过同 38 与直线过定点及 点得切点弦方程，证直线过定点；联立直线与抛物线，利用韦达定理和向量共 向量共线 线条件求参数。 椭圆中中点弦与 由顶点坐标求椭圆方程和直线方程设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求 39 斜率之和为定值 点坐标，由中点坐标得点坐标，用斜率公式证和为定值：用弦长公式和点到直 及面积最值 线距离公式表示面积，利用换元法和导数求最值。 双曲线焦点到渐 由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程设直线方程，联立双曲线， 近线距离与直线 40 利用韦达定理求斜率之和设外接圆方程，利用同解方程求圆心坐标，由几何 斜率之和及外接 关系求定点。 圆 (2026山东青岛一模)己知抛物线C:y2=2px(p>0),点F为C的焦点，M,N是C上任意不重合的 两点，当直线MN过点F且垂直x轴时，IMN=4 (1)求C的方程； (2)若直线MN过点F且△OMN的面积为4，求MN的方程 2.(2026四川内江一模)已知双曲线C:等-若-a>0b>0经过点(26)，其商近线方程为y土2x (1)求双曲线C的方程； 22/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)过点P(L,-)的直线1与双曲线C相交于A,B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由， 3.(2026江西赣州一模)己知抛物线C:x2=2y,过点P(0,2)作直线1与抛物线C相交于A,B两点，O为 坐标原点 (1)证明：OA⊥OB; (2)若存在异于点P的定点T,使得PAIITB-PB引TA恒成立，请求出点T的坐标，并求出△TAB面积的 最小值 +2026黑宠江哈尔滨一流)已知椭圆C:号+若=o>6>0左燕点5l0,商心家为9 y2 a+ 2 (1)求椭圆C的方程； ②过点且斜率为k的直线交精圆C于M,N两点，若∠MON>分，求k的取值范围 5.(25-26高三下·安徽·月考)已知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,过C上一动点A作C的准线的 垂线，垂足为B.当AF=4时，△ABF的面积为8. (1)求C的方程； (②)直线BF与C交于P,Q两点，点A,P均在第一象限，O为坐标原点，当P为BQ的中点时，求△OAQ外接 圆的半径 (2026山东威海一模)已知双曲线E:号卡=0>0,6>0的焦距为20，南近线方程为y-2x, 6. 右焦点F到直线x=￠的距离为氵 58 (1)求E的方程； (2)已知直线x-my+3=0交E于B,C两点，E的左顶点记为A,若AB/1CF,求弦长BC. 7(2026北京平谷一)己知椭圆E:之+京可>b>0)的离心率为号，右顶点为A,左焦点为正 2 且|AF=2+√2」 (1)求椭圆E的方程； (2)点B(,y)在椭圆E上，且点B在第一象限内，直线1：xx+2yy-4=0,过点A且平行于1的直线交y 轴于点Q,直线AB交y轴于点P,点M为线段PF的中点，求证：PF⊥MQ 8.(2026福建莆田二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1，直线y=23与1，C的 交点分别为P,Q,且FP=Fg 23/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求p: AD (2)若过点D(4,0)的直线m交C于A,B两点，且ADBD=24,求 BD 的值 9,226天津河东横)》已知椭圆C的方程为若+片=1，上顶点为4，右顶点为B,B。5,椭圆 的离心率为5，过点A的直线与椭圆交于点P（P在第一或第四象限)，过原点O且与直线4P平行的 3 直线与椭圆C在第二象限交于点？ (1)求椭圆方程； 缕上有-点0 AT⊥BP,求直线AP的斜率； )若直线PO与y轴交于点M0) 10 求直线AP的斜率， 10.2026到育南附模拟预刘》己知裤图C:号+芳-o>6>0)的左老袋点分别为510.50)。 点M在C上，ME上x轴，且点F到直线M的距离为； 6 (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于不同的两点A,B. (i)求PAPB的取值范围； (i)若AH⊥MF,于点H,证明：直线HB过定点 11.(2026河北邯郸一模)已知B(-4,0),C(4,0)是△ABC的两个顶点，G是△ABC的重心，D,E分别是 边AB,AC的中点，且BE-CD=6.记点G的轨迹为曲线Γ. ()求Γ的方程， (2)若△GBC的面积为24，求点A的坐标. (3)已知点F(-1,0),M(-2,0),N(2,0),过F的直线1与曲线T交于P,2两点，直线MP与N9交于点H,试 判断H是否在一条定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由， 12.(2026湖南模拟预测)已知椭圆C过点M(2,),两个焦点坐标分别为(-6,0，(V6,0). (1)求椭圆C的方程， (2)己知A,B为椭圆C上异于M的两点，且直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形. ()求证：直线AB的斜率为定值； 24/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (ii)求△MAB面积的最大值. 13.(2026山东青岛模拟预测)已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于2，右焦点F 到其渐近线的距离等于√ (1)求双曲线C的方程； (②)经过点F的直线I与双曲线C交于A、B两点，以AB为直径的圆记作⊙M.求证：⊙M恒过某个定点， 并求出此定点的坐标； 14.(2026陕西商洛·二模)在天问二号探测器伴飞任务中， 地面观测站F(-√2,0)，F(V2,0)用于追踪探 测器，探测器沿椭圆轨道下运行，到两站距离和为4.设过点T 行.0的波束中心直线1（斜率不为0）与椭 圆轨道T交于M,N两点，以MN为直径形成通信圆2，研究发现，若通信圆2恒过近地点A(2,O)时，视为 通信状态最佳， (1)求椭圆轨道下的方程 (②)请判断通信圆Ω是否能达到通信状态最佳？并说明理由. 196家群云一)已灯国G产若-1a>60,过写 焦距为2√5 (1)求椭圆G的方程和离心率； (2)设F为椭圆G的右焦点，过点M 4v5 、3°，0的直线1与椭圆G交于不同两点4，B(A,B异于梢圆的顶 点)判断光线AF经过x轴反射后是否经过点B？说明理由 2026山东菏泽一模)已知椭圆C:艾+上=，0为坐标原点，点4，B分别在直线y2x 82 √2 ,)x上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形OAPB (I)求AB的值； (2)求平行四边形OAPB面积的最大值 17.(2026山东淄博一模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)与双曲线x2-y2=1的渐近线在第一、四象限 的交点分别为P,2,且S.og=16 (1)求抛物线E的方程； (②)A,B为E上异于P,Q的两动点，且以线段AB为直径的圆恰好经过P,证明：直线AB过定点 18.(2026福建指州模拟预测)已知双曲线C:若若=1a>06>0)的右顶点为4请从条件①.②、国 25/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一 条件①：C的离心率为2： 条件②：C的渐近线方程为y=±V3x; 条件③：C的右焦点与点A的距离为1. (1)求C的方程； (2)若过点P(2,3)的直线1交C的右支于点M,且△AMP的面积为3，求1的方程 注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解 答计分 19.(2026江西一模)已知P(2,4)为抛物线C:y2=2x(p>0)上一点. (I)求C的准线方程； (2)若点9n与Pn关于x轴对称，过点9n且斜率为2的直线交C于另一点Pn1,设Pn(xn,yn) (i)求数列{yn}的前n项和Tn; (i)求△PnPn,Pn2的面积 20.(2026四川绵阳模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E:x2+my2=m(m≠0)，点 M(xo,o)(x≠0)在曲线E上，直线1：xx+myoy-m=0 (1)判断曲线E与直线I的位置关系，并证明； (2)当m=2时，直线1与直线y=√2，y=-V2分别交于A,B两点.设△OAM与△OBM的面积分别为S,S2, 的大小 21. (2026四川成都二模)如图，已知椭園C:女+”=1，点P(K)在椭園上且%>0，PQ,PR分别 43 经过C的左、右焦点F,F,且PE=FQ,PE=uFR. B F 26/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若1=2，求点P的坐标； (②)证明：元+“是定值，并求出九+4的值； (3)求四边形FQRF面积最大值 2.(2025湖6黄网模)已知梢图C号+茶=0>6>0的长袖长为本直线y=>0与简圆C定 于A,B两点（点A在第一象限).当k=5时，A,B在x轴上的射影恰好是椭凰的两个焦点. B (I)求C的标准方程； (②)若AM⊥x轴于点M,连接BM并延长交C于点P,记直线AP的斜率为k。, ()证明：k,为定值： (i)设|AB=t|AP|,求t的最小值. 23(26河北唐山一候)已知椭固C:号+芳-a>b>0的离心率为，共左顶点为4，上顶点为 B,△AOB的面积是1，其中O是原点，平行于AB的直线1与C交于M,N. ()求C的方程； (②)是否存在这样的直线1，使以A,B,N,M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时1的方程若不 存在，请说明理由， 24.(226河北保定一)灯椭圆C:号+芳-1a>b>0)的右点为D(20):离心率为片，过C的左 焦点F的直线与C交于异于点D的A,，B两点 ()求椭圆C的方程 (2)记直线AB的斜率为k,直线AD与直线BD的斜率分别为k,k2, (1)若k+k2=2,求k; (i)若an∠ADB=4V2 求△ABD的面积 3 25. 6山东临沂一模)已知椭圆C:花+=@>b>O的两个焦点分别为R,乃，点P是C 27/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个动点，当△PEE面积取得最大值45时，∠PEE2=60° (1)求C的方程： (2)过点E(3,0)的直线1与C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为A(A与B不重合). (i)求证：直线AB过定点； (ii)求△EA,B面积的最大值. 26.(2026陕西榆林·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知点A(0,1),B(0,-1),直线AP与BP相交于点 P,且两直线的斜幸之积为号 (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线l:x-2y+1=0与动点P的轨迹交于C,D两点，求弦长|CD|: (3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点T(2,O),动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M,N,使得∠MTW 恰好被x轴平分，求△MTN面积的取值范围. 27.(2026安徽合肥一模)已知A(2,0),点P是⊙0：(x+2)+y2=4上的任意一点，线段AP的垂直平分 线与直线O,P相交于点9，设点Q的轨迹为曲线C, (1)求曲线C的方程； (②)与x轴不重合的直线I过点M(m,O)(m≠O),曲线C上存在两点B,D关于直线I对称，且BD的中点N的 横坐标为n. ①求m的值； n ②若B,D均在y轴右侧，且直线I过点E(O,4),求∠BED的取值范围. 28.(2026四川德阳二模)平面直角坐标系中，已知候图C:号+茶-1(a>b0的、右顶点分别为 O,F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于小、B的动点，若k4k=A 椭圆C的另一个交点为Q. 28/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求椭圆C的标准方程； (2)求△PAQ面积的最大值； (3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为kk2,是否存在常数1，使得k+2k2=0成立？若存 在，请求出1的值；若不存在，请说明理由. 2双。(2026江苏校)已双曲线C:号卡=1o>06>0)的一条带辽安的领鲜有为6心，5.5分到为左、 右焦点，A为右顶点，，Q为C左支上的两个动点（不包括顶点）， (1)求C的离心率； (②)是否存在常数1(t>0),使得∠PAE=1∠PFA总成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由； (3)若a为定值，直线P9经过F,求AP+AQ的最小值， 30.(2026贵州黔东南模拟预测)己知椭圆C:之+片。 +存=1(a>b>0)的焦距与短轴长均为2V2. (1)求椭圆C的标准方程 ②己知直线(：y=:(k>0)与椭圆C交于4，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜宰为的直线4， 交椭圆C于另一个点P ①证明：AB⊥AP ②求△ABP面积的最大值 31.(2026安微合肥模拟预测)已知抛物线C:x2=2py(p>0),O为坐标原点，过点P(1,1)作斜率k(k<0) 的直线I交抛物线C于A,B两点，其中A在第一象限，直线OP交抛物线C于另一点D,其中OD=4OP, 直线OA与直线BD交于点M. YA M (1)求抛物线C的方程； (2)记△MAD与△MOB的面积分别为S,S2. ①当O,A,D,B四点共圆时，求直线1的方程； ②求 的取值范围。 S. 29/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.225山西别州一碳)已知特国C:号+芳=1a>60)上顶点为40，直线y=:与特区C交 于两点P,0.当k=1时，Pg=45 3 (1)求椭圆C的方程： (2)当△APQ的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程. ②026福建龙岩一德)已知椭圆E名+1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,长轴长 且以短轴为直径的圆与直线y=x+√2相切. (1)求E的方程； (2)过点P(-2,I)的直线I交E于C,D两点，直线BC,BD分别交x轴于M,N两点，证明： (i)M,A,N的横坐标成等差数列； (ii)△ABD与ABMD的面积之比为定值 26山东青岛一模)已知0为坐标原点，椭圆W：名+片1(>6>0)的离心率为 为4 (1)求W的方程： (②)若过O的直线I交W于A,B两点，点C在W上，点D为直线BC与x轴的交点，点A的横坐标为点D横 坐标的3倍 (i)证明：AB L AC; (ii)若点A,B都在曲线E:y=m+n(m≥2)上，求n的最大值 3。（226广东州-模)已刻双曲战C:千芳-1<口>0，b>0)的底点其新近线的距商为万， 点(2,2)在C上. (1)求C的方程； (2)点A,B分别在C的两条渐近线上运动，且AB=2W2,线段AB的中点为M. (i)设E(O,5,F(o,-√)，求MEMF的最大值； MP (ii)设P(-t,0),Q(t,0)(t>1),点M不在x轴上，若∠MQP=2∠MP9,求 的取值范围. MO 36.（2026广东-模)设双曲线C:等茶=1a6>0)的离心率为2，其左、右焦点分别是R.5,过5 30/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的直线I与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与x轴垂直时，MW=6. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求MNF的最小值； (3)记△MN的内切圆⊙P与双曲线C的一个公共点为2，双曲线C的左顶点为A,证明： ∠APQ=2∠FP9. B又(2026辽宁抚顺一)椭图C+@>b>0,的焦点分别为-，0,0,0叭，过点且倾斜角 9 为a的直线与椭圆C相交于A,B两点，当cosa=时有|ABA上9m, 3 (1)求m的值及椭圆C的标准方程； (2)已知线段AB的中点为G. (i)求点G的轨迹方程： (i)若线段AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点，O为坐标原点，记△GED的面积为 S,△0ED的面积为S,求-2048S的取值范围。 C2026河北张家口一模)已知揽物线E:y=2px(p>0)的焦点F到直线1：2x-y+了=0的距离为 11V5 10 (1)求抛物线E的方程 (②)点P为直线l上的一点，过点P作E的切线，切点分别为M,N, ①问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由， ②若点P在抛物线E的准线上，切点M在第一象限内，存在过点P的直线与E相交于A,B两点，过点A作 平行于PM的直线，分别与直线MN和直线MB交于点G,H,若AG=AH,求的值 89,(2026广东佛山二模)已知椭圆E+为=1a>b>0)的左顶点4(-2,0)，上顶点B0,D】 (1)求椭圆E的方程和直线AB的方程； (2)过椭圆E上异于A的点C作x轴的垂线交直线AB于M点，延长CM至点N,使MN=CM,直线AN交 椭圆E于点D (1)求证：直线AC,AD的斜率之和为定值； (ii)求△ACD面积的最大值， 31/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.226北定吕二核)已知双鱼发C:号卡=a>06>0)售点F到一-条荷近技商为，且点 P(2,1)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)斜率为-1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（异于点P)· ①求直线AP、BP的斜率之和； ②若△PAB的外接圆圆心为M,试问在x轴上是否存在定点Q使|MQ-MP为定值，若存在，求出Q点坐 标，若不存在，请说明理由。 题型25 排列组合27个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 分组分配问题 先按人数分组，再分配到两个社区，注意平均分组需除以组数的阶乘。 2 分组分配问题 先将4人分成3组(2,1,1)，再分配到3个地点，注意平均分组的处理。 数字排列与相邻问 3 先排奇偶相间，再插入相邻数字，注意捆绑后插入位置的特殊性。 题 排列中的顺序与相 4 先用捆绑法处理相邻，再用倍缩法处理顺序限制。 邻条件 5 相邻问题 将相邻元素捆绑视为一个整体，再与其他元素排列。 6 分组分配问题 先将5人分成人数为2,1,1,1的四组，再分配到4个场次。 7 先选后排（空盒问题） 先选空盒，再将4个球分到2个盒子，分两种情况(2,2和1,3)。 有限制条件的分组 8 分配 按A公司人数分类讨论(1人或2人)，再分配B、C公司。 排列中的位置与相 9 邻限制 先排特殊元素“礼”，再用排除法减去“射”和“御相邻且不满足条件的情况。 10 排列中的位置限制 分C是第1个和C不是第1个且不是最后一个两类讨论。 排列中的不相邻与 11 先排歌舞节目，再插空排机器人，用排除法去掉前3个全是歌舞的情况。 前位限制 排列中的位置与不 12 先排男生，分甲在两端和甲在中间两类，再让女生插空。 相邻限制 相邻问题的综合应 13 用 分恰有3本相邻和4本相邻两类，分别用捆绑法计算。 14 排列中的位置限制 用间接法，先求全排列，再减去春字在两端的排列。 有限制条件的分配 15 按A舱人数分类讨论(1人、2人、3人、4人)，分别计算分配方法。 问题 16 车票问题 每两个站点之间需要准备2种车票，即排列数。 17 数字排列（无重复） 先确定百位数字（不能为0），再从剩余数字中选2个排列。 18 网格路径问题 用组合数求总路径，减去经过管制点的路径。 32/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有限制条件的分配 先安排女性去两个不同社区，再安排男性去三个社区，用排除法去掉社区 19 问题 无人的情况。 20 分组分配问题 先按3,1,1和2,2,1两种方式分组，再分配到3个不同的盒子。 21 有限制条件的填数 问题 先选2个格子放1，排除同行或同列相邻的情况，再放2，最后放剩余数字。 顺序固定与不相邻 22 先排顺序固定的非耐力打卡，再用插空法插入顺序固定的耐力打卡。 问题 23 排列中的位置限制 用间接法，先求所有选择，再减去第一场选“峡谷之巅”的情况。 24 网格路径问题 分类讨论必经点，分步计算路径数。 分析阴影圆的位置关系，按阴影圆中数字的大小分类讨论，结合相邻圆数 25 图形填数问题 字大小关系计算。 26 取物顺序问题 对前三个球的取法分类讨论，再分析剩余球的取法顺序。 27 数阵填数问题 先确定特定位置的最大数，再按顺序从剩余数中选择填入。 一、单选题 1,（2026河北唐山一模)某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区， 每个社区至少一名同学，不同的分配方案有() A,6种 B.12种 C.14种 D.28种 2,(2026黑龙江·一模)黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、 体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配 方法种数为() A.81 B.72 C.36 D.12 3.(2026辽宁模拟预测)已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复）， 满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有()个 A.432 B.257 C.282 D.504 4.(2026安徽合肥一模)国庆假期，某人计划去A,B,C,D,E五个不同的景点游览.在确定景点的游览顺 序时，要求A在B之前，C与D相邻，则不同的游览顺序共有() A.18种 B.24种 C.48种 D.60种 5.(2026新疆·模拟预测)有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放 方法的总数为() A.24 B.48 C.72 D.120 6.（2026山东烟台一模)某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至 少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为() A.180 B.240 C.320 D.360 33/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2026山东聊城模拟预测)将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种 数为() A.72 B.78 C.84 D.96 8.(2026贵州黔东南模拟预测)将6名同学安排到A,B,C三个公司实习，每名同学只去一个公司实习， 至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则 不同的安排方法有() A,120种 B.150种 C.210种 D.300种 9.（25-26高三下·河南驻马店·开学考试)中国古代中的“礼“乐“射“御“书“数”合称“六艺”，某校国学 社团准备开展关于“礼“乐“射“御“书“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后 一场，“射”和“御的场次不相邻，则不同的排法共有（)， A.408种 B.336种 C.240种 D.120种 10.(2026山东淄博一模)有5名同学A,B,C,D,E参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若A和B都 不是第1个出场，且C不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为() A.42 B.50 C.54 D.60 11.(2026浙江·一模)某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相 邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有()种 A.216 B.360 C.432 D.672 12.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不 相邻的不同站法有() A,24种 B.48种 C.72种 D.96种 13.(2026浙江模拟预测)《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名 著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的 顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有() A.120种 B.240种 C.480种 D.600种 14.（2026海南省直辖县级单位·模拟预测)小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排， 则春字不在两端的贴法有() A.96种 B.72种 C.60种 D,48种 15.(2026山东青岛一模)某空间站由A,B,C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中 开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去A舱，则不同的安排方法 34/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的种数为() A.35 B.36 C.42 D.50 二、填空题 16.（2026广东梅州一模)已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、 惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备 种不同的车票 17.(25-26高二上江西上饶月考)从0,1,2,3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个 数是 (用数字作答) 18.(2026河北模拟预测)如图，某城市A,B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口， 小林要从A出发到B处，若每次只能向右或向上走一个路口，P,Q两处实行交通管制，不准通行，则从A 到B的走法共有 种.（用数字作答） B P 19. (2026河北邯郸·一模)某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区 进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同 社区的方案共有种 20.(2026湖北孝感二模)2025年泡泡玛特旗下的P*LABUBU突然爆火.现有5个不同造型的 LABUBU”,把这5个LABUBU装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有种不同的装法， 21.(2026宁夏银川一模)在如图所示的九宫格中，每个格子用1,2,3,4,5,6中的一个数字填入， 要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共 有 种 22.(2026山西晋中模拟预测)小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡， 3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻， 不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有 种 23.(2026湖南模拟预测)某电竞战队从6张不同地图中选择3张，按顺序用于3场比赛，且每张地图最 多使用一次，若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有 种， 24.(2026重庆·模拟预测)小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向 上或向右移动1格，则从起点到终点共有 种不同的走法 35/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 终点 △ 起点 25. (2026黑龙江哈尔滨·一模)下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中 由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”若将1,2,3,4,5,6,7这七个数字分别填入这七个圆中， 且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有 种 26,(2025江西南昌·二模)某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一 个，且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种 27.(2026湖南湘潭·二模)将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入一个3×3的方格中，每个格子填1个 数字，且不重复，要求第一行数字满足a,<a2<a3,第三行数字满足a1<a2<a3,第三列数字满足 a13<a23<a3,则符合要求的填数方法共有 种.（用数字作答） a11 412 as 421 a22 a23 0 02 a33 36/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型26 二项式定理17个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 求展开式指定项的系 1 利用二项展开式的通项公式，代入项数求系数。 数 二项式系数相等求指 2 数 利用二项式系数的性质，由C?=C5得n=7。 求展开式指定项的系 3 数 写出通项公式，令x的指数为2，求出r后代入求系数。 4 存在性条件求指数 写出通项公式，令x的指数为整数，检验n的可能取值。 5 己知常数项求参数 写出通项公式，令x的指数为0，代入常数项列方程求解。 项式系数最大项求 指数 分n为偶数和奇数讨论，根据第7项二项式系数最大确定n的范围。 > 多项式乘法求指定项 分别写出二项式展开的通项，再与x相乘，合并同类项。 系数 多项式乘法求指定项 系数 将多项式拆分为两部分，分别求含x3的项，再合并系数。 二项式系数最大项与 0 指定项系数 由仅有第4项二项式系数最大得n=6,再通项求x3的系数。 二项式系数最大与有 由第6项二项式系数最大得n=10,写出通项，找出有理项个数，再计算 10 理项概率 概率。 11 赋值法求系数和 分别令x=1和x=-1,相减可得奇数项系数之和。 12 换元法求指定项系数 令t=x-1,转化为关于1的二项式，求2的系数。 赋值法求系数和（多 令x=1求各项系数和；令x=-1求奇偶项系数差；求导后赋值求相关 13 选题) 和。 赋值法求系数和（多 14 由最高次项系数确定a利用通项求a8;令x=1和x=-1求相关和。 选题) 赋值法与二项式系数 令x=1求系数和；利用通项求指定项系数；令x=1和x=-1求奇偶项 15 性质（多选题） 系数差；利用二项式系数性质求最大值。 多项式乘法求指定项 16 将多项式看作5个因式相乘，分类讨论选取x2和x3的个数。 系数 项式系数和与常数 17 由二项式系数和求n,再写通项，令指数为0求常数项。 项 一、单选题 1. (2026江西模拟预测)二项式(W2x-1)的展开式中，第四项的系数为() A.-402 B.-30 C.30 D.40W2 2.(2026山西大同一模)若(x-2y)“的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则n=() A.9 B.8 C.7 D.6 37/69 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026广东一模)在(1-x)4+(1-x)'的展开式中，含x2的项的系数是（) A.-4 B.4 C.-16 D.16 4. A.5 B.9 C.15 D.19 1 )10 (2026陕西榆林一模)若ax+ (a>0)的展开式中常数项为180，则a的值为() A.4 B.2 C.2 D.1 6. (2026陕西模拟预测)若(2x+1)”的展开式中第7项的二项式系数最大，则n的值不可能是（) A.10 B.11 C.12 D.13 7.(2026陕西模拟预测)1+X0+)展开式中x的系数为() A.56 B.42 C.84 D.120 8. (2025高三·全国.专题练习) x+ (x-3y)的展开式中xy的系数为（) A.88 B.89 C.90 D.91 9.(2026湖北宜昌·二模)已知二项式(2x-1)”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3 项的系数为() A.-160 B.-80 C.80 D.160 10.(25-26高二上江西鹰潭期末)已知在 的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 3√ 若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A,则P()=() A. 4 6 B:55 D. 20 55 11,(2026福建龙岩.一模)设(x+1)°=a+ax+…+a,x,则a+a2+a3+a4+a=(） A.1 B.2 C.31 D.32 12.(2026安徽马鞍山一模)若(3-x)8=a。+a,(2-x)+a2(2-x)2+…+a(2-x)3,则a6=() A.-56 B.-28 C.28 D.56 38/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、多选题 13.(2026广东广州模拟预测)设(2+x)°=a,+ax+…+a,x,则(） A.a+a1+…+a5=728 B.4=160 C.(2+x)的展开式中含x2项的系数为64a2 D.a+42+a4+a6=365 14.(2026山东模拟预测)若(3x+)(x-2)”=a+ax+a2x2+…+ax(a。≠0)，则() A.n=5 B.a4=130 C.41+42+…+a6=28 D.4+2a2+3a+…+6a6=23 15.(2026重庆一模)已知(2x-1)°=a。+a(x-1)+a,(x-1)}++a,(x-1),则下列结论正确的有 () A.a。=1 B.a=494 C.g+%+a,+a,=3- 2 D.a,(i=0,1,2,…,8)中，a与a。最大 三、填空题 16.(2026山东聊城一模)（1-x+x2)°的展开式中x的系数是 17.(25-26高三上天津蓟州期末) 的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为 题型27 概率统计小题52个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较是否变 统计量变化判断 化。 根据百分位数公式计算位置，若为整数则取该位置数据，若为小数则取 2 百分位数计算 相邻两数的平均数，列方程求解参数。 39/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 回归直线过样本中心 计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出参数。 4 回归直线过样本中心 计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出未知数据。 观察折线图的变化趋势、差值、峰值等，判断各选项的结论是否可直接 5 折线图信息提取 从图中得出。 6 线性变换后的方差 利用方差性质D(X+b)=aD(),由原数据方差求新数据方差。 数据错误对方差的影 7 设原数据平均数为x,由方差公式分别表示正确数据和错误数据的方差， 响 作差求解。 次函数最值与样本 将函数展开，代入已知的样本和与平方和，转化为关于t的二次函数， 8 数据 利用二次函数性质求最小值。 全概率公式求总体优 将全校优秀率表示为各年级优秀率乘以入数比例的加权和，利用全概率 9 秀率 公式计算。 10 古典概型概率计算 列举所有可能结果（总事件数），再计算事件发生的结果数，求比值。 先求甲被派去B服务站的所有分配方法数，再求甲、乙同去B服务站的方 11 条件概率 法数，比值即为条件概率。 12 全概率公式 将做对概率表示为选择各难度题目概率乘以对应正确率之和。 13 条件概率与独立事件 设P(A)=P(B)=p,利用条件概率公式和独立事件性质列方程，解出p。 14 条件概率与并事件 利用条件概率公式P(4B)=,结合并事件概率公式求解。 P(B) 比赛获胜概率与奖金 15 分2局结束和3局结束两种情况计算甲获胜概率，按概率比例分配奖金。 分配 对立事件与充分必要 16 理解对立事件定义，通过举例验证充分性和必要性。 条件 列出所有出牌组合（共6种），计算甲每轮得分，求得分分布，再计算期 17 随机变量期望 望。 18 正态分布概率计算 利用正态分布对称性，由已知概率推导目标区间概率。 项分布与正态分布 由正态分布对称性得均值，由二项分布方差公式求，再代入条件求概 19 综合 率。 20 二项分布与线性变换 设正面次数为Y,则总得分X=2Y-(8-)=3Y-8,利用二项分布期望方 差求X的期望方差。 21 概率递推 分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的路径概率，相加得占比。 极差变为原来的2倍，平均数变为原来的2倍加1，方差变为原来的4倍， 22 线性变换后的统计量 (多选题)》 第80百分位数不能确定。 去掉极值后的统计量 极差变小，平均数可能不变，方差变小，百分位数可能改变，通过计算 23 (多选题) 验证。 计算各月变化量判断A;求和求平均判断B;分别计算前5个月和后5个月 24 折线图分析（多选题） 的方差比较；排序后求第70百分位数。 条形图和扇形图分析 25 根据比例计算各年各路线人数，比较大小，计算极差和增长率。 (多选题) 线性变换后的统计量 平均数变为原来的3倍加1，中位数变为原来的3倍加1，方差变为原来的9 26 (多选题) 倍，极差变为原来的3倍。 两组数据合并后的统 27 利用已知平均数和方差，通过公式推导合并后的平均数和方差。 计量（多选题） 28 去掉极值后的统计量 中位数不变；极差可能不变也可能变小；方差可能变小；通过具体数据 40/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (多选题) 验证。 29 统计图表分析（多选题》 根据累计收入和同比增长率计算每月收入，比较大小，判断各选项。 添加数据后的统计量 30 通过构造具体数据验证平均数、中位数、方差、极差的变化可能性。 变化（多选题） 31 独立性检验（多选题） 列出列联表，计算卡方值，与临界值比较，判断是否独立。 32 独立性检验与条件概 根据比例计算人数，列出列联表，计算卡方值，用条件概率公式求概率。 率（多选题） 互斥事件与包含关系 33 利用互斥事件概率加法公式和包含事件概率性质判断。 (多选题) 34 贝叶斯定理（多选题》 利用全概率公式和贝叶斯公式计算条件概率。 35 随机变量期望（多选题） 分类讨论从乙袋取球的情况，计算从甲袋取到红球个数的分布列和期望。 条件概率与独立事件 36 (多选题) 利用条件概率公式和独立事件概率性质推导。 条件概率与和事件（多 37 利用条件概率公式和概率加法公式计算。 选题) 等比数列与概率（多选 38 题) 先求等比数列通项，判断各项正负，再根据前n项中正数个数计算概率 39 正态分布性质（多选题） 利用正态分布的对称性、概率密度函数性质判断。 马尔可夫链与条件概 40 利用全概率公式和条件概率公式计算。 率（多选题） 全概率公式与二项分 41 全概率公式求答对概率；条件概率公式；二项分布概率公式和期望公式。 布（多选题） 条件概率与全概率公 42 利用条件概率和全概率公式推导各选项。 式（多选题） 43 递推概率（多选题） 分析试验过程，建立概率递推关系，判断各选项。 分层抽样总体均值与 利用分层抽样总体均值公式x=m西， 总体方差公式s2= 44 方差 2(s+区1-x)2)+n(+2-x)) n1+n2 45 分层抽样总体均值 计算加权平均数。 46 古典概型概率 列举所有取球组合，找出互质的数对，求概率。 先求每轮甲得1分、0分、-1分的概率，再分析三轮总分1分的情况，用二 47 比赛得分概率 项分布或分类计数。 随机变量最大值期望 分析X(抽到数字2、0、6的次数的最大值)的可能取值，计算各概率， 48 再求期望。 利用全概率公式求第3天选A的概率，再求第2天选A且第3天选A的概率， 49 条件概率（马尔可夫链） 用条件概率公式。 全概率公式与贝叶斯 全概率公式求合格品概率，贝叶斯公式求甲厂生产条件下是合格品的概 50 公式 率。 分析操作过程，计算4次和5次操作后全红的概率，注意红球和黑球替换 51 概率递推 的路径。 先求系统正常工作概率，再求在正常工作条件下损坏元件个数的分布， 52 条件概率与期望 计算期望。 41/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(2026四川内江·二模)现有一组数据：1,1,3,7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变 化的统计量是() A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 2.(2026河北保定一模)已知一组数据从小到大排列为4,6,7,8,10，m,16,18,19,20,若该 组数据的60%分位数是14，则m=() A.11 B.12 C.13 D.14 3. (2026河北张家口一模)通过下表5组数据得到的经验回归方程为)=x+0.84,则6的值为（) 2 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A.0.08 B.0.08 C.0.09 D.0.09 (2026山东青岛一模)已知变量x,y的统计数据如下，若x与y的回归直线方程为=0.64x+0.8, 则m=() 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 m 4.0 5.1 5.4 A.2.5 B.2.7 C.2.9 D.3.1 5.(2026湖南模拟预测)国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型 对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折 线图（两条折线）： 650 620 600 580.- 605 590 电550 570 580 510 、540 500 530500 460 470.300 490 450 465 14502 3 456 7 8 时间（点） 预测电价（元MWh) --·实际电价（元/MWh) 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是() A,实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B.这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元MWh左右 42/69 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D,模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 6.（2026广东·一模)已知数据x,x2,x3的平均数为1，方差为2，则数据，2，x3,2x-1,2x2-1,2x3-1的方 差为() A.4 B.5 C.6 D.7 7.(2026河北邯郸一模)已知一组数据a,b,c,25,20的方差为s2,甲同学将这组数据错看成a,b,c,15,30, 并求得错误数据的方差为s屏=60，则正确数据的方差s2=() A.80 B.60 C.40 D.20 8.(2026湖北宜昌二模)有一组样本数据x2,xo,其中x,∈R(i=1,2,…,10).已知 2=90,2x=100,设函数f-立-xeR.则/()的最小值为〈) A.19 B.100 C.190 D.200 9,(24-25高二下·湖北期中)某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛” 满分100分，得分80分及以上为“优秀”比赛的结果是：高一年级优秀率约是70%，高二年级优秀率约是 75%,高三年级优秀率约是80%.其中高一、高二、高三年级人数比为13：12：15，那么全校“优秀率”约是 () A.73.75% B.75.00% C.75.25% D.76.25% 10.(2026陕西榆林·模拟预测)甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一 个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜，已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中 有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为() B. c 2 D.2 11.(2026山东东营.一模)在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位 志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务 站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为() A B.2 D. 12.(2026四川德阳·二模)某知识过关题库中有A,B,C三种难度的题目数分别为300,200,100，其中小明 432 完成A,B,C型题目的正确率分别为 55’5 ，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为〔） B.3 c 4 D 43/69 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 13.(2026广东佛山二模)设A,B为两个相互独立的随机事件，且P(A)=2P(B).已知在A,B至少一个 发生的条件下，4B枪有一个发生的概率是子，别P()=《) A.4 B. 5 c.g D:0 1 14,(2026山东临沂一模)对于事件4，B,P(4)-号P(4)-名P4=1,则P()=《) 7 A0 B.3 2 C.Z D. 5 15.(2026广东梅州一模)甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交 手记录，每局甲赢的概率为子，乙赢的板率为}，且每局比赛相互独立然而因突发事件，比赛未能举行， 为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金()元 A.3600 B.3800 C.4000 D.4200 16.(2026广东汕头模拟预测)“P(A)+P(B)=1”是“事件A与事件B互为对立事件”的() A,充要条件 B,既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D,必 要不充分条件 17.(2026福建福州模拟预测)甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标 有数字2,3,5，乙的卡片上分别标有数字4,6,10两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己 持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).记三轮比赛后甲的总得分为X,则E(X)=() A.1 B c D.2 18.(2026内蒙古包头模拟预测)某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的循环寿命”X(单位 千干次)服从正态分布N(4.5,o2),且P(X≥5.2)=0.2.现从该批固态电池中随机抽取1组，则循环寿命”X 在区间(3.8,5.2)的概率为() A.0.2 B.0.3 c.0.6 D.0.8 19.26山东德一侯)已知E机变量X-N么o小且Y~Bp叭P个X≥引分且 2E(X)=D(2Y),则p=() B.4 D.2 20.(2026湖北武汉模拟预测)连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得-1 44/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分，记总得分为X,则() A.E(X)=8 B.E(X)=12 C.D(X)=6 D.D(X)=18 21.(2026江苏一模)科学研究中经常涉及对粒子状态的分析某假想粒子有状态1，状态2，状态 3,,每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子 有2的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推现有若干状态1的该粒子，则经过 3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占() A.39% B.51% C.64% D.73% 二、多选题 22.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)一组数据x,x2,x3,x4,x的极差为4，平均数为3，方差为2，若 y=2x,+1(i=1,2,3,4,5),则() A.,y2,y,y4,的第80百分位数为y4 B.,2,3,y4,的极差为8 C.,y2,3,y4,的平均数为7 D.,y2,3,y4,的方差为4 23.(2026山西晋中模拟预测)在一次机器人大赛中，7位评委给某机器人的打分（单位：分)为 80,83,87,90,93,97,100,则下列说法正确的有() A,去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变 B,去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变 C.去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小 D.这组数据的75%分位数为93 24.(2026河北一模)某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示 的折线图，则下列说法正确的是() 45/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 营业额万元 60 60… 50 40 30 30 36 23 29 20 10 月二月三月四月五月六月七月八月九月十月 月份 A.从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B,这10个月营业额的平均数为32.5万元 C.前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D.这10个月营业额数据的第70百分位数为43 25,(2026辽宁辽阳·一模)某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年 增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的 扇形统计图（图2），己知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则() 16人数/于 号线10% 五号线 12 306 二号线15% 四号线 五线路 2.5/% 号线20% 号 线 线 线 图1 图2 A.2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B.2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C.2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11干 D.2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 26.（2026四川成都·二模)已知数据4,42,4，，a的平均数为M,中位数为N,方差为P,极差为Q,设 b=3a,-2(i=1,2,3,…,8),得到新数据b,b2,b,,b,则对于所得新数据，下列说法一定正确的是() A.平均数是3M B.中位数是3N-2 C.方差是9P D.极差是3Q-2 27.(2026山东聊城一模)己知第一组样本数据x,2,,x的方差为1，第二组样本数据3x+2, 3x2+2,.,3x,+2的平均数为14，则() A.第一组数据的平均数为4 B.第二组数据的方差为3 46/69 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.将两组数据合并后数据的平均数是9D.将两组数据合并后数据的方差是30 28.（2026吉林白城一模)有一组样本数据x,x2,…,x,其平均数为4，方差为s,中位数为m.在这组 数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为s2,极差为t,则() A.m=n B.t<4 C.3s2<4s2 D.s2≥1 29.(2026安徽安庆一模)某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形 图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率)： 2025年2月-10月某地区地方一般公共预算收入累计图 250 4.8 收200 4.2 -3 161.05 191.61 21339 150-2 2.1 2. 150.09 -…1 计 134.69 亿100- 0.4-0.3 -1 66.57 83.96 96.87 50------ -3 43.88 0 2025年2025年2025年2025年2025年2025年2025年2025年2025年 2月3月 4月5月 6月7月8月9月 10月 口累计 一。一同比增长 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 (亿元) 同比增长率 2.1 2.1 0.4 -0.3 4.2 4.8 (%) 根据图表，下列说法正确的是( A.该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B.2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D.2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 30.（2026海南省直辖县级单位·模拟预测)有一组互不相等的样本数据x,x2,“,x。,现添加一个新的数据 x,得到新的一组数据x,x2,…,x,则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是() A.若平均数不变，但极差变大 B,若中位数不变，但平均数变小 47/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若平均数不变，但方差变大 D.若中位数不变，但方差变小 31.(2026重庆一模)（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为分析两种疗法效果是 否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗效 疗法 未治愈(Y=0) 治愈(Y=1) 甲(X=0) 15 52 乙(X=1) 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： e 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得x2≈4.881，则下列说法正确的是： () A.以频率估计概率，有P(X=0Y=0)= B。以幸信计离率，有PY=X=)-子 C.若取a=0.05,可以认为疗效与疗法独立 D.若取a=0.01,可以认为疗效与疗法独立 32.(2026广东梅州一模)近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是 否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下 列结论正确的是() 车型与地区 100% 80% 60% 40% 20%- 0% 甲地 乙地 ☒燃油车☒新能源车 附：X2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)' n=a+b+c+d 48/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 A.在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B.在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C.根据小概率值=0.001的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D.从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 33.(2025高三全国专题练习)已知随机事件4B满足P(4),P()},则(） A若事件AB互示，则P4+B)-专B.若Bc4,则P(4)=吃 C.若B4,则P(4+)- D.若件48互示，则Pa+可-名 34.(2026广东·一模)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件A,B存 在如下关系：P(AB)=P4P(BA 张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运 P(B) 动。张同学第一天选择室内健身的概率为了，选择户外运动的概幸为}如果第一天选择室内健身，那么 2 第二天继续选择室内健身的概率为)；如果第一天选释户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为，则 张同学() A,第二天去室内健身的概率为 B.第二天去户外运动的概率为号 C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的柢率为 35.(2026江苏·一模)甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有 2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球，现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随 机取出1个球.记从甲袋子里取出红球的个数为X,则() APx=0)=号 4 B.P(X=1)= 5 C.E(X)=5 4 D.D(X)=125 4 36.(2026重庆模拟预测)已知A,B为两个随机事件，A,B分别表示A,B的对立事件，P(A)=0.2, 49/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(B)=03,则下列说法正确的是() A.若ASB,则P(A+B)=0.3 B.若A∈B,则P(A+B)=0.5 C.若A,B相互独立，则P(A+B)=0.4 D.若P团=01，则P(4B)-月 3、(226江西蔬好一蒙)设4B是一个试验丰的两个事件，且代0-方P例=，PB+网=音则 下列结论正确的有() A.P(AB)=3 B.P(A+B)=12 5 c.PaI0-号 D.P(BIA)+P(A|B)=1 38.(2026河北张家口一模)若数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+1,在数列{an}的前n+2 (n∈N)项中任取两项都是正数的概率记为P,则下列说法正确的是() A.B=6 B.Bn<Pn C.Pn<Pm2 D.Pn+Pn<Pnt+Pnt2 39.(2026浙江·模拟预测)已知随机变量X~N(1,σ2)，且P(X>2)=a,P(X>4)=b (0<b<a<0.5),则() A.P(1≤X≤4)=1-b B.b<P(X<-1)<a C.P(X≤2)=1-a-b D.P(X>2+m)>P(X<-m)(m>0) 40.(2026湖北孝感二模)春节假期过后，车主小张选择去该市新开的A,，B两家共享自助洗车店洗 车，已知小张第一次去4,8两家洗车店洗车的概率分别为和子，如果小张第一次去4洗车店，那么第二 3 次去A洗车店的概率为)：如果小张第一次去B洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为，则下列结论正 确的是（) 次去B洗车店，第一次也去B洗车店 B.小张第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率小 C.若小张第二次去了A洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为 50/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.若小张第二次去了B洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为23 15 41.(2026河北张家口一模)某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛 的同学在两类问题中随机选择一类并从中年意抽取一个问题回答，已知甲同学答对A类问题的概率为} 答对8类问题的概率为分，甲同学回答A类问题的概率为}，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下 列说法正确的是() A.甲同学在第一轮答对试题的概率为 B.甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为； C,甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D.甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 42.(2026四川绵阳模拟预测)设A,B分别为随机事件A,B的对立事件，以下概率均不为零，则下列结 论正确的有() A.P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA B.若P(BIA)=P(B),则P(AB)=P(A) C.P(ABC)=P(A)P(BIA)P(CIAB) D.P(BIA)+P(BIA=1 43.（2026山东济南一模)现进行如下试验从1,2,3，…，10中任选一个数，记为a,若4=1，则试验结束 否则再从1,2，…，4-1中任选一个数，记为42，若a2=1,则试验结束；否则再从1,2，…，a2-1中任选一个数， 依次类推，直至选中1为止.记事件A,=“试验过程中，数字i被选到”，卫，表示事件A发生的概率 (i=1,2,3,…,10),则() A.P=10 1 11 B.Ds=10+Po+8P C.P(41 4)=P(Asl 4o) D.P(4,4)=p,p,(,j∈{1,2，…，10}且i≠) 51/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 44.(2026辽宁.模拟预测)大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为 35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为，方差为 45.(25-26高二上·广东中山月考)在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层 随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生 30人，其平均数和方差分别为160和15，则估计出总样本的平均数为 46.(2026广东汕头模拟预测)抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标 有数字1,2,3,4,5,6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则 两个球之间的数字标号互质的概率为 47.(2025湖北黄冈·模拟预测)甲、乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀 的骰子一次，规定点数大的得2分，点数小的得0分，点数相同时各得1分，三轮比赛结束后，甲得4分的 概率为 48,(2026河北张家口一模)己知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数 字2,0,2,6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记X为抽 到数字2,0,6的次数的最大值，则X的数学期望E(X)= 2 3 75 11 P 128 32 128 49. (2026江西一模)学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中 选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为4；若他前1天选择了B套餐，则 第2天选择了4套餐的概率为己知他开学第1天中午选择4套餐的概率为在该同学第3天选择了 套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为 50.（2026江西·模拟预测)某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率 是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是 甲厂生产的概率是 51,(2026江西南昌一模)已知A盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，B盒中装有大小相同的3个 红球，从A盒中随机取一个球，若是红球，则放回A盒；若是黑球，则从B盒中取一红球与其替换，这样 52/69 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 称为1次操作，重复以上操作，直到A盒中6个球全是红球为止.记n次重复操作后，A盒中6个球恰好全 是红球的概率为R,则乃一2B= 52.(2026湖南怀化一模)如图，要用2n个元件组成一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状 练正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此8 坏的元件个数为Xn,则E(X,)= 题型28 概率统计大题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 互斥事件与 分情况讨论比赛结束仍未决出胜负的情形，利用独立事件乘法公式和互斥事件加 独立事件概 法公式计算概率；甲获胜需考虑甲在第1、2、3次投篮中获胜的各种路径。 率 独立事件与 分别计算甲、乙通过面试的概率；由两人答题次数之和的可能取值，结合独立事 2 随机变量分 布 件概率公式求分布列，再求期望。 全概率公式 由全概率公式求检测结果与实际不符的概率；二项分布求恰有2天不符的概率；计 与二项分布 算使用检测系统时每日总支出的期望，与不使用系统时的期望比较。 线性回归与 计算样本中心点，求相关系数判断相关性强弱；利用最小二乘法求回归直线方程， 相关系数 再代入预测值。 独立性检验 补全列联表，计算卡方值判断是否独立；分层抽样后，用超几何分布求抽取人数 与超几何分 分布列和期望。 布 相关系数与 计算相关系数判断线性相关程度；从5个数据中随机抽取3个，最小值的分布列为 6 超几何分布 超几何分布，求期望。 频率分布直 由频率和为1求参数，根据百分位数定义求分数线；分层抽样后用超几何分布求分 方图与正态 布列；由直方图估计均值，结合正态分布概率公式求概率。 分布 二项分布与 有放回抽取服从二项分布，求分布列和期望；用二项分布概率公式求误差不超过 全概率公式 0.2的概率；利用条件概率和全概率公式分析换门问题。 全概率公式 由全概率公式求随机抽取一名会员满意的概率；从所有会员中抽取2名，满意的数 与二项分布 量服从二项分布，求分布列和期望。 条件概率与 由全概率公式求有消费意向的概率，再求条件概率；分析了解政策的家庭与受带 10 独立事件 动家庭合计补贴的可能取值，用独立事件乘法公式求概率；计算奖励期望。 古典概型与 列举法求概率从低于2%的模型中抽取3个，其中低于1.3%的个数服从超几何分布， 11 超几何分布 求分布列和期望。 12 独立事件与 求一件零件合格的概率，再求3件中至少2件合格的概率；4件零件总获利服从二项 53/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二项分布 分布，求分布列和期望。 分布列性质 6 由分布列概率和为1求参数，再由条件概率公式和全概率公式求概率；利用期望公 与全概率公 式和导数判断方程解的存在性。 式 条件概率与 由条件概率公式求概率；分析抽到干电池的过程，用乘法公式或递推关系求恰好 14 递推概率 抽到最后一块干电池的概率。 独立性检验 计算卡方值判断是否相关；由样本频率估计总体概率，混合后优等品概率为加权 15 与二项分布 平均，抽取3件服从二项分布，求分布列和期望。 条件概率与 16 由列联表计算条件概率，直观判断关联；计算卡方值，与临界值比较得出结论。 独立性检验 互斥事件与 分两类情况求立项概率；由评审通过人数可能取值，结合概率加法公式和乘法公 17 随机变量分 式求分布列和期望。 布 独立事件与 由独立事件概率公式求两模型答案不同的概率；系统输出正确答案的概率由两部 18 二次不等式 分组成，列不等式求参数最小值。 古典概型与 计算游戏I各局获胜概率；3人选择游戏I,前两局均未获胜的人数服从二项分布， 19 二项分布 求分布列和期望；计算两游戏奖金期望，比较选择。 互斥事件与 分情况求甲、乙得分之和大于3的概率；列出两轮得分之和的可能取值，用互斥事 20 随机变量分 件和独立事件求分布列和期望。 布 全概率公式 由全概率公式求一次测试得2分的概率；由条件概率公式求在总得分至少3分条件 21 与条件概率 下第一次得1分的概率；由每轮得分分布求期望，再用线性性质求总期望。 互斥事件与 分正确选项个数为2或3，求随机选一个选项得分的分布列和期望；类似求随机选 22 随机变量期 两个选项得分的期望，比较大小得参数范围。 望 23 分布列与递 分析一个分裂周期后细胞个数的可能取值，求分布列和期望；通过递推关系求经 推概率 过个周期后恰有2个细胞的概率；利用全概率公式证明递推不等式。 条件概率与 由条件概率公式求在第一轮甲胜条件下乙获得第3名的概率；分析甲最终名次的所 24 随机变量分 布 有可能路径，用独立事件乘法公式求概率，得分布列和期望。 独立事件与 由独立事件乘法公式求一轮获得“驰骋”卡片的概率通过状态转移建立概率递推关 25 递推概率 系，构造等比数列求通项，并求极限。 独立事件与 由独立事件求小球落入A、B袋的概率，累计得分的概率满足递推关系，构造常数 26 递推概率 列和等比数列求通项。 正态分布与 由频率分布直方图估计均值，结合正态分布求A等品概率；超几何分布求分布列和 27 超几何分布 期望；建立利润函数，利用导数求最大值。 古典概型与 枚举法求三枚骰子点数和≥12的概率；由状态转移建立概率递推关系，求首次结束 28 马尔可夫链 的概率；建立期望方程组，求解期望步数。 独立事件与 由独立事件乘法公式求支付金额的分布列和期望；建立期望利润函数，求导得极 29 函数最值 大值点及最大值。 二项分布与 二项分布求分布列、均值和方差；由概率定义求人气值出现概率，建立递推关系， 30 递推概率 构造等比数列求通项。 独立事件与 分析生成词元的规则，用独立事件乘法公式求生成1个、2个词元的概率；推导一 31 分布列 般项概率，得分布列；用错位相减法求和求期望。 54/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 全概率公式 由全概率公式求获得最大金额奖励的概率；通过估值近似，建立函数求最大值及 32 与最值 对应k值。 独立事件与 求一次通关概率；利用参考公式求每关期望次数，求和得总期望；建立概率递推 33 递推概率 关系，构造等比数列求通项，并证明不等式。 独立事件与 分析抛掷硬币生成字符序列的规则，求字符总数的期望；建立“前0概率的递推关 34 递推概率 系，证明等比数列；由条件概率公式求概率，通过构造函数求最大值。 全概率公式 由全概率公式求物流提前送达的概率；建立方案选择概率的递推关系，证明等比 35 与递推概率 数列；求极限得长期概率，判断系统能否提高概率。 1.(2026江苏常州模拟预测)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直 到有入获胜或每人春己投三次结束，设甲每次投篮投中的板率为；，乙每次投签投中的概率为，且各自 投篮互不影响 ()求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (②)求甲获胜的概率 2.(2026湖南常德.一模)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对 一E啡双一嵬必易丰‘多哗以幽丰并县斗哩玛母音理幸班目留玛堅2一“之音躁幸目玛 题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两 人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， ()求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X,求X的分布列与期望 3.(2026河北衡水一模)某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设 备正常，检测结果为正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为故障”的概率为0.9，已知每日的检测结 果相互独立 (1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率 (②)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率 (3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检 修后无损失)，若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元若不使用自动化检测系统，每日 故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由 4.(2026陕西西安：模拟预测)近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重 大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向，某地区近几年新能源汽 车的购买情况如下表所示： 55/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 购买量y 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (万辆) ()计算y与x的相关系数r(保留三位小数)； (2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量. (x-xy-)）。】 ∑(x-xy-列 1 参考公式： a=y-bx 2x-旷2- 22x-对 参考数值： V3≈3.6056,2(x-x)0y-)=3.6. 5. (2026·安徽合肥·模拟预测)某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机 抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 [0,2) [2,4) 「4,6) [6,8) [8,10] 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为写作水平良好”和写作水平一般”两类， 得到如下的2×2列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课 外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在[0,2)和[8,10]的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随 机抽取2人参加座谈，设X表示抽取的2人中每周课外阅读时长在[8,10的人数，求X的分布列和数学期 望. 56/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 附：x2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥k) 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 6. (25-26高三上·贵州贵阳·月考)近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了2020~2024年的年份 代码x(x=1,2,3,4,5)与该App在线用户数y（单位：万)的数据，具体如下表所示： 年份代码x 2 3 Ap吧在线用户数y(单位：万) 80 150 210 260 300 ()求样本相关系数，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从2020~2024年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y,记最小的数据为X,求X的分布列 及数学期望E(X). 2(:-x0y-) 注：样本相关系数”= 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 5 当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱其中， -5x2 y2-52≈553. i=l 7.(2026新疆模拟预测)某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共 有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率 分布直方图： 频率 0.040 组距 0.030 0.016 a 0.004 O 5060708090100成绩/分数 (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出α的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于[60,90)的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2入，设这2 57/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 人中成绩落在[60,70)内的人数为X,求X的分布列； (③)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布N(4,σ)，其中“可近似为样本中的 100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2≈219.从该市所有参赛学生 中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率， [参考数据：V219≈15；若Z~N(4,o2),则P(4-o≤Z≤u+o)≈0.6827，P(u-2o≤Z≤4+2o) ≈0.9545，P(4-3o≤Z≤u+3o）≈0.9973] 8.(2026广东梅州一模)(1)一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中 随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用X表示停止时摸出红球的次数 ①求X的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率 (2)某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门 中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门 中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率 解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 9。(2026福建元岩一模)菜会员店的本地会员占号，外地会员占号现开辰商品质量满意度调查，已知本 员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该 质量满意与否相互独立， (①)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (②)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意 的人数为X，,求X的分布列与数学期望 10,（2026黑龙江哈尔滨模拟预测)为落实中央经济工作会议坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神， 某市大力推行某项消费补贴政策政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形 成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元 以上可以领取50元补贴通过调言可知，该市有的家底了解政策：在所有了解政策的家定中，有的家 庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有，的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向调研发 母个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭 58/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为)： ()求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (②)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列： (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可 以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个 家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可 以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元） 11.(2026江苏镇江一模)AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现 象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉 率如下表所示： AI 模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 型 幻 觉 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% 率 (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于2%的AI模型中任取3个，用随机变量X表示其中幻觉率小于1.3%的模型个 数，求随机变量X的分布列和数学期望 12.(2026贵州黔东南模拟预测)某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合 格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合 格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元已知每件 该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为〉，且每件零件是否合格相互独立 6 10 (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利X元，求X的分布列与期望 13.(2026山东德州一模)在某工厂的产品质量检测中，设随机变量X表示从一批产品中随机抽取的不合 格产品数量已知抽取到X个不合格产品的分布列为： 0 2 3 59/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a1-p)2 a(1-p) 名 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为？，且各个 产品返工是否成功相互独立.事件A表示抽取的产品中有i个不合格产品(i=0,1,2,3),事件B表示抽取的 产品中返工成功的数量比返工失败的数量多 (若p了求a,并根据全概率公式求P(@: (2)是否存在p值且p∈(0,1)，使得E(X)=2,请说明理由 14.(2026湖北黄冈一模)抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即 从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收.当抽屉只剩 下充电电池时则停止电池的随机抽取. (1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率； (2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完.记抽取第+1次时恰好抽到最后一 块干电池的概率为P,求P 15,（2026河北保定·一模)某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产 品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智 能调控系统，实现了生产参数的实时优化为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产 线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关 (②)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产 品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件 产品中优等品的个数为X,求X的分布列和数学期望 n(ad-be) 附父a+bc+a+eb+d'其中m=a+b+c+d 60/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.100 0.010 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828 16. (2026江西南昌一模)近年来，青少年近视问题备受关注为了探究中学生手机使用习惯与近视之间 是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机 的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类)以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）调 查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 (1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件A,记“该人近视”为事件B. 根据上表数据，用频率估计概率，分别估计P(B4)，PBA,并由此直观判断平均每天使用手机时间与 近视是否有关联，简要说明理由； (2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量x2(精确到0.001)，并判断是否有99%的把握认为“平均每天使 用手机时间”与“近视”相关 附：公式x2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d' X独立性检验临界值表： P(x2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. (2026河北邯郸·一模)某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审.若能通过两位初审专家的评 审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第 三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项.设该项目能通过每位初审专家评审的概率均 过复审专家评审的概率为)，各专家评审能否 (1)求该项目予以立项的概率： (②)记评审通过该项目的专家人数为X,求X的分布列与期望， 18.(2026广东深圳一模)某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的 61/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若 两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次 给出的答案作为最终输出答案.己知模型甲回答正确的概率为p(0<p<1),模型乙回答正确的概率为0.75， 假设各模型每次回答相互独立 (1)当p=0.85时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (②)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求P的最小值 19.(2026山东临沂一模)某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局， 每局获胜可获对应奖金，奖金可累计具体规则如下： 游戏江：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500 元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0,2,6的骰子） 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600 元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2,0,2,6（不计顺序）则获胜，得900元奖金 (1)求游戏第2局获胜的概率； (②)若销售部门的3位员工均选择游戏江，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望： (③)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由 20.(2026·重庆一模)甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、 分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为474，乙不投3分西 他一次投篮得2分、0分的概率分别为。、，若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独7 每次投篮也互不影响， (1)记一轮投篮后，甲的得分为M,乙的得分为N,求P(M≥N); (②)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量X,求X的分布列及数学期望. 21.(2026山东潍坊模拟预测)某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体，每次测试中，智能 体会随机接受A类或B类任务，每次测试相互独立已知每类任务出现的概率均为2，且智能体成功完成A 类任务的概率为2B类任务的概率为；记成功完成4类任务得1分，B类任务得2分，不成功均得0分 (1)求智能体经过1次测试后得2分的概率； (②)记智能体经过n次测试后的总得分为X 62/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若n=2,求在X≥3的条件下，第1次测试得1分的概率； (i)求E(X) 附：若X,为随机变量， 22.(2026江苏一模)某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下： 若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项 有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分， 否则得0分，学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为P(0<p<1),记 X为甲随机选择1个选项的得分，Y为甲随机选择2个选项的得分， 求PX≥2， 四若p=2 (②)求X的概率分布列和数学期望； 3)证明：当且仅当0<p<.时，E(X)<E() 23.(2026江西赣州一模)现有一种不断分裂的M细胞，在每个分裂周期中，一个M细胞以的概率分 裂成一个新的M细胞，以，的概率分裂成两个新的M细胞，分裂后原来的M细胞消失，新的M细胞在下 一个分裂周期里会继续分裂设初始状态下有1个M细胞，n个分裂周期后，M细胞的数目为Xn (1)求X2的分布列和数学期望 (2)求概率P(Xn=2) 24.(2026浙江·模拟预测)“村超”是乡村足球超级联赛的简称其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴 新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式为了提高参赛球队技战术水平， 某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队 为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A, B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B 组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名已知 队与共他三支球队的此餐中，甲队获雅的概率均为号不、丙、丁三支球队同的比赛中，每支球队获鞋的 63/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 概率均为) (比赛没有平局)且各场比赛之间互不影响 (①)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率； (②)记甲队最终获得的名次为随机变量5，求5的分布列和数学期望 25.（2026山东济宁.一模)2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有 A,B,C三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，A盒中有1个红球，2个 黄球；B盒中有1个红球，3个黄球；C盒中有5个红球，3个黄球游戏规则如下：两人为一组参加游戏， 游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从A盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回A盒内，然后，乙根 据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球若甲摸到红球，则乙从B盒中摸球；若甲摸到黄 球，则乙从C盒中摸球记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的 小球颜色相同，则二人获得一张骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片规定连续两轮获得“驰 骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏假设每轮摸球结果互不影响 (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第n轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为P(n∈N),且P=1. (i)求P,P: 《m)求，并判断：当n→+切时，是吞无限趋近于一个常数a?若是，求出a的值：若不是，诗院明 理由 26.(2026山东聊城模拟预测)如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放 入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物， 已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是？，最后落入A袋或B袋中，一次游戏中 小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得n(n∈N)分的概率为 Pm B (1)求PP2:P3; (2)写出Pn与Pn1（n≥2，neN之间的递推关系，并求出{pn}的通项公式， 64/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.(2026四川成都·二模)2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众 的喝彩某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应 如下六组质量指标值：[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5].根据大量检测结果， 得到部件的质量指标值X服从正态分布N(4,σ)，并把质量指标值不小于8的产品称为A等品，其它产品 称为B等品现从该部件的生产线中随机抽取1O0件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.35 0.25 0.15 0.10--- 0.05 3.54.55.56.57.58.59.5质量指标值 (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为1.25，用样本平均数x作为“的近似值，用 样本标准差s作为σ的估计值若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布N(4,σ)的角 度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量5服从正态分布N(4,σ2)，则 P(u-0<5<u+o)≈0.6827，P(-2o<5<u+2o)≈0.9545，P(-3o<5<u+3o)≈0.9973.) (2)(i)从样本的质量指标值在[3.5,4.5)和[8.5,9.5]的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在[8.5,9.5的 部件件数为”，求7的分布列和数学期望： (ⅱ)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件 的利润是x(20<x<49)元，一件B等品部件的利润是l(50-x)元，根据(1)的计算结果，试求x的值， 使得每箱产品的利润最大 28.(2026江西模拟预测)小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6）， 记录点数和每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： ·若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束 ·若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上 一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束 (1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. (2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为a, 65/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求a,a2; ②证明：数列{an}满足递推关系an=(1-p)an+p(1-p)an-2(n≥3，neN); (3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为E。、E. 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于E。、E的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可 能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？)；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望 E(X). 29.(25-26高三上·广西·期末)为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动.活动 规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为 0.4),闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加 使用抵扣支付商品，己知消费者闯过第一关的概率为p,闯过第二关的概率为p.某生产商将商品定价100 元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若P。=0.8,p=0.5,记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X(单位：元)，求X的分布列和数 学期望E(X)； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为r(p)=0.2+0.4p+0.2p2,记生产 商销售一件该商品的期望利润为∫()（单位：元），（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本） 优惠券成本的期望) (i)求f(p)关于p的函数表达式： (i)证明：f(p)在[0，]内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润f(p)最大？最大期望利 润是多少？（结果保留1位小数） 30,(2026四川德阳·二模)东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园.公园总 面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势婉蜓，景色迷人，公园内设有小桥流水、亭榭楼 坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等 景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然.她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和 游客喜爱的休闲胜地.出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客 66/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选择东门入园的概率是兮，游客之间选择意愿相互独立·。 (①)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X,求X的分布列、均值和方差； (②)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为 0,从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏 上曾经出现数值n的概率为P,(不考虑人流量有限的限制)· ①求R,B; ②求Pn. 31,(2026山东青岛一模)在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词 元A,B,且生成词元总数不超过2n(n≥2).若生成A,则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到 2.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为A,B的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规 则如下： ①若预测中第一次出现词元A,则审核后生成A,B的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元A,则审核后必生成A; ③若预测中出现词元B,则审核后必生成B 设X表示过程结束时生成词元的总个数 1)求P(X=1),P(X=2); (2)求X的分布列； (3)求P(X=2X≤n) 32.