5.1.2导数的概念及其几何意义 对点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义 对点训练（学生版） 必备知识： 【1】曲线的割线和切线 （1）切线：设是曲线上一点，在点的附近任取一点，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. （2）切线的斜率：设是曲线上一点，则曲线在点处的切线的斜率为. （3）切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率. 【2】求曲线 在 处的切线斜率的步骤 对点训练： 一、单选题 1．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 4．设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 8．为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 二、多选题 9．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 10．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．设定义在R上的函数的导函数为，若，则 ． 13．奇函数在处的切线方程为，则它在处的切线方程为 ． 14．若满足，则曲线在点处切线的倾斜角为 . 四、解答题 15．过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 16．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 17．求过点且与曲线相切的直线方程． 18．已知曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标和实数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2导数的概念及其几何意义 对点训练（详解版） 必备知识： 【1】曲线的割线和切线 （1）切线：设是曲线上一点，在点的附近任取一点，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. （2）切线的斜率：设是曲线上一点，则曲线在点处的切线的斜率为. （3）切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率. 【2】求曲线 在 处的切线斜率的步骤 对点训练： 一、单选题 1．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 2．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 3．曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解. 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 4．设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据题意，得到曲线在点处的切线的斜率为，进而得到的值，得到答案. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以． 故选：C. 5．已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】导数（导函数）概念辨析、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角）、求某点处的导数值 【分析】根据导数的几何意义可得，结合导数的定义可知，即可求解. 【详解】由直线与曲线切于点， 知. 由导数的定义知，. 故选：C 6．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 7．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平均变化率、求曲线切线的斜率（倾斜角）、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 8．为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】BD 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解． 【详解】对于A，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误． 对于B，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B正确． 对于C，由题图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误． 对于D，由题图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确． 故选：BD． 10．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC 11．如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据切点在曲线上可判断AC，再由导数的几何意义可判断BD. 【详解】因为切点为，所以，故A正确； 而为切线上的点，不一定为切点，故C错误； 由切线经过和可得切线斜率， 所以由导数的几何意义知，，故B正确D错误. 故选：CD 三、填空题 12．设定义在R上的函数的导函数为，若，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义直接求解即可. 【详解】由导数的定义得， 因为，所以. 故答案为：. 13．奇函数在处的切线方程为，则它在处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据奇函数的性质，确定切点和斜率，即可求解. 【详解】奇函数过点，则它亦过点．因为奇函数图象关于原点中心对称， 所以在处的切线斜率与它在处的切线斜率相等． 所以它在处的切线方程为． 故答案为： 14．若满足，则曲线在点处切线的倾斜角为 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】结合导数定义与导数的几何意义计算即可得. 【详解】， 设其倾斜角为，则有，又，故. 故答案为：. 四、解答题 15．过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)2.1，2.001，2.00001． (3)2，几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”． (4) 【知识点】求函数值、平均变化率、导数定义中极限的简单计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用平均变化率的意义计算. （2）利用（1）的结论，代入计算即可. （3）利用极限的意义求出结果，并指出其几何意义. （4）利用直线的点斜式求出切线方程. 【详解】（1）. （2），当，0.001，0.00001时，分别为2.1，2.001，2.00001． （3），几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”. （4）切线方程为，即. 16．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【详解】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 17．求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】先对曲线求导，设出切点，写出切线方程，再代入已知点求解切点，最后得出切线方程. 【详解】设切点为，则切线的斜率为 ． 又， ，解得或． 当时，切线斜率，过点的切线方程为，即； 当时，切线斜率，过点的切线方程为，即． 故所求切线方程为或． 18．已知曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标和实数的值． 【答案】， 【知识点】导数（导函数）概念辨析、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据条件，利用导数的定义及导数的几何意义，可得，代入中，可得，得切点坐标，再由切点在上，即可求解. 【详解】设切点的坐标为，切线斜率为， 由， 得．根据题意，得，解得， 当时，，所以切点为， 又，解得， 故所求切点的坐标为，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $