第02课集合间的基本关系 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单聚焦集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集、集合相等的概念及性质，明确空集是任何集合子集的规定，介绍Venn图表示方法及子集个数计算，承接集合基本概念，为后续集合运算构建学习支架。 知识链路按概念定义、性质辨析、应用例题递进，通过Venn图直观呈现集合关系培养几何直观（数学眼光），结合定义严谨推导性质发展推理意识（数学思维），符号与图形语言结合规范表达（数学语言），例题涵盖基础子集列举与含参集合关系问题，强调空集特殊性及分类讨论，助力学生形成完整认知框架。

第02课 集合间的基本关系 学习目标 1.能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念． 2.理解两集合相等的含义，会用子集的观点来解释两个集合相等． 3.在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集的规定． 4.初步认识图，并会用图来表示两个集合的关系，能借助集合关系与其特征性质之间的关系来研究有关集合的问题． · 1.子集 (1)子集的定义 对于两个集合与如果集合中的任何一个元素都是集合中的元素，我们就说集合包含于集合，或集合包含集合，记作 (或)，这时我们也说集合是集合的子集． (2)需注意的几点： ①“是的子集”的含义是： 集合中的任何一个元素都是集合中的元素，即由任意，能推出． ②当不是的子集时，我们记作“”(或B)，读作:“不包含于 ”(或“不包含”) ． 例如:不是的子集．因为中的元素，不是集合中的元素． ③任何一个集合都是它本身的子集． 因为，对于任何一个集合，它的任何一个元素都属于集合本身，记作． ④空集是任何集合的子集，即对于任一集合，有． ⑤在子集的定义中，不能理解为子集是中的“部分元素”所组成的集合． 因为若，则不含任何元素； 若，则中含有中的所有元素，但此时都说集合 是集合的子集． (3)图 为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部表示集合，利用它可对集合关系进行图形语言表示，如可表示为如图所示： · 2. 集合相等 如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合等于集合，记作，读作等于． 需要理解以下两点： (1)若，同时，则． 因为，所以的元素都是的元素；又因为，所以的元素都是的元素，这就是说，集合与集合的元素完全相同，因此，． · 3.真子集 如果，且，就说集合是集合的真子集，记作，读作“真包含于 ”或“真包含”．它的图形表示如图： 理解真子集的定义要注意以下四点： (1)空集是任何非空集合的真子集． (2)对于集合、，如果，那么． (3)两个集合 、之间的关系为: (4)元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用符号“”“”表示； 集合与集合之间的关系是包含、不包含、真包含、相等的关系，用符号“⊆”“ ”“⫋”和“=”表示． 例如:集合，，则是的子集，也是的真子集，用符号“”与“”表示均可，但“”更准确一些，所以解题时，要选择最优的表示方法． 几种符号之间的联系与区别： (1)⊆、⫋、 “⊆”表示子集(包含)关系，“⫋”表示真子集关系，“”表示不包含的关系，它们都是用于集合之间关系的符号． (2)∈与⊆，∉与 “∈”与“∉”是用于元素与集合之间关系的符号，“⊆”与“”是用于集合之间关系的符号． · 4. 集合子集的确定 (1)写出给定集合的子集或判定已知集合子集的个数是最常见的问题，如何不重不漏列出所有子集，如何计算集合子集的个数呢? 【例】写出集合A={1，2，3}的所有子集并求所有子集中元素之和. 【解析】 按子集元素个数的多少分别写出所有子集，才能避免不重不漏，同时还应注意两个特殊子集，即∅和给定集合本身. 【解】∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}． 注意到A 中每个元素均出现了4次，故所有子集元素的和为(1+2+3)×4=24. (2)由上例可知，由3个元素组成的集合的子集有8个，那么由2个元素组成的集合的子集有几个?由4个元素呢?由5个元素呢?推而广之，由个元素组成的集合的子集有多少个?(个) (3)一般而言，中个元素，则每一元素出现在子集中的次数为， 故所有子集元素之和． · 5. 子集的概念与性质在解题中的应用 · (1)子集具有以下性质： ①，即任何一个集合都是它本身的子集． ②如果，那么． ③如果，那么． ④如果，那么． (2)包含的定义也可以表述成：如果由任意，可以推出，那么 (或)． 不包含的定义也可以表述成：两个集合与，如果集合中存在至少一个元素不是集合的元素，那么 (或)． (3)空集是任何集合的子集，即对于任一个集合，都有． 在解决诸如，或类问题时，必须优先考虑时是否满足题意． 【例】已知集合，若．求实数构成的集合． 【解】. ∵B⫋A,∴的解为-1或3或无解. 当 的解为时,由,得; 当 的解为时,由,得; 当 无解时,. 综上所述,或 或0. ∴. · 6. 空集对集合关系的影响 (1)空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕． ①空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了，故将会出现，而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”． ②空集是任何非空集合的真子集，即 (而)．既然，即必存在而，． ③由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“即为中的部分元素所组成的集合” ． 因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”“是的子集”“”等结论． ④应注意理解下列式子，或或． (2)解题时应注意空集的独特性，采用分类讨论、数形结合、等价转化思想解决集合与二次方程的综合应用题． 学科网（北京）股份有限公司 $