(2026河北唐山一模)某销售公司为了激励员工，对销售冠军一员工甲进行奖励，奖励方案为：在 一个盲盒里，有（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M,但金额具体是多少，并未 公开该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能 再抽取)，如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励， (I)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k(k∈N,且k<n)张奖券，记录下其中的最大金额为m,然后继续抽取，若抽到奖券 的金额小于m,就继续抽，当抽到第i(i∈N,k<i≤n)张奖券时，其金额大于m,则保留该奖券，停止 抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张 (i)若n=5,当k=2时，求甲获得最大金额奖励M的概率p: 67/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若n=100,请估计p的最大值， 并求此时k的值 (估值参考：当n≥100时， 2e272,036h036-03678,037n037&-03679 33.(2026山东菏泽一模)甲参与了一个有奖闯关游戏，游戏共设置3关，他每次从装有1个红球，2个 黑球，3个黄球的袋中有放回地摸出1个球（这些球除颜色外完全相同），规则如下：过第一关时，若摸到 黄球则前进到第二关，否则留在第一关；过第二关时，若摸到黑球则前进到第三关，否则留在第二关；过 第三关时，若摸到红球则通关成功，游戏结束，否则留在第三关假设甲的摸球次数不受限制 参考公式：若p∈(0,1)，则im 1-p) (1)求甲摸球3次恰好通关成功的概率； (2)已知X,Y是随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y),现用5表示“甲通关成功所需的摸球次数”，求 E(5); ③股甲摸球n之3)次后通关成功的称等为P,求出P与P的递推关系式，并证明P>× 34,(2026四川模拟预测)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字 “1”和0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则 在当前序列的末尾添加两个连续的0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”.例如，抛掷5次 硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7个字符，此时从左向右第 4个字符为1，第6个字符为0. ()若抛掷3次硬币，记得到的字符序列中字符总数为X,求E(X): (2)对n∈N,记an为从左向右第n个字符是“前0的概率，bn为从左向右第n个字符是0的条件下，第t1 个字符是1的概率 (i)证明： an-3 为等比数列； (ii)求bn的最大值 35.(2026福建福州模拟预测)在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的 关键基础设施物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期， 显著提升满意度某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种 68/69 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方案供选择： 案4：达择高速支线，物流提前送达的概率为 B:选择高速干线，物流提前送达的概率 方案C:选择国道线路，物流提前送达的概率为 (①)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择 一种 记第n次选择方案A,B,C的概率分别为an,bn,cn 2 (①求4，b,并证明：数列0.+亏，为等比数列： ()判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 69/69null 清单02 高考数学考前重点题型归纳 （含28个专题，813个重点题型） 题型01 集合5个重点题型 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题型03 复数15个重点题型 题型04 平面向量26个重点题型 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题型08 三角函数的图象及性质40个重点题型 题型09 解三角形小题35个重点题型 题型10 解三角形大题36个重点题型 题型11 函数的概念及其表示10个重点题型 题型12 函数的基本性质45个重点题型 题型13 指数对数幂函数40个重点题型 题型14 函数的图象6个重点题型 题型15 函数与方程与函数模型22个重点题型 题型16 导数小题36个重点题型 题型17 导数大题40个重点题型 题型18 数列小题40个重点题型 题型19 数列大题25个重点题型 题型20 立体几何小题35个重点题型 题型21 立体几何大题35个重点题型 题型22 直线与圆32个重点题型 题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题型25 排列组合27个重点题型 题型26 二项式定理17个重点题型 题型27 概率统计小题52个重点题型 题型28 概率统计大题35个重点题型 第三部分 题型18 数列小题40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 等差数列基本量计算 利用等差数列通项公式，由已知两项求出公差，再求指定项。 2 等差数列性质与前n项和 利用等差中项性质及前n项和公式列方程，求项数。 3 等差中项与前n项和 由等差中项求出首项与公差关系，代入前n项和公式求值。 4 由前n项和求通项 利用an = Sn - S(n-1)求通项，再求特定项的和。 5 等差数列片段和性质 利用等差数列前n项和片段成等差数列的性质，列方程求值。 6 等差数列前n项和性质 由等差数列性质得S4, S8, S12成等差，结合条件求比值。 7 数列递推与分类讨论 根据递推公式及奇偶性分类倒推，求可能取值，判断不可能的值。 8 等差数列与基本不等式求最值 利用等差中项求出首项，再结合基本不等式求积的最大值。 9 等比数列基本量计算 利用等比中项求公比，再求前n项和。 10 构造等比数列与数列单调性 由递推式构造等比数列求通项，再根据递增性列不等式，分奇偶讨论求参数范围。 11 构造等差数列与项数范围 由递推式构造等差数列求通项，根据小于0的项数列不等式组求参数范围。 12 等差数列前n项和性质与定值 设首项公差，由条件得定值关系，通过系数比对求参数。 13 等比数列前n项和公式与奇偶项比 由前n项和求通项，再求奇数项和与偶数项和的比值。 14 等比数列与等差数列综合 利用等差中项和等比中项分别求出公差和公比，再求三角函数值。 15 构造等差数列求通项与求和 由递推式构造等差数列求通项，再求特定项和，解方程求项数。 16 等比数列项的性质与不等式 利用等比数列通项公式，结合基本不等式和性质判断各选项。 17 等差数列与等比中项求前n项和 设公差，利用等比中项列方程求公差，再求前n项和。 18 数列的单调性与最值 构造函数，利用导数研究函数单调性，分奇偶讨论数列的最大项和最小项。 19 递推数列的极限与参数范围 由递推关系及恒成立条件，利用数列单调有界性求极限，解参数范围。 20 等比数列前n项和与方程 由前n项和关系列方程，利用换元法解出公比，再求项数。 21 等差数列与三角函数周期 利用等差数列通项公式及三角恒等变换，结合三角函数周期性求和。 22 数列递推与几何应用 由纸张裁剪规则建立递推关系，求通项公式，再求周长之和。 23 由前n项和求通项与递推 利用an与Sn关系求通项，再由递推求另一数列通项，最后求和。 24 等比数列公比范围与比较大小 构造函数，利用零点存在性确定公比范围，再比较各项大小。 25 递增数列与递推关系判断 利用反证法验证不可能的关系式，通过举反例验证可能的关系。 26 由前n项和求通项与性质（多选题） 利用an与Sn关系求通项，判断等比数列及前n项和公式。 27 递推数列与等比数列（多选题） 由递推式构造等比数列，判断单调性及连续三项成等差数列的可能性。 28 等比数列基本量及性质（多选题） 利用等比数列性质求首项公比，再判断数列性质。 29 由前n项和求通项及最值（多选题） 利用an与Sn关系求通项，判断等差数列及单调性，求前n项和的最小值。 30 由前n项和求通项与性质（多选题） 利用an与Sn关系求通项，判断等差数列、单调性，及等比中项存在性，求周期和。 31 等比数列前n项和性质（多选题） 利用等比数列前n项和性质及通项公式，判断各选项的正确性。 32 等比数列基本量及前n项和（多选题） 由条件列方程求公比，再求前n项和及比值。 33 数列新定义与递推（多选题） 根据大衍数列的递推规则，求出各项，判断奇偶项关系及前n项和。 34 分段递推数列的性质（多选题） 根据奇偶项递推公式，分析单调性、最值、前n项和及项数范围。 35 递推数列与特殊数列（多选题） 通过取特殊值验证周期数列、恒成立、等差数列、等比数列的存在性。 36 等比数列前n项和公式求比值 由前n项和关系求公比，再求特定前n项和之比。 37 分段数列（等比+等差）求项与和 分别利用等比数列和等差数列通项公式求公比、公差，再求指定项及总和。 38 三角形数阵求和 观察各行数字规律，先求每行和，再求和。 39 等比数列与二次方程求最值 由韦达定理得首项与公比关系，利用等比数列前n项和公式转化为二次函数求最小值。 40 构造等差数列求通项与不等式 对递推式取倒数构造等差数列，求通项，再通过放缩法求满足不等式的最小项数。 1．（2026·广东梅州·一模）已知为等差数列，，，则（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 2．（2026·广东汕头·模拟预测）在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 4．（2026·山东威海·一模）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．65 B．105 C．210 D．230 5．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 6．（2026·山东青岛·一模）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的值不可能为（   ） A．16 B．19 C．20 D．21 8．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·广东广州·二模）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（    ） A．4 B．6.5 C．8 D．12 10．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且中小于0的项有10项，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知命题：“记等差数列的前项和为，若，则为定值”为真命题，则可推出（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 14．（25-26高三下·福建·开学考试）已知等比数列与等差数列，满足，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 16．（2026·福建莆田·二模）已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 18．（25-26高三上·广东·期末）已知数列满足，则关于说法正确的是（   ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 19．（2026·贵州安顺·一模）已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 21．（2026·江西·一模）已知等差数列的公差为.若，则（    ） A． B．16 C． D．8 22．（2026·安徽安庆·一模）A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张；②一张型号的纸张面积是1平方米；③所有型号的纸的长宽比相等．现从到，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 23．（2026·江西赣州·一模）已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知，，，成等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 25．（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．（2026·山东青岛·一模）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 27．（2026·河北唐山·一模）已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 28．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 29．（2026·福建莆田·二模）记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B．为单调递增数列 C． D．的最小值为 30．（2026·福建龙岩·一模）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列不是单调数列 C．数列中存在不同的两项，使是这两项的等比中项 D．记数列，则数列的前2026项的和为4052 31．（25-26高三下·安徽·月考）已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 32．（2026·河北保定·一模）已知等比数列的公比为，前项和为,,.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 34．（2026·广东佛山·一模）已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 35．（2026·广东广州·模拟预测）数列满足，且，记的前项和为，则（    ） A．存在，使为周期数列 B．存在，使恒成立 C．存在，使为等差数列 D．存在，使为等比数列 三、填空题 36．（2026·河南许昌·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________. 37．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 38．（2026·甘肃·一模）如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________ 39．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知正项等比数列的前n项和为，，是关于x的方程的两个不等实根，则的最小值为___________． 40．（2026·山西朔州·一模）已知数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为__________. 题型19 数列大题25个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 等差数列基本量运算与不等式 利用等差中项、等比中项列方程求首项和公差，再根据前n项和公式解不等式求最小项数。 2 等差数列基本量与前n项积最值 由已知条件列方程求首项和公差，写出前n项积的表达式，利用指数函数单调性转化为二次函数求最值。 3 递推数列的周期性 通过赋值法求出数列的周期，再根据周期求和；利用特殊值法求参数满足的条件。 4 等差数列与裂项相消求和 利用等差中项、等比中项列方程求公差和首项，再写出通项，用裂项相消法求和。 5 由Sn与an关系求通项与错位相减求和 利用an = Sn - S(n-1)消去Sn，构造等差数列求通项；再用错位相减法求等比数列与等差数列乘积的前n项和。 6 由Sn与an关系求通项与裂项相消求和 先构造等差数列求Sn，再通过an = Sn - S(n-1)求通项，最后用裂项相消法求和。 7 等差中项与正余弦定理求角及边范围 利用等差中项和正弦定理得边角关系，再用余弦定理求角；结合外接圆半径和正弦定理求边长范围。 8 由Sn与an关系求通项与裂项相消求和 由递推式构造等差数列求Sn，再写出通项，用裂项相消法求和并证明不等式。 9 等差数列基本量与裂项相消求和 列方程求公差和首项，写出通项；用裂项相消法求和，再通过放缩法证明不等式。 10 构造等比数列求通项与分组求和 通过配凑法构造等比数列求通项，再分组求和，利用数列单调性解不等式求最大项数。 11 等比数列基本量与错位相减求和 由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用错位相减法求数列的前n项和。 12 构造等差数列与裂项相消求和 通过赋值法构造等差数列求通项，再用裂项相消法求和。 13 等差数列与等比数列的判定 利用等差数列定义求通项，再通过递推关系证明等比数列。 14 等比数列前n项和与等差数列判定 利用等比数列通项公式求基本量，再通过前n项和公式证明等差中项关系。 15 等比数列与作差法求通项及裂项相消求和 由等比数列通项公式求通项，再用作差法求另一数列的通项，最后用裂项相消法求和。 16 构造等比数列求通项与裂项相消求和 通过配凑法构造等比数列求通项，再写出裂项形式，用裂项相消法求和。 17 等比中项与等比数列求和 利用等比中项列方程求公差，写出通项；再证明新数列为等比数列，用等比数列求和公式求和。 18 构造等差数列与分组求和及数列最大项 通过取倒数构造等差数列求通项；按奇偶分组求和；构造函数研究数列单调性求最大项。 19 构造等比数列与错位相减求和及放缩法证明 通过配凑法构造等比数列求通项；再用错位相减法求和；最后通过放缩和裂项相消证明不等式。 20 分段数列求和与构造等差数列求通项 分n=1和n≥2两种情况求通项；由前n项和关系构造等差数列求通项；再通过裂项相消法求和。 21 由Sn与an关系求通项与分组求和 利用an = Sn - S(n-1)求通项；通过递推式作商求等比数列通项；再按大小顺序分组求和。 22 等比数列基本量与裂项相消求和 由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用裂项相消法求和。 23 构造等比数列与累加法求通项及裂项相消求和 通过配凑法构造等比数列，再累加法求通项；用裂项相消法求和并证明不等式。 24 由Sn与an关系求通项与裂项相消求和及反证法 利用an = Sn - S(n-1)求通项；用裂项相消法求和；通过反证法证明不等式，用累加法放缩证明另一不等式。 25 由Sn与an关系求通项与等差数列求和及二项式定理 利用an = Sn - S(n-1)构造等比数列求通项；通过分组求和和裂项相消求和；利用二项式定理放缩证明不等式。 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 2．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 3．（2026·江苏·一模）已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 4．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； 5．（2026·四川成都·二模）已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 6．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 7．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 8．（2026·重庆·一模）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明：． 10．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 11．（2026·江西南昌·一模）已知等比数列的公比为整数，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 13．（2026·江苏·一模）已知数列． (1)若是等差数列，求的通项公式； (2)设，证明：数列是等比数列. 14．（2026·四川内江·二模）已知是等比数列的前项和． (1)若，求； (2)若成等差数列，证明：成等差数列． 15．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（2026·江西·一模）已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 17．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 19．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 20．（2026·山东聊城·一模）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 21．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前n项和，数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 22．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 23．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 24．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）记正项数列的前n项和为． (1)若，求； (2)若，且，证明： (3)若，证明：． 25．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前n项和为，对任意，， (1)证明：为等比数列，并求出数列的通项公式. (2)设数列，其中，设. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设，求使得成立的最大正整数n的值.（其中符号表示不超过x的最大整数） 题型20 立体几何小题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 空间线面位置关系判断 利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理，结合空间想象或反例排除，逐项判断。 2 线面平行的判定 通过建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或利用面面平行的性质证明。 3 圆锥的侧面积计算 由轴截面为等腰直角三角形求出底面半径和母线长，代入圆锥侧面积公式求解。 4 球体与圆锥的表面积、体积之比 分别写出球体和圆锥的表面积、体积公式，代入已知比例关系，化简求比值。 5 正三棱柱中的线面垂直与线段长度 取棱中点构造线面垂直，利用勾股定理和相似三角形求线段长度。 6 正四棱台的体积与二面角 作出侧面与底面所成二面角的平面角，利用正四棱台的性质求高，再代入棱台体积公式。 7 正四棱台的侧面积计算 利用棱台体积公式求高，再求斜高，最后代入侧面积公式。 8 三棱锥的外接球表面积 利用侧棱相等确定顶点在底面的射影为外心，求出底面外接圆半径和高，再求外接球半径。 9 圆锥外接球体积的最值 由外接球半径和圆锥底面半径、高的几何关系建立函数，利用导数求体积最大值。 10 正三棱柱外接球球心到平面的距离 建立空间直角坐标系，求出球心坐标和平面的法向量，利用点到平面距离公式求解。 11 圆台内切球与体积比 由圆台内切球性质得母线长与上下底面半径的关系，利用勾股定理求半径，再求体积比。 12 组合体（棱柱+棱锥）的外接球半径 由体积比求出棱锥与棱柱的高相等，利用对称性确定球心位置，列方程求半径。 13 直三棱柱体积的取值范围 利用面面垂直得线面垂直，设未知量表示体积，转化为三角函数或二次函数求值域。 14 几何体的外接球表面积 建立空间直角坐标系，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程求解。 15 三棱锥体积最大时的高 底面三角形面积最大时为等边三角形，利用基本不等式求体积最大值，再求球心到截面距离。 16 空间距离和的最小值（胡不归模型） 将目标式转化为点到平面的距离，通过旋转平面构造折线段，利用垂线段最短求最小值。 17 正三棱柱中的线面位置关系（多选题） 建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面平行、垂直及面面垂直。 18 平行六面体中的线面位置与距离（多选题） 利用向量数量积求夹角，通过线面垂直判定定理证线面平行，利用等体积法求点到平面距离。 19 正方形垂直平面中的动态问题（多选题） 建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角、线面平行及距离最值。 20 四棱锥中的动点问题（多选题） 建立空间直角坐标系，利用向量法求线面平行、线线垂直及截面问题。 21 正三棱锥中的向量运算与三点共线（多选题） 利用空间向量基底表示，通过向量运算判断垂直、共线及数量积。 22 正方体中的轨迹与最值问题（多选题） 通过构造面面平行确定动点轨迹，利用等体积法和坐标法求最值。 23 正四面体中的线面位置与异面直线角（多选题） 利用线面垂直判定定理证线线垂直，利用等体积法求体积比，利用余弦定理求异面直线所成角。 24 正方体中的动点问题（多选题） 利用线面平行得体积定值，利用坐标法求线线垂直及点到直线距离的最小值。 25 翻折问题中的最值与位置关系（多选题） 利用几何法分析体积最值，利用勾股定理和余弦定理求外接球半径，利用线面垂直证线线垂直。 26 正方体中的面面平行与轨迹问题（多选题） 通过构造面面平行确定动点轨迹，利用等体积法和坐标法求最值。 27 四面体的外接球与内切球及截面面积（多选题） 由垂直关系确定外接球球心，利用等体积法求内切球半径，利用异面直线距离求截面面积最值。 28 圆锥内小球运动问题（多选题） 利用圆锥轴截面几何关系，结合圆台侧面积公式和球的切线性质求解。 29 正三棱柱内切球与外接球体积比 利用正三角形内切圆半径求内切球半径，利用正三角形外接圆半径和高求外接球半径。 30 直三棱柱中两平面交线距离 将三棱柱补成四棱柱，确定两平面的交线，利用等面积法求点到直线的距离。 31 长方体各面中心构成的八面体 利用对称性确定八面体由两个全等的四棱锥组成，分别求侧面积和体积。 32 三棱锥的外接球表面积 由线线垂直关系将三棱锥补形为长方体，长方体外接球直径等于体对角线长。 33 翻折问题中体积最大时的外接球表面积 体积最大时平面垂直，取棱中点确定外接球球心，利用直角三角形斜边中线性质求半径。 34 圆台体积最大时的外接球表面积 利用圆台体积公式建立函数，求导得体积最大时的尺寸，再分类讨论外接球球心位置求半径。 35 正三棱柱外接球上动点的轨迹长度 建立空间直角坐标系，将向量数量积条件转化为球面方程，求两球面交线圆的周长。 一、单选题 1．（2026·黑龙江吉林·一模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西南昌·一模）某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南许昌·模拟预测）在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西运城·一模）已知某圆锥的外接球的表面积是36，则该圆锥的体积的最大值是（   ） A．32 B． C．64 D． 10．（2026·四川·模拟预测）已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 12．（2026·山东菏泽·一模）图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·山东烟台·一模）已知球的半径为1，三棱锥的顶点为，底面的三个顶点均在球的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，其高为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·广东广州·一模）在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 17．（2026·江西南昌·一模）在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面 18．（2026·福建福州·模拟预测）在平行六面体中，，，则（   ） A． B．平面 C．直线与直线所成角为60° D．点到平面的距离为 19．（2026·广东汕头·一模）正方形、的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点、分别在正方形对角线和上移动，且．则（    ） A．直线与所成的角为 B．平面 C．当时，的长最小，且最小值为 D．当的长最小时，点到平面的距离为 20．（2026·广东梅州·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（    ） A．当时，存在，使得平面 B．当时，存在，使得 C．当，且与相交时， D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（   ） A． B． C．与是共线向量 D． 22．（2026·四川内江·二模）在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 23．（2026·广东广州·二模）如图，在正四面体中，点分别为各棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与直线所成角的余弦值为 24．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．正方体的外接球球心到平面的距离为 C．存在点，使得 D．点到直线的距离的最小值为 25．（2026·河北邯郸·一模）如图1，在长方形中，是边上一点，且．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（    ） A．四棱锥体积的最大值为 B．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 C．在翻折的过程中，与始终不垂直 D．若，则 26．（2026·河北保定·一模）如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱的中点，动点Q在该正方体表面（底面以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面截该正方体所得截面的面积为 B．点Q的轨迹长度为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．三棱锥的体积的最大值为2 27．（2026·山东青岛·一模）已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（   ） A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时， C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为 28．（2026·陕西榆林·模拟预测）一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则（    ） A．该圆锥的侧面积为 B．小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2 C．小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4 D．小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 三、填空题 29．（25-26高二上·四川成都·月考）在正三棱柱中，，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比_____. 30．（2026·四川绵阳·模拟预测）在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________． 31．（2026·北京延庆·一模）长方体的底面是一个正方形，其边长为4，长方体的高为，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为______，这个八面体的体积和长方体的体积之比为______． 32．（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______ 33．（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 34．（2026·黑龙江吉林·一模）圆台母线长为3，上、下底面半径比为，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为________． 35．（2026·贵州安顺·一模）已知点M为正三棱柱的外接球上的动点，且，若，，则点M的轨迹长度为______． 题型21 立体几何大题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 线面角计算与空间向量法 利用面面垂直性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线方向向量与平面法向量夹角，得线面角正弦值。 2 线面垂直判定与线面角计算 利用勾股定理证线线垂直，结合线面垂直判定定理证线面垂直，建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值。 3 面面平行证线面平行与线面角计算 通过构造面面平行证明线面平行，建立空间直角坐标系，求直线方向向量与平面法向量的夹角，得线面角正弦值。 4 面面垂直判定与线面角计算 利用等腰三角形三线合一证线线垂直，结合线面垂直判定定理证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系求线面角正弦值。 5 翻折问题中的面面垂直与线面角 翻折前后垂直关系不变，利用线面垂直判定定理证面面垂直；建立空间直角坐标系，由二面角确定坐标，求线面角正弦值。 6 四点共面证明与面面角计算 建立空间直角坐标系，通过向量共面证明四点共面；分别求两平面法向量，用向量夹角公式求面面角的余弦值。 7 线面平行证明与面面角正弦值 取棱中点构造平行四边形证线面平行；建立空间直角坐标系，求两平面法向量，由向量夹角余弦求面面角的正弦值。 8 线面角计算与垂直存在性探究 建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；假设存在点满足垂直条件，列方程求解，判断解的存在性。 9 线面平行证明与点到平面距离 利用中位线证线面平行；建立空间直角坐标系，由面面角余弦值求参数，再用法向量求点到平面的距离。 10 面面垂直判定与线面角及体积定值 由面面垂直得线面垂直，证线线垂直；建立坐标系求线面角正弦值；利用外接球球心性质证体积为定值。 11 面面垂直判定与线面角余弦值 利用等腰梯形性质和面面垂直证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系，由线面角正弦值求参数，再求线面角余弦值。 12 线线垂直证明与点关于平面对称 利用菱形性质和中位线证线面垂直；建立坐标系，由线面角求点坐标，求对称点坐标，再用向量法求点到平面距离。 13 线线垂直证明与线面角正弦值 利用等腰三角形三线合一证线线垂直；建立空间直角坐标系，由投影条件确定点坐标，再求线面角正弦值。 14 线面垂直判定与面面角及存在性问题 由勾股定理和面面垂直证线面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；设参数表示点坐标，由线面角正弦值列方程求解。 15 面面垂直判定与线面角正弦值 利用中点性质和中位线证线面垂直；建立坐标系，由点到平面距离求参数，再求线面角正弦值。 16 面面垂直判定与线面角范围 利用线面垂直判定定理证面面垂直；通过几何法或向量法将线面角表示为函数，求取值范围。 17 面面平行证明与面面角存在性 由线线平行证面面平行，进而证线线平行；建立坐标系，设参数表示点坐标，由面面角余弦值列方程求解。 18 面面垂直判定与面面角余弦值 利用中位线证线线平行，结合线面垂直证面面垂直；建立坐标系，求两平面法向量，由向量夹角求面面角余弦值。 19 面面角正切值与线面角范围及外接球 建立空间直角坐标系，求两平面法向量得面面角正切值；将线面角正弦值表示为函数求值域；利用对称性求外接球半径。 20 二面角余弦值与面面垂直求参数 建立空间直角坐标系，求两平面法向量得二面角余弦值；由面面垂直得法向量数量积为零，列方程求参数。 21 线面平行证明与面面角余弦值 构造平行四边形证线面平行；建立空间直角坐标系，求两平面法向量，用向量夹角公式求面面角余弦值。 22 面面垂直判定与面面角及存在性问题 利用菱形性质证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；设参数表示点坐标，由线面垂直列方程求参数。 23 线线垂直证明与面面角及截面问题 利用等腰三角形三线合一和面面垂直证线线垂直；建立坐标系求面面角余弦值；利用共面条件列方程求参数。 24 线面平行证明与异面直线距离及面面角范围 建立空间直角坐标系，由线面角求高；利用公垂线向量求异面直线距离；由四点共面得参数关系，将面面角表示为函数求值域。 25 空间向量线性表示与线面角及体积最值 利用空间向量线性运算表示向量；通过几何法求线面角；建立坐标系，由四点共面求参数，用基本不等式求体积最值，再求面面角余弦值。 26 面面交线夹角与线面角最值及截面体积 利用中位线求两直线夹角；建立坐标系，将线面角正弦值表示为函数，用换元法求最值；利用截面性质求体积范围。 27 面面垂直判定与外接球体积及线面角 利用勾股定理和余弦定理证线线垂直，进而证面面垂直；由外接球性质列方程求半径；建立坐标系求线面角正弦值。 28 面面垂直判定与面面角及体积最值 利用线面垂直判定定理证面面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；将线面角正弦值表示为函数，由基本不等式求最值，再求体积。 29 线面平行证明与面面角及定值存在性 利用中位线证线面平行；建立坐标系，由面面角余弦值求参数；通过向量法判断是否存在点使距离为定值。 30 线线垂直证明与二面角大小 利用面面垂直性质证线面垂直，进而证线线垂直；由体积求高，建立坐标系或几何法求二面角。 31 四点共面证明与点到平面距离及线面角 利用线线平行证四点共面；由球心性质建系求点到平面距离；由球面距离最小确定点位置，再求线面角正弦值。 32 线面平行证明与点到平面距离及二面角正弦值 构造平行四边形证线面平行；建立坐标系，由距离相等求参数，再求二面角正弦值。 33 线面垂直判定与面面角存在性 利用勾股定理证线线垂直，进而证线面垂直；建立坐标系，设参数表示点坐标，由面面角余弦值列方程求参数。 34 线线垂直证明与线面角及体积最值 利用全等三角形证线线垂直；通过几何法求线面角；将体积表示为函数，利用换元法和导数求体积最大时的参数值。 35 线线垂直证明与线面角范围及内切球半径 利用面面垂直证线面垂直，进而证线线垂直；建立坐标系，由线面角正弦值求参数范围；利用等体积法和三角形面积公式证内切球半径不等式。 1．（2026·山东·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点． (1)求直线与平面的夹角； (2)若，平面与交于点，求线段的长度． 2．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2026·河北衡水·一模）如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点. (1)证明：平面. (2)若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值. 4．（2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥中，，，D是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 5．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥. (1)证明：平面平面； (2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 6．（2026·广东·一模）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 7．（2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱内接于圆柱，且底面为矩形，B是圆柱底面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且，E是AB的中点，Q是的中点． (1)证明：平面； (2)设，求平面与平面ABC的夹角的正弦值.（用表示） 8．（2026·河北邯郸·一模）如图，在三棱台中，平面，，，，，是棱上一点（不含端点）． (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． (2)是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. (1)证明：平面PBC； (2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 10．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点. (1)证明：平面平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 11．（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面． (1)求证；平面平面； (2)设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值． 12．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且． (1)求证：； (2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离． 13．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，． (1)求证：； (2)若，，点在平面上的射影恰为线段的中点，求与平面所成角的正弦值． 14．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. (3)在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（2026·山西朔州·一模）如图，线段的中点都是. (1)若，证明：平面平面； (2)若，且点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 16．（2026·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 17．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 18．（2024·吉林·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，分别为底面的中心和的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 19．（2026·广东汕头·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，．设E为CP的中点． (1)求平面PAB与平面ABE夹角的正切值； (2)设F为线段PB上一点（含端点），求CF与平面ABE所成角的正弦值的范围； (3)直接写出四棱锥的外接球表面积与体积（无需证明）． 20．（2026·江西赣州·一模）如图，在三棱锥中，平面，且为的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值. 21．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点. (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 22．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． (1)求证：平面平面； (2)求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； (3)试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 23．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 24．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱，DA，DC上异于D点的动点． (1)若P是CD的中点，求证：平面； (2)定义：异面直线的距离指的是公垂线与两条异面直线都垂直相交的直线的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； (3)若直线与平面MNP交于点H，且，求平面MNP与平面的夹角余弦值的取值范围． 25．（2026·四川内江·二模）如图，在三棱锥中，平面ABC，平面平面，，．D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点）． (1)请用，，表示； (2)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值； (3)设F为AB的中点，过EF的平面与射线AC、AP分别交于点G、H，当三棱锥的体积最小时，求平面FGH与平面PBC所成角的余弦值． 26．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点. (1)设平面平面，求直线与直线的夹角大小； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值； (3)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 27．（2026·河北保定·一模）如图，三棱锥 中， (1)证明:平面平面. (2)设三棱锥的外接球的球心为O. （i）求球O 的体积; （ii）求直线 OB 与平面所成角的正弦值. 28．（2026·黑龙江吉林·一模）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使，如图所示． (1)求证：平面平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，当取得最大值时，求三棱锥的体积． 29．（2026·广东广州·二模）如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求； (3)若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 30．（2026·黑龙江·一模）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． (1)证明：； (2)若是边长为2的等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，，求二面角的大小． 31．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面. (1)证明：四点共面； (2)设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 32．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，O，分别为正方形ABCD和的中心点在底面ABCD内的射影为O． (1)证明：平面． (2)，E，F分别为BC，CD的中点，点M在棱上，E，F，B，D四点到点M的距离相等． （i）求线段AM的长； （ii）求二面角B-CM-D的正弦值． 33．（25-26高三下·河南·开学考试）如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作，交于点，将沿翻折至的位置，使得． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 34．（2026·福建莆田·二模）如图，五面体中，，，，，，，. (1)证明：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，当该五面体的体积取到最大值时，求的值. 35．（2026·山东日照·一模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是的中点，二面角为直二面角． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为，且，求的取值范围； (3)与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：． 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 清单02 高考数学考前重点题型归纳 （含28个专题，813个重点题型） 题型01 集合5个重点题型 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题型03 复数15个重点题型 题型04 平面向量26个重点题型 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题型08 三角函数的图象及性质40个重点题型 题型09 解三角形小题35个重点题型 题型10 解三角形大题36个重点题型 题型11 函数的概念及其表示10个重点题型 题型12 函数的基本性质45个重点题型 题型13 指数对数幂函数40个重点题型 题型14 函数的图象6个重点题型 题型15 函数与方程与函数模型22个重点题型 题型16 导数小题36个重点题型 题型17 导数大题40个重点题型 题型18 数列小题40个重点题型 题型19 数列大题25个重点题型 题型20 立体几何小题35个重点题型 题型21 立体几何大题35个重点题型 题型22 直线与圆32个重点题型 题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题型25 排列组合27个重点题型 题型26 二项式定理17个重点题型 题型27 概率统计小题52个重点题型 题型28 概率统计大题35个重点题型 第二部分 题型11 函数的概念及其表示10个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求具体函数的定义域 根据解析式列出使函数有意义的条件（分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数真数大于零等），解不等式组。 2 求复合函数的定义域 先求出内层函数的定义域，再根据外层函数对自变量的要求列不等式组，求解交集。 3 求抽象函数的定义域 利用函数定义域的定义，将括号内的表达式看作整体，使其满足原函数的定义域，解不等式。 4 判断函数定义域与值域是否相同 分别求出各选项函数的定义域和值域，进行比较。注意常见函数（一次、二次、反比例、根式、对数等）的取值情况。 5 利用对称性求函数值 观察函数结构，通过构造函数并判断其奇偶性，利用对称区间上值域端点值的和为定值求解。 6 分段函数求值 根据自变量的取值范围选择对应解析式，逐层代入计算，注意自变量的符号与范围。 7 分段函数求值 由内到外逐层代入，注意判断自变量所在区间，选择合适的解析式。 8 分段函数求参数与函数值 根据自变量范围分类讨论，利用已知函数值列方程求出参数，再代入求值。 9 分段函数值域求参数范围 分别求出各段的值域，再根据整体值域的要求，建立不等式组确定参数范围。 10 分段函数单调性求参数范围 根据分段函数在每一段上单调递增，且在分段点处左段函数值不大于右段函数值，列出不等式组求解。 1．（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东·月考）若函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 4．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）下列函数中，定义域和值域相同的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·广东广州·一模）已知函数，则（   ） A． B．0 C． D．2 8．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型12 函数的基本性质45个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 判断函数的奇偶性与单调性 利用奇偶性定义验证，结合基本初等函数的单调性及复合函数单调性判断。 2 利用奇偶性与周期性求函数值 由周期性和奇偶性将自变量转化到已知区间，代入解析式求值。 3 判断函数在区间上的单调性 分析函数在各区间的单调性，可利用基本函数单调性、导数或图象判断。 4 利用奇偶性与单调性解不等式 先判断函数奇偶性，将不等式转化为自变量大小关系，再结合单调性求解。 5 利用对称性与单调性解不等式 通过求导或配方判断函数对称轴，结合单调性将不等式转化为自变量离对称轴的距离关系。 6 由抽象不等式判断函数单调性 将已知条件变形，构造函数，利用单调性定义或导数判断，再解不等式。 7 利用函数单调性求参数范围 将不等式恒成立转化为函数最值问题，根据单调性求参数范围。 8 分段函数值域求参数范围 分别求各段值域，根据整体值域要求列不等式组。 9 分段函数不等式恒成立求参数 分别求各段的最大值，再取最大值，令其小于等于参数，解不等式。 10 利用奇偶性与周期性求函数值 利用奇偶性、周期性将自变量转化到已知区间，代入解析式求值。 11 由双对称性求函数周期与函数值 由两个对称性（一个轴对称、一个中心对称）推导周期，再结合已知函数值求和。 12 利用奇偶性与周期性求函数值 由奇偶性和周期性将自变量转化，代入已知解析式求值。 13 利用奇偶性与周期性求函数值 由周期性将自变量转化，再利用奇偶性求值。 14 由对称性与周期性求函数值之和 由条件推导函数周期，利用赋值法求部分函数值，再结合周期求和。 15 由抽象条件判断函数性质 通过赋值法推导函数的周期性、对称性，再判断各选项。 16 由对称性与奇偶性推导周期与函数值 由两个对称条件推导周期，再结合已知条件判断函数值。 17 存在参数使函数为奇函数求值 利用奇函数定义，结合指数幂运算，取特殊值求出参数，再化简求值。 18 利用奇偶性与导数判断函数性质 由奇偶性、对称性推导函数周期，再对导数关系进行推理，判断各选项。 19 判断函数的奇偶性与周期性 利用三角恒等变换化简函数，再根据奇偶性、周期定义判断。 20 利用奇偶性与周期性求函数值之和 由条件推导周期，利用赋值法求出部分函数值，再结合周期求和。 21 利用奇偶性与单调性解对数不等式 先判断函数奇偶性和单调性，再解对数不等式，注意定义域。 22 由对称性推导周期并判断性质 由偶函数和中心对称推导周期，再判断各选项的正确性。 23 由对称性与周期性求方程根的个数 利用条件画出函数图象，将方程根转化为两函数图象交点，利用对称性求和。 24 由抽象关系式推导周期与函数值 通过赋值法得到函数周期，再求指定函数值。 25 由条件判断函数奇偶性与周期性 利用赋值法推导函数周期和奇偶性，再判断选项。 26 由奇偶性求三角函数参数最小值 将函数拆分为奇函数与偶函数的组合，利用余弦型函数奇偶性求参数。 27 利用对称性求函数图象交点横坐标之和 判断两函数图象均关于同一直线对称，交点成对出现，利用对称性求和。 28 利用对称性求函数零点之和 将方程变形为两个函数图象交点，利用对称性求交点横坐标之和。 29 由抽象函数关系式判断函数值 通过赋值法推导函数值的关系，再结合已知条件判断选项。 30 由导数与函数关系比较大小 构造函数，利用导数判断单调性，再比较函数值大小。 31 由抽象函数关系式判断结论 通过赋值法推导函数值的递推关系，结合具体函数模型验证，确定一定正确的结论。 32 由偶函数与对称性判断函数性质 由条件推导周期和对称性，再结合解析式判断各选项。 33 由对称性与偶函数判断函数性质 由对称中心条件推导周期性，再结合偶函数性质判断各选项。 34 由抽象函数关系式判断函数性质 通过赋值法推导函数对称性、最值，再判断选项。 35 由抽象函数关系式判断函数性质 通过赋值法推导函数奇偶性、对称性，再求函数值。 36 由抽象函数关系式判断函数性质 通过赋值法推导函数奇偶性、单调性，再判断充分必要条件与零点个数。 37 由抽象函数关系式判断函数性质 通过赋值法推导函数奇偶性、单调性，再判断各选项。 38 由函数方程判断函数性质 通过赋值法推导函数奇偶性、周期性，再求函数值。 39 由抽象函数关系式判断函数性质 通过赋值法推导函数单调性，再解不等式、比较大小。 40 由多个奇偶性推导函数性质 利用奇偶性、对称性推导周期，再通过构造函数判断函数值关系。 41 由奇偶性与对称性推导周期与函数值 由已知条件推导周期，再求函数值。 42 由偶函数求参数 利用偶函数定义 恒成立，通过比较系数或取特殊值求参数。 43 由奇函数求参数 利用奇函数定义 恒成立，通过比较系数或取特殊值求参数。 44 利用奇偶性求函数值 通过构造或变形判断函数奇偶性，再利用奇偶性求值。 45 利用对称性与单调性解不等式 由对称性将不等式转化为自变量到对称轴的距离关系，再结合单调性求解。 一、单选题 1．（2026·甘肃兰州·一模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·一模）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽安庆·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 11．（2026·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 12．（2026·湖北黄冈·一模）已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（   ） A．0 B．1 C．3 D． 13．（2026·安徽合肥·模拟预测）设是周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026·黑龙江吉林·一模）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 15．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． 16．（2026·四川成都·二模）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（   ） A． B． C． D． 17．（2026·湖北武汉·模拟预测）若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·北京延庆·一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 20．（2026·浙江·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 21．（2026·山东·模拟预测）已知奇函数的定义域为，对于任意的正数，都有，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 22．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 23．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，对，与均恒成立，则（    ） A． B．0 C． D．1 25．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 26．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．（2026·新疆·模拟预测）定义在上的函数满足，若函数与的图象有8个交点，则交点横坐标的和为（    ） A．24 B．12 C．8 D．6 28．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知函数，且，则的所有零点之和为（   ） A．2 B． C． D． 29．（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 30．（2025高三·全国·专题练习）设的导函数为，，且，则（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 32．（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 33．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 34．（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．的图象关于点对称 35．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 36．（2026·陕西榆林·一模）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 37．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．是偶函数 D．当时， 38．（2026·广东佛山·二模）定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 39．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的解集为 D． 40．（2026·广西·模拟预测）已知函数，，都是奇函数，是偶函数.当时，，则（   ） A． B．对任意， C．当且仅当， D． 41．（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 三、填空题 42．（2026·江西·一模）已知函数是偶函数，则___________． 43．（2026·四川绵阳·二模）已知函数为奇函数，则实数______. 44．（2026·四川成都·二模）已知函数，若，则__________ 45．（2026·河北张家口·一模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 题型13 指数对数幂函数40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 指对数的化简求值 指对数的化简求值 2 指数式与对数式的互化及估值 将指数式转化为对数式，利用对数换底公式和常用对数估值，确定取值范围。 3 指数对数同构求值 对已知等式进行变形，构造函数并利用其单调性建立变量关系，实现消元求值。 4 基本不等式与指数对数恒等式求值 利用基本不等式确定取值范围，结合恒成立条件得到等号成立，再代入求值。 5 指数式与对数式的互化及运算 将指数式转化为对数式，利用对数的运算法则化简，判断各选项的正误。 6 构造函数利用单调性求值 对已知等式进行变形，构造函数并利用其单调性建立变量相等关系，从而求值。 7 由指数型函数奇偶性求参数 利用奇偶性定义，取特殊值列出方程求出参数，再验证是否满足定义。 8 指数型函数图象的伸缩变换 根据函数图象的伸缩变换规律，将原函数解析式中的自变量或函数值进行相应变换。 9 由偶函数求函数在对称区间上的值域 先求函数在已知区间上的值域，再利用偶函数性质得到对称区间上的值域。 10 由奇函数求函数值域 先求函数在正半轴上的值域，再利用奇函数性质得到负半轴上的值域，注意原点处的取值。 11 指数对数综合比较大小 将已知等式变形，构造函数并利用其单调性，结合指数函数和对数函数的性质比较大小。 12 利用对数函数单调性比较大小 分析函数的单调性，将自变量转化到同一单调区间内，再根据单调性比较函数值大小。 13 利用奇偶性与单调性解不等式 先判断函数的奇偶性，将不等式转化为自变量大小关系，再结合单调性求解。 14 构造函数利用导数判断单调性比较大小 对已知等式变形，构造函数，利用导数判断其单调性，再比较自变量大小。 15 指数对数不等式的充分必要条件判断 通过取特殊值验证充分性和必要性，注意底数对指数函数单调性的影响。 16 指数对数综合比较大小 利用指数函数、对数函数的单调性，以及作差法、换底公式等进行比较。 17 指数与对数不等式恒成立求参数范围 根据指数函数的单调性确定底数范围，再结合对数函数的图象性质分类讨论求解。 18 三角函数与对数综合比较大小 先根据三角函数值确定自变量范围，再结合对数函数的单调性比较大小。 19 指数对数比较大小 利用指数函数、对数函数的单调性，以及中间值法进行比较。 20 构造函数利用导数判断单调性比较大小 对已知数进行变形，构造函数，利用导数判断其单调性，再比较大小。 21 判断函数在区间上的单调性 分析各选项函数的构成，利用基本初等函数的单调性和复合函数单调性判断。 22 由指数对数等式比较大小 将等式两边取对数，转化为对数式，再通过构造函数或利用中间值比较大小。 23 构造函数利用导数判断单调性比较大小 对已知数进行变形，构造函数，利用导数判断其单调性，再比较大小。 24 指数对数不等式与方程的综合 利用指数函数和对数函数的单调性，将不等式转化为自变量的大小关系，再求解。 25 复合对数函数的单调性求参数范围 根据复合函数“同增异减”原则，结合内层函数的单调性和定义域，列不等式组求解。 26 互为反函数的函数零点问题 利用函数与反函数图象关于直线对称，结合图象分析零点关系，再求取值范围。 27 指数对数方程根的关系求值 将方程转化为对数方程，利用韦达定理和指数对数恒等式求值。 28 幂函数的定义与性质 由幂函数定义求参数，再根据幂函数的奇偶性、单调性判断各选项。 29 幂函数与对数函数综合比较大小 由幂函数定义求解析式，再利用对数换底公式和幂函数的单调性比较大小。 30 指数型函数性质（多选题） 利用指数函数的值域、指数运算性质、单调性等判断各选项。 31 指数型函数图象对称性与性质（多选题） 由对称性求解析式，再判断零点、奇偶性、极值点及不等式恒成立问题。 32 指数对数不等式性质（多选题） 利用指数函数、对数函数的单调性和不等式的性质，逐项判断。 33 复合函数的定义域 先求出外层函数的定义域，再根据内层函数满足的条件列不等式组求解。 34 利用奇偶性求函数值 通过构造或变形判断函数的奇偶性，再利用奇偶性求值。 35 利用对称性与单调性解不等式 由对称性将不等式转化为自变量到对称轴的距离关系，再结合单调性求解。 36 指数对数方程求值 利用对数的运算法则化简已知条件，通过换元法转化为方程求解。 37 复合对数函数的单调性求参数范围 根据复合函数单调性，结合内层函数的单调性和定义域，列不等式组求解。 38 幂函数的单调性求参数 根据幂函数的定义和单调性，列出方程和不等式，求解参数。 39 幂函数定义与单调性的充分必要条件 先求出幂函数定义下的参数值，再判断充分性和必要性。 40 根据多个条件写出函数解析式 综合偶函数、单调性、凸凹性及运算特征，从基本初等函数模型中选取符合条件的函数。 一、单选题 1．（2026·湖南·模拟预测）化简（   ） A． B． C．5 D．3 2．（2026·江西南昌·一模）若，则所在的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北保定·一模）已知正数a，b满足 则 ab=（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 4．（2026·陕西商洛·二模）已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 5．（2026·山西大同·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 9．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·福建泉州·二模）定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·辽宁抚顺·一模）设函数，若，则与0的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 13．（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·四川德阳·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·山东菏泽·一模）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2026·安徽淮北·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 17．（2026·山东·模拟预测）当时，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2026高三上·山西临汾·专题练习）已知，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 19．（2026·天津河东·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·宁夏银川·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 21．（2026·山东聊城·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 22．（2026·浙江·模拟预测）已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 23．（2026·湖北襄阳·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 25．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2026·湖南邵阳·一模）设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（2026·贵州贵阳·一模）设方程的两个根为，，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 28．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 29．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 31．（2026·河北唐山·一模）若函数与函数的图象关于y轴对称，则（    ） A．与有相同的零点 B．为偶函数 C．与有相同的极值点 D．对任意的，都有 32．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 33．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 34．（2026·四川成都·二模）已知函数，若，则__________ 35．（2026·河北张家口·一模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 36．（2026·山西朔州·一模）若，且，，则__________. 37．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 38．（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数__________ 39．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 40．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 题型14 函数的图象6个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 根据解析式判断函数图象 先求定义域，再判断奇偶性，结合特殊点函数值的符号，利用排除法选择。 2 根据解析式判断函数图象 先求定义域，再判断奇偶性，结合特殊区间函数值的符号，利用排除法选择。 3 根据解析式判断函数图象 先判断奇偶性排除部分选项，再取特殊区间判断函数值符号，进一步排除。 4 根据图象选择函数解析式 观察图象的奇偶性、定义域及特殊点函数值，结合选项函数的性质进行排除。 5 根据图象选择函数解析式 观察图象的奇偶性及特殊点函数值，代入选项验证，排除不符合的解析式。 6 根据隐函数关系判断函数图象 利用对数运算化简得到函数解析式，再根据定义域和基本不等式确定图象形状。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁辽阳·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西南昌·期末）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·一模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·安徽合肥·期末）若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型15 函数与方程与函数模型22个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 判断函数零点所在区间 利用零点存在性定理，计算区间端点函数值，若异号则零点在此区间内。 2 求三角函数在区间上的零点个数 利用诱导公式化简函数，令其为零解三角方程，在给定区间内统计解的个数。 3 求函数图象交点横坐标之和 利用指数函数与反比例函数的对称性，分析交点成对出现，利用对称性求和。 4 求两个函数图象交点个数 利用五点作图法画出两个函数的图象，结合周期性，统计交点个数。 5 求函数所有零点之和 将函数零点转化为两个函数图象交点，利用对称性分析交点成对出现，求和。 6 由函数零点唯一性求参数 判断函数的奇偶性，利用偶函数图象关于轴对称，唯一零点必在原点处，列方程求参数。 7 由函数在区间上有零点求参数范围 根据函数在区间上单调，结合零点存在性定理，由端点函数值异号列不等式求解。 8 判断函数零点个数的可能性 将函数零点转化为两函数图象交点，数形结合分析不同参数取值下的交点个数。 9 由函数恰有一个零点求参数 分析函数恒有一个零点，转化为另一部分无零点或唯一零点在已知零点处，列方程求解。 10 由方程根的个数求参数范围 利用同构思想将方程转化为函数相等，结合函数的单调性和最值，数形结合求参数范围。 11 由方程有四个实根求相关式子的最值 作出函数图象，利用对称性得根的关系，结合基本不等式求最值，构造函数利用导数判断范围。 12 由函数有三个零点求参数范围 转化为两函数图象交点，利用二次函数的对称性和对数函数的性质，数形结合求解。 13 由函数有三个零点求参数范围 换元后转化为一元二次方程根的分布，结合函数图象，数形结合求参数范围。 14 由函数有三个零点求参数范围 换元后转化为一元二次方程根的分布，利用根与系数的关系和图象特征列不等式组求解。 15 二分法求零点近似值的步骤次数 初始区间长度为1，每次操作区间长度减半，使区间长度小于精确度时停止，计算所需次数。 16 指数函数模型的应用 根据已知条件列方程求出模型参数，再代入计算目标时间增量。 17 对数函数模型的应用 根据香农定理公式，代入已知数据列出方程，利用对数运算求解信噪比的倍数。 18 指数衰减模型的应用（半衰期） 利用半衰期公式建立指数衰减模型，代入已知含量比值，取对数求解时间。 19 指数增长模型的应用 根据增长率建立指数增长模型，代入数据列出不等式，利用对数运算求解最小整数年数。 20 连续复利模型的应用 根据连续复利公式，代入数据列出方程，利用对数运算求解时间。 21 对数视力表模型的应用 根据视力公式，代入已知数据求出常量，再代入新距离求解视力值。 22 碳14衰减模型的应用 利用半衰期求出衰减常数，建立指数衰减模型，代入含量比值，利用对数运算求解时间。 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 4．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（2025·四川成都·模拟预测）函数的所有零点之和为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·模拟预测）函数的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 12．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B．(0，1) C． D． 14．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·福建龙岩·一模）某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加（    ） A．3min B．6min C．9min D．24min 17．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 18．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 19．（2025·山东淄博·三模）随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长. 某公司现有新一代 芯片 两套研发方案，若 A 设计方案中初始计算量为 ，每年增长 ；B 设计方案中初始计算量为  ，每年增长 . 如此预计至少几年后A  设计方案计算量更高?(参考数据: )（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 21．（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 22．（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 题型16 导数小题36个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 由导数值求参数与切线斜率 先求导，代入切点横坐标得导数值，再结合已知导数值列方程求参数，最后求切线斜率。 2 利用导数的定义求切线斜率 根据导数定义，将极限式转化为导数值，再结合导数的几何意义求切线斜率。 3 两条曲线切线重合求参数 分别求导得切线斜率，由切线重合得斜率相等且切点处函数值相等，列方程组求解。 4 切线倾斜角与充分必要条件 求导得切线斜率，由倾斜角得斜率值，解出参数，再判断充分性和必要性。 5 公切线问题求参数 先求一条曲线的切线方程，再设切点代入另一曲线，利用导数等于切线斜率列方程求解。 6 求函数极值点的个数 求导，分析导函数变号零点的个数，注意导数不存在的点及定义域。 7 由函数不单调求参数范围 函数不单调等价于导函数在区间内有变号零点，利用导函数性质列不等式求解。 8 求函数在闭区间上的最大值 利用导数判断函数单调性，确定最值点，代入计算。 9 一元二次不等式恒成立求参数最值 由恒成立得判别式条件，得到变量关系，再构造函数利用导数求最值。 10 由极值点求参数 求导，由极值点处导数为0列方程，再验证该点是极大值点还是极小值点，确定参数。 11 构造函数利用单调性比较大小 观察式子结构构造函数，利用导数判断单调性，再比较函数值大小。 12 指数对数同构求值 对已知等式变形，构造函数并利用其单调性建立变量相等关系，实现消元求值。 13 同构法求方程有两个根的参数范围 利用同构思想将方程转化为函数相等，结合函数单调性和最值，数形结合求参数范围。 14 由方程根的关系判断不等式 利用指数对数恒等式变形，构造函数利用单调性得到变量关系，再判断各选项。 15 存在参数使不等式恒成立求参数最值 换元转化为新函数，利用导数研究其单调性和图象，数形结合求参数最大值。 16 存在参数使不等式恒成立求参数最值 分离参数转化为函数最值问题，利用导数研究函数单调性，求最大值。 17 含绝对值方程有2个实根求参数范围 去绝对值转化为两个方程，分别构造函数，利用导数研究其单调性和最值，数形结合求范围。 18 构造函数利用单调性比较大小 观察式子结构构造函数，利用导数判断单调性，再比较自变量大小。 19 由函数关系求代数式的最值 利用函数关系消元，构造函数，利用导数研究单调性和最值。 20 导数几何意义与函数性质（多选题） 利用导数求切线斜率最小值，利用函数平移判断对称性，解不等式判断充要条件。 21 函数零点、对称性、切线及最值（多选题） 解方程判断零点，验证对称中心，利用导数求切线，利用导数求最值判断存在性。 22 函数奇偶性、单调性及切线交点（多选题） 利用奇偶性定义判断，利用导数研究单调性，联立方程判断交点个数。 23 切线方程、单调性及参数范围（多选题） 利用导数求切线，通过举反例否定选项，利用导数与单调性关系求参数范围，利用切线平行求参数。 24 函数单调性、切线及不等式恒成立（多选题） 利用导数研究单调性，求切线方程，构造函数证明不等式恒成立。 25 极值点、最值及反函数性质（多选题） 利用导数研究极值点，构造函数求最值，利用反函数对称性求距离最小值，利用同构求参数最值。 26 奇偶性、零点、单调性及最值（多选题） 判断函数奇偶性，利用导数研究单调性求零点，利用单调性解不等式，利用基本不等式求最值。 27 含参函数单调性与极值点（多选题） 利用导数研究单调性，分析极值点个数，利用函数无最值判断选项，利用恒成立求参数最小值。 28 含参函数零点、极值及单调性（多选题） 利用导数研究零点个数，分析极值点存在性，利用最值求参数，利用导数判断单调性。 29 函数零点与不等式证明（多选题） 利用导数研究单调性求最值，利用基本不等式判断选项，利用分析法构造函数证明不等式，利用导数求最值。 30 切线方程求参数 设切点，写出切线方程，与已知直线对比列方程组，消元求解参数。 31 求切线方程 求导得切线斜率，代入点斜式方程，化简得切线方程。 32 三角不等式恒成立求参数范围 换元转化为二次函数最值问题，利用导数研究函数单调性，求最小值。 33 由函数有两个极值点求参数范围 求导，转化为导函数在定义域内有两个变号零点，利用二次函数根的分布列不等式求解。 34 不等式在区间上恒成立求整数参数最小值 利用特值法得必要条件，再验证充分性，结合导数判断函数单调性。 35 指数对数不等式恒成立求参数范围 同构变形，构造函数利用单调性转化为简单不等式，再分离参数求最值。 36 不等式恰有两个整数解求参数范围 分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性并作出图象，数形结合求参数范围。 一、单选题 1．（2026·山西运城·一模）已知函数，则曲线在处的切线斜率为（   ） A．－6 B．－3 C．3 D．6 2．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 3．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 6．（2026·河北衡水·一模）函数的极值点的个数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·新疆·模拟预测）函数在区间上的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 9．（2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 11．（2026·河北邯郸·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河北保定·一模）已知正数a，b满足 则 ab=（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·广东梅州·一模）已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 16．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·山西朔州·一模）若关于的方程有2个不同实根，设，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026·广东汕头·一模）设，且，，，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 20．（25-26高三下·安徽·月考）设函数，则（    ） A．曲线切线斜率的最小值为 B．的图象关于点对称 C．是的充要条件 D．是的充要条件 21．（2026·福建莆田·二模）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．有且只有一个零点 B．点为曲线的对称中心 C．曲线在点处的切线方程为 D．， 22．（2026·福建福州·模拟预测）设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数是奇函数 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数不相等 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 23．（2026·浙江·模拟预测）已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 24．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减 B．曲线在点处的切线方程为 C．恒成立 D．恒成立 25．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数，，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的极值点为1 B．， C．若P，Q分别是曲线和上的动点，则|PQ|的最小值为 D．若对任意的恒成立，则a的最小值为 26．（2026·山东青岛·一模）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．恰有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 27．（2026·陕西·模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数在上单调递增 B．若，则函数在上有2个极值点 C．，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D．若函数在上单调递增，则的最小值为 28．（2026·广东广州·二模）对于函数，下面说法正确的有（    ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数不存在极值点 C．当最小值为时， D．当时，函数在区间单调递减 29．（2026·福建泉州·二模）已知函数有两个零点，则（   ） A．当时， B． C．当时， D．函数取最小值时， 三、填空题 30．（2026·河北保定·一模）已知直线与函数的图象相切，则________. 31．（2026·湖北黄冈·一模）设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 32．（2026·陕西榆林·模拟预测）若恒成立，则实数a的取值范围为______． 33．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 34．（2026·四川成都·二模）函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________． 35．（2026·四川巴中·一模）若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 36．（2026·辽宁·模拟预测）已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____． 题型17 导数大题40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 切线方程与值域 利用导数求切线斜率，由垂直关系列方程求参数；再求导判断单调性，结合区间端点求值域。 2 切线方程与含参单调性 求导得切线斜率，点斜式写切线方程；对参数分类讨论，根据导函数符号确定单调区间。 3 含参单调性与存在性最值 求导后分参数讨论单调性；将存在性条件转化为函数值相等，构造函数利用导数求最值。 4 单调区间极值与不等式证明 求导得极值点，分析导数符号得单调区间和极值；构造函数，利用最值证明不等式。 5 三角函数周期对称性与导数单调性 由周期求ω，由对称中心求φ；求导后化简函数，再分析导函数符号得单调区间。 6 切线方程、恒成立与极值点偏移 求导得切线；恒成立转化为最值问题，分离参数或构造新函数；极值点偏移利用单调性和对称性证明。 7 极值与恒成立求参数 求导得极值点，分析单调性得极值；恒成立转化为最小值非负，分离参数或构造函数求最值。 8 含参单调性与不等式证明 求导后分参数讨论单调性；构造函数，利用导数证明不等式。 9 含参单调性与恒成立求参数 求导后分参数讨论单调性；恒成立转化为最小值非负，分离参数或构造函数求最值。 10 极值点求参数与不等式证明 由极值点处导数为0求参数；构造函数，利用导数证明不等式。 11 含参单调性与存在性问题 求导后分参数讨论单调性；利用奇偶性将存在性转化为方程有解，分离参数求范围。 12 切线方程与零点个数求参数 求导得切线；将零点个数转化为方程根的个数，分离参数或利用导数研究函数图象。 13 对称性、最值与零点个数 利用对称性求解析式；求导得单调性，求最值；构造函数研究零点个数。 14 极值点与参数关系、单调区间、存在性 由极值点处导数为0得关系式；求导后分情况讨论单调区间；存在性问题分离参数求最值。 15 不等式证明、极值点存在性与范围 构造函数证明不等式；利用导数研究单调性，结合零点存在定理证明极值点存在并求范围。 16 极值点求参数与切线位置关系 由导函数极值点处导数为0求参数；构造函数，利用最值证明切线在曲线上方。 17 单调区间与函数零点个数 求导得单调区间；构造函数，利用导数研究零点，转化为图象交点个数。 18 单调区间与存在性恒成立最值 求导得单调区间；将存在性转化为最值问题，分离参数求最值。 19 切线方程、零点个数与参数取值 求导得切线方程；利用导数研究零点个数，分类讨论得参数取值集合。 20 零点存在性求参数与值域 分离参数，利用导数研究函数单调性和最值，数形结合求参数范围；求导得单调性求值域。 21 切线方程、存在单调区间与恒成立最值 求导得切线方程；存在单调区间转化为导数有正值，分离参数求范围；恒成立转化为最值。 22 极值、不等式证明与恒成立求参数 求导得极值；构造函数证明不等式；恒成立分离参数求最值。 23 单调区间、切线不等式与极值点偏移 求导得单调区间；构造函数证明切线不等式；利用单调性证明极值点偏移结论。 24 切线方程、不等式证明与有解求参数 求导得切线方程；构造函数证明不等式；有解问题转化为最值，分离参数求范围。 25 切线方程、极值点个数与恒成立求参数 求导得切线方程；求导分析极值点个数；恒成立转化为最值，分离参数求范围。 26 切线方程、不等式证明与零点个数求参数 求导得切线方程；构造函数证明不等式；分离参数，利用导数研究零点分布求参数范围。 27 极值点求参数、恒成立求参数与不等式证明 由极值点处导数为0求参数；恒成立分离参数求最值；利用放缩法证明不等式。 28 切线方程、不等式证明与参数范围 求导得切线方程；构造函数证明不等式；分离参数，利用导数研究函数最值。 29 单调性讨论与最值存在唯一参数 求导后分参数讨论单调性；构造函数研究最值，转化为方程有唯一解。 30 切线平行求参数、极值点个数与四点共圆 由导数为0求参数；求导分析极值点个数；利用对称性证明四点共圆。 31 必要条件求参数、零点存在求参数与不等式证明 将必要条件转化为单调性，分离参数求最值；分离参数研究零点；构造函数证明不等式。 32 单调性、不等式证明与参数范围 求导得单调性；构造函数证明不等式；分离参数求范围。 33 极值点个数、零点存在求参数与不等式证明 求导分析极值点个数；分离参数研究零点；利用对数均值不等式证明。 34 单调性、极值点存在性与零点不等式 求导得单调性；利用导数证明极值点不存在；构造函数证明零点不等式。 35 单调区间、零点个数与恒成立求参数 求导得单调区间；利用导数研究零点个数；恒成立分离参数求范围。 36 单调区间、零点个数求参数与不等式证明 求导得单调区间；分离参数研究零点；构造函数证明不等式。 37 不等式证明、零点存在求参数与极值点偏移 构造函数证明不等式；分离参数研究零点；利用对数均值不等式证明零点差。 38 单调区间、零点存在求参数与极值点偏移 求导得单调区间；分离参数研究零点；构造函数证明不等式。 39 切线定值、零点个数与零点之和 利用导数值为定值求点；分类讨论零点个数；构造函数证明零点之和不等式。 40 单调区间、恒成立求参数与对称点存在性 求导得单调区间；恒成立分离参数求最值；构造函数研究对称点存在性。 1．（2026·四川成都·二模）已知，在处的切线与垂直， (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 2．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 3．（2026·山东青岛·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 4．（2026·山东济宁·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 5．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为. (1)求以及曲线的对称中心； (2)讨论函数在区间上的单调性. 6．（2026·河南·模拟预测）设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 7．（2026·福建莆田·二模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 8．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 9．（2026·山东青岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 10．（2026·广东·一模）设函数，已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，证明：． 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数 (1)设，讨论的单调性； (2)设，若有解，求的取值范围． 12．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有且仅有一个零点，求的值. 13．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，求的最大值； (3)判断函数在的零点个数，并说明理由． 14．（2026·江苏扬州·一模）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 15．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知函数. (1)证明：； (2)证明：存在唯一极值点； (3)记（2）中的极值点为，证明：. 16．（25-26高三下·海南·月考）已知函数. (1)若是的导函数，且0为的极值点，求； (2)当时，过原点的直线与的图象相切，证明：当时，在图象的上方. 17．（2026·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 18．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在，对任意恒成立，求实数的最大值. 19．（2026·广东·模拟预测）已知函数. (1)当时. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的零点个数. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 20．（2026·重庆·一模）函数． (1)令，若函数存在唯一零点，求实数的取值范围； (2)若，求函数的值域． 21．（2026·陕西商洛·二模）已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 22．（2026·河北保定·一模）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 23．（2026·江西南昌·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： (3)当时，设，且满足，求证：. 24．（2026·河北张家口·一模）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 25．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 26．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，证明：当时，. (3)若有两个零点，求a的取值范围. 27．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，且为函数的极值. (1)求实数a的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围； (3)证明：当时，． 28．（2026·广东佛山·一模）已知函数，其中为正实数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：． 29．（2026·江西赣州·一模）已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 30．（2026·甘肃·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线平行于轴，求的值； (2)当时，求函数在内的极大值点和极小值点的个数； (3)证明：对任意，曲线上存在四个不同的点共圆. 31．（2026·江苏·一模）已知函数. (1)对任意，是的必要条件，求的最小值； (2)对任意，函数存在两个零点. （i）求的取值范围； （ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，. 32．（2026·山西朔州·一模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，证明：对任意正数，均有； (3)设是任意三角形的三边长，若一定存在以为三边长的三角形，求的取值范围． 33．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数在区间内极值点的个数． (2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 34．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，是的导函数. (1)当，时，讨论的单调性. (2)是否存在a，b，使得为的极值点？若存在，求a，b满足的条件；若不存在，请说明理由. (3)若，，为最小的零点，证明：当时，. 35．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)函数． （ⅰ）当时，讨论函数在区间上的零点个数； （ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 36．（2026·广东广州·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 37．（2026·河北邯郸·一模）已知函数． (1)若，证明：． (2)设有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：． 38．（2026·广东深圳·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 39．（2026·河北衡水·一模）已知函数. (1)证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，讨论零点的个数. (3)当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3. 40．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数，. (1)若，求的单调区间； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由. 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 清单02 高考数学考前重点题型归纳 （含28个专题，813个重点题型） 题型01 集合5个重点题型 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题型03 复数15个重点题型 题型04 平面向量26个重点题型 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题型08 三角函数的图象及性质40个重点题型 题型09 解三角形小题35个重点题型 题型10 解三角形大题36个重点题型 题型11 函数的概念及其表示10个重点题型 题型12 函数的基本性质45个重点题型 题型13 指数对数幂函数40个重点题型 题型14 函数的图象6个重点题型 题型15 函数与方程与函数模型22个重点题型 题型16 导数小题36个重点题型 题型17 导数大题40个重点题型 题型18 数列小题40个重点题型 题型19 数列大题25个重点题型 题型20 立体几何小题35个重点题型 题型21 立体几何大题35个重点题型 题型22 直线与圆32个重点题型 题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题型25 排列组合27个重点题型 题型26 二项式定理17个重点题型 题型27 概率统计小题52个重点题型 题型28 概率统计大题35个重点题型 第一部分 题型01 集合5个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求交集 先确定各集合表示的数集范围（定义域/值域）。 2 求补集 涉及交、补混合运算，需按顺序求解。 3 求并集 直接解不等式后取并集。 4 根据并集结果求参数 结合并集概念和集合元素的互异性。 5 根据集合相等求参数 利用集合相等的定义和元素互异性，通常需要分类讨论。 1．（2026·河北衡水·一模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·江西抚州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 存在量词命题的否定 存在量词改全称量词，否定结论 2 全称量词命题的否定 全称量词改存在量词，否定结论 3 存在量词命题的否定 存在量词改全称量词，否定结论 4 命题真假判断 + 复合命题 先判断单个命题真假，再用逻辑联结词规则判断 5 简单命题的否定 直接否定判断，注意存在量词的使用 6 充分必要条件（数列） 结合等差数列定义，判断推出关系 7 充分必要条件（函数对称中心） 牢记对称中心性质，判断条件能否互推 8 充分必要条件（对立事件） 对立事件定义 + 概率公式，判断条件充分性与必要性 9 充分必要条件（直线与圆位置） 用圆心到直线距离判断相交，推导条件关系 10 充分必要条件（平面向量） 向量垂直与数量积关系，判断充分必要性 11 充分必要条件（线面位置） 空间线面平行 / 垂直判定定理，判断推出关系 12 充分必要条件（三角函数象限） 三角函数符号与象限关系，判断条件 13 充分必要条件（函数单调性） 三角函数单调性关系，结合定义域判断条件 1．（2026·云南·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·山东德州·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 6．（2026·四川绵阳·模拟预测）若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 9．（2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 11．（2026·河北张家口·一模）已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2026·北京密云·一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 复数15个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求共轭复数的虚部 利用复数除法化简，结合共轭复数定义，虚部为原复数虚部的相反数。 2 利用周期性求共轭复数的虚部 利用虚数单位i的周期性化简复数，再求共轭复数的虚部。 3 求复数的模 将复数化为代数形式，利用模长公式计算。 4 求复数的模 直接利用模长公式求解。 5 复数对应点的象限判断 设复数代数形式，代入条件，根据实部、虚部符号判断所在象限。 6 复数模的最值问题（几何法） 利用复数模的几何意义，转化为圆上的点到原点的距离最值问题。 7 根据实部与虚部相等求参数 复数除法化简，令实部等于虚部，解方程求参数。 8 根据纯虚数求参数 复数除法化简，令实部为0且虚部不为0，解方程求参数。 9 根据复数对应象限求参数范围 复数乘法化简，令实部、虚部对应象限符号，解不等式组求范围。 10 复数模的最值问题（三角形式） 将复数化为三角形式，利用正弦函数的有界性求模的最值。 11 复数模的取值范围（几何法） 利用模的几何意义，转化为单位圆上的点到定点的距离范围问题。 12 根据复数相等求参数（多选题） 利用复数加减运算，根据复数相等列方程组求解。 13 复数模的几何意义与性质（多选题） 利用复数模的几何意义（双曲线）及不等式性质判断各选项。 14 复数运算与模的性质（多选题） 利用复数模的运算性质及举反例的方法判断各选项。 15 共轭复数与模的性质（多选题） 利用共轭复数定义、模的运算性质及特殊值法判断各选项。 1．（2026·江西赣州·一模）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 2．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·福建莆田·二模）已知复数，则（   ） A． B．3 C． D．5 4．（2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 7．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 8．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 9．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 多选题 12．（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·山东青岛·期末）设复数z满足，则（    ） A． B． C．关于z的方程有解 D．若复数w满足，则 14．（2026·浙江·模拟预测）设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 15．（25-26高三上·江西·月考）已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 题型04 平面向量26个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 向量共线求参数 利用共线向量定理，设比例系数，根据向量不共线列方程组求解。 2 向量平行（共线）求参数 利用向量平行的坐标关系（交叉相乘相等），列方程求解。 3 向量垂直求参数 先求向量坐标，再根据数量积为0列方程求解。 4 向量基底表示（网格图） 建立坐标系，用待定系数法将向量表示为基底的线性组合。 5 几何图形中的向量线性表示 利用三角形法则和平行四边形法则，结合线段比例关系进行向量分解。 6 向量数量积的几何应用 将目标向量用基底表示，利用数量积的定义和运算律求解。 7 三点共线求参数 将向量分解为基底形式，利用三点共线时系数和为1的性质求解。 8 向量数量积求模 根据向量数量积的定义和模长公式，结合已知条件列方程求解。 9 向量数量积的最值（几何法） 利用圆的性质求弦中点轨迹，将目标向量转化为中点相关形式，结合点到直线距离求最值。 10 向量垂直求夹角余弦值 由垂直得数量积为0，求出参数，再代入夹角公式求解。 11 向量合成与速度分解 根据实际航行方向，将速度分解为静水速度和水流速度，利用余弦定理求解。 12 投影向量 利用投影向量公式（数量积除以模的平方乘以原向量）求解。 13 向量数量积的最值（二次函数） 建立坐标系，将目标向量数量积表示为参数的二次函数，利用二次函数性质求最值。 14 投影向量求夹角 由投影向量公式和数量积定义，建立方程求解夹角。 15 两两夹角相等求模 分夹角为0°和120°两种情况讨论，结合数量积的运算律求解。 16 投影向量（解三角形） 通过平方变形判断三角形形状，再代入投影向量公式求解。 17 向量线性运算与几何作图 作平行线构造平行四边形，利用向量加法法则和已知条件进行转化。 18 斜坐标系下的向量运算 根据新定义，将向量坐标转化为基底表示，利用数量积的运算律求解。 19 向量垂直与模长计算 由垂直得数量积为0，结合已知向量模长关系，利用模长公式求解。 20 向量模的取值范围（几何法） 将向量条件转化为坐标方程，利用点到直线距离求模的最小值，最大值无上界。 21 重心性质与向量分解 利用重心性质（中线交点）将向量分解，根据平面向量基本定理列方程求解。 22 重心性质与向量运算 利用重心与中点的关系，将向量用基底表示，根据向量相等求参数。 23 向量数量积的最值（轨迹与三角函数） 建立坐标系，根据条件求动点轨迹，将目标数量积表示为三角函数，利用辅助角公式求最值。 24 向量数量积的最值（函数法） 根据图形几何关系，将目标数量积表示为参数的函数，利用二次函数或单调性求最值。 25 向量线性运算与数量积 利用共线向量定理和平面向量基本定理，将目标向量用基底表示，结合数量积运算律求解。 26 向量数量积的最值（坐标与圆） 建立坐标系，根据条件确定动点轨迹为圆，将目标数量积表示为参数形式，利用三角函数或几何意义求最值。 1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 9．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 10．（2026·吉林白城·一模）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·云南·模拟预测）已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 16．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 18．（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 19．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 23．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 24．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 25．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 26．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 基本不等式求最值（条件变形） 将条件等式变形得到两个倒数的和为1，再将目标式用这个“1”代换，利用基本不等式求最大值。 2 不等式性质判断正误 利用不等式的性质、幂函数和指数函数的单调性，以及举反例的方法逐项判断。 3 基本不等式求最值（直接应用） 将目标式变形为“和”为定值的形式，直接利用基本不等式求最小值。 4 基本不等式求最值（构造一元二次不等式） 由条件等式变形，利用基本不等式得到关于目标式的一元二次不等式，解不等式求最小值。 5 基本不等式求最值 基本不等式求最值的直接应用 6 不等式性质与充分必要条件 对分式不等式进行移项通分，转化为整式不等式，再结合充分、必要条件的定义进行判断。 7 基本不等式求最值（构造函数） 观察等式结构构造函数，利用函数的单调性得出变量关系，再结合基本不等式求最值。 8 基本不等式求最值（转化为一元二次不等式） 由条件等式变形得到两个倒数的和为1，利用基本不等式构造关于目标式的不等式，解不等式求最小值。 9 基本不等式与充分必要条件 利用基本不等式判断条件的充分性，通过举反例否定必要性。 10 基本不等式求最值（等差中项） 由等差中项得到变量关系，将目标式进行变形，两次应用基本不等式求最小值。 11 基本不等式求最值（正态分布结合“1”的代换） 利用正态分布的对称性求出参数值，再将目标式乘以“和为定值”的式子，用基本不等式求最小值。 12 不等式性质判断（作差法、函数单调性） 利用指数函数单调性、作差法以及基本不等式，逐项分析判断。 13 不等式性质判断（构造函数） 根据条件构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否恒成立，其他选项通过举反例排除。 14 不等式性质判断（多选题） 利用不等式的性质、基本不等式和作差法，逐项分析判断。 15 基本不等式求最值（多选题） 对多个选项分别应用基本不等式或换元法，注意等号成立的条件是否一致。 16 不等式性质与构造函数（多选题） 利用基本不等式判断部分选项，构造函数并利用导数判断单调性，从而分析其他选项。 1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 6．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·湖南永州·一模）若实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 8．（2026·湖南·模拟预测）若，且，则的最小值为（   ） A．12 B．16 C． D． 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 11．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026·北京延庆·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C．对任意， D． 多选题 14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 16．（2026·山东烟台·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 弧长公式与圆锥几何 利用圆锥侧面展开图是半圆，得到母线长等于底面半径的两倍，再代入圆锥表面积公式，求解底面半径。 2 弧长与圆心角关系（地理问题） 由平行线内错角相等得两地所对地心角等于日影角，根据弧长与圆心角的比例关系，用两地距离估算地球周长。 3 三角函数符号与充分必要条件 根据正弦函数在各象限的符号，判断正弦大于零时角所在的象限，结合充分必要条件的定义进行推理。 4 同角关系与两角差公式求角 先由已知的正弦值求出余弦值，再由两角差的正弦求出对应的余弦值，注意根据角范围确定符号，最后用两角差的余弦公式求出目标角的余弦值。 5 同角关系求值（弦化切） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正切与余切的和与正弦余弦乘积的关系，代入求解。 6 同角关系求值（平方关系） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。 7 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 8 二倍角公式与弦化切 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 9 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 10 三角函数求值与充分必要条件 根据正弦值求角时，一个正弦值对应多个角，判断由条件能否推出结论，由结论能否推出条件，从而确定充分必要性。 11 诱导公式与弦化切 先用诱导公式求出角的正切值，再将所求的三角函数式分子分母同除以余弦，化为只含正切的形式，代入求解。 1．（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·黑龙江·一模）古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（   ） A．40000km B．41000km C．42000km D．43000km 3．（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川德阳·二模）若，则＝（   ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或 7．（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖北黄冈·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 两角和差公式与弦化切 将已知的两个等式用两角和与差的正弦公式展开，分别相加、相减得到正弦与余弦的乘积，再将两式相除得到正切之比。 2 两角差公式与同角关系 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。 3 两角和差公式与弦化切 将已知的两个等式用两角和与差的余弦公式展开，分别相加、相减得到余弦与正弦的乘积，再将两式相除得到正切之积。 4 和差化积公式 将已知的两个等式平方后相加，利用平方关系消去平方项，得到两角差的余弦值。 5 两角和公式与角范围确定 先求出两角和的正弦或余弦值，再根据已知角的范围确定两角和的范围，从而确定角的具体值。 6 两角差公式与同角关系 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。 7 平方关系求二倍角 将已知等式两边平方，利用平方关系和二倍角公式，求出二倍角的正弦值。 8 同角关系与符号判断 将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象限，再通过构造齐次方程求解正切值。 9 同角关系求值（平方关系） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。 10 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 11 三角恒等变换求周期 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为单个正弦型函数的形式，再根据周期公式求出最小正周期。 12 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 13 同角关系与两角和正切公式 先由已知角的正弦结合范围求出余弦，进而求出正切，再代入两角和的正切公式求解。 14 同角关系与象限符号 由正切值设出正弦与余弦的比例，利用平方关系求出比例系数，再根据角所在的象限确定符号。 15 三角方程与零点个数 先将函数化为正弦型函数，再令函数值为零，解三角方程，在给定区间内求出所有解，统计解的个数。 16 和差化积与半角公式 将已知等式用和差化积公式变形，得到两角和与两角差的正余弦关系，再转化为半角正切形式求解。 17 同角关系与符号判断 将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象限，再通过构造齐次方程求解正切值。 18 诱导公式与弦化切 先用诱导公式将所求式中的角化为同一形式，再将分子分母同除以余弦，化为只含正切的形式，代入求解。 19 两角差公式求角 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求出余弦值，进而确定角。 20 基本不等式求最值 将正切之积用正弦余弦表示，利用已知条件和基本不等式，构造关于正切之积的不等式，求解最大值。 21 和差化积与两角和差公式（多选题） 将已知两个等式平方后相加，求出两角差的余弦；平方后相减，求出两角和的正弦，再结合角范围判断各选项。 22 两角差公式与同角关系（多选题） 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。 23 两角差公式与同角关系（多选题） 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。 24 三角函数单调性与不等式（多选题） 利用正弦函数的单调性、和差化积公式、辅助角公式等，结合角范围及已知条件，逐项分析判断不等式是否成立。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A． B．3 C． D．2 2．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川内江·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·甘肃·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广东广州·一模）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·新疆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·云南大理·二模）已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 16．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 18．（2026·广西南宁·一模）已知，则＝（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 20．（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 多选题 21．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·山东聊城·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·江苏南京·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型08 三角函数的图象及性质40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求最小正周期与对称中心 由周期公式求出 ，再令整体角等于 解出对称中心坐标。 2 由奇偶性求参数 利用函数奇偶性定义，将函数拆分为奇函数与偶函数的组合，结合余弦型函数的奇偶性求出参数。 3 由奇函数性质求函数值 利用奇函数在 处函数值为零，解出参数，再代入求值。 4 正弦型函数的性质判断 利用周期公式、奇偶性定义、对称轴与最值的关系、整体代换法判断单调性，逐项分析。 5 正切型函数的对称中心与参数求值 由对称中心坐标公式列出方程，结合已知条件求出参数，再代入求值。 6 判断正弦型函数的单调区间 画出函数图象或利用整体代换法，确定函数在给定区间上的单调性。 7 函数零点个数判断 将方程转化为两个函数图象交点问题，利用周期性及图象分析交点个数。 8 函数对称中心与充分必要条件 先求出正切型函数的对称中心，再判断点坐标与对称中心集合的包含关系。 9 三角函数图象平移与对称中心 由平移后函数的对称中心反推原函数的对称中心，代入坐标求出参数，再求最小值。 10 三角函数图象变换求解析式（逆向） 从目标函数出发，逆向进行平移和伸缩变换，得到原函数解析式。 11 图象平移与对称性结合求参数 分别写出平移后的解析式，利用关于 轴对称的条件及都过原点，列方程组求解。 12 由零点求参数与图象平移 将零点代入求出参数，再将目标函数化为同一形式，比较相位差确定平移方向与单位。 13 图象伸缩与平移求解析式（逆向） 从变换后的函数逆向进行平移和伸缩，还原出原函数。 14 由奇偶性与平移求参数 化简函数，利用平移后为奇函数，结合相位关系求出参数。 15 由对称轴与单调性求参数 利用对称轴处取最值得关系式，结合单调区间长度与半周期的关系，确定参数值。 16 图象平移后求对称中心 写出平移后的解析式，利用正弦函数对称中心公式，整体代换求解。 17 正切型函数的周期与对称中心求参数 由相邻两交点距离得周期，再由对称中心坐标公式列出方程，求最小正参数。 18 零点与平移后偶函数求参数范围 利用零点与最值点的距离确定周期，再根据平移后为偶函数得相位，最后根据零点个数列不等式求范围。 19 图象平移与伸缩后求对称中心 按步骤写出变换后的解析式，利用正弦函数对称中心公式求解。 20 由最值点列方程组求参数 根据最小值点和最大值点列出方程，作差消元求周期，再代入求参数的可能值。 21 由零点个数与最值点求单调区间 根据零点个数确定周期范围，再由特殊点关系确定解析式，最后整体代换求单调增区间。 22 正切型函数性质综合（多选题） 利用诱导公式化简，求周期、对称中心，解不等式求定义域，逐项判断。 23 正弦型函数的对称中心与性质（多选题） 由对称中心求出解析式，再求周期、对称轴、平移后解析式及单调性，逐项判断。 24 三角函数乘积型函数性质（多选题） 利用诱导公式与二倍角公式化简，判断奇偶性、最值、周期、零点。 25 正弦型与余弦型函数对称性比较（多选题） 分别求出两函数的对称中心、对称轴，验证是否存在相同；通过平移变换判断曲线间的关系。 26 图象平移与偶函数综合（多选题） 由平移后为偶函数求参数，再化简目标函数，判断对称中心、单调区间及零点之和的取值范围。 27 由图象求参数与函数性质（多选题） 根据图象的最高点、最低点及周期确定解析式，再判断零点个数及平移后的奇偶性。 28 函数奇偶性、对称性、值域与方程根（多选题） 利用诱导公式判断奇偶性与对称性，分段讨论值域，结合图象分析方程根的分布。 29 由图象求参数与性质（多选题） 由图象得周期、最值，代入点求相位，再判断对称性、单调区间及参数范围。 30 化简后正切型函数性质（多选题） 利用二倍角公式化简，再判断奇偶性、周期、单调性，代入特殊值验证值域。 31 含绝对值函数的性质（多选题） 利用奇偶性定义判断奇偶性，验证对称轴，分析周期性，利用导数求值域。 32 正弦型函数零点与单调性参数范围（多选题） 由零点表达式列出不等式求参数范围，利用对称性求和，由单调区间确定参数范围。 33 三角函数在区间上的值域求参数范围（填空题） 化简函数，整体代换，结合正弦函数图象，由值域端点确定参数范围。 34 周期函数性质与值域（填空题） 利用最大值条件求出周期，进而确定 的最小值，再代回求给定区间上的值域。 35 由存在两个最值点求参数最小值（填空题） 分析函数的最大值点，由区间内存在两个最大值点列不等式，求出最小正整数。 36 由单调区间确定参数最小值（填空题） 由单调区间端点对应最值点，列出方程，结合周期范围确定参数的最小值。 37 由对称轴与函数值求值（填空题） 利用和差化积化简，由对称轴得相位，再代入已知函数值求参数，最后计算目标值。 38 复合方程根的个数求参数范围（填空题） 换元后转化为二次方程根的分布，结合正弦函数图象，根据根的个数列不等式求解。 39 方程在区间上解的个数求参数范围（填空题） 分析函数周期，将区间分为完整周期和剩余部分，根据解的个数确定剩余区间内解的分布，列不等式组求解。 40 图象中的三点共线求参数（填空题） 由三点共线及对称性设出点坐标，利用正弦函数值关系列方程，结合周期与对称轴求解。 1．（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 4．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且，则（   ） A．1 B． C． D． 6．（2026·河北保定·一模）下列区间中，函数单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·福建福州·模拟预测）当时，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2026·湖北襄阳·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广东佛山·二模）函数的图象向右平移得到曲线，的图象向左平移得到曲线，若曲线与正好关于轴对称，且都经过原点，则（   ） A． B． C． D．1 12．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 13．（2026·山东青岛·一模）把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西铜川·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 16．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·湖北黄冈·一模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·河北张家口·一模）已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·河北保定·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·四川内江·二模）已知函数在处取得最小值，在处取得最大值，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 多选题 22．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 23．（2026·贵州贵阳·一模）已知函数的图象关于点中心对称．则（   ） A．的最小正周期为 B．直线是曲线的对称轴 C．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D．在区间上单调递增 24．（2026·广东梅州·一模）关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 25．（2026·江苏·一模）已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于轴对称 26．（2026·河南许昌·模拟预测）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 27．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 28．（2026·山西朔州·一模）已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 29．（2026·山东德州·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 30．（2026·河北邯郸·一模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域为 31．（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴 C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为 32．（2026·重庆·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若在上恰有三个零点，则 B．若在上恰有三个零点，则 C．若在单调递增，则 D．若向左平移后的图象与图象关于对称，则 33．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 34．（2026·四川·模拟预测）设函数，若存在常数，使得对任意，有，则当取最小值时，在上的值域为_________. 35．（2026·江苏镇江·一模）已知，若在区间上存在两个不相等的实数，，满足，则的最小正整数为________. 36．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________． 37．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______. 38．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 39．（2026·江西·一模）已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为__________. 40．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 题型09 解三角形小题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 已知三边求角 直接利用余弦定理求出角的余弦值，再根据角范围确定角的大小。 2 正弦定理化边为角求比值 由正弦定理将边转化为角的正弦，利用和角公式化简，得到正切关系，进而求出比值。 3 解三角形的实际应用（测量高度） 在直角三角形中利用仰角的正切求高，在一般三角形中利用正弦定理求边长，最终得到高度。 4 同角关系与正弦定理求正弦比 先由同角关系求出正弦值，再根据正弦定理将边的比转化为对应角的正弦比。 5 余弦定理求面积 由余弦定理求出夹角余弦值，再求正弦值，代入三角形面积公式。 6 余弦定理与基本不等式求面积最大值 由余弦定理表示出两边乘积与夹角余弦的关系，利用基本不等式求两边乘积的最大值，进而求面积最大值。 7 正弦定理角化边与余弦定理求角 利用正弦定理将角的正弦转化为边，代入已知等式得到边的比例关系，再由余弦定理求角。 8 三角恒等变换求角与边 先化简已知等式求出角，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合余弦定理求边。 9 面积公式与余弦定理结合求面积 由已知条件通过面积公式和余弦定理列出方程，解出边长或角度，再求面积。 10 正弦定理、余弦定理与面积公式求角 利用正弦定理将边转化为角的正弦，代入面积公式和余弦定理，化简得到角的余弦值。 11 角平分线性质与余弦定理求线段长 由角平分线性质得到线段比例，利用余弦定理分别求出相关边长，再求目标线段。 12 二倍角公式与正弦定理判断三角形形状 利用二倍角公式化简已知等式，结合正弦定理化角为边，得到边的关系，从而判断三角形形状。 13 锐角三角形中边角范围 由已知等式变形得到角的范围，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合锐角条件确定取值范围。 14 正四面体中的解三角形 在正四面体中，利用棱长关系确定三角形边长，再用余弦定理求角。 15 实际航行问题（正弦定理） 根据方位角作出示意图，确定三角形内角，利用正弦定理求边长。 16 内切圆面积最值 利用面积公式和周长关系表示内切圆半径，结合余弦定理和基本不等式求半径的最大值，进而求面积最大值。 17 中点向量与余弦定理求最小值 利用中线向量公式将中线长表示为边长和夹角的函数，结合余弦定理和基本不等式求最小值。 18 已知两角及一边解三角形 利用两角和公式求出第三角，再由正弦定理求出未知边。 19 正弦定理与辅助角公式求角 由正弦定理化边为角，利用和角公式与辅助角公式得到方程，根据三角函数有界性确定角，再求面积。 20 余弦定理与基本不等式判断角 将已知等式用余弦定理表示，结合基本不等式得到角余弦的范围，从而判断角的性质。 21 面积公式与正弦值求角（两解） 由面积公式求出夹角的正弦值，再根据角范围确定角有两个可能值。 22 余弦定理与面积公式判断选项 利用余弦定理求边长，再求面积、正弦值，通过计算验证各选项。 23 降幂公式与和差化积求角 利用降幂公式和和差化积化简已知等式，得到角的关系，再结合面积公式求边。 24 几何图形中的解三角形 根据图形中的垂直、中点等关系，利用直角三角形和等腰三角形性质求解边长和角度。 25 三角恒等变换与余弦定理求边角关系 将已知等式通过二倍角公式、正弦定理等变形，得到边角关系，再结合余弦定理判断选项。 26 正弦定理与三角恒等变换求角及最值 利用正弦定理和和角公式化简求角，再结合余弦定理、基本不等式求周长范围、向量数量积最值及中线最小值。 27 正弦定理与和差化积求角及中线长 由已知等式通过正弦定理、和差化积求出角，再利用面积公式、余弦定理求边长和中线长。 28 诱导公式与两角和差公式求角及外接圆半径 利用三角形内角和及诱导公式化简已知等式，求出各角，再通过正弦定理求外接圆半径和边长。 29 边角互化与向量数量积求角及边长范围 利用正弦定理边化角，结合和角公式求角，再代入向量数量积求边，利用余弦定理和基本不等式判断边长范围。 30 正弦定理与余弦定理求角 将已知等式用正弦定理化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦值。 31 正弦定理与两角和公式求边比 由正弦定理将边转化为角的正弦，利用两角和公式化简，得到边的比例关系。 32 外心向量与余弦定理求面积最大值 利用外心性质将向量条件转化为边长关系，再由余弦定理和基本不等式求面积的最大值。 33 三角形面积分割与正弦定理求最值 将大三角形面积表示为两个小三角形面积之和，利用正弦定理表示边长，通过三角函数化简求最值。 34 三角形等分面积与基本不等式求最短分割线 分三种情况讨论分割线位置，利用面积公式表示分割线长度，结合基本不等式求最小值。 35 正弦定理与换元法求分式最小值 利用正弦定理将边转化为角的正弦，通过和角公式化简，再换元用判别式法求最小值。 一、单选题 1．（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 4．（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 9．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 10．（2026·四川成都·二模）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 13．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 14．（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 16．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 18．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 二、多选题 21．（25-26高一下·全国·单元测试）已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·广西·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 23．（2026·江西·一模）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026·江西·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 25．（2026·江西九江·一模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026·山东青岛·一模）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（    ） A． B．周长的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 27．（2026·四川内江·二模）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 28．（2026·浙江·模拟预测）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 29．（2026·甘肃兰州·一模）在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．当时， C．当时， D．的取值可能是2 三、填空题 30．（2026·陕西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 31．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 32．（2026·山东聊城·一模）已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________． 33．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 34．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 35．（2026·山东青岛·一模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 题型10 解三角形大题36个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 等差中项与正余弦定理求面积 由等差中项得到边的关系，结合正弦定理角化边，利用余弦定理求角，再根据外接圆半径求边长，最后用面积公式求解。 2 向量平行与垂直解三角形 由向量平行、垂直条件转化为边角关系，利用正弦定理、余弦定理求角，再结合已知边长求面积。 3 角平分线性质与基本不等式求最值 利用角平分线性质将面积表示为两边乘积形式，结合余弦定理和基本不等式求面积最小值，再求中线长。 4 由三角函数图象求解析式并解三角形 根据图象确定解析式，代入三角形内角关系求角，再结合正弦定理求边长和周长。 5 由三角函数图象求解析式及函数值 由图象求解析式，再根据函数值求角，利用二倍角公式和同角关系求值。 6 选择条件求三角函数参数与最值 根据所选条件（奇偶性、平移后奇偶性、单调性）确定参数，再化简目标函数，利用正弦函数性质求最值。 7 由周期与对称性求解析式并比较函数值 利用周期求ω，由对称性求φ，写出解析式，代入角度并利用单调性比较大小。 8 由周期求参数并讨论函数单调性 由周期公式求ω，写出函数解析式，再通过导数或复合函数单调性判断给定区间上的单调性。 9 三角恒等变换与向量模长求面积最值 利用二倍角公式、正弦定理求角，由向量模长关系结合余弦定理得到边的关系，利用判别式法求面积最大值。 10 由最值求参数并求变换后的值域 利用辅助角公式化为一角一函数，由最值求参数，再通过伸缩变换得到新函数，求单调区间和值域。 11 由图象过点求解析式并证明恒等式 代入点坐标求φ，写出解析式，利用和差角公式化简已知等式，通过两式相比证明结论。 12 由图象求解析式并求三角函数值 根据图象确定解析式，再代入已知条件，利用同角关系和两角和差公式求值。 13 正弦定理边化角求角与边比最值 利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角形内角和与两角和公式求角，再通过边角互化求边比的最值。 14 余弦定理求角并选择条件求面积 由余弦定理求角，再选择条件（边或角），通过正弦定理、面积公式求解，注意判断条件是否使三角形存在。 15 几何图形中的解三角形与面积最值 利用直角三角形的边角关系、余弦定理和正弦定理表示边长，再通过面积公式和基本不等式求最值。 16 由图象过点求解析式并解三角形 代入点坐标求解析式，再由函数值求角，利用正弦定理和两角和公式求边或角。 17 余弦定理求边并证明恒等式 由已知边角关系利用余弦定理求边，再通过正弦定理和三角恒等变换证明恒等式。 18 正弦定理与三角恒等变换求周长 利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再由外接圆面积求半径，利用正弦定理和余弦定理求边长和周长。 19 正余弦定理证边角关系并求范围 由已知等式利用正余弦定理转化，证明边的不等关系，再通过正弦定理将边比转化为角的正弦比，结合锐角三角形条件求范围。 20 面积公式与余弦定理求角及面积最值 由面积公式和余弦定理消去边，得到角的余弦值，再结合基本不等式求面积最大值。 21 二倍角公式与辅助角公式求角及周长 利用二倍角公式、辅助角公式化简求角，再结合余弦定理和已知边长列方程组求周长。 22 由恒成立求解析式并解三角形 利用正弦函数最值条件求参数，写出解析式，再代入三角形条件，通过面积公式、余弦定理和正弦定理求值。 23 余弦定理与面积公式求角及边长 由已知等式利用余弦定理和面积公式化简，求出角，再结合锐角三角形条件求边长。 24 辅助角公式求单调区间并解三角形 利用辅助角公式化简函数，求单调递增区间，再代入三角形条件，通过正弦定理、面积公式和余弦定理求边长。 25 正弦定理与同角关系求角及边 由正弦定理边化角，结合同角关系求角，再通过面积公式和余弦定理求边长。 26 等差中项与正弦定理求角及边范围 由等差中项得边的关系，结合正弦定理边化角，利用余弦定理求角，再根据外接圆半径和正弦定理求边长范围。 27 正弦定理证边相等并求面积范围 利用正弦定理将边转化为角的正弦，证明两边相等，再通过面积公式和导数求面积取值范围。 28 正弦定理与角平分线性质求周长 由正弦定理边化角求角，利用角平分线性质将面积分割，结合余弦定理求边长和周长。 29 正弦定理与两角和公式求角及面积 利用正弦定理边化角，结合两角和公式求角，再通过内切圆半径与面积、周长的关系及余弦定理求面积。 30 正弦定理与余弦定理求角及边 由正弦定理边化角求角，再在三角形中利用余弦定理和已知条件求边长。 31 选择条件求三角函数参数范围 根据所选条件（最值、零点、单调性）列出不等式组，求ω的取值范围。 32 正弦定理与辅助角公式求角及外接圆半径 利用正弦定理边化角，结合辅助角公式求角，再通过余弦定理、正弦定理及几何性质求外接圆半径。 33 正弦定理与向量关系求角及范围 由正弦定理边化角求角，根据向量关系确定点位置，再利用三角恒等变换求目标式的取值范围。 34 正弦定理与面积公式求角及三角函数值 利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再通过正弦定理、面积公式和余弦定理求边和三角函数值。 35 三角恒等变换与等差、等比数列求最值及范围 利用三角恒等变换化简已知等式，结合等差中项求角及最值，结合等比中项及正弦定理求边比范围。 36 新定义（布洛卡点）与正余弦定理求角及面积 根据布洛卡角定义，利用正弦定理、余弦定理推导边角关系，再通过代数运算求角、边长和面积。 1．（2026·浙江·模拟预测）在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. (1)求的值； (2)若的外接圆半径为，求的面积. 2．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 3．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 4．（2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 5．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 6．（2026·北京延庆·一模）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：是偶函数； 条件②：的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 7．（2026·广东广州·二模）已知函数的周期为，且. (1)求函数的解析式； (2)比较与的大小. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为. (1)求以及曲线的对称中心； (2)讨论函数在区间上的单调性. 9．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且． (1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值； (2)求的取值范围． 10．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数的最大值为1. (1)求的值； (2)将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域. 11．（2026·福建莆田·二模）已知函数（）的图象过点. (1)求的单调递增区间； (2)当，且时，证明：. 12．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 14．（2026·北京密云·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 15．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线，A是，之间的定点，过A分别作，的垂线，垂足分别为B，C，点D，E为，上的动点，满足．设，，． (1)当时，求的长度； (2)求面积的最小值． 16．（2026·广东佛山·二模）已知函数的图象经过． (1)求函数的表达式； (2)在中，角所对的边为．已知，求． 17．（2026·山西朔州·一模）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，且的外接圆的面积为，求的周长． 19．（2026·四川成都·二模）已知分别是锐角的角的对边，． (1)求证：； (2)求的取值范围． 20．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若b＝4时，求△ABC面积的最大值． 21．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 22．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 23．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 24．（2026·福建龙岩·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 25．（2026·江西南昌·一模）已知的角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)若的面积为2，求和. 26．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 27．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 28．（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，内角、、所对的边分别为、、，，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，，求的周长． 29．（2026·江西赣州·一模）在中，角的对边分别为，且. (1)若，求的值. (2)若的内切圆的面积为，求的面积. 30．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 31．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 32．（2026·四川广安·一模）在中，角的对边分别为，且．    (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长． 33．（2026·甘肃·一模）如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 34．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 35．（2026·广东·一模）设的内角所对的边分别为，且，记. (1)若成等差数列，求的最小值； (2)若成等比数列，求的取值范围. 36．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： (1)若，求的大小及的值； (2)已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 清单02 高考数学考前重点题型归纳 (含28个专题，813个重点题型) 内容导览 题型01 集合5个重点题型 题型02常用逻辑用语13个重点题型 题型03复数15个重点题型 题型04平面向量26个重点题型 题型05等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06三角函数与诱导公式11个重点题型 题型07三角恒等变换24个重点题型 题型08三角函数的图象及性质40个重点题型 题型09解三角形小题35个重点题型 题型10解三角形大题36个重点题型 题型11函数的概念及其表示10个重点题型 题型12函数的基本性质4个重点题型 题型13指数对数幂函数40个重点题型 题型14函数的图象6个重点题型 题型15函数与方程与函数模型22个重点题型 题型16导数小题36个重点题型 题型17导数大题40个重点题型 题型18 数列小题40个重点题型 题型19数列大题25个重点题型 题型20立体几何小题35个重点题型 题型21立体几何大题35个重点题型 题型22直线与圆32个重点题型 题型23圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题型24圆锥曲线（椭圆、双曲线、 抛物线)大题40个重点题型 题型25排列组合27个重点题型 题型26二项式定理17个重点题型 题型27概率统计小题52个重点题型 题型28概率统计大题35个重点题型 1/153 函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 重点题型归纳 第一部分 题型01集合5个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求交集 先确定各集合表示的数集范围（定义域/值域）。 2 求补集 涉及交、补混合运算，需按顺序求解。 3 求并集 直接解不等式后取并集。 4 根据并集结果求参数 结合并集概念和集合元素的互异性。 根据集合相等求参数 利用集合相等的定义和元素互异性，通常需要分类讨论。 1.(2026河北衡水一模) 则4nB=（) A.「22，+o）B.「22,4 C.[3,+o) D.[3,4) 【答案】A 【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合A⌒B 【1限为=同产中宿-2.当且取当后时，年当=5时，等号度 2 又因为A={yy=lg(4-x》=R,故AnB=[2W2,+∞ 2.(2026广东汕头模拟预测)已知集合A=xx2-4≥0，B=xx-3 0；，若P=AnB,则CP为() x+2 A.{x-2≤x<3}B.{x|-2<x<3} C.{x|x≤-2或x>3}D.{x|x<-3或x22 【答案】A 【分析】解不等式化简集合A,B,再利用交集、补集的定义求解 【详解】解不等式x2-4≥0，得x≤-2或x≥2，则A={xx≤-2或x≥2， 2/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解不等式x-3 (x-3)(x+2)≥0 0，即 ,得x<-2或x≥3，则B={x|x<-2或x≥3}， x+2 x+2≠0 因此P=A∩B={xx<-2或x≥3}，所以CP={x|-2≤x<3} 故选：A 3.(2026江西抚州一模)已知集合A={xx2-7x+10<0;,B={x2≤8，则AUB=() A.{x2<x≤3}B.{xx<5 C.{x3sx<5} D.{xx≤3} 【答案】B 【详解】因x2-7x+10<0台(x-2)(x-5)<0,解得2<x<5, 则A={x2<x<5, 由2≤8=2，解得x≤3，则B={xx≤3}， AUB=xx<5 4.(2026江苏一模)设集合A={-2l,a,B={-l,a2},若AUB含有4个元素，则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可 【详解】根据集合元素的互异性可知，a≠1，a≠-2 因为AUB含有4个元素，所以A⌒B仅含有1个元素， 若a2∈A,则a2=1或a2=a,所以a=0或a=±1 若-1eA,则a=-1. 结合集合元素的互异性可知a=0或a=-1 当a=0时，A={-2,1,0,B={-1,0},AUB={-2,-1,0,1},符合题意 当a=-1时，A={-2,1,-1},B={-1,1,AUB={-2,-1,1},不符合题意 综上，a=0 5. (2026山东德州一模)设集合A={l,a,b},B={a,a,ab},若A=B,则a3+b3= 【答案】-1 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解 3/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 【详解】A={L,a,b},B={a2,a,ab},A=B,a≠1且b≠1且a≠0且a≠b, a2=1「a2=b 或 (ab=b ab=1' 当a2=1 a=-1 0hb时a1且b1,六公-0，心+=-1 a2=b. a=1 a=1 当 ab=1" 时，解得 b=1'a1且b≠1， 不成立 b=1 综上可得，a3+b3=-1. 故答案为：-1 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 存在量词命题的否定 存在量词改全称量词，否定结论 2 全称量词命题的否定 全称量词改存在量词，否定结论 3 存在量词命题的否定 存在量词改全称量词，否定结论 4 命题真假判断+复合命题 先判断单个命题真假，再用逻辑联结词规则判断 5 简单命题的否定 直接否定判断，注意存在量词的使用 6 充分必要条件（数列） 结合等差数列定义，判断推出关系 7 充分必要条件（函数对称中心） 牢记对称中心性质，判断条件能否互推 8 充分必要条件（对立事件） 对立事件定义+概率公式，判断条件充分性与必要性 9 充分必要条件（直线与圆位置） 用圆心到直线距离判断相交，推导条件关系 10 充分必要条件（平面向量） 向量垂直与数量积关系，判断充分必要性 11 充分必要条件（线面位置） 空间线面平行/垂直判定定理，判断推出关系 12 充分必要条件（三角函数象限） 三角函数符号与象限关系，判断条件 13 充分必要条件（函数单调性） 三角函数单调性关系，结合定义域判断条件 （2026云南模拟预测)命题3x∈R,x3-2x-1<0”的否定是() 4/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x∈R,x3-2x-1≥0 B.x∈R,x3-2x-1<0 C.3xeR,x3-2x-1≥0 D.3x∈R,x3-2x-1>0 【答案】A 【分析】由命题的否定的概念选择即可 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题的否定为“x∈R,x3-2x-1≥0” 故选：A. 2. (2026山东德州一模)命题x∈[2，+∞)x2≥4”的否定为() A.3xE[2,+o),x2<4 B.3x∈[2，+oo),x2≤4 C.3xE[2,+∞)，x2≥4 D.3x∈[2，to）,x2<4 【答案】D 【详解】易知命题“x∈[2，+∞)，x2≥4"的否定为3x∈[2，+o),x2<4 3.(2025高三全国.专题练习)已知命题p:3x∈[-2,2]，six≥e*,则p为() A.xe(-o,-2)U(2,+oo),sinr≥e*B.x∈[-2,2]，sinr≥e C.x∈(-o,-2U(2,+o),sinr<eD.x∈[-2,2]，sinx<e 【答案】D 【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可 【详解】命题p:3x∈[-2,2]，sinx≥e*的否定为-p:Vx∈[-2,2]，sinx<e*, 故选：D 4.(2026四川绵阳模拟预测)已知命题p:x∈R,x+1>1;命题q:3x>0,2=logo5x,则() A.p和9都是真命题 B.一P和9都是真命题 C.P和一9都是真命题 D.一P和一9都是真命题 【答案】B 【详解】当x=0时，x+1>1不成立，所以命题P是假命题，一P是真命题： 5/153 函学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 根据指数函数和对数函数的图象可知，函数y=2与y=logo5x在(0，+o)上有一个交点， 则3x>0,2=logo5x,即命题9是真命题，9是假命题 5.(2026天津河东·一模)已知命题p:菱形不是矩形，该命题的否定是() A.菱形是矩形 B.存在一个菱形，它是矩形 C.存在菱形不是矩形 D.存在是菱形的矩形 【答案】B 【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解 【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题， 所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形 6.(2026四川绵阳模拟预测)若m,n,p,g∈N且m+n=p+9,则am+an=an+a,”是“{an}为等差数列 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由m+n=p+g及等差数列的性质知， 若{an}为等差数列，则an+an=a,+ag,必要性成立； 数列：1,5,3,7满足a,+a4=a42+4,但不是等差数列，充分性不成立 则“am+an=4n+4,”是“{an}为等差数列的必要不充分条件 7.(25-26高三下·陕西渭南·开学考试)“点M的坐标为 + (k∈Z)”是“点M为函数 f(x)=3tan 图象的对称中心”的() A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出)=3mx-)的对称中心，再进行判制 【详解】由x-晋经解将x经+子所以=3m:-牙到的对称中心为受+号0，ke乙 2 西e7列e-智e7列 6/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 所以“点M的坐标为 kr+T,0(k∈Z)是“点M为函数f)=3anx- π 图象的对称中心”的充分不必要 4 条件 8.(2026广东汕头模拟预测)“P()+P(B)=1”是“事件A与事件B互为对立事件的() A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 【答案】D 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案 【详解】投掷一枚硬币3次，满足P(A)+P(B)=1,但4，B不一定是对立事件， 如：事件A:“至少出现一次正面”，事件B:“出现3次正面”， 则R心-名P()-日满足P(4)+P()1,但私B不是对立事件 若事件A与事件B是对立事件，则AUB为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)十P(B)=1: 所以“P(A)+P(B)=1”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件： 故选：D 9.(2026山西运城一模)已知直线1：3x-4y+5=0,圆C:(x+2)+(y-1)+m-5=0,则“0<m<4”是“直 线1与圆C相交”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由(x+2)+(y-1)+m-5=0,得(x+2)+(y-1)=5-m, 因为方程表示圆，所以5-m>0,解得m<5 所以圆C的圆心为C(-2,1),半径为r=√5-m, 所以圆心C到直线1：3x-4y+5=0的距离为d= ×-2-4x1+5=1, V32+(4)月 若直线1与圆C相交可得d<r,则可得1<√5-m,解得m<4. 所以“0<m<4”是“直线1与圆C相交”的充分不必要条件 10.(2026内蒙古包头一模)若ā，6为非零向量，则“āW6”是a+b=d+b的() A.必要不充分条件 B.既不充分也不必要条件 7/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 C.充分不必要条件 D.充要条件 【答案】A 【分析】由向量共线用入表示出a+b,+,应用向量数量积的运算律得ab=d,结合充分、必要性 的定义判断推出关系，即可得 【详解】由a,i为非零向量且a/仍知，存在实数2，使ā=2b, 则a+b=5+b=2+1b,1a+6=5+5=(a+Db, 当2<0时，a+万≠d+,故充分性不成立， a+b=a+b,则la+-(d+, 故aP+2a-b+bP=ld+2d6+6,所以a.6=5， 即cos d,.b=db→cosa,6=l,故a,b=0, 所以a,b同向共线，必要性成立， 所以al/b”是“a+b=d+b的必要不充分条件 11.(2026河北张家口一模)已知1是一条直线，a,B为两个不同平面，若1⊥B,则“111α”是 “a⊥B的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因1是一条直线，α，B为两个不同平面，1⊥B, 当l/1a时，可过直线l作平面Y与平面a交于直线m,根据线面平行的性质定理可得l/m, 又l⊥B,所以m⊥B,又mca,所以a⊥B,故充分性成立： 当a⊥B时，当1ca且1⊥B时符合，但推不出111a,故必要性不成立 所以“l11a”是“a⊥B”的充分不必要条件 12.(2026湖南模拟预测)“sin0>0”是“0为第二象限角”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断 8/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 【详解】若sin0>0,则0为第一象限、第二象限角或终边在y轴正半轴上： 若0为第二象限角，则sin0>0, 所以“sin0>0”是“0为第二象限角”的必要不充分条件. 13.(226北京密云一模)已知函数f=nm0r+香o>0),则m=分是f)在[0写引上单调递塔 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当a时，儿=mx+引 令- 当xe0, ,可有任 3 由正弦函数的性质，可得y=sinu在 π5元 为单调递增函数， 4'12 所以当o=)时，函数f(x)在区间x∈0， 上单调递增，即充分性成立； 反之：当xe0时，可得r+e[ 443 4 又由正弦函数y=sinx的单调递增区间为 +2k,+2kmk∈Z, 要使得函数/()在区间x0写 上单调递增，则满足 [[ 即+≤ ，且0>0，解得0<0≤三，所以必要性不成立， 34-2 综上可得：“0= 是f)在0 2 上单调递增”的充分不必要条件 题型03 复数15个重点题型 核 题 心 题型解决关键点 号 题 型 求共 利用复数除法化简，结合共轭复数定义，虚部为原复数虚部的相反数。 9/153 学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 轭复 数的 虚部 利用 周期 性求 共轭 利用虚数单位i的周期性化简复数，再求共轭复数的虚部。 复数 的虚 部 求复 3 数的 将复数化为代数形式，利用模长公式计算。 模 求复 4 数的 直接利用模长公式求解。 模 复数 对应 5 点的 设复数代数形式，代入条件，根据实部、虚部符号判断所在象限。 象限 判断 复数 模的 最值 6 问题 利用复数模的几何意义，转化为圆上的点到原点的距离最值问题。 (几 何 法) 7 根据 复数除法化简，令实部等于虚部，解方程求参数。 10/153 函学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 实部 与虚 部相 等求 参数 根据 纯虚 8 复数除法化简，令实部为0且虚部不为0，解方程求参数。 数求 参数 根据 复数 对应 象限 复数乘法化简，令实部、虚部对应象限符号，解不等式组求范围。 求参 数范 围 复数 模的 最值 10 问题 将复数化为三角形式，利用正弦函数的有界性求模的最值。 (三 角形 式) 复数 模的 取值 11 利用模的几何意义，转化为单位圆上的点到定点的距离范围问题。 范围 (几 何 11/153 函学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 法) 根据 复数 相等 求参 12 利用复数加减运算，根据复数相等列方程组求解。 数 (多 选 题) 复数 模的 几何 意义 13 与性 利用复数模的几何意义（双曲线）及不等式性质判断各选项。 质 (多 选 题) 复数 运算 与模 的性 14 利用复数模的运算性质及举反例的方法判断各选项。 质 (多 选 题) 共轭 15 复数 利用共轭复数定义、模的运算性质及特殊值法判断各选项。 与模 12/153 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的性 质 (多 选 题) 1.(2026江西赣州一模)复数z满足（z+1)i=1-2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是() A.-3 B.-3i C.1 D.i 【答案】C 【详解】由题意可得：2=1-2i-1=0-2 i -1 -1=-3-i,所以z=-3+i,所以复数z的共轭复数的虚部为1 2.（2026吉林白山二模)若复数z=i+2+3+..+2026(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是() A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】B 【分析】先确定i满足关系m=1,i4m1=i,n+2=-1,43=-i,再证明m1+4+2+43++4=0,由此 求结论 【详解】因为2=-1，所以4=()=(-1)=1， 所以0=()）”=1，i=i☑=i,4*2=-1,i3=-i, 所以im1+ia2+i*3+im4=i+(-)+(-i)+1=0, 所以复数z=i+2+i3+..+2026,2026=4×506+2, 所以z=i2025+i2026=i-1 即z=-1+i, 所以z的共轭复数为-1-i,其虚部为-1 3.(2026福建莆田·二模)已知复数z=i(1-2i),则z=() A.5 B.3 C.2W5 D.5 【答案】A 【分析】根据复数模的计算公式计算即可 【详解】因为z=i0-2i)=i-2i2=2+i, 13/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以z=V22+1P=5 4.(2026福建龙岩.一模)已知复数z= 2 COS- -isin 则z的模为() 3 3 A.1 B.√2 C.5 D.2 【答案】D 【分析】由复数模计算公式可得答案 【详解】由题意z=1-3i,则2=P+(V3=2 故选：D 5.(2026黑龙江齐齐哈尔·一模)复数z满足2z-z=2-3i,则在复平面内，复数z对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【详解】设z=a+bi(a,b∈R),由2z-z=2-3i,得2(a+bi)-(a-bi)=2-3i, 即a+3bi=2-3i,得a=2,b=-1, 所以z在复平面内对应的点为(2，-)位于第四象限 6. (2026湖北省直辖县级单位·模拟预测)若复数z满足z+2i=3,则z的最大值为() A.1 B.2 C.5 D.6 【答案】C 【分析】复数z对应的点Z的轨迹为C(0,-2)为圆心，半径r=3的圆，设O为坐标原点，求得OC=2,可 求z的最大值 【详解】设z=x+yi,(x,y∈R),由z+21=3,可得x2+(y+2)2=9, 所以复数z对应的点Z的轨迹为C(0,-2)为圆心，半径r=3的圆， 设0为坐标原点，可得OC=2，所以z=Vx2+y2的最大值为2+3=5 故选：C 7.(2026湖北武汉模拟预测)已知复数2=a+1 的实部与虚部相等，则实数a的值为() 1-2i A.-3 B.3 C.-1 D.1 14/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】z= a+i 0+210）a-2+2a+1i-a-2±2a+i, 1-2i（1-2i)1+2i) 5 、因为复数24的实部与腿都相等，所以“，学-名，彩3 1-2i 8.(2026宁夏银川：一模)若z=5m-10i +3i(m∈R)为纯虚数，则m=() 1+2i A.-2 B.2 C.-4 D.4 【答案】D 【详解】z=5m-10 +3-（5m-100-2刘+35m-10i-10mi-20+3i=m-4+1-2mi. 1+2i (1+2i)1-2i)） 5 因为z为纯虚数， 所以m-4=0,且1-2m≠0， 所以m=4 9.(2026广东梅州一模)在复平面内，复数(1+i)(m-21对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是() A.(-0,-2)B.(-2,0) C.(0,2) D.(2,+00) 【答案】A 【详解】由复数的乘法可得(1+i(m-2)=m+2+(m-2)i, m+2<0 而复数(1+i)(m-2i)对应的点在第三象限，故 m-2<0' 所以m<-2即实数m的取值范围是(-0，-2) 10.(2026四川成都二模)若z=2+i,z2=cos0+isin0(0∈R),则z1+z2的最大值为() A.7 B.V5-1 C.1+5 D.2√2 【答案】C 【详解】由+z=2+cos0+il+sin0)=V(2+cos0)'+(1+sin0)}2 =6+4cos0+2sin0 =V6+2V5sin(0+p), 其中tanp=2,当sin(0+p)=1时，z+z2最大值为V6+2√5=V0+√5)2=1+√5 11.(2026河南模拟预测)若复数z满足z=1,则z-21的取值范围是（) A.[02] B.[1,2] C.[3] D.[0,3] 15/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合计算求解 【详解】复数z满足z=1, 表示复数z在复平面内的轨迹是以原点(0,0)为圆心、半径为1的单位圆， z-21表示复数z到点(0,2)的距离， 即求解单位圆上的点到(0,2)的距离取值范围， 因为(0,0)到点(0,2)的距离为2， 所以z-2i的最大值为3，z-21的最小值为1， 故z-21的取值范围是[山，3] (0,2) x2+y2-1 多选题 12.(2026山西运城一模)已知复数z=2+7i,且2z+az+b=0(a,b∈R),则() A.a=2 B.a=-2 C.b=-8 D.b=8 【答案】AC 【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可 【详解】因为z=2+7i,所以z=2-7i, 又2z+az+b=0,所以2(2+7i)+a(2-7i)+b=0,即4+2a+b+(14-7a)i=0, 4+2a+b=0 a=2 所以 14-7a0 ，解得 b=-8 13.(25-26高三上山东青岛期末)设复数z满足2-4=2，则（) A.z-2-z+2=2w2 B.22 16/153 函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 C.关于z的方程z=a+ai(a∈R)有解D.若复数w满足w=1,则z-w≥V2-1 【答案】ABD 【分析】设z=x+i(x,y∈R),根据z2-4=可得x2-y2=2,故P(x,y)在双曲线上，由双曲线的性质 可判断ABC的正误，根据三角形不等式可判断D的正误 【详解】设z=x+i(x,yeR),则(x+)-4=(x+yi), 整理得x2-y2-4+2i=x2-y2+20i, 故(x2-y2-4+4x2y2=(x2-y2）)+4x2y2即x2-y2=2, 故P(x,y)在双曲线x2-y2=2上，焦点坐标为(2,0)，(-2,0)，实半轴长为√2， 故z-2-z+2表示P到两个焦点的距离差的绝对值， 故z-2-z+2=2W2,故A正确： 即为P到原点的距离，故OP川大于等于实半轴长，故z≥V2,故B成立， 对于C,由z=a+ai(a∈R)可得x+yi=a+ai,而x,y,a∈R, 故x=a,y=a,而x2-y2=2,故矛盾，故C错误； 对于D,因为即为P到原点的距离，由B的分析可得z≥√2， 而z-w≥z-w≥V2-1,故D正确； 故选：ABD 14.(2026浙江·模拟预测)设，z2为复数，其中z,=a+bi(ab≠0)，则下列正确的是() A.22=12P B.1z1·z2=|z州z2 C若∈R,则，∈R D.若=122，则z=22 【答案】BC 【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错 误 【详解】选项A,计算得：z子=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi,1z=a2+b2, 因为ab≠0，所以z的虚部2ab≠0，不可能等于实数|3P，故A错误； 17/153 函学科网·上好课 www.ZX×k.Com 上好每一堂课 选项B,|,·2日z2是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选联c,橙=+，则时原0停 若上∈R,则虚部- Z, m+=0,得n=0,故马=m∈R,故C正确， 选项D,1=a+bi,4b≠0，故31≠0，由z=Zz2两边约去z得31=22，不一定有Z1=2, 例如z,=22=1+i满足条件，但乙，=1-i≠z2,故D错误 15.(25-26高三上·江西·月考)己知复数z1,22,下列说法正确的是() A.31+22=21+22 B.若名-2>0，则名>22 C.3z2=z2 D.若子<0，则z为纯虚数 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A;举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C;由复 数的乘方运算即可判断选项D 【详解】设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R, 对于A,由+22=(a+c)+(b+d)i,则z,+z2=(a+c)-(b+d)i, 而乙，+z2=(a+c)-(b+d)i,则z1+z2=乙+z2,故A正确； 对于B,举例3，=2+i,z2=1+i,满足2-22=1>0，但z1,22无法比较大小，故B错误； 对于C,由复数模的运算性质可知，22=22，故C正确： 对于D,由3，=a+bi,则z2=(a+bi2=a2-b2+2abi,而z<0, a2-b2<0 可得 2ab=0,则a=0,6≠0，则三=-bi为纯虚数，故D正确. 故选：ACD 题型04 平面向量26个重点题型 18/153 可学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 题号 核心题型 题型解决关键点 向量共线求参 利用共线向量定理，设比例系数，根据向量 数 不共线列方程组求解。 向量平行（共 利用向量平行的坐标关系（交叉相乘相等）， 线)求参数 列方程求解。 向量垂直求参 先求向量坐标，再根据数量积为0列方程求 数 解。 向量基底表示 建立坐标系，用待定系数法将向量表示为基 (网格图) 底的线性组合。 几何图形中的 利用三角形法则和平行四边形法则，结合线 向量线性表示 段比例关系进行向量分解。 向量数量积的 将目标向量用基底表示，利用数量积的定义 几何应用 和运算律求解。 三点共线求参 将向量分解为基底形式，利用三点共线时系 数 数和为1的性质求解。 向量数量积求 根据向量数量积的定义和模长公式，结合已 模 知条件列方程求解。 利用圆的性质求弦中点轨迹，将目标向量转 向量数量积的 9 化为中点相关形式，结合点到直线距离求最 最值（几何法） 值。 向量垂直求夹 由垂直得数量积为0，求出参数，再代入夹 10 角余弦值 角公式求解。 向量合成与速 根据实际航行方向，将速度分解为静水速度 11 度分解 和水流速度，利用余弦定理求解。 利用投影向量公式（数量积除以模的平方乘 12 投影向量 以原向量)求解。 向量数量积的 建立坐标系，将目标向量数量积表示为参数 13 最值（二次函 的二次函数，利用二次函数性质求最值。 19/153 可学科网·上好课 www.Zx×k.Com 上好每一堂课 数) 投影向量求夹 由投影向量公式和数量积定义，建立方程求 14 角 解夹角。 两两夹角相等 分夹角为0°和120°两种情况讨论，结合数量 15 求模 积的运算律求解。 投影向量（解三 通过平方变形判断三角形形状，再代入投影 6 角形) 向量公式求解。 向量线性运算 作平行线构造平行四边形，利用向量加法法 17 与几何作图 则和已知条件进行转化。 斜坐标系下的 根据新定义，将向量坐标转化为基底表示， 18 向量运算 利用数量积的运算律求解。 向量垂直与模 由垂直得数量积为0，结合已知向量模长关 19 长计算 系，利用模长公式求解。 向量模的取值 将向量条件转化为坐标方程，利用点到直线 20 范围（几何法） 距离求模的最小值，最大值无上界。 重心性质与向 利用重心性质（中线交点）将向量分解，根 21 量分解 据平面向量基本定理列方程求解。 重心性质与向 利用重心与中点的关系，将向量用基底表 22 量运算 示，根据向量相等求参数。 向量数量积的 建立坐标系，根据条件求动点轨迹，将目标 23 最值（轨迹与三 数量积表示为三角函数，利用辅助角公式求 角函数) 最值。 向量数量积的 根据图形几何关系，将目标数量积表示为参 24 最值（函数法） 数的函数，利用二次函数或单调性求最值。 利用共线向量定理和平面向量基本定理，将 向量线性运算 25 目标向量用基底表示，结合数量积运算律求 与数量积 解。 向量数量积的 建立坐标系，根据条件确定动点轨迹为圆， 26 最值（坐标与 将目标数量积表示为参数形式，利用三角函 20/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆) 数或几何意义求最值。 1.(2026河南许昌·模拟预测)已知ā、b是两个不共线的向量，若向量3ā-2b与xa+8b共线，则x=() A.9 B.6 C.-4 D.-12 【答案】D 【详解】若向量3a-2b与xā+8b共线， 则存在实数teR使得3a-2b=1xa+85)=xta+8th,即(3-xt)a=(8t+2)b, 1 3-x1=0 1=- 又ā、6是两个不共线的向量，所以 81+2=0’解得 4 x=-12 2.(2026安徽合肥模拟预测)已知平面向量a=(-1,k),b=(3,2k-2),若a/(2a+),则k=() A B. 2 5 5 c 【答案】B 【详解】由于2五+6=L4k-2),由2+6列海-1(4-2)-1k=0,解得k=号 0 (2026重庆模拟预测)若向量a=(4,6),b=(4,16)且a⊥(2a+2b),则1的值为() A. 13 14 B.- 4 c D 【答案】A 【分析】根据条件，可得2a+2b坐标，根据数量积的坐标公式，代入求解，即可得答案 【详解】由题意，2a+b=(8+42,12+162), 因为a⊥(2a+2b,所以a-2a+2b=0, 则4×8+4)+6×12+16)=0，解得元=-13 14 4. (2022北京朝阳模拟预测)已知向量ā，b,在正方形网格中的位置如图所示，用基底{aā，b}表示c,则 A.c=2a-3b B.c=-2a-3b 21/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.c=-3a+2b D.c=3a-2b 【答案】D 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量ā，b,c,再表示为基底形式，利用待定 系数法，即可求解 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， VA 21b D A 1234567x 则A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1), 所以ā=(1,1)，b=(-2,3),c=(7,-3), 设向量c=md+nb 则c=ma+nb=(m-2n,m+3n)=(7,-3) m-2n=7 m=3 则 m+3n=-3'解得 n=-2 所以c=3a-2b 5.(25-26高一上，安徽期末)在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=3AB,点E在对角线AC上，且 2BC,则DE=() AF= A店-号而 B.-D C.26-40 D.-0 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可 【详解】根据题意，作图如下所示： 22/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 由题意得， DE=i+=D1+号aC=D1+(而+DC)=号4D+46 故选：A 6 (2026河北保定·一模)在边长为2的等边三角形ABC中，点E为BC上靠近点B的三等分点，则 AE·AC=() A 10 B.2 【答案】A 【分析】将AE表示为AB,AC,利用向量的数量积求解 【详解】由已知条件可得，正=历+8E=瓜+C-B+兮C-丽-号+4C, 则EAC-21B.4C+!4C2=2×2x2cos60+5×2-8 3 3 3 31 3 B E 7.(24-25高一下湖南岳阳期末)如图，在△ABC中，AN=2NC,P是BN上一点，若P=1AB+1C, 则实数t的值为() A. 2 c.4 1 D. 6 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1的性 质求解即可 【详解】：AN=2NC, .AN =2(AC-AN), 23/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AC-3AN, 2 AP=1AB+。AC, ÷P=1B+5×3N=B+)N, 3 2 P是线段BN上一点， .B,P,N三点共线， 1+=1, 2 解得1=2 1 故选A 8. (2026湖南衡阳模拟预测)平面向量a,五满足d=2,(3a-2)a+b)=9,且向量a,6的夹角为 经则明=() A.1 B. 2 C.5 D.2 【答案】A 【详解】因为=2，且向量a,6的夹角为行，所以a方-d6s-风， 由(3a-2b)(a+b=9,得3a+a-b-26=9, 则26+6-3=0，解得=1（负值舍） 9.(2026福建龙岩一模)已知线段AB是圆O:x2+y2=5的一条动弦，且AB=2.若点P为直线 V3x+y+10=0上的任意一点，则PA+PB的最小值为() A.6 B.8 C.14 D.35 【答案】A 【分析】利用圆的性质求出弦AB中点M的轨迹，再根据向量运算将PA+PB转化为与点M相关的形式， 最后结合点到直线的距离公式求出最小值 【详解】设弦AB中点为M,根据圆的性质，OM⊥AB, 0M=0-（ V5-1=2, 所以点M的轨迹是以O0,0)为圆心，2为半径的圆， 24/153 学科网·上好课 www.Zx×k.c0m 上好每一堂课 其方程为x2+y2=4 因为PA+PB=2PM, 所以PA+PB=2PM, PM的最小值为圆心0到直线V3x+y+10=0的距离d减去圆x2+y2=4的半径2. d o =5, V(3)2+12 PA+P8=2PMn=26-2)=6 故选：A B 10.(2026吉林白城一模)已知平面向量a=(-2,x),b=（-1,1),若a1,则a+6与6的夹角的余弦值为 () A.2 B. 2W2 C.5 D. 25 3 3 5 5 【答案】C 【详解】因为a1i,则ab=0,则2+x=0,解得x=-2, 则a=(-2,-2),a+b=(-3,-1), (a+BB -3×(-1)+(-1)×1 2 则a+b与b的夹角的余弦值为 V(-3)2+(-1)2×(-1)2+P 10xV2=5 11.(25-26高三下.陕西渭南·开学考试)如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽1200m,水流速度为向 东5kh,河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向， 且BC=1000m,D码头在A码头的正东方向，且AD=500m,某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了 客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为13kh,则小船在静水中航行的速度大小 为() 25/153 学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 北 B 个东 A方 河流两岸示意图 A.8km/h B.9km/h C.10km/h D.12km/h 【答案】D 【分析】根据题意小船实际航行的方向应与DC保持一致，将实际航行速度进行分解，求出实际航行速度与 水流速度的夹角，利用余弦定理求解即得 【详解】如图，要使所用时间最少，小船实际航行的方向应与DC保持一致， 设小船的船头方向为DN,，水流方向为DM,DE为河宽， 在Rt△DEC中，EC=BC-AD=500,DE=1200, 则DC=V5002+1200=1300,sin∠EDC=, S一A=、 设小船在静水中航行的速度大小为xkmh, 在△DPM中，由余弦定理，2=52+132-2x5x13×5 =25+169-50=144, 13 解得x=12,即小船在静水中航行的速度大小为12km/h 北 B E 个，东 河流两岸示意图 12.(2026重庆一模)已知平面向量a,6满足a=（5,,方=(4v3,-1,则向量6在a方向上的投影向 量为() 44311 44V311 A. 4949 B 7,7 C 1131山 44 D 11V311 2’2 【答案】C 【详解】因a-6=V3x4v3+1x(-)=11,d=3+1P=2 26/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 11V311 则向量6在a方向上的投影向量为 a=- la" 4’4 13.(2026四川模拟预测)己知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则AE.BE的最小值为() B.一2 C. 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形ABCD中，AC=AB+BC, 设AE=xAC=x(AB+BC),0≤x≤I,BE=AE-AB=(x-I)AB+xBC, 而AB.BC=0,因此AE.BE=x(AB+BC)[(x-I)AB+xBC=4x(x-I)+4x2 =8x-4=x-分-方当且仅当x时取等号 4 所以A正BE的最小值为一2 1 14.（2026云南模拟预测)已知向量ā，b是非零向量，且满足ā-2b在6方向上的投影向量为-36， a=26,则a,b的夹角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C 【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果 【详解】由题意得a-2-66=0626=-36,所以a-6-26=-3引6印，即a6=-6, 于是mo品后6i得-又o,0=1m 故选：C 15.(2026山东德州一模)若平面向量a,万，c两两夹角相等，且a=l,b=2,d=3,则a+b+d=() A.5 B.36 C.5或6 D.3或36 【答案】C 【分析】依题意可得夹角为0°或120°，再分夹角为0°和120°两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解 【详解】因为平面向量ā，b,c两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即a,b,c两两夹角为0°或120°， 当夹角为0°时，a+b+c=a+b+d=1+2+3=6; 27/153 函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 当夹角为120°时，a.b=-1,6c=-3.c-a=-3 则a+h+=a+6+c-v0+b+c2+2a-6+2i-c+26e yP+243+2x+22x3-5: 综上所述：a+b+c=6或a+b+d=v5 16.(2026广东广州二模)在△ABC中，已知AB+AC=AB-AC=2AB,则向量AC在BC上的投影向 量为() A.-3 BC B. 3BC C 4 D. 4 4 【答案】D 【分析】首先根据数量积公式确定△ABC的形状，再代入投影向量的公式 【详解】AB+AC=AB-AC两边平方得4AB.AC=0,即AB⊥AC, 又AB-AC=2AB两边平方得AB-2AB.AC+AC=4AB2, 即AC2=3AB,即AC=5AB, 如图。∠8C1=0,肉量4C与c的夫角为30，-C 所以向量AC在BC上的投影向量为Ccos30, BC 3BC BC 4 M‘p水+业=d业某‘学一中嗶本塑D8V4d学空（除啡潮卯90 2 S.ABP=() 4 A.3 B. 3 C. 2-3 D.3 【答案】B 【分析】过点A作AE=。AB,4F=34C,以AE,AF为邻边作平行四边形ABPF,利用 28/153 学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 Sr=6SC,SAg=4S,mc可得答案 【详解】过点A作E=)84F=34C, 4 则4P=4B+34C=AE+4F, 以AE,AF为邻边作平行四边形AEPF, 所以SM=2SAm=2SAm,SAP=3 SPFC, 可得SMBm=6SrC,SACr=4S,C, 所以、m=6Sr-3 SACP 4S.PEC 2 B 故选：B 18.（2026福建龙岩一模)如图，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，g,分别是与x轴，y轴 正方向同向的单位向量若向量OP=xC+y吧，则有序实数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标若在 该坐标系x0y中，0A=(2,1),0B=(-4,5),则OA.0B=() A.-3 B.-2 C.-1 D.0 【答案】D 【详解】由平面向量数量积的定义可得46=6·。os60- 由题意可知0A=2e+e,OB=-4+5e, 所以0i0B=(2g+6{4e+58)=-8e+6e3+5g=-8+3+5=0 19.(2026山西朔州一模)已知向量AB=(2,-),BC=(m,4),且AB+AC=AB-AC,则AC=() 29/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 A.32 B.V34 c.35 D.V67 2 2 【答案】C 【分析】由AB+AC=AB-AC可得AB.AC=0,由AC=AB+BC=(m+2,3)可得AC 最后应用 模长公式即可求解 【详解】因为AB+AC=AB-AC,所以(AB+AC2=(AB-AC},展开整理得AB.AC=0, 由AB=(2,-1),BC=(m,4)得AC=AB+BC=(m+2,3),即2(m+2)-3=0, 所以m=即4C-(3 所以4+9=35 20.(2026广东广州一模)已知向量a=(2,3),6=(0,1),向量c满足c-(a-)=1,则的取值范围是() 2 A D 【答案】A 【详解】设c=(x,y) 己知a=(2,3),b=(0,1),所以a-b=(2,2) 则c(a-b)=2x+2y=1,即x+y=2 因=+y表示点(G,y)到原点的距离，而点(：)是直线x+y=之上的点， 1 故的最小值即为原点到直线x+y=方的距离d 0+0-2_2, 12+12 4 因为点（化，y)在直线x+y=2上，》 所以d可无限大， 2 所以©的取值范围是 +00 21.(2026浙江·模拟预测)己知点O是△ABC的重心，点P是△ABC所在平面内一点.若OP=xOA+yOB, 且OP=x,CA+y2CB(x,x2,,片∈R),则() A.x=3x2,2=3y B.x2=3x,4=3y2 30/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.x+片=3(x2+y2) D.x2+2=3(x+) 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解 【详解】因为点O是△ABC的重心，所以OA+OB+OC=0,即OC=(OA+OB, 0p=xCA+5CB=x(0A-0C)+y,(0B-0C)=x30A-(x2+2)0C+,0B =x320A+,0B+(x+y2)(0A+0B=(2x,+2)0A+(2,+x2)0B, 又OA,OB不共线，所以 =2x+”,故x+y=3(+%) y=x+2v 故选：C 22.（2026黑龙江齐齐哈尔一模)己知点M是△ABC的重心，若BM=AB+μAC,则元+2H=() A.-1 B.3 1 C.0 D.1 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算计算即可 【详解】 M B 设D是AC的中点，则BM=2MD 所以BM-号D-}4C-AB写4C-号4B 因为BM=AB+uAC,所以元=- 1 34=3 因此1+24=0 23.(2026天津河东一模)如图所示，正方形ABCD内有一个动点E,AE1DE,DF=3DC,当A, E,F三点共线时，DE的延长线与BC交于点G,正方形边长为2，则EF.EG的最小值为() 31/153 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B A.0 B.7-5V2 C.52-7 D.1 2 2 【答案】B 【分析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线建立平面直角坐标系，根据AE⊥DE可得到点E的轨迹方程 x2+(y-I)=1(x>0),求出A,E,F三点共线时点E坐标，进而得到点G坐标，设E(cos0,1+sin0),表 示出EF.EG,利用辅助角公式即可求出答案 【详解】以A为坐标原点，AB,AD所在直线建立如图所示平面直角坐标系， (E) 则4@o吵.D@,2.F（32: 设E(x,y)(x>0),则AE=(x,y),DE=(x,y-2), 因为AE⊥DE,所以AEDE=x2+y2-2y=0, 所以点E的轨迹方程为x2+(y-1)=1(x>0), 直线方程为y专。 x2+(y-1)2=1 24 联立 ,解得 25或=0 (舍去)， y= }t 32 y=0 y= 25 所以当A,E,F三点共线时，E 2432 25'25 3 此时直线DE方程为y=-x+2, 32/153 学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 令x=2,解得日所以c2》 1 设E(cos0,1+sin0),其中0e 2’21 则F=3 cos0.1-sin02-cs0.--sin0 所以EF.EG=3 2c0s0+c0s20-11、 2-2sin0+sin20 77 1 22 cos0- sin0=75 22 -cos(0-o), 10 sing=2 72 其中cosp= 10 所以当c0s(0-p)=1,即cs0-75,n02时，原BG取得最小值，最小值为7-52 10 10 2 24.(2026湖北二模)如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角 形，若AD=8,BD=4,点M为线段CE上的动点，则(AM-BCMD的最大值为() C 4. 64 B.21 C.24 D.40 9 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解 【详解】根据题意可得∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120°， 又因为AD=8,BD=4,所以BF=CE=AD=8,BD=DF=CF=EF=AE=DE=4, 设EM=EC(0≤元≤)，则MC=I-)EC,所以MD=ME+ED=ED-EC=ED-2EF, AM-BC=AC+CM-(AC-AB)=CM+AB=2(-1)EF+2ED-DF, 所以(AM-BC·MD=[2(1-I)EF+2ED-DF]·(ED-2EF) =-(A-1)EE+2(-1)ED.EF-4AEF.ED+2ED+2DF.EF-DE.ED 6元-0+162-）-322+32+162+8=-64R+642+24=642+五 33/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 令=62-+0，布时上单造，在[别 上单调递减， 故(AM-BC)·MD最大值为40， 故选：D 25.(2026湖南模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,D为AC边靠近C的三等分点，G 为BC中点，过D作AC垂线交BC于点E,AG∩BD=F,若FE.AC=4,则AC=() B A.√15 B.4 C.23 D.8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用BA,AC表示FE,再利用数量积运算律求解 【详解】由D为4C边靠近C的三等分点，得BD=Bi+D=Bi+号4C=BM+引BC-B)-M+号BC, 不妨设BF=BA+BG,由F,A,G三点共线得2+u=l, 设BF=BD,则BD=2BA+4BC, 21 又BM,BC不共线，则有之-，上-2， 13'213' 即台+号-1，解-子即BF写+G-写M+号C。 5 5 由DE⊥AC,∠BAC=90°，得DE11AB,因AD=AC,BE=2BC, 31 因此FE=版-F-号aC-M+号BG=Bi+号ac 15 =写+c-=+C, 5 15 所以AC=5 26,(2026山东期台一模)已知平行四边形A0CD中，AB=4,BC=22,∠B1D-牙，点BQ在四 34/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 边形ABCD所在平面上，且满足BP=1,2AO=QP,则DP.DO的最大值为() B.3 19 D.3 【答案】C 【详解】以点A为原点建立如图所示直角坐标系， D 因为AB=4,BC=22,∠BAD= 4 所以B2V2,2N2),D(2V√2,0)，C(4V2,2N2), 因为BP=1,所以点P在以B(22,2√2)为圆心，半径为1的圆上， 设点P(2V2+cos,2V2+sin),Q(x,y), 因为2Ag=QP，所以2(x,y)=(2V2+coso-x,2W2+sina-y), 「2√2+c0sa 2x=2v2+cosa-x 3 所以 2y=2v2+sina-y ，解得 2√2+sina y= 3 所以e22+cosa,25+sin%. 3 3 Dp.DO-(cosa.2sin)cos-42+sina 3 3 cosa-4v2 cosa 8+sin'a+42sina9-4V2 cosa+42sina 3 3 3 8 =3+sna 3 所以当a-香-受时，3+ina-孕取得最大值为3 817 3 33 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 35/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号 核心题型 题型解决关键点 基本不等式求最值（条件变 将条件等式变形得到两个倒数的和为1，再将目标式用这个“1”代换， 1 形) 利用基本不等式求最大值。 利用不等式的性质、幂函数和指数函数的单调性，以及举反例的方 2 不等式性质判断正误 法逐项判断。 基本不等式求最值（直接应 将目标式变形为和”为定值的形式，直接利用基本不等式求最小值。 用) 基本不等式求最值（构造 由条件等式变形，利用基本不等式得到关于目标式的一元二次不等 4 元二次不等式) 式，解不等式求最小值。 5 基本不等式求最值 基本不等式求最值的直接应用 不等式性质与充分必要条 对分式不等式进行移项通分，转化为整式不等式，再结合充分、必 6 件 要条件的定义进行判断。 基本不等式求最值（构造函 观察等式结构构造函数，利用函数的单调性得出变量关系，再结合 7 数) 基本不等式求最值。 基本不等式求最值（转化为 由条件等式变形得到两个倒数的和为1，利用基本不等式构造关于目 P 一元二次不等式) 标式的不等式，解不等式求最小值。 基本不等式与充分必要条 9 件 利用基本不等式判断条件的充分性，通过举反例否定必要性。 基本不等式求最值（等差中 由等差中项得到变量关系，将目标式进行变形，两次应用基本不等 10 项) 式求最小值。 基本不等式求最值（正态分 利用正态分布的对称性求出参数值，再将目标式乘以“和为定值”的 11 布结合“1”的代换)》 式子，用基本不等式求最小值。 不等式性质判断（作差法、 12 函数单调性) 利用指数函数单调性、作差法以及基本不等式，逐项分析判断。 不等式性质判断（构造函 根据条件构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否恒成立，其 13 数) 他选项通过举反例排除。 14 不等式性质判断（多选题） 利用不等式的性质、基本不等式和作差法，逐项分析判断。 基本不等式求最值（多选 对多个选项分别应用基本不等式或换元法，注意等号成立的条件是 15 题) 否一致。 不等式性质与构造函数（多 利用基本不等式判断部分选项，构造函数并利用导数判断单调性， 16 选题) 从而分析其他选项。 1. (2026福建泉州二模)已知正数a,b满足a+2-1,则的最大值为() h 6 A日 B. C.2 D. 4 【答案】A 【分折】由烟设可符'2、0<a<1,过而特到g0 ，再根据基本不等式求解即可 b 2 【详解)由题意，a,b为正数，且a+2=l,则上8 b 方22，即0<a<1, 36/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+1-a2 所以a_a(1-a 2 2 2 当且仅当a=l-a,即a=。时等号成立， 2 则号的最大值为号 b 故选：A 2.(2026北京密云一模)已知a,b,c∈R,则下列结论中不正确的是() A.若a>b,c<0,则a+c<b+c B.若a3>b3,则a>b C.若ac2>bc2，,则a>b D.若a<b,则a<b 【答案】A 【详解】对于A,因为a>b,由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，a+c>b+c, 故A错 对于B,因为函数y=x3在R上单调递增，a3>b3,所以a>b,故B正确 对于C,已知ac2>bc2且c2≥0，说明c≠0，那么c2>0,不等式两边同除以c2,不等式方向不变，所以 a>b,故C正确 对于D,已知Va<√b,所以a≥0，b≥0，因为函数y=Vx在[0，+o)上单调递增，所以a<b,故D正确 3. (2026黑龙江齐齐哈尔一模)若a,b>0,则4c+L+b的最小值为(） h a A.2 B.22 C.4 D.3√2 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解 【详解】4a,1 1 1 1 b +二+b≥2， 4a2 -b+=4a+≥2,4a.=4, 0 a a 0 4a2 b= 当且仅当 b 1 ,即a 26=1时取等号 4a= a 目标式最小值为4 4.（2026河北张家口一模)已知实数x>2,>1,且满足2-2x-y-3=0,则2x+y的最小值为（) A.4 B.6 C.8 D.10 37/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果 【详解】由2xy-2x-y-3=0可得2y=2x+y+3, 因为支数>号21，所以2四(2生 因此可得2x+y3(2,即（x+-42x+小220. 解得2x+y≥6或2x+y≤-2（舍)， 当且仅当2x=y时，即x=少=3时，等号成立 所以2x+y的最小值为6. 5.(2026安徽合肥模拟预测)已知a≥b,b>0且ab=a+b+15,则ab的最小值是() A.3 B.9 C.5 D.25 【答案】D 【详解】因为a≥0，b>0,所以a+b≥2√ab,当且仅当a=b时，等号成立， 所以ab=a+h+15≥2Wab+15→ab-2Nab-15=（Vah-5ah+3)≥0， 解得Vab≥5→ab≥25，当且仅当a=b=5时等号成立，所以ab的最小值为25. 6. b<g的() (2026北京平谷一模)若a,b∈R,则“a>b>0”是“ a b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对<移项通分：b?_B-口_6-0a+公<0， a b a b ab ab 若a>b>0,则b-a<0,a+b>0,ab>0,因此-@a+b<0,即b<-定成立，充分性成立： ab 若ba 考。分，不一定能推出a>6>0, 餐物：取a三↓b2,满足D2<】分但不满定a>6>0,因此必要性不成园 a 综上，“a>h>0是b<的充分不必要条件 a b 38/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 6雨水州一虞)若实数x>0y<0,且满足x++刊川++刊，则x+的 () A.V2+1 B.22-1 C.2 D.1 【答案】B 【分析】构造函数f(x)=x+V+1利用其单调性结合条件等式得出x=-y结合基本不等式计算即可 【详解】由题意实数x>0,y<0,满足x+V2+1y+V少+=1， “x+V2+1=1 =-y+Vy2+1, y+y2+1 而函数f(x)=x+√x2+1在R上单调递增， 所以f(x)=f-以x=少+白y+ 2 20+++1≥221 1+x 当且仅当x=√2-1时等号成立. 故选：B 8.(2026湖南·模拟预测)若a,b>0,且ab=a+b+4,则a+b的最小值为() A.12 B.16 C.2+25 1 D.2 【答案】C 【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题 【详解】因为ab≤ 0+b)2 、2 ab=a+b+4,所以a+b (2 ≥a+b+4, 令t=a+b,t>0,所以2-4t-16≥0，解得t≤2-25（舍去）或t≥2+25， 即a+b≥2+25，当且仅当a=b=1+5时取等号， 所以a+b的最小值为2+2√5. 9. (2026陕西咸阳模拟预测)“a>0,b>0”是“√ab≤a+b"的() 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既 不充分也不必要条件 【答案】A 39/153 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【分析】利用基本不等式即可判断选项 【详解】若a>06>0,根据基本不等式可得ab≤力，当且仅当a=b时等号成立，所以由a>06>0可 得vab<a+b成立， 2 若absa+b )”,取a=b=0,满足Nab≤a,B,但不满足a>0,b>0,所以由Vab≤22雅不出a>0,b 2 所以“a>0,b>0”是“ab≤a+b的充分不必要条件， 2 故选：A 14 10.(2026江苏南京·三模)已知正数a,b,c成等差数列，则二+-+b的最小值为() a c A.32 B.2√2 C.6 D.4 【答案】A 【解1由愿意可a+-,甲=1则。信)指-+后名小 2b 由基本不等式可知9+40≥2.40=4，当且仅当S_40时，即c=2a=4时取等号， a c a c +6，所以。+4+≥+6≥2 96=32,当且仅当b=9 a c 2b 即6=32时取等号。 综上所达，当a=63c-25时，。十产+6取每最小值3 I1.(2026山东东营一模)已知随机变量5~N(2,o2),且P(5≤0)=P(5≥)，则当0<x<a时，1+4 x a-x 的最小值为() 9 B. 5 D:4 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解 【详解1根据题意，随机变量5~N2,o2),且P5≤0)=P(52a,则有生=2，解得a=4由0<x<a: 即0<x<4, 仅当4-x。4x ，即x=4时取等号 x4-x’ 3 12.(2026山东日照.一模)己知lna>lnb>0,c>0,则() 40/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2<2 B. b+c b a+c a C.atb<ab D.ab+1>a+b 2 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性判断A,利用基本不等式判断B,利用作差法即可求解BD 【详解】由lna>lnb>0可得a>b>l, 对于A,由于a>b>1,函数y=2为单调递增函数，故2°>2，故A错误， 对于B, ate aala+d,由Fa>b>lc>0,故c(a-b)>0,aa+c)>0, b+c b c(a-b) 故a-D)>0,则+c> ,故B错误， a(a+c) a+c a 对于C,由于a>b>,故a+>ab,故C错误， 2 对于D,ab+1-(a+b)=(a-1)(b-1),由于a>b>1,得(a-1)(b-1)>0,故ab+1>a+b 13.(2026北京延庆·一模)已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式恒成立的是(). A.a+b≥Vab B.1、1 2 a2+1b2+1 C.对任意ceR,ac2>bc2 D.e“>eb 【答案】D 【详解】对A:当a=l,b=-1时，不等式0+之Vb不能成立： 2 对B:当a=1,6=-1时，不等式>不能成立 a2+1b2+1 对C:当c=0时，不等式ac2>bc2不能成立； 对D:因为e>l,所以函数y=e*在R上单调递增，又a>b,所以e“>e恒成立.故D正确 多选题 14.(2026湖南衡阳·模拟预测)若6=2,6=3，则下列判断正确的是() A.a+b=1 B.ab< ci+b号 n.b对 【答案】AB 【详解】对于选项A,因为6=2,6=3，所以a+b=log62+log63=log66=1,故A正确； 41/153 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1 对于选项B,由a+b=1≥2ab可得ab≤ 4 (仅a≠b,等号不成立)，所以h<4故B正确： 11 圈于选项C,由a士a+62ab=2b,由b4可符+>-284)所以a+,放C 错误； 对于造度D,因为3>石：所以6=bg,3>8.6=o,6分放D错关 15.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)己知a>0,b>0,且a+2b=1,则下列说法正确的有() A,b的最大值为g B.L+的最小值为22 a b C.√a+√2b的最大值为√2 D.2°+4的最小值为4 【答案】AC 【分析】选项A,由a+2b=1,a>0,b>0,直接利用基本不等式求出ab的范围，从而得到ab的最大值； 选项B,将所求。+号的的分子1转化为a+2b,利用基本不等式求解即可：选项C,设1=a+25,则 a b 12=a+2√2ab+2b=2√2ab+1,由1≥2√2ab得到2≤2从而得到t的范围，即可得到√a+V2b的最大值； 选项D,将所求2“+4的4转化为22b,利用基本不等式求解即可 【详解】选项A,a+2b=1,a>0,b>0,.1=a+2b≥22ab, 的≤安当且议当a=2,印a=方6=时，等号成立， 故b的最大值为令，故达暝A正确。 选项B,a+2b=1,1+9=a+2办+9=1+2边+%≥1+2 2h.0=1+2W2, a b a b a b a b 当且仅当2=时，即4=2-16=1-2时，等号成立， a b 2 故上+的最小值为1+22，故选项B错误； a b 选项C,设t=√a+√2b,则2=a+2V2ab+2b, a+2b=1,12=a+2√2ab+2b=2√2ab+1, 1≥22ab,2=2V2ab+1≤1+1=2，.t≤√2， 当且仅当a=2b,即a=6=4时，等号成立， 故√a+√2b的最大值为√2，故选项C正确： 42/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 选项D,a+2b=1,.2°+4=2°+22b≥2V2“.226=2V2*2b=2√2， 当且仅当a=2h,即a=b=时，等号城立， 4 故2°+4的最小值为2√2，故选项D错误 故选：AC 16.(2026山东烟台.一模)若a>0,b>0,a+b=1,则() 1 A.ab≤ B.Va+√b≤1 C.a+Inb<0 D.e°+b<2 4 【答案】AC 【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A,C;利用构造函数，求导，利用单调性进行判断B,D. 【详解】对于A项因a>0,>0,且a+b=1,则有6s(= 当且仅当a=b=。时取“=”，A正确： 对于B项，因a>0:b>0.且at6-1,则a+=a+62历=1+2历s1+2店-2 得√a+√b≤√2，则B错误； 对于C项，因a>0,b>0,且a+b=1,则a=1-b, a+Inb=1-b+Inb,0<b<1, 设f(x)=1-x+nx,0<x<1, 得四=-1+1二x>0,得函数f)在(0，)上单调递增， xx 得f(x)<f①)=0，得1-x+lnx<0, 即1-b+lnb<0,得a+lnb<0,故C正确； 对于D项，e+b-2=e+1-a-2=e°-a-1,0<a<1, 令g(x)=e*-x-1,0<x<1, 得g'(x)=e*-1>0,得函数g(x)在(0,1)上单调递增， 得g(x)>g(0)=0,得e-x-1>0,即e“+b>2,故D项错误 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 43/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题号 核心题型 题型解决关键点 孤长公式与圆锥 利用圆锥侧面展开图是半圆，得到母线长等于底面半径的两倍，再代入圆锥表 1 几何 面积公式，求解底面半径。 弧长与圆心角关 由平行线内错角相等得两地所对地心角等于日影角，根据弧长与圆心角的比例 系（地理问题） 关系，用两地距离估算地球周长。 三角函数符号与 根据正弦函数在各象限的符号，判断正弦大于零时角所在的象限，结合充分必 充分必要条件 要条件的定义进行推理。 同角关系与两角 先由已知的正弦值求出余弦值，再由两角差的正弦求出对应的余弦值，注意根 差公式求角 据角范围确定符号，最后用两角差的余弦公式求出目标角的余弦值。 同角关系求值 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正切与余切的和与正弦 5 (弦化切) 余弦乘积的关系，代入求解。 同角关系求值 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦的 6 (平方关系) 四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。 1 诱导公式与二倍 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 角公式 二倍角公式与弦 8 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 化切 诱导公式与二倍 9 利用诱导公式将目标角转化为己知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 角公式 三角函数求值与 根据正弦值求角时，一个正弦值对应多个角，判断由条件能否推出结论，由结 10 充分必要条件 论能否推出条件，从而确定充分必要性。 诱导公式与弦化 先用诱导公式求出角的正切值，再将所求的三角函数式分子分母同除以余弦， 11 切 化为只含正切的形式，代入求解。 (2026·广东汕头一模)圆锥的表面积为π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 () A. √2 B. 3 2 c. 2 D.1 【答案】B 【分析】设底面半径为，母线长为1，根据侧面展开图是一个半圆，可得1=2r,代入表面积公式，结合条 件，即可得答案 【详解】设底面半径为，母线长为1， 由侧面展开图是一个半圆，得1π=2r，解得l=2r, 则侧面展开图的面积S”=×2r×1=1=22, 2 所以圆锥的表面积S=2+22=3m2=,解得r=3 3 2.(2026黑龙江一模)古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中 44/153 学科网·上好课 www.Zx×k.C0m 上好每一堂课 得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在 夏至那天，他所在的城市一古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为°，（如图），埃拉托色 尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上根据平面几何知识， 平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800m,那 么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为() 800km 塞伊尼亚历山大城 A.40000km B.41000km C.42000km D.43000km 【答案】B 【分析】根据整个圆周为360°，利用两地的弧长占地球周长的比例求解即可 【详解】由平行线内错角相等，得∠AOB=7°， 由题意可知，两地距离大约80Okm则弧长AB=800km, 360 所以圆周长C=800× ≈41142.9km, 7 所以估算得出的地球周长最接近的为41000m. 3.(2026湖南·模拟预测)“sin0>0”是“0为第二象限角”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断 【详解】若sinO>0,则0为第一象限、第二象限角或终边在y轴正半轴上； 若0为第二象限角，则sin0>0, 所以“sin0>0”是“0为第二象限角”的必要不充分条件 4.(2026河南模拟预测)若π<a<2π，tanu=2,则cosa-sina=() A.、5 B._3V5 c.35 D.5 5 5 5 【答案】D 45/153 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【i详解】因为tana=2,所以sing=2,所以cosa=)sina,因为sin'a+cos2a=l, cosa 2 所以sin'a+子in2a=l,解得sina=±25 5 又元<m<2m,所以sina=-2y5,cosa=}x 125V5 51 25 5 所以cosa-sina=- 5_25)=5 5 55 5. (2026四川德阳二模)若1-an0-5,则sin0-cos°0=() 1+tan 3 A 、1 2 B. 2 D.3 2 2 【答案】C 【分析】由条件关系求出an0,根据平方差公式，平方关系结合齐次化方法可得sin'0-cos0=an0-, tan2+1 由此可求结论 【详解】因为-tan0V3 1+tan 3 所以3l-tan0)=V3(1+tan) 故tan0= 3-5 =2-5, 3+V3 sin'0-cos0 (sin0-cos0)(sincos)=sin2o-cos2sin-costn-1 sin20+cos20 tan20+1 又tan20=(2-V3)2=7-43, (7-4v5)-16-4523-23)3-255(V5-2V3 所以sin40-cos0 (7-4W3+18-4342-3)2(2-v3)-2(V3-2 2 ,π）3 6. (2026甘肃.一 )已知如x+牙)号的值为（冫 A.-7 4 B. C.±7 n成月 【答案】D 【分折】应用三角恒等变换及平方关系得s如xc0《=再应用齐次式及化弦为切求mx 【详解】由sinx+ π）V2 3 42 (sinx+cosx)= S→simx+cosx=52 46/153 学科网·上好课 www.Zx×k.C0m 上好每一堂课 25,可得sin xcosx= 18 7 所以(sinx+cosx)2=sin2x+2 sinxcosx+cos2x= 50 sinx+cosx tanx+1-507tanx+50tanx+7=0, 所以一 sinxcosx tanx 7 所以(7tanx+l)tanx+7)=0→tanx=- 或anx=-7,经验证，均满足题设 7.(2026陕西商洛二模)已知0<a<元， sin (a 则sin2a-sinacosa=(） B. 2-2 C. 2+2W2 D. 3 3 3 【答案】B 【详解】因为sin 5π )3 -= 2 3 可得sa=5.又0<a<x, 所以sina=V-cos'a=v6 所以tana=sina=V2. cosa 所以sin2a-sinacosa= sin'a-sinacosa_tan'a-tana 2-2 2-2 sin a+cos a tan2a+12+1 3 8.(2026广东汕头一模)已知ian0=2,则sin0+sin6cos20 的值是() cos0 A.5 1 B. 2 5 c. D. 5 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含anO的形式，再代入已知条件计算 【i详解】sin0+sin9cos20_sin8l+cos20_sin0-2cos20 =2sin0cosθ， cosθ cos0 cosθ 2 sine 2sin 0cos0 2sin 0cos0= cos0 2tan02×24 sin20+cos20 sin20 Γ1+tan201+225 +1 cos20 9.(2026湖北黄冈.一模)若sin100°=a,则cos160°=() A.2a2-1 B.1-2a2 C.1-a2 D.a2-1 【答案】B 【详解】利用诱导公式，得：a=sinl00°=sin(180°-80)=sin80°， 故利用二倍角公式，得：cos160°=cos2×80）=1-2sin280°=1-2a2 10.(2026山东滨州一模)已知ae(0,),则sin(红-w)=}是“co0sa= 2 5的() 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 47/153 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若sm红-)-分则sna分又ae0列小，所以a-无或a各，则csa=± 6 所以当aeQ利时，“sn(红-a-号推不出csa=5 2 若cosa-5,ae(0.则a-名，可得na=), 6 =2则sin(x-a)=sina={ 2 所以当a(0,利时，“cosa=5可以推出sn(红-a)号 综上，“sn(红-a)}是csa=5的必要不充分条件 2 cos 11.(2025山东烟台一模)已知tana=-2,则 =() 3π sin(π-a)）-sin 2 A.-2 B. 2 3 C.-2 D.2 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值 cos +a 【详解】因为tana=-2,则 -sin a tan a -2 =-2 3π sina+cosa tana+I -2+1 sin(π-a)）-sin 2 -a 故选：C 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 两角和差公式与 将己知的两个等式用两角和与差的正弦公式展开，分别相加、相减得到正弦 1 弦化切 与余弦的乘积，再将两式相除得到正切之比。 两角差公式与同 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的 2 角关系 余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。 两角和差公式与 将己知的两个等式用两角和与差的余弦公式展开，分别相加、相减得到余弦 弦化切 与正弦的乘积，再将两式相除得到正切之积。 将己知的两个等式平方后相加，利用平方关系消去平方项，得到两角差的余 和差化积公式 弦值。 两角和公式与角 先求出两角和的正弦或余弦值，再根据已知角的范围确定两角和的范围，从 范围确定 而确定角的具体值。 48/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两角差公式与同 先由己知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的 6 角关系 余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解 平方关系求二倍 将已知等式两边平方，利用平方关系和二倍角公式，求出二倍角的正弦值。 角 同角关系与符号 将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合己知角范围判断角所在的象 8 判断 限，再通过构造齐次方程求解正切值。 同角关系求值（平 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦 9 方关系) 的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。 诱导公式与二倍 10 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 角公式 三角恒等变换求 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为单个正弦型函数的形式，再根据周 11 周期 期公式求出最小正周期。 诱导公式与二倍 12 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 角公式 同角关系与两角 先由己知角的正弦结合范围求出余弦，进而求出正切，再代入两角和的正切 13 和正切公式 公式求解。 同角关系与象限 由正切值设出正弦与余弦的比例，利用平方关系求出比例系数，再根据角所 14 符号 在的象限确定符号。 三角方程与零点 先将函数化为正弦型函数，再令函数值为零，解三角方程，在给定区间内求 15 个数 出所有解，统计解的个数。 和差化积与半角 将已知等式用和差化积公式变形，得到两角和与两角差的正余弦关系，再转 16 公式 化为半角正切形式求解。 同角关系与符号 将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象 17 判断 限，再通过构造齐次方程求解正切值。 诱导公式与弦化 先用诱导公式将所求式中的角化为同一形式，再将分子分母同除以余弦，化 18 切 为只含正切的形式，代入求解。 先由己知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的 19 两角差公式求角 余弦公式，将目标角表示为己知角的差，展开求出余弦值，进而确定角。 基本不等式求最 将正切之积用正弦余弦表示，利用已知条件和基本不等式，构造关于正切之 20 值 积的不等式，求解最大值。 和差化积与两角 将己知两个等式平方后相加，求出两角差的余弦；平方后相减，求出两角和 21 和差公式（多选 的正弦，再结合角范围判断各选项。 题) 两角差公式与同 先由己知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的 22 角关系（多选题） 余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。 两角差公式与同 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的 23 角关系（多选题） 余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。 三角函数单调性 与不等式（多选 利用正弦函数的单调性、和差化积公式、辅助角公式等，结合角范围及己知 24 条件，逐项分析判断不等式是否成立。 题) （2026陕西安校教预》已知n(a+)-号sn女-小-)则部治() "tanB 49/153 函学科网·上好课 www.zx×k.c0m 上好每一堂课 A B.3 c D.2 【答案】D 【详解】：sina+P)-写sn(a-)=g sinacosp+cosasin 1①， sinacosB-cosasinB= 1② 2 ∴.①+②化简得：sinacosB= 9 1 ①-②化简得：cosasinB=。 9 sina 2 tana 两式相除得 -cosa tanB sin B 8}-2 cos B 9 2026山西大同一模)已知022-1，则a2a+)（） 3cosa-4sina A.-3 B. C.- D.-7 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系求出tana=2,再根据三角恒等变换即可求出答案 【详解】因为cosa+2sina-l, 3cosa-4sina 所以+21ang=-l,所以ana=2, 3-4tana 所以tan2a= 2tana_」 4 一 1-tan'a3 4 tan2a+1 +1 所以tan 2a+ 3 4 1-tan2a 1+ 7 3. （2026江西-模)已知sin(a-月=sinpeosa-6,则cos(2a+29)=() 6 7 B. 7 A18 18 a.g D 【答案】B 【详解】由sna-例=smaB-p=分血Aca=名可两 1 sinaco=2 sin(aB)=sinacosB+cosasinB- 5 3 6 所以ea2a+2=1-na+=1-2()-及 50/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 4. （2026心东深圳一模)已知©os0=5,0∈（02，见 A. B. √2 10 D.② 5 10 5 【答案】B 【详解】由于0e π 0, 则sin0=-cos20=3 于是sn0--sin0coscos0sn及- 410 (a6国川内江模)已sm（年小号a小. 13 5. 则sin2a=() 24 A. 7 B. C. 24 25 25 名 【答案】B 2525 又cos2 =cos（g2a-sn2a,所以sm2a- 7 6. (202ó福建福州核拟预测>已知sn(e+)-写ama=3amf,则sm(a-)=(） A.2 B. 3 3 c.- D.6 【答案】D 【i详解】1ana=3ianB→snC-=3nB→sinc=3 Bsin pcosa, cosa cos B 由sin(a+p)= sin a cos +cosasincosasin +cosasin 3 1 →cosa sin B= 2→sincos=4 所以sin(a-)=sinB-cosi=1- 4126 72026黑龙江哈尔碳煤拟预D已知sma+cosa+石}上子，则sm2a+ 4始 B. 7 25 C.- 16 D. 25 25 【答案】C π）3 【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得sina+ +35,再结合二倍角公式求值即可。 【详解】sina+cosa+ -cos a- 6 =sina+3 2 51/153 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ma+引mo+引引-m2a+ -2sma*》2a*+）12-1=5 故选：C 8.(2026宁夏银川一 7 B. 25 C. D. 9 【答案】A 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【样相】因为sna+ema+)a+aa+骨}sna-sma+骨） sina- 3 =sina-2 ina-3 cosa ona-sina 所以na引 则fa引aoa--2n-别 g9 9. (2026甘肃一夜)已知sm+到}？，则mx的值为（) A.-7 B. C.±7 3 【答案】D 【分析】应用三角恒等变换及平方关系得sinxcosx= 50'再应用齐次式及化弦为切求anx 52/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由sinx+ 元)- 3 -(sinx+cosx)= →sinx+cosx=3V2, 42 5 所以(6inx+os=sinx+2 sin x co+emsx-2g.可得sinco=- 50, 所以sinxcosx -tanx 7 sinx+cos tan507an50tanx+70 所以(7tanx+l0(tanx+7)=0→tanx=- 二或tanx=-7,经验证，均满足题设 10. 26黑龙江哈尔滨二模)已知cos(a-石=，则sin2a+= 6 1 A. 7 B.- D.- 8 C.a 8 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到sn2a+爱-c0s2a一-孕-cos2a-爱，结合余弦的倍角公 式，即可求解 【详解】由sim2a+7-cow2a+爱-1-coas(2u-骨-co2a-引-2casu-爱-1-2xc-1日 6 3 6 6 1.25广东灯广州横)五数)=snx+爱引m（任的最小正周斯是() sin A.2π B. 3T C.π D. 【答案】C 【样解1医为)m+}m行n+m经（ξ+刃 1 所以最小正周期为T= 2π = 12.（2026安徽合驱核拟预测)已知cosx-日到兮 π)3 则sin2x的值为() A.- 24 24 1 C. 7 25 B.25 25 D.25 【答案】C 【分析】由诱导公式可得sin2x=cos2x 2 再结合条件利用二倍角公式求结论 【详】因为m个引 sm2xm2r-引-e-4】-2w-}-12)-13 53/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 7 13.(2026新疆模拟预测)己知a∈ ππ 4'2 sin2a=g则cosa+）=() 4 A.-23 B.23 1 1 3 3 C.3 D:3 【答案】C 【详解】csa+ ）=coscos-sinasin-Y2(气cosa-sina） 4 42 cos2a+ π1 43 (c-sin)(-sin2a). 因为sin2a= 所以cosa+=1-）=1 429g 国为a所以a+e经 所以cosa+》=- 4-3 14.（2026云南大理二模)已知a是第三象限角，ana子，则cs2a=() A,5 B. 5 D. 12 13 13 C,2 13 13 【答案】B 【分析】根据二倍角公式和sin2a+cos2a=1将cos2a转化为只含tana的表达式，代入求解即可. 2)2 1- 【详解】因为ana=2, =3,所以c0s2a cos2a-sin2a 1-tan2a 3 5 sin2a+cos2a tan2a+1 13 +1 3 故选：B 15.（2025湖南邵阳·模拟预测)函数f(x)=cos3x-cos2x在区间[-π，2π]的零点个数为() A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【分折】由/因=m3-om2=-2sn受子xc2小，令小-0，求解的，男断选项 【详解】由/()=c0s3x-cos2x=2sinn于，xex2。 2 令f()=0,则-2sin5sin若-0，→sin5=0或sin0, 2 2 2 故=kπ或芳-k元，k,点，Z,即x=2头严或2k,元kk∈Z, 5 由x∈[元，2，则-πs2≤2元，或-元≤2k,m≤2元，k,keZ, 5 即-≤片≤5eZ或-k≤1keZ, 54/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故k=-2,-1,0,1,2,3,4,5或k2=0,1, 综上所运，存在8个号点可为誓否0冬华2江 故选：C 16.(2025江西南昌，二模)己知a、B终边不重合，sina-3cosB=sinB-3cosa,则tan(a+B)=() B. 2 D. 3 【答案】D 【分析】由a=a+P+a,B,B=a十B_,P代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得 2 2 2 2 na+P的值，再利用二倍角的正切公式可求得an(a+P)的值 出tan 2 【详解】因为sina-3cosB=sinB-3cosa,所以sina-sinB=3(cosB-cosa), 2-sin ata a-B) 即sina-sinB=sina+Eta- (2 “22 2 2 2 2 2 2 -2cossinB 2 2 cosB-cosa-cosatB_a-BcosatBa-B （22 22 2 2 2 2 2 -2sin aBsina-B 2 2 所以，2cosa+Psin“,P=6sina+sina,E, 2 2 2 2 因为a、B的终边不重合，则a-B≠2kx(k∈Z),则4，P≠kx(k∈Z), 所以sin“,≠0，则3sina+P-c。 2 2 ostP,所以tan2十2.1 =COS- 231 2tana+2x 因此，tan(a+β)= 2 3-3 1-tan2a+B1-】4 2 故选：D 17（2s匹川设都二候)已知a(行列且maa-川任小n(-a)-号则'2- () 55/153 学科网·上好课 www.Zx×k.c0m 上好每一堂课 B.- 3 4 c. D.-3 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出siα，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二 倍角公式求解 【详解】因为in/ox(a--月-sn任P小n(-)-号 化简得sinpeos(a-月+cos /in(a-月-号 即a-又u经小sa=-a= π 51 所以1-cos2a 2sin2a =sina 4 sin2a 2sinacosa cosa 3 18、2s广国胸宁一)已知m0）片则m(0+)() 2 B. 1 D. 9 【答案】A 【分折】由倍角公式可得eo20:-2as0:}1.由诱导公式可得20：君)sn20+到】 结合条件可求结论 1, 【详解】cm20+-2a0+}引 且cos20+π 6 =cos20+2π】 32 故cos20+ 6) 3 故cos20+ π） 123 故选：A 19.(25-26高二上山西开学考试)若α，B为锐角，cos cos a-2() A. B.3 c.-6 D. 5V5 3 3 9 9 【答案】D 【分折】先利用平方关系可s(任小sm(任 ,注意符号看象限，再根据变形 56/153 学科网·上好课 www.ZX×k.Com 上好每一堂课 -（任+任）结合两角和荣公式可得出， 44 又因为0<B<元 4422 且行)号.可任)小后+9 所ufa)m[得任】am任jm任n年jm好到 1x5,2v26_53 33 33 9 故选：D 20.(2026山东临沂.一模)已知锐角a,B满足sin(a+B)=3sin(a-B),则sin(a-B)的最大值是() A.30 10 B 10 D. 【答案】D 【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得si(α-B)含t的表示，即可根据基本不等式求解最值 【详解】由sin(a+B)=3sin(a-B)得sin a cos B+cosasin B=3 sin a cos B-3 cos a sin B,即 sin a cos B=2cosasin B, 由于a,B为锐角，故tana=2tanB, 设tanB=t,t>0,则tana=2i,sina= ,cosa=- :sin B= V412+1 V412+1 sin(a-B)=sina cos B-cosasin B=cosasin B=- 42+1V2+1 2 1 令@4r+1F+V4r+刊 ，1 一≤ 一 1 12,1+52472+5了 3,当且仅当1=5时取到等号故 2 s血(a-)的最大值为号 多选题 57/153 函学科网·上好课 www.ZX×k.Com 上好每一堂课 21.(25-26高三上山西晋城月考)已知sincosp=-36 ，s2xG—，○ 4 A.cosasinB= 13 B.sin(a-B)=_56 65 C. tana 5 tanB 9 D.sin2asin20--576 845 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式可求出cosasinB的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选 项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项 【详解】对于A选项，因为sin(a+P)=sin+sin=- 36 65’ sinacosB=- 65 所以cosa sin B= 3,故A正确： 4 对于B选项，sin(a-)=sinacop-=-64-56,故B正确， 6513=65 36 对于C选项， na sinac0sP62=--,故C错误： tan B cosasin B 4 13 364576 sin2asin2B=2sinacosa 2sin Bcos B=4sin a cos Bcos a sin B=4x 613845 故D正确 故选：ABD 2,(2025山东割城三模)已sim(a-月=名incos-有则（) A.cosasin=-2 1 B.sin(a+ 5 1 C.3tana=2tanB D. sin2asin2B=12 【答案】BC 【分析】根据两角和差公式计算求解判断A,B,结合同角三角函数关系判断C,应用二倍角正弦公式计算 判断D. 1 三=gso0uIs‘,-=gIs0s0的-gsoo0us=(9-刀)uIs已‘r耶V【越热】 则cosasinB= 1+1=1 362,A错误； B选项，sin(a+B)=sinacosB+cosasinB 326B正确 115 1 c选或0-分}-号所以3au=2A.cE填 2 58/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 D选项，sin2asin2阝=2 sinacosa×2 cosBsinB=4 sinacosB.cosasinB =43*2子，D错澳 112 故选：BC 23.(2025江苏有京一模)已知ncwcosp=4osa+例-写则（） 1 A.sinasinB= 12 Ba--6 1 C.tanatanB=- 3 D.sin2asin2B=1 12 【答案】BC 【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案 【详】解由cos(e+月-o-月insn-月，且-子则inn imF月=，故A错误： cos(a-B)=cosacosB+sinasin111 4126故B正确： 由tan a tan阝= 00月卫：分放c正确 cosa cos B 1 4 由sin2asin2B=2 sin acosa-2 sin BcosA=4 sinsin ossB=4X2水-2散D错误 故选：BC 24.(2026广东广州一模)已知x≠y,则下列命题正确的是() A.y(0),sinx+siny<sin(x+y) 2 B.x,y∈(0，，sinx+siny<2sinx+y C.y(0),sinx-siny<sin(x-y) 2 D.Vxye (0),sinx-siny<2sin 2 【答案】BC 【分析】利用和差化积公式与三角函数在区间(0，)内的单调性、取值范围，通过公式变形可逐一验证选项 【详解】对于A:已知x,y∈ 0 则cosx<1,cosy<1,根据和角公式： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny<sinx.1+1.siny=sinx+siny,故A错误； 对于B:利用和差化积公式：snx+sn)y=2 2sinco号之，因为xy少e0孕且xy,所以 2 59/153 学科网·上好课 www.Zx×k.C0m 上好每一堂课 0<cos上<1，则sinx+siny<2sin+y对任意的x,y成立，故B正确； 2 对于C:已知xye0, x≠y,不妨设x>y,则x-y(0,, 2 2 因为sinx-siny=2cosx+y x-y -cos- 2 sin -y 2 sin(x-y)=2sin x-co 2 且x,y∈0,2 所以+y>2>0, 22 又因为余弦函数在(0，牙上单调递减，所以cosx+y<cosx,卫 2 2， 两边同乘正发2m号得：2as生m号<2m号m号. 2 2 2 2 即sinx-siny<sin(x-y),故C正确； 对于D:因为sn-sny=2cs生n号，所以原不等式给价于2csn号<2n号，两动 2 2 2 2sinsin 同时除以2，得：cos+ysi 2 2 当>y时：n宁>0，两边除以正数m学，有co宁<1，因为x引所以生0引 2 2 cos+y∈(0,1)，此时不等式成立； 2 当<y时：sn号<0，两边除以负数如号，不等号方向改变，得cos>1,但cos'的最大雀 2 2 为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D错误 题型08 三角函数的图像及性质40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求最小正周期与对称中心 由周期公式求出ω，再令整体角等于kπ解出对称中心坐标。 利用函数奇偶性定义，将函数拆分为奇函数与偶函数的组合，结合 2 由奇偶性求参数 余弦型函数的奇偶性求出参数。 3 由奇函数性质求函数值 利用奇函数在=0处函数值为零，解出参数，再代入求值。 4 正弦型函数的性质判断 利用周期公式、奇偶性定义、对称轴与最值的关系、整体代换法判 断单调性，逐项分析。 J 正切型函数的对称中心与 由对称中心坐标公式列出方程，结合已知条件求出参数，再代入求 参数求值 值。 判断正弦型函数的单调区 画出函数图象或利用整体代换法，确定函数在给定区间上的单调 6 间 性。 将方程转化为两个函数图象交点问题，利用周期性及图象分析交点 7 函数零点个数判断 个数。 60/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数对称中心与充分必要 先求出正切型函数的对称中心，再判断点坐标与对称中心集合的包 条件 含关系。 三角函数图象平移与对称 由平移后函数的对称中心反推原函数的对称中心，代入坐标求出参 中心 数，再求最小值。 三角函数图象变换求解析 10 式（逆向） 从目标函数出发，逆向进行平移和伸缩变换，得到原函数解析式。 图象平移与对称性结合求 分别写出平移后的解析式，利用关于y轴对称的条件及都过原点， 11 参数 列方程组求解。 将零点代入求出参数，再将目标函数化为同一形式，比较相位差确 12 由零点求参数与图象平移 定平移方向与单位。 图象伸缩与平移求解析式 13 从变换后的函数逆向进行平移和伸缩，还原出原函数。 (逆向) 14 由奇偶性与平移求参数 化简函数，利用平移后为奇函数，结合相位关系求出参数。 利用对称轴处取最值得关系式，结合单调区间长度与半周期的关 15 由对称轴与单调性求参数 系，确定参数值。 16 图象平移后求对称中心 写出平移后的解析式，利用正弦函数对称中心公式，整体代换求解。 正切型函数的周期与对称 由相邻两交点距离得周期，再由对称中心坐标公式列出方程，求最 17 中心求参数 小正参数。 零点与平移后偶函数求参 利用零点与最值点的距离确定周期，再根据平移后为偶函数得相 18 数范围 位，最后根据零点个数列不等式求范围 图象平移与伸缩后求对称 19 按步骤写出变换后的解析式，利用正弦函数对称中心公式求解。 中心 根据最小值点和最大值点列出方程，作差消元求周期，再代入求参 20 由最值点列方程组求参数 数的可能值。 21 由零点个数与最值点求单 根据零点个数确定周期范围，再由特殊点关系确定解析式，最后整 调区间 体代换求单调增区间。 正切型函数性质综合（多选 利用诱导公式化简，求周期、对称中心，解不等式求定义域，逐项 22 题) 判断。 正弦型函数的对称中心与 由对称中心求出解析式，再求周期、对称轴、平移后解析式及单调 23 性质（多选题） 性，逐项判断。 三角函数乘积型函数性质 24 利用诱导公式与二倍角公式化简，判断奇偶性、最值、周期、零点。 (多选题) 正弦型与余弦型函数对称 25 分别求出两函数的对称中心、对称轴，验证是否存在相同；通过平 性比较（多选题) 移变换判断曲线间的关系。 图象平移与偶函数综合（多 由平移后为偶函数求参数，再化简目标函数，判断对称中心、单调 26 选题) 区间及零点之和的取值范围。 由图象求参数与函数性质 根据图象的最高点、最低点及周期确定解析式，再判断零点个数及 27 (多选题) 平移后的奇偶性。 28 函数奇偶性、对称性、值域 利用诱导公式判断奇偶性与对称性，分段讨论值域，结合图象分析 与方程根（多选题） 方程根的分布。 由图象求参数与性质（多选 由图象得周期、最值，代入点求相位，再判断对称性、单调区间及 29 题) 参数范围。 30 化简后正切型函数性质（多 利用二倍角公式化简，再判断奇偶性、周期、单调性，代入特殊值 61/153 学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 选题) 验证值域。 含绝对值函数的性质（多选 利用奇偶性定义判断奇偶性，验证对称轴，分析周期性，利用导数 31 题) 求值域。 正弦型函数零点与单调性 由零点表达式列出不等式求参数范围，利用对称性求和，由单调区 32 参数范围（多选题） 间确定参数范围。 三角函数在区间上的值域 化简函数，整体代换，结合正弦函数图象，由值域端点确定参数范 33 求参数范围（填空题） 围。 周期函数性质与值域（填空 利用最大值条件求出周期，进而确定心的最小值，再代回求给定 34 题) 区间上的值域。 由存在两个最值点求参数 分析函数的最大值点，由区间内存在两个最大值点列不等式，求出 35 最小值（填空题） 最小正整数。 由单调区间确定参数最小 由单调区间端点对应最值点，列出方程，结合周期范围确定参数的 36 值（填空题） 最小值。 由对称轴与函数值求值（填 利用和差化积化简，由对称轴得相位，再代入己知函数值求参数， 37 空题) 最后计算目标值。 复合方程根的个数求参数 换元后转化为二次方程根的分布，结合正弦函数图象，根据根的个 38 范围（填空题） 数列不等式求解。 方程在区间上解的个数求 分析函数周期，将区间分为完整周期和剩余部分，根据解的个数确 39 参数范围（填空题） 定剩余区间内解的分布，列不等式组求解。 图象中的三点共线求参数 由三点共线及对称性设出点坐标，利用正弦函数值关系列方程，结 40 (填空题) 合周期与对称轴求解。 1.(2026广东深圳 模)函数f)=-sinox-元](@>0)的最小正周期为元，其图象的对称中心可以为(） A. 0 B 【答案】A 【详解】由题意知， 2石=，所以o=2,放/=sn2x-到 令2x- km,k∈Z,则x=刀+ 4 82 ,kEZ, πkπ 所以该函数的对称中心为 8+20keZ,显然只有A符合 2.（2026安徽合肥一模)已知函数f)=2-1 cos(2x+0-0>0)为偶函数，则P的最小值为() 2+1 61 A.π C.2 7π B. D. 6 24 3 6 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数8)=2° 2-l的奇偶性，进而得到函数y=c0s(2x+p-的奇偶性， 6 再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值 62/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 【详解】函数f四=2-1。 2+1 c0s2x+90>0的定义域为R,令函数g= 6 8-9=2-1-1-2 2x+11+2 =一g(x),即函数g(x)是奇函数， 而函数f)=g()c0s(2x+p-乃是偶函数，则函数y=c0s(2x+p-是奇函数， 因此p-刀=元 6=+π，k∈乙，解得p=2+π，k∈乙，又P>0, 所以当k=0时，p取得最小值 3 故选：C 3. (2026黑龙江一模)若函数f(x)=sin2x-cos(x+p)0<p<π)是奇函数， 则) =() A.0 B.1-V5 C.1+5 2 2 D.5 【答案】D 【分析】根据奇函数中∫(0)=0得出P,再代入结合特殊角三角函数值求解 【详解】由f0)-=0,即cos9=0,得p-分 所以f)=sin2r-cox+sm2x+sm,则/得-v3 故选：D 4.(2026四川泸州二模)已知函数f(x)=sinr+ 3 则下列结论正确的是() A.f(x)的最小正周期为1 B +是偶函数 C.f(~的图象关于直线x=对称 D.f(x)在区间 上单调递增 【答案】D 【分析】对于A:根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B:利用诱导公式整理可得 -sn元x,进而判断奇偶性；对于C:根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D:以 心+工为整体，结合正弦函数单调性分析判断。 【详解】因为函数代)=smx+) 对于选项A:f()的最小正周期为T=2匹=2，故A错误 对于选项B: +引[+到引 =sin(c+x)=-sinx为奇函数，故B错误； 63/153 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于选项C:因为」 2π.π =sinπ=0，不为最值， 所以fx)的图象不关于直线x=对称，故C错误： 3 对于选项D:因为x∈ （小则+引 且正弦函数在 6'3 内单调递增，所以f(x)在区间 20 上单调递增，故D正确 故选：D 5。(2026安徽合肥模拟预测)已知函数/()=n2x-的图象关于点P(k,0)对称，且无[0，引 04则 x+8e( A.1 B.-1 C. 3 D.5 【答案】A 【分析】根据正切型函数的对称中心及条件，可得x,,代入所求，计算求解，即可得答案 【详解】由题意得2以名经人乙，解得6-号+号keZ, 因为[0牙 所以令长=0，解得无=受 5π 24 =lan2x5元 =tan=l 246 4 6. (2026河北保定一模)下列区间中，函数f()=2sinx+写 +1单调递增的是() A. c( D 【答案】D 【分析】作f(x)的图象，结合函数图象判断选项. 【详解】f(x)的部分图象如图所示， 3π2元 结合图象可知，选项中的区间，只有在 经2江)中四路消运城 7.(2026福建福州模拟预测)当x∈[0,2m)时，函数f(x)=2cos3x+ +sinx的零点个数为() 4 A.3 B.4 C.6 D.8 64/153 函学科网·上好课 www.Zx×k.C0m 上好每一堂课 【答案】C 【分析】令()-=0，然后通过分析方程2c3x+买》+sinx=0在给定区间[0,2)内的解的个数来确定函 数的零点个数 【详解】令fx)=0,即2cos3x+日+sinx=0,移项可得2cos3x+ =-sinx, 4 对于y=2os3x+到} 其周期T= 3:对于8=-sinx,其周期7=2元； 2 当x0,2π)时，画出两个函数图象为： y=2cos(3x+y=-sinx 由图象可以看出，方程2cos3x+T +sinx=0在给定区间[0,2π)内的解的个数为6， 4 所以函数f(x)=2cos3x+ +sinx的零点个数为6. π 8 (25-26高三下·陕西渭南开学考试)“点M的坐标为 kπ+，0 (k∈Z)”是“点M为函数 f(x)=3tanx- 4 图象的对称中心”的() A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出f(x)=3tanx- 的对称中心，再进行判断 4 【详解】由x-年-解得x-+牙，所以f心)=3mx- 到的对称中心为空+子0，keZ 所以“点M的坐标为 kπ+元，0k∈Z)是“点M为函数f)=3tanx-刀 图象的对称中心”的充分不必要 4 4 条件 9.(26山东济宁一模)将函数f(d=sin@+}。>0)的图象向左平移君个单位长度后，得到函数 y=g(x)的图象，若g(x)图象的一个对称中心为 则0的最小值为() 65/153 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A. B.1 C. D.2 【答案】B 【分析】求出fx)图象的对称中心后利用代入法可得@=认，k∈Z,故可求@的最小值 2 【详解】国为g()图象的一个对称中心为[经，放f)图象的对称中心为(0 故o×2亚+=krkcZ,故0=3张，'keZ,而0>0，故m=1 33 2 10.(2026湖北襄阳一模)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把 所得曲线向左平移严个单位长度，得到函数y=sin 的图象，则f(x)=() 23 212 A. C.sin2x- π sin 2 D.sin 【答案】D 【分析】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解 【详解】把函数)=sm行)图象向右平移写个单位长度，得到y=sm 212 212 y sin 行-)图象上所有点的横坐标缩短到原米的号倍，纵坐标不变，得到()=sm:4 11. (2026广东佛山二模)函数f(x)=sin(or+p)(0<o<4,0<p<π)的图象向右平移严得到曲线G, f(x)的图象向左平移得到曲线C,若曲线C与C,正好关于y轴对称，且都经过原点， 则()() A. B.② D.1 2 C.3 2 【答案】C 【】烟面，G君-arg小 C.:y-sin -in 因为曲线C与C,都经过原点， 所以-爱+p=e7,警+p=x太Z, 6 则p=T+k元，k∈Z,且p=-7+kx,keZ, 6 3 又因为曲线C,与C2正好关于y轴对称， 66/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 所以sin+-sin-ax+答+p-sma贤-snor+x-竖-p小 6 则n +p=π-0 π0r 6 3-p+2km,keZ,即p= +kπ，k∈Z, 212 p-mn +kπ，k1∈Z 6 0π = -3+k元，6∈Z 联立 π0π 7则w=2o了即/)=m2x+引】 p= +kπ，k∈Z 212 0<0<4, 0<p<π 则f ]=sin2x+π）=3 6 x6+32 12. (2026山西晋中模拟预测)己知函数/()=sn2x+ao2x的一个零点是骨，为了得到函数 y=2cos2x的图象，只需将f(x)的图象() A.向左平移石个单位长度 B.向左平移亚个单位长度 12 6 C. 向右平移汇个单位长度 D.向右平移亚个单位长度 12 6 【答案】A 【分析】由f =0求得a=√5，利用辅助角公式整理f(x),再将y=2cos2x整理成与f(x)相同结构， 比较得到结果 【详解】已知x=骨是()-sin2x+acos2x的零点，因此/写=0， 代入得： sn2》a2引-0，年5=0，解a=5 22 所以-m2x+awa2x=2n2+c2-n2+ 又y=2c0s2x= n2r+-2sn2+到 所以将f(x)向左平移元个单位长度得到函数y=2cos2x的图象， 12 13. (2026山东青岛一模)把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把 所得曲线向右平移智个单位长度，得到函数)=s血x的图像，则f因=（） 67/153 扇学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 A.cos 2x- 6 B.sinx D.s 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可。 【详解】质数y=血的图像向左平移号个单位长度，得到)-如：写引 3 所有点的横坐标缩小为原来的兮倍，级坐标不变，得到y=sm2x+写) 14.(2026陕西铜川一模)设f(x)为奇函数，将f(x)的图像向左平移p0<p< 2 个单位长度后，得到 函数g(x)=sin2x+V3cos2x的图像，则p=() A 12 B. C. 3 D. 5元 12 【答案】B 【分析】化简得g)=2sm2x+,进面可得f八)=2snm2x-2p+》 利用f(x)为奇函数，可求得p 【t解】a=2x+o2r-2n2x+5m2j -2sin2x cos+cos2xsin 2 =2sn2x+到 因为将f(x)的图像向左平移0<p<个单位长度后，得到函数g(x)=sin2x+V3cos2.x的图像， 所以g()向右平移90<<个单位长度后，得到函数f()的图像。 所以(=gx-)-=2n20-o)+-2sn2x-2p+写 又因为为商面数，所以-20+号点eZ,所以p-君受kez。 又0<9<受，所以p=石 6 故选：B 15. （(2026稻建龙岩一模)已知函数fx)=2 sin ox+(@>0)的图象关于直线x=号对称，且在区间 6 上单调递减，则ω的值为() A. B.1 C.6 D.4 【答案】B 68/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由函数f(x)=2 sin ox+元 +6(@>0)的图象关于直线x=号对称，可得o=3张+1，ke乙；由函数在区 同（行上单词递减，可得7-各，从面得@≤2，即可符答案 【详解】因为函数f(x)=2 sin @x+二 +(@>0)的图象关于直线x-号对称， 所以π”， =kπ+5，k∈Z, 36 解得o=3k+1,k∈Z, 又因为函数在区间 2, 上单调递减， 所以函数在x=?处取得最大值， 3 所([引 所以+≥π， 32 解得7=2红4红 03 解背0号 又因为0=3k+1,k∈Z 故选：B 16.(2026货州黔东南核拟预测)将函数y=3c2x++1的图象向右平移号个单位长度，得到函数 3 f(x)的图象，则f(x)图象的对称中心的坐标是() A. (经okez到 B C. k+元，0(keZ) (230 (+je D. 【答案】B 【详解】由题意可得(x)=3cos? 令2x=akeZ,得x-经，keZ,此时f()=3sn(a+1=1, 所以f(x)图象的对称中心是 17.(2026湖北黄冈核)函数)=ta(+po>0)的图象关于点(50对称，且直线y=1与函数 69/153 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 )图象的相邻两交点间距离为 则正实数P的最小值为() 2 A. 12 B. C. π 2π D. 6 3 【答案】C 【分析】由直线y=1与函数)图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性 求得P,从而求得其最小值 【详解】因为直线y=1与函数fx)图象的相邻两交点间距离为？ 所以柔数的量小正用期为经，所以高。子所以。=2 由函数f(x)的图象关于点 π ,0对称， 12' 得2× 2+p 2k∈Z,所以p= k kit_ak eZ 261 所以正实数9的最小省为受名号 18.(2026河北张家口一模)已知函数f(x)=2sin(ox+p) 若x,x2是f(x)=V2的解，且 满足x-xm牙，将函数f()的图象向左平移零个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数f() 6 在（名0小上拾有2个零点，则实数9的取值范国为(） 5π11m 11π17π 5π11π 11π17π 6’6 D 66 12’12 12’12 【答案】D 【分析】根据最小距离可得0=2，再利用平移规则和函数奇偶性可求得口=π， 6 根据函数1)在（名0内 恰有2个零点可限定出20+工范围，即可解得实数0的取值范围 6 2 【详解】由f(x)=V2,即sin(ox+p)= 2 可得ar+p=不+2km,keZ或or+p-3弧+2mkZ, 4 4 表款正淡函数图家性质可长儿行)-子解等a-2。 则f(x)=2sin(2x+p): 将函数f(x)的图象向左平移严个单位可得y=2 ir 6 [+引-n2+p 70/153 函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 又y=2sin2x++P为偶函数， 3 则好+0-+版keZ,又<受可得p 6 因t儿)-2n2x+引 当xeg0时 可知2x+∈,20+ 6 21 6 若函数y在后0内恰有2个零点，可知2x<20+名≤3x, 6 解得<0≤17， 12 12 所以实数O的取值范围为 11π17π 12’12 19.（2026河北保定一 模)将函数f(x)=sinx的图象先向右平移严个单位长度，再将其横坐标缩短到原 A 来的子 纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标为() kππ A. km+π，0keZ) B 0(k∈Z) 312 312 3kπ+ 3π 3kπ 4 0(k∈Z) D. 3π0(kez)） 4 【答案】A 【分析】借助平移及伸缩变换性质可得g(x),再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解 【详解】将函数)=m:的图象向右平移个单位长度，可得y=sm-》 将其横坐标维短到原来的兮：可得y=s加3x）,博g()-sn3x牙】 令3x-=a(k∈Z),解得x=+(keZ, 4 312 甲g女图象的对称中心的坐标为经+高0ke☑ 20.(2026四川内江二模)已知函数f)=2sin(ox+p)在x=-元处取得最小值，在x=骨处取得最大值， 6 则p的值可能为() A君 B. 6 c D. 【答案】A 【详解】因为函数f(x)=2sin(ox+p)在x=-π处取得最小值，在x=处取得最大值， 6 3 71/153 函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 元 +p=-7+2 则 6 p-+2 (k,k2∈Z), TO 3 将上述两个等式作差得π=π+2（化，-k)π（化，k∈Z), 所以0=4(k2-k)+2(k,k2∈Z) 将@=4传4+2，e2代入9+0=号+2k可得p=+2+2严kkc0. 6 3 令=-与+2，则ke2,则p=名2受ke2列.故9的可能取位为-君 BCD选项均不符合题意 21.(2026湖北省直辖县级单位模拟预测) 记函数f(,=-sin@x+元 其中o>0,若f(x)在[0，π]恰有 A. [引 [ c D. 0,g 8 【答案】D 【分析】根据零点个数得？≤0<4再根据 4 ,结合三角函数的图象与性质，求得0=4k-1, k∈Z或o=4k-2,k∈Z,从而得到o=2,再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答案 , 【详解】因为函数f()=sn@x+4)其中@>0，若f()在[0，可恰有两个零点， 所以≤ox+牙≤or+4 4 π 所以2m≤0m+43, 、11 以0之 又因为 +2m,keZ或0+ 4 4 x3+2k,k eZ, 44 解得0=4k-1,k∈Z或0=4k-2,k∈Z, 721153 00学科网·上好课 ww .zxxk.com 上好每一堂课 结合 $$\frac { 7 } { 4 } \le \omega < \frac { 1 1 } { 4 } ，$$ 所以 ω=2 符合题意， 所以 $$f \left( x \right) = \sin \left( 2 x + \frac { \pi } { 4 } \right)$$ 又因为当 $$4 - \frac { \pi } { 2 } + 2 k \pi \le 2 x + \frac { \pi } { 4 } \le \frac { \pi } { 2 } + 2 k \pi ， k \in Z ， 且$$ $$\forall - \frac { 3 \pi } { 8 } + k \pi \le x \le \frac { \pi } { 8 } + k \pi ， k \in Z$$ f(x) 的单调增区间 $$\left[ - \frac { 3 \pi } { 8 } + k \pi ， \frac { \pi } { 8 } + k \pi \right] ， k \in Z$$ 函数 $$f \left( x \right) 在 x \in \left[ 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right]$$ 上的单调培区间为 $$\left[ 0 ， \frac { \pi } { 8 } \right]$$ 故选：D. 多选题 22.(2026内蒙古包头一模)已知函数f(x) $$f \left( x \right) = 3 \tan \left( 2 x - \frac { \pi } { 4 } \right) + 1 ，$$ ，则() $$A . f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = 4$$ B.f(x) 的最小正周期为 π c.(x)图象的对称中心为 $$\left( \frac { k \pi } { 2 } + \frac { \pi } { 8 } ， 1 \right) \left( k \in Z \right)$$ D. 等式 f(x)≤4 的解集为 $$\left\{ x | \frac { k \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 8 } < x \le \frac { k \pi } { 2 } + \frac { \pi } { 4 } ， k \in Z \right. \right\}$$ 【答案 AD 【详解】对于A， $$A . f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = 3 \tan \left( 2 \times \frac { \pi } { 4 } - \frac { \pi } { 4 } \right) + 1 = 4 ，$$ 4，故A正确； 对于B，最小正周期 $$T = \frac { \pi } { \omega } = \frac { \pi } { 2 }$$ ，故 B 错误 对于 C， 由 $$2 x - \frac { \pi } { 4 } = \frac { k \pi } { 2 } 和 x = \frac { k \pi } { 4 } + \frac { \pi } { 8 } ， k \in Z ，$$ 则 f(x) 的对称中心 $$y _ { 4 } \left( \frac { k \pi } { 4 } + \frac { \pi } { 8 } ， 1 \right) \left( k \in Z \right)$$ ，故C错误 对于D，由 $$f \left( x \right) = 3 \tan \left( 2 x - \frac { \pi } { 4 } \right) + 1 \le 4 和 \tan \left( 2 x - \frac { \pi } { 4 } \right) \le 1 ，$$ 则h $$k \pi - \frac { \pi } { 2 } < 2 x - \frac { \pi } { 4 } \le k \pi + \frac { \pi } { 4 }$$ 解得 $$\frac { k \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 8 } < x \le \frac { k \pi } { 2 } + \frac { \pi } { 4 } ， k \in Z$$ ，故D 正确. 23.(2026贵州贵阳一)已知函数 f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π) 的图象关于点 $$\left( \frac { \pi } { 3 } ， 0 \right)$$ 中心对称.则() A.f(x)的最小正周期为 B.直线. $$x = \frac { \pi } { 6 }$$ 是曲线 y=f(x) 的对称轴 73/153 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 C.将f(x)的图象向右平移严个单位可得到函数y=cos 2r-2x的图象 D. 上单调递增 【答案】AC 【分析】先求出f(x)的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可 【详解】由题意知，sim2x气+0=0，所以2×+0=π，keZ,即0=-+m,ke2 3 3 又0<p<,所以p=子所以f)-sim2x+ 3 选项A:最小正周期7=2 =元，A正确 2 选顶B:对称鞋应满足2x+号-子+红，《e2,解得x-子+经，e2 32 故不存在kEZ,使得x=刀，B错误 6 选项C:f(x)的图象向右平移”个单位得到 m-}引w(别mg-2 C正确 选项D:当x0写时，1=2x+肾 又y=sint在 ()上单调递增，在上单调递减，所以f()在区同0写 上不是单调递增，D错误 故选：AC 24.(2026广东梅州一模)关于函数f(x)=sinx.sin3x, 以下结论正确的有() A.f(x)的图象是轴对称图形 B.f(x)的最大值为1 C.f(x)是以π为一个周期的周期函数D.f(x)在[O,π]上有4个零点 【答案】ACD 【分析】对于A,判断函数为偶函数，即可判断正误；对于B,因为要分析三角函数乘积形式的函数性质， 所以可先利用三角恒等变换公式将f(x)=sinx.sin3x化简为更易分析的形式.求函数最大值，可利用三角函 数的有界性，结合化简后的函数形式，通过换元法转化为二次函数求最值；对于C,判断周期，可利用周 期函数的定义，验证f(T+x)=f(x)是否成立来确定；对于D,求零点，令f(x)=0,结合三角函数的零点 性质求解，再统计[0，π上的零点个数 【详解】对于A,函数f(x)=sinx.sin3x的定义域为R,且 f(-x)=sin(-x).sin3(-x)=(-sinx).(-sin3x)=sinx.sin3x=f(x), 74/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 即f(x)为偶函数，f(x)的图象是轴对称图形，A正确： 对于B.)=3x=eos(4)-uos(2]-cos2x- 02-(2c02-1)c0 4-2e小则y号-名 当1一时，y产++号取址大位石即网的做大植为名B错误： 对于C,f(x+π)=sin(x+π)sin3(x+π)=(-sinx)(-sin3x)=sinx·sin3x=f(x), 即f(x)是以π为一个周期的周期函数，C正确： 对于D,令f(x)=0,即sinx.sin3x=0,故sinx=0或sin3x=0, 当sinx=0时，在[0，π]上有x=0,π满足题意； 当sin3x=0时，在[0，m上有x=0,π，2， 3'3,元满足题意； 故在Q利上有0答x共4个零点，D正确 25.(2026江苏一模)已知函数fx)=sinx-V3cosx,g)=2sin2x+ 则下列结论正确的有() 3 A.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在相同的对称中心 B.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在相同的对称轴 C.曲线y=2x)向左平移5个单位得到曲线y=g) D.曲线y=f(2x)与曲线y=g(x)关于y轴对称 【答案】AC 【详解】选项A,因为r(-m-3oar-传oms(-到引 令x骨=，(ke2)得x=a+背，所以y=f的对称中心为低+骨0ez列 3 因为()-=2m2x+写到》令2x+号m(meZ列.得x=名所以y=8)的对称中心为 3 26 m_(meZ) 26’ 假设存在相同对称中心，则a+正-m匹_无k,m∈Z), 326 化简得m-2水=1，当k=0,m=1时。x=了所以存在相同对称中心 A正确 75/153 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 选项B,f)-2n(-》令x-音-子+a收e2,得x=a+g对称维为x=a+爱keZ 32 6 g6-2n2x+写令2+号-+m(me列得x-受对称续为=受+mez 32 212 假设存在相同对称轴，则π+ 5π-mπ+元（k,meZ）),化简得2m-4k=3, 6=2+12 左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B错误 选项C,f2)=2sn2x-,平移号个单位，得： y=2n(+写到引引2n2x+-}-2n2r+写引c正除 选项D,若y=f(2x)与y=g(x)关于y轴对称，则需满足g(x)=f(-2x) 因为(-2）-2sn（-2x-)-2in2x+)而g()=2xim2x+写 显然g(x)与f(-2x)不能恒相等，所以两曲线不关于y轴对称，D错误 26。(2026河南许昌模拟预测)将函数)-sin(2x+pj0<p<引的图象向左平移名后得到函数 6 y=g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则() B.函数y=f(x)的图象关于点 钙餐 c.函数y=f)g()在32】 ππ 上单调递增 D.数)=8小m在®司上的所有装点之和⅓则的取位国(-引 【答案】BC 【分析】先由平移变换得g()-sm2x+子+P,再gy是樱函数，得p=名进面可得 6 如2+名)及8)=ca2,再结合三角包等变接得/八)g-n(4r+名}号 6开4’ 根据正弦函数 的性质可判新PC选项，对D,将函数的零点转化为函数y=个2x+）与)y=m图象在®，小上的交点的横 坐标，进而转化为函数y=cos1在1江，7π 3’3 与y=m交点的横坐标，从而可判断结果 【详解】因为函数f(x)=sin(2x+p)0<o< 的图象向左平移无后得到函数y=g(x)的图象， 6 所以=m++psm2x++p ,又因为g(x)是偶函数， 76/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 所以g0)=sm管+p小山，得子+p=x+受keZ,即p=红+石kez. 61 再由0<0<受，所以k=0,=,所以A错误， 6 发于B肉为-2+引所以)2沿君引m=0, 5π 6 所以函数=)的图象关于点（倍对，B正商： 对于C因为g(闭=m2x+子m2x+引s2x. 所以y=f(r)g()=sin2x+}cos sin2xcosc 2 13 因为x∈ 3'2所以4x+∈厂3m13π7 π 6L2’6」 单调递增，C正确： 对于D.因为y=g()/=es2x-m2x+)ms2x-sn2x=2x+》 π 3 所以函数y=g()-f八)-m在Q刘上的零点，转化为函数)=(2x+写到与y=m图象在[Q可上的交点的 横坐标， =2r+el小u[] 所以函数y=cost在1∈ 3 3否有两条对称辅1=元和1=2，如图： π7π y=m 2π7πt y=cost 3 当-1<m<。时，函数y=cos1与y=m有两个交点，且关于t=π对称， 即4+6=2x,所以2+引2+到2，得+= 5π 当m=时，函数y=cos1与y=m有3个交点，4=5 7π 3 3 ,得x+x+x= 5π + 3 3 所以函数y=g)-f八)-m在0网上的所有零点之和为子，则-1<m<分D错误 27.(2026黑龙江哈尔滨一模)函数f)=2sin(@x+p0>0.0<2 π 的部分图象如图所示，其中 则下列说法正确的是() 77/153 扇学科网·上好课 www.zx×k.c0m 上好每一堂课 A.0=4 C.f(x)在区间 π2π 23 恰有一个零点 D.将f(x)图象向左移 个单位后关于y轴对称 12 【答案】ACD 【分析】根据O)=-,结合分的取值范围可求0的值，判斯B的真假，在此基础上，再根据/1可 求o的值，判断A的真假；求函数f(x)在区间 π2π 2’3 上的零点，判断C的真假；将函数f(x)进行平移 变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假 【详解】因为f0)=-1→2s加p=-1→sn0=方又侧受所以p=名，放B错误： 6 因为得1→2m管1m管片 由图可知，领名（倍小所以管名怎→@4：故A正 466 所以-2ma》当（任）时，66 所以方程∫)=0在：，2” 23 上只有 4x-名=2江即x=妥-个解，即南数在区何间经）治有一个零点，故C正确 6 24 指四国您后左移晋个单位后可y-2an〔）-24+）=2ast,为须数，其国 12 象关于y轴对称，故D正确 28.(2026山西朔州一模)己知f(x)= sin2+2cosx,则（） coSx A.f(x)是偶函数 B.f(x)的图象关于直线x=3江对称 C.f(x)的值域为「-22,2W2] 78/153 扇学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 D. 当f(x)=a在 0, 有2个不同实根x,x,时，a(x+x)的取值范围是（元，V2元） 2 【答案】AD 【分析】A选项，根据奇偶性的定义和诱导公式判断；B选项，根据对称性的性质判断；C选项，分 e2-.2 +2点x+2a]和x2k,+2小[a+2a+2a两种格况时论：D选项，结合 图象得到a的范围和x+x2,然后判断即可 【详解】f(x)的定义域为{xx≠π，k∈Z,关于原点对称， f(x)= in()2cos()sin2 cos(-x) coSx +2cosx=f(x),所以f(x)为偶函数，A正确； f(3π-x)= 如23x-+2s(3--n2-20sx=-f,所以fd)关于（经0对称，B错： cos(3π-x) 当xe2a子+2a+2a3证+2a,kez时，f)-22smx+】 x++2a+2a+2a7+2e.则/[2,222可 4 综上可得f(x)的值域为[-22，-2U[2,22],C错： 图象如下所示 y 22 元 x 4 所以ae(2,22),+x-2,则a(+x)∈（亿v2m,D正确 29.(2026山东德州一模)函数x)=4cs(ar+pj40@>0a<引 的部分图象如图所示，则() 79/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5π 3 6 -2 A.= 3 B.()的图象关于点（合0对称 C.函数f(x)在区间 11π7π 12 上单调递增 12 D.若f(x)在区间 12“上恰有一个最大值2和一个最小值-2，则实数a的取值范围为 5π4π 6’3 【答案】ABD 【分析】根据周期以及最值可得f(x)=2os2x+ 即可判断A,代入验证即可判断B,根据整体法求 3 解函数的单调性即可判断C,由整体法，结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】由图可符4=2，函数的最小正周期7-2（答》-，又0>0，所以-2至-2。 T 则=2a2x+p叭.由[得)-2mp+）-2,传o+行-x+2a:kez 3 解得p-写+2，keZ,又 2p< 所以p 3, 故A正确； 上分折，得微)-2o2x+引因为/2am2x到引-0， 故数心)的图象关于点司（合0对称，故B正确： 令2m-元≤2x+≤2m,keZ,解得m-27≤r≤m-,k∈Z, 3 故函数f(x)的单调递增区间为 令2≤2x+背≤2，keZ,解得红-名≤x≤a+骨keZ, 故函数因)的单调递诚区间为红石红+引 ,k∈Z, 则函数f(x)在区间 「2π7m] 上单调递增，故C错误： 当x则2a+到[2a+号 3 80/153 学科网·上好课 www.Zx×k.C0m 上好每一堂课 要使f(x)在区间 2上恰有一个最大值2和-个最小值-2， 需使2元<2a+≤3，解得亚< 4π <a≤ 3 6 3,故D正确 故选：ABD 30.(2026河北邯郸一模)已知函数f(x)=1-c0sx,则() sinx A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在(O,π)上单调递增 D.f(x)的值域为R 【答案】AC 【分析】利用奇偶性的定义判新A,由三角恒等变换化简函数式为f()=an,结合正切函数的性质判断 B、C,特殊值法说明D即可 【详解】由sir≠0，得x≠km,k∈Z,则f(x)的定义域关于原点对称， 且f(-x)= -cos(-=-1-cosx=-f(x),所以f()是奇函数，A正确. sin(x) sinx 由f(x)=I-cosx 1-1-2sin2 2 tan sinx 2 其最小正周期T=2红，且在x∈(0，)上单调递增，B不正确，C正确. 2 由sinx≠0，可得cosx≠±l,则f(x)≠0，D不正确. 31.(2026黑龙江吉林.一模)下列关于函数.f(x)=sin2x+2sinx(x∈R)的说法正确的是() A.f(x)为奇函数 B.x=是f()图象的一条对称轴 C.f(x)为周期函数，且最小正周期为πD.f(x)的值域为 333v3 2’2 【答案】AD 【分析】利用奇偶性定义判断A,利用函数对称性与周期性的定义判断BC;利用导数判断D 【详解】对于A,f(-x)=sin(-2x)+2sin(-x)=-sin2x-2sinr=-(sin2x+2sinr)=-f(x),∴f(x)为奇函数， 故A正确 81/153 可学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 对.经+m任+小2经+ sin 2x+2cosx, [任snm经小an（任sn2x+2os 经+上f径小：x=受不是y图象的一条对称轴，故B错误 对于C,f(x+π)=sin[2(x+π)]+2sin(x+元)=sin2x-2sinx,f(x)≠f(x+π)，∴.π不是f(x)的周期， 故C错误， D,f(x)=2cos2x+2cosx =2(2cos2x-1)+2cosx=4cos2x+2cosx-2, 令∫()=0，即40s2x+2c0sr-2=0,解得c0sx=)或cosx=-1, 2 当cosx=-1时，sinx=0,f(x)=0, 当cosx=时，sinr=t5,f(x)=2 2sin xc0x+2sinr=3sinx,故函数极值为3×± 33 2 2 -2 Γ2 f(x)的值域为 3V33V3 22 故D正确 32. (2026重庆一模)已知函数f(x)=4sin m】2m>0,则下列结论正确的是（) A若在0周 上恰有三个零点，则m∈[15,23) B.若f(x)在0， 6 上恰有三个零点x,2,,则f(x+x2+x)=-4 C.若f()在 64 ]单调滋场，则m引 D.若f四向左平移名后的图象与()图象关于x=音对称，则m=6+LkeN 6 【答案】ABD 【分析】对于A,根据正弦函数零点表达式分析即可；对于B,由选项A可知 36,+13 mg+交5元 ?石，mx+兀=爪，代入即可求值：对于C,根据正弦函数的单调区间，确定区恒 ”36 端点满足的不等式求解即可；对于D,根据三角函数图象平移的解析式，结合对称性判断即可 【详解】A,令f闭0，即snm+},解得m+2+或x+2k乙， h 6 当牙时，可+[引要引有三个零点， 82/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 则需2x+5π≤mm+不<4π+ 663 +石，解之可得15≤m<23,故A正确。 B,由A可知mx+ π5π .π13π 36,m5+ .π17π ,mx2+ 36 36 所以m(G+x+5)+-5π+13+17m2红3x 十 366636 所以了6+5+)4sm红+7}-2=4，故B正确： C,由正孩函数的单调递增区同可知2版-子≤x+了≤2x+受keZ, 以&=-0，则证≤若[哥引单时递塔，则飞引[ 因m>0,只高：则0<m≤子则a0 故C错误； 46m D,根据平移规则可知平移后函数为g(x)=4sin ++-2. g图象与f纠图象关于合对称，则侣小+引 化简可知m+2T=元+2k,k∈2，继续化简可得m=1+6k,keN,故D正确 33 33. (25-26商三上广东期未)已知函数f()-(5sinx+eosx。osx若f()在区间名m上的值 域为 则实数m的取值范围是 【答案】 [ 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x),再借助正弦函数的图象与性质求解即得 【详解】由题可得f(x)=V3 sinxcosx+cos2x- 1_5 22 in2+c) 3 sin2x+cos 2x-sin2 6 62sin=1, 7π1 =sin- 函数y=sinx在 「ππ 62 上单调递增，在交7π 2’6 上单调是流，百了)的值线为[别 +66,得sm≤ 所以≤2m+≤7π， 6 83/153 学科网·上好课 www.zx×k.Com 上好每一堂课 所以实数即的取值范周为[ξ引 故答案为： ππ 62 34. (2026四川模拟预测)设函数f)=2cos(ox-X0>0),若存在常数(1<0)，使得对任意x∈R, 11 有fx+2)=f),则当@取最小值时，f)在-3'2上的值域为 【答案】0,2+v6 2 【分析】利用余弦函数的最大值求出2，利用周期函数的性质求出函数f(x)的周期，并求出⊙的最小值， 再利用余弦函数性质求出值域 【详解】函数f()=2cos(or-孕，则fcx+2)=2coso(x+2)-,其最大值为2， )=2cos(x-孕的最大值为-2，由fr+2)=f(,得2=-1， 因此对任意xeR,有f(x-2)=-f(x),f(x-4)=-f(x-2)=f(x),即函数f(x)的周期为4， 又数的最小正周期为后于是长号=4keN,朝号w=受keN, 又Je-2)=2 zeoxox--2)子-2cos(ox子d)=2os(ar了.因此k为正奇数， 3 当专.0-0：当-，m2a以-29-2号9-6 222 2 2 所以，在-写上的值线为0,26， 2 35.(2026江苏镇江一模)已知f(x)=sin@x(∈N),若在区间 上存在两个不相等的实数a,b, 满足f(a+f(b)=2,则o的最小正整数为 【答案】5 【详解】因为x 所以ox∈0， 2 又函数f(x)=-sinx(oeN)在区间0， 2 上存在两个不相等的实数a,b使得f(a)+f(b)=2, 且f(x)=sin@x≤1， 所以函数在区间 0 上至少存在两个最大值点， 所以r>5 2 2 ， 解得o≥5， 84/153 扇学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 所以o的最小正整数为：5. 36,（2026∫广东广州楼拟预0)已知函数f()-=s如(or+@>分p>0]在区向(o阮，20m)上单调递增。 在区间(2o0m,30m)上单调递减，则p的最小值为 【答案】 【分析】本题根据正弦函数的单调性，结合已知条件求出ω的取值，再根据特定区间，考虑x=20m处的函 数值得到关于p的不等关系求出k的范围即可分析求解 【详解】显然0>分2-0m=6m≤×2及-，可得G51,所以 2×00 <0≤1 函数f(x)在区间(om,2m)上单调递增，在区间(2om,3wm)上单调递减，所以f(2om)=1, 于是2wx+p-+2keZ,所以0-+2-2w元keZ, 因为0≤1且p>0,所以2o+p>受keZ. 所以2+2>2keZ,解得k>0, 所以由p-受2版-20红可知当k=l。=1时，9有最小为受 37.(2026黑龙江齐齐哈尔，一模)已知函数f(x)=sin(x+p)+sinx(0<p<π)，若f(x)的图象关于直线 x=对称，)= ,则sin20的值为 【答案】-2-05 【分折】先利用和卷化积公式化简，再根据对称性求出p=受利用/@)-号采出sn0+)2 再计算sin20即可 【详解】函数fx)=sin(x+)+sinr=2simx+号}cos号，因为函数f)图象关于直线x=对称， 2 2 4 所以子+号+缸cZ,即p-受+2加kc,国为0<p<,所以p=至 所以f=snx+军 所以sin20=s o:引引-o引-2sm(o别 85/153 扇学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 1=2× -1=- 2 38. (2026安徽芜湖一模)已知函数f()=sin0x+写(@>0).xe0,,关于x的方程 2f(x)-(2+V3)f(x)+3=0有6个不同的实数根，则o的取值范围为 【答案】 【分析】间愿化为做+号号m+骨上)5有4个不同安根，且四=1有2个不同实银，结合正弦 3 31 2 函数的图象符贺<m+号，印可将 3 【详解】2f(x)-(2+5)f(x)+3=[2fx)-3f()-刂=0共有6个不同的实根， 由@+号c写o+孕，则/)=5有4个不同实根，且倒=1有2个不同实根， 3 2 根据正弦面氨的图家知号<伽+后竖，可符了054 故答案为： 34 39.(2026江西-模)已知函数/)-sim（?x+Lpc(0z))若方程/问5在[0,21w)上恰有85个，解 则p的取值范围为 【答案】 4ππ2π 01533 【分析】先求得f(x)的周期为5π，则区间[0,211π)内包含42（余π）个完整周期，在完整周期内有84个解， 则在余下区间210x,2I1)内有1个解，设0-号x+p,结合题意与任意角，可得s如8=在区间0p:】 2 内有1个解，解符0-2k:+号或0=2张+，keZ,分情况时论仅有的1个解足号或是行再可求两0的 3 取值范围 【详解】函数f)=sim?x 5+p的周期T=乞=5π，每个周期内sin +p)5有2个解 2 f)在区间0,21x)内包含21F=42(余π)个完整周期， 5π 在完整周期内有42×2=84个解，故余下区间[210π，211π)内有1个解， 即sn0=在区间S4+4+p+内有1个解， 86/153 学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 由任意角可得sin0= 5在区间00+）内有1个解。 解得0=2kπ+或0=2kx+写，keZ, 2π 3 因为p∈(0，π)，易得k=0,则有： ①区间p+)包含智但不包合行： 3， 即p号r0+答：号，且pe0小解得0c 5 15 ②区间[p+智）包合号但不包含行 3 即号0s行<p+晋，且oe(0).解得号<p≤ 3 3 综上，9份收值起围为Q(修] 40.(2026湖北武汉模拟预测)如图，已知o>0,在函数f(x)=sin(x+p)的部分图象中，其图象上的 点A,B,C是同一直线上的三点，且该直线与x轴交于点D,若AD=DB=BC=1,则o= 【答案】5π 4 【分析】设D(x,0),A(x。-a,b),B(x。+a,-b),C(x,+2a,-2b)且a2+b2=1,a,b>0,结合已知条件 sin(axo-wa+p)=b sin(@x+oa+0)=-b，进而得到oa=号、2cos(o+p）=-sin(o+p叭、cos(a+p）=-b,即可求 sin(@xo+2wa+o)=-2b 解 【详解】因为AD=DB=BC=1, 点A,B,C是图象上的同一直线上的三点，直线与x轴交于点D, A,B两点关于D点对称.，C,D两点关于B点对称， 设D(x,0),A(x。-a,b),B(x+a,-b),C(x。+2a,-2b),且a2+b2=1,a,b>0, 87/153 函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 sin(@xo-aa+o)=b 所以{sin(ox。+oa+p)=-b①，则sin(ox。-oa+p)+sin(o.x,+oa+p)=0, sin(x。+2oa+p)=-2b 所以2sin(ox+p)cos(oa)=0,故sin(ox+p)=0或cos(oa=0, 若sin(ox。+p)=0,即D(x,0)是f(x)的一个零点，不符合题意， 所以eos(o0)=0,则oa=+km,keZ,而2a<T-2→0<<元， 所以o咖-受结合0有2sno,++9-sin(o++p,所以2cos(o,+)=-sin(o+, 而snac子+p-w(os+p)=b,所以csa慨+pl=-b<0,sin(ex,+gl-2a. 所以sin'(o,+p）+cos2(o6+p)=5h=1sb=1,a 2 5,a=- 5 所以a=元-5元 2a4 题型09 解三角形)小题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 己知三边求角 直接利用余弦定理求出角的余弦值，再根据角范围确定角的大小。 由正弦定理将边转化为角的正弦，利用和角公式化简，得到正切关系， 正弦定理化边为角求比值 进而求出比值。 解三角形的实际应用（测 在直角三角形中利用仰角的正切求高，在一般三角形中利用正弦定理 3 量高度) 求边长，最终得到高度。 同角关系与正弦定理求正 先由同角关系求出正弦值，再根据正弦定理将边的比转化为对应角的 弦比 正弦比。 5 余弦定理求面积 由余弦定理求出夹角余弦值，再求正弦值，代入三角形面积公式。 由余弦定理表示出两边乘积与夹角余弦的关系，利用基本不等式求两 6 余弦定理与基本不等式求 面积最大值 边乘积的最大值，进而求面积最大值。 正弦定理角化边与余弦定 利用正弦定理将角的正弦转化为边，代入已知等式得到边的比例关 7 理求角 系，再由余弦定理求角。 先化简已知等式求出角，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合 三角恒等变换求角与边 余弦定理求边。 面积公式与余弦定理结合 由己知条件通过面积公式和余弦定理列出方程，解出边长或角度，再 9 求面积 求面积。 10 正弦定理、 余弦定理与面 利用正弦定理将边转化为角的正弦，代入面积公式和余弦定理，化简 88/153 学科网·上好课 Www.Zxk.C0m 上好每一堂课 积公式求角 得到角的余弦值。 角平分线性质与余弦定理 由角平分线性质得到线段比例，利用余弦定理分别求出相关边长，再 11 求线段长 求目标线段。 二倍角公式与正弦定理判 利用二倍角公式化简己知等式，结合正弦定理化角为边，得到边的关 12 断三角形形状 系，从而判断三角形形状。 由已知等式变形得到角的范围，再利用正弦定理将边转化为角的正 13 锐角三角形中边角范围 弦，结合锐角条件确定取值范围 14 正四面体中的解三角形 在正四面体中，利用棱长关系确定三角形边长，再用余弦定理求角。 15 实际航行问题（正弦定理） 根据方位角作出示意图，确定三角形内角，利用正弦定理求边长。 利用面积公式和周长关系表示内切圆半径，结合余弦定理和基本不等 16 内切圆面积最值 式求半径的最大值，进而求面积最大值。 利用中线向量公式将中线长表示为边长和夹角的函数，结合余弦定理 17 中点向量与余弦定理求最 小值 和基本不等式求最小值。 18 己知两角及一边解三角形 利用两角和公式求出第三角，再由正弦定理求出未知边。 正弦定理与辅助角公式求 由正弦定理化边为角，利用和角公式与辅助角公式得到方程，根据三 19 角 角函数有界性确定角，再求面积。 余弦定理与基本不等式判 将己知等式用余弦定理表示，结合基本不等式得到角余弦的范围，从 20 断角 而判断角的性质。 面积公式与正弦值求角 21 由面积公式求出夹角的正弦值，再根据角范围确定角有两个可能值。 (两解) 余弦定理与面积公式判断 22 选项 利用余弦定理求边长，再求面积、正弦值，通过计算验证各选项。 利用降幂公式和和差化积化简己知等式，得到角的关系，再结合面积 23 降幂公式与和差化积求角 公式求边。 根据图形中的垂直、中点等关系，利用直角三角形和等腰三角形性质 24 几何图形中的解三角形 求解边长和角度。 三角恒等变换与余弦定理 将已知等式通过二倍角公式、正弦定理等变形，得到边角关系，再结 25 求边角关系 合余弦定理判断选项。 正弦定理与三角恒等变换 利用正弦定理和和角公式化简求角，再结合余弦定理、基本不等式求 26 求角及最值 周长范围、向量数量积最值及中线最小值 正弦定理与和差化积求角 由已知等式通过正弦定理、和差化积求出角，再利用面积公式、余弦 27 及中线长 定理求边长和中线长。 诱导公式与两角和差公式 利用三角形内角和及诱导公式化简已知等式，求出各角，再通过正弦 28 求角及外接圆半径 定理求外接圆半径和边长。 边角互化与向量数量积求 利用正弦定理边化角，结合和角公式求角，再代入向量数量积求边， 29 角及边长范围 利用余弦定理和基本不等式判断边长范围。 30 将已知等式用正弦定理化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦 正弦定理与余弦定理求角 值。 正弦定理与两角和公式求 由正弦定理将边转化为角的正弦，利用两角和公式化简，得到边的比 31 边比 例关系。 外心向量与余弦定理求面 利用外心性质将向量条件转化为边长关系，再由余弦定理和基本不等 32 积最大值 式求面积的最大值。 33 角形面积分割与正弦定 将大三角形面积表示为两个小三角形面积之和，利用正弦定理表示边 89/153 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 理求最值 长，通过三角函数化简求最值。 三角形等分面积与基本不 分三种情况讨论分割线位置，利用面积公式表示分割线长度，结合基 34 等式求最短分割线 本不等式求最小值。 正弦定理与换元法求分式 利用正弦定理将边转化为角的正弦，通过和角公式化简，再换元用判 35 最小值 别式法求最小值。 一、单选题 1.(2026福建莆田二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=5,b=7,c=8, 则B=() B. 3 C. 2 D. 2π 3 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出cOsB的值，再结合角B的取值范围确定角B的大小 【详解】cosB-+c2-6_S2+82-721 2ac 2×5x8=2 因为0<B<π，所以B=元 3 故选：B 2.(2026湖北武汉模拟预测)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 3 acos B-bcosA=c=( tan B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得 3 带群由acosB-bc0sA和正弦定理，待sin Acos一-sin BcosA=5mC② sin C=sin(-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A, 将其代入(*)整理得sin Acos B=4 sin BcosA, 即得tanA=4tanB,故anA-4 tan B 3.(2026陕西商洛·二模)某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点A、B,两 点与天汉楼底部中心O在同一水平面上(O为楼顶P在底面的投影)·测得以下数据：AB=15√6米， ∠AOB=45,∠OAB=75°，且从点A测得P的仰角a满足tana= 23 则天汉楼主体高度PO约为() 15 A.45米 B.46米 C.69米 D.70米 【答案】C 90/153 函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 【详解】在△AOB中，由正弦定理得 AB QA sin∠AOB sin∠ABO' 所以01=4B-sin∠4B0_B-sin180-45-75）15v6 sin∠AOB 2=45米， sin45" V2 2 由tana=OP OA 得0P=01:tana=45x23 69米 所以天汉楼主体高度P0约为69米. VB 4. (2026山西运城一模)在△ABC中，AC=2AB,cosB 2'则sinC=() B 3 c D. 3 4 【答案】D 【分析】由同角三角函数关系式及正弦定理可得 【i详解】因为cosB=)且0<B<元，所以sinB=V-cosS'B= 1 2 AB AC 又因为△ABC中，AC=2AB,由正弦定理得 sin C sin B 所以sinC=!sinB=5 1 4 5.(25-26高三下·安微月考)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bc=6,b2+c2-a2=8v2, 则△ABC的面积为() A.1 B.2 C.2 D.2√2 【答案】A 【详解】由余弦定理待sA公+心之d-25,则如A=小-eos1-号 2bc 3 故△ABC的面积为S=besin4=×6x了-1 6.(2026山东菏泽一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=5,c=2,则 91/153 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 △ABC的面积的最大值为() A B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求cosC的表达式，利用基本不等式求cosC的最小值，再由同角关系求siC的 最大值，利用三角形面积公式求结论 【详解】由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC,又ab=5,c=2, 所以cosC=+b2-4 10 由基本不等式可得a2+b2≥2ab=10,当且仅当a=b=5时等号成立， 所以eosc190-}又CeQ小 4 sinC>0, 所以△4BC的面积S=-absinC≤x5×4=2. 4 2 21 5 所以当a=b=√5时，△ABC的面积取最大值，最大值为2 7.(2026北京延庆一模)在△ABC中，C=120°，a+2b=6,sinA=4sinB,则c=(). A.√13 B.√21 C.V17+45 D.V17-43 【答案】B 【分析】由正弦定理角化边，求得a,b,再由余弦定理即可求解 【详解】根据正弦定理a,=b=2R,结合条件sinA=4sinB,可得：a=2Rsin4=4-2 Rsin B=4h, sin A sin B 即a=4b 又已知a+2b=6,代入a=4b得：4b+2b=6→b=1,因此a=4 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C, f代入a=4,b=1,cos120=2' 1 2=42+12-2×4×1× 2 =21, 因此c=√21 8.(2026河南南阳·模拟预测)己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 1,1 3,sin4+simc6,则2=（力 sinB tanB ac 92/153 学科网·上好课 www.zx×k.c0m 上好每一堂课 A.5 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】先对 1+1。-3进行化简，求出角B，再利用正弦定理将sinA+sinC= sin B tan B 6转化为边 的关系，最后结合余弦定理求出公的值 ac 【详解】由1+1 =V3,得1+osB=N5,即+cosB=5, sin B tan B sin B sin B sin B 因为1+c0sB=2cos2B，, BB 2.sin B-2sin 2 cos2 2 2cos2B B COS- 所以 B3 BBB，即吊手3化简得m23 2sin。cos sin 2 因为0<B<π，所以0<B<” 2<2 则、x 26 ,B=3 由正弦定理可得sinA= 2 sin C=R〔R为△1BC外接圆半径)， 所以sinA+sinC=0+6n-y6,即a+c-6 2R+2R2 ,所以a+c=√6R: 2R2 因为8-营根据农弦定要客-心-00- a+c=V6R,可得(a+c)2=6R2, 又因为b。=2R,sinB=sin=5,所以6=V5R,则=3R, sin B 32 将b2=3R2和(a+c)2=6R2代入b2=(a+c)2-3ac中，可得3R2=6R2-3ac, 移项可得3ac=3R,即ac=R2,所以公-3R-3 ac R2 故选：C 9. (2026江苏一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°，bc=6 sin BcosC, cos Bsin C= 3 ,则△ABC的面积为() 6 A.1 3 B. C.3v3 D.33 2 2 【答案】B 【详解】因为A+B+C=元，所以B+C=π-A, 所以sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(π-A)=sinA, 93/153 函学科网·上好课 www,Zx×k.com 上好每一堂课 所以sinC=sinA-cosBsin C-5_B-5 263 所以bc=6 sinC=6x5 =23, 所以Sm=)besin=x2v3x5_3 1 2 22 10.(2026四川成都二模)记△ABC的面积为S,△ABC的外接圆半径为1，且S=sin2A+sin2B-sin2C, 则C=() A.交 B.π C.2π D.3n 4 3 4 【答案】A 【详解】由正弦定理a=b sin A sin B sinC =2R(R为△ABC的外接圆半径)，且△ABC的外接圆半径为1， 得 sin/=a=a 2R2 ,sinc= ,sin B=b 代入S=sin2A+sin2B-sin2C得S= -a2+b2-c2 4 由余弦定理得a2+b2-c2=2 abcosC, 又S=号absinC,所以absin C=2 abeosC ,化简得sinC=cosC, 4 因为C∈(0，)，所以C= 4 11.(2026河南模拟预测)在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=√21，D为边AC上一点，且BD平分 ∠ABC,则BD=() A. 20W3 B.②7 3 c9 D.14 9 3 【答案】A 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定AD的长度，再利用余弦定理求cosA和BD的长 【详解】如图： 94/153 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为BD平分∠ABC所以0%，又4C=V21,所以0=V21 9 在△1BC中，根据余弦定理，可得cosA=4B+AC2-BC2_16+21-25 3 2·AB·AC 8V21 2V21' 在△ABD中，根据余弦定理，BD2=AB2+D2-2-AB-4D-cOsA=16+16x21-2×4x4N2X,3 81 9221 16×25 27 所以BD=4×520V5 339 12.(2026湖南怀化一模)在△4BC中，内角4，B,C的对边分别为a,b.c,asinC+b=2bcos24+acosB,则 △ABC一定为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式， 所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角 之间的关系，进而判断三角形的形状 【详解】在△ABC中，sinC+b=2bcos2 +acosB. 则asinC+b=2bx1+cosA +acosB,asinC bcos4+acosB, 2 则sin AsinC=sin BcosA+sin AcosB=sin(A+B),即得sin AsinC=sinC, 于Ce(0列.snC≠0，故nA=1,结合A(0刘，可得4-受 即△ABC一定为直角三角形， 13.(2026广东广州二模；在锐角△1C巾，角4R,C所对的边分别为a6,e且&-a+号（行a。os4B, 则a2+b2的取值范围() A.2 c.（2,4) D.(2,4) 【答案】A 【分析】根据二倍角公式可得a2-2sin22B·a+sin22B=0,根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三 95/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角函数的性质可得B=牙，。=1，即可根据正弦定理求解 ,11 【详解】由d-a+2气2aos4B可得 o-2-a-l+c4m)-2-a)(-1+1-2sin28)--2sin'282-a). 因此a2-2sin22Ba+sin22B=0, 由于△=4sin42B-4sin22B=4sin22B(sin22B-I)≥0， 故sin22B-1≥0，即sin22B≥1，又sin22B≤1，故sin22B=1, 结合B为锐角，则2B∈(0，m),故sin2B=1,且B=T,此时a=1, 4 因此0<4<号且0<C-经-4<受故4<经 4 4 又6=usinB-21,则6=}1 sinA 2 sinA 2 sin2A 故a2+b2=1+1 2 sin24' 于子<4受则号 2 <sinA<1, 2<sin'1<1, 14.(2026河北衡水一模)在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，CF=3FD,CG=3GA,则 cos∠GEF=() A.月 5 B. 14 C.3 D.3 14 【答案】B 【详解】连接GF,设正四面体ABCD的棱长为4，则CE=2,CF=CG=3, ∠BCM=∠ACD=∠BCD-行则△CFG为正三角形，所以FG=CF=3, 由余弦定理得EF=VCF+CE-2 CFCEeos∠ECF=9+4-2x3×2×)=V7, 2 1 EG=VCG2+CE2-2 CGCE cos∠ECG=,9+4-2×3×2×。=V7, 2 故cos∠GEF=EG2+EF2-FG2_7+7-95 2EG2EF2×7-14 96/153 函学科网·上好课 www.Zx×k.com 上好每一堂课 B 15.(2026贵州黔东南模拟预测)一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西 30°方向行驶20√5千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是() A.30千米 B.30√2千米 C.20√6千米 D.20W7千米 【答案】B 【详解】如图，由题意可知BC=20√5千米，∠BAC=45°，∠ABC=60°， 则由正弦定理知AC_BCsin∠1BC_205sin60°-30N2千米 sin∠BAC sin45° 16.(2026河北保定.一模)已知aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, acosC+ccosA=4V3cosB,B=60',则△ABC的内切圆面积的最大值为() A.π B.2π C.3元 D.4π 【答案】A 【分析】设△ABC的内切圆半径为r,利用S。C= 2 acsin B-)a+b+c小r,把r表示成关于a+c的函数 利用基本不等式求出”的最大值可得答案 【详解】由acosC+ccosA=4V3cosB,B=60°， 得acosC+ccosA=23, 由余弦定理得a. d+b2-d2+cb2+c2-a=25, -+C. 2ab 2hc 整理得b=2√3 971153 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设△ABC的内切圆半径为r,则Sc=2 aesin B=2(a+b+c)r, 2 所以r=3 ac 3 ac 2 a+b+c 2 2v3+a+c 由余弦定理得：12=b2=a2+c2-2 ac cos60°=(a+c)2-3ac, 得ac=a+c-2.所以r=3 (a+c}-12-5a+c-23 3 Γ23(a+c)+23]2 3 由基本不等式得：a+c≥ac=a+c-12,所以a+e545, 4 3 当且仅当a=c时等号成立，所以r≤5×4N5-25-l, X- 2 3 故max=1,所以△ABC的内切圆面积的最大值为π 17.(2026河南许昌模拟预测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 sinM+sinB+sinC=2V3cos2cos2,2a+h=4,若M是4C的中点，则BM的最小值为(） 2 A.3 2 B.1 C.5 D.2 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得C一行再由余弦定理即可求解 【详解】由sinA+sinB+sinC=2sinA+B cos A-B -cos- +sin(4+B) 2 2 -2sin 4+B cos4 2 2 +2sincos4+B 2 -2sin B cos4Bco cos- 2 2 =2sin 4+B 2x2cos COS- 2 =4sin-Ccos AB AB C -cos二cos=4cos兰cos-c0s- 2 2 2 2 2 2 所以4 o o A B =23 cos cos 2 2 A0<32 又0<A<元，0<B<,所以0<22 Bπ A B 所以cos20,cos20, 所以cos二= 22 又0<C<元，0<C<π 22 98/153 学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 所以写名所以c 3, 又M是AC的中点，所以MC=)4C=b, 2 b 余弦定理有：BM=a+ -2× xcos-d+bab 3 42 又2a+b=4, 所以Bw2=d+4-2a_a42@）-3a-6a+4=3a-y+1≥1， 4 2 当a=1时，BM2=1,即BM=1. 18.(2026山东聊城一模)已知△ABC中，A=元，D是边AB上一点，BC⊥CD,4D=√5，且 6 COs B=2 ,则边AB的长为() 7 A.75 3 B.3√5 C.10w5 D.45 3 【答案】C 【分析】由BC⊥CD求出∠ADC=90°+∠B,由cosB的值和sinB+cos2B=1求出sinB,利用诱导公式求出 sin∠ADC和cos∠ADC,由∠ACD=5L-∠ADC,利用两角差的正弦公式求出sin∠ACD的值，利用正弦定 6 理求出CD的值，由∠BCD=90°得到sinB=C DB ,计算出BD的值，由D是边AB上一点得到AB=AD+BD, 代入数值得解 【详解】：BC⊥CD,∠BCD= 2 ∠B+∠CDB=-,∠CDB=T-∠B, 'cosB= 7 7 -0<B<元，sinB=V2 ∴.sin∠ADC=sin .cos∠ADC=cos =-sin B=_21 7 99/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠4CD=E-∠A-∠1DC=元-E-∠1DC-Sπ-∠ADC, 6 6 ∴.sin∠ACD=sin 5π 5π cos∠ADC-cossin∠ADC, 6 6 6 29 m∠c=27,D=5,m∠4CD-a, A=π 7 14 在△ADC中， AD CD AC sin∠4CD sin A sin∠ADC' :5-cD.40 √21 sin 27,.CD=7, 14 67 .'CosB 2W7 >siB-二，CD一、 BC⊥CD,∠BCD=π .'.sin B= CD .2i7 DB 7DB ,BD=73 :D是边AB上一点，AB=AD+BD=5+7V5_105 3 3 19.(25-26高三下·河南开学考试)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 a=2√3，V3 asin C=3c-2 c cos Bcos C,则△ABC的面积为() A.3 B. 3 C.5 D.25 4 2 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得√3sinA+cos(B+C)+cos(B-C)=3,进而根据诱导公 式以及箱助角公式得2n(4君)+c0s(B-G)=3,根据三角两数的有界性得sn4-6 =cos(B-C)=1, 6 即可求解角的大小，即可得解 【详解】由题意及正弦定理，得√3 sin Asin C=3sinC-2 sin Ccos BcosC, 又sinC≠0，所以√3sinA=3-2 cos Bcos C,则V3sinA+2 cos BcosC=3, cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C,cos(B+C)=cos Bcos C-sin BsinC, 所以cos(B-C)+cos(B+C)=2 cos Bcos C, 所以√sinA+cos(B+C)+cos(B-C)=3, 100/153nullnull