导数微专题训练（导数的几何意义的应用）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 微专题一---导数的几何意义的应用 一、导数的几何意义的理解 1．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】结合函数的图象，由导数的几何意义求解判断即可． 【详解】设为点、为点． 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大， 且均为正数，所以． 直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 3．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、平均变化率 【分析】根据导数的几何意义和两点的斜率公式，结合图像判断即可. 【详解】设，，由图可得， 而， 故. 故选：C. 4．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 5．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可. 【详解】因为，所以， 对于①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确； 对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； 对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 二、求曲线在某点处切线斜率或切线方程 1．已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由得，则，即直线的斜率为， 根据直线倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：D 2．已知曲线上一点，则曲线C在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率即可求解. 【详解】由题意：. 所以在点处的切线斜率为， 又倾斜角的取值范围是， 所以切线的倾斜角为， 故选：C 3．抛物线在处的切线斜率为___________． 【答案】2 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得，所以， 所以抛物线在处的切线斜率为. 故答案为：. 4．曲线在点处的切线的斜率为________. 【答案】 【知识点】求某点处的导数值、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数几何意义，求得函数在处的导数值，即可求得在该点处切线的斜率. 【详解】因为，故曲线在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的乘除法 【分析】根据函数解析式先写出切点坐标，再对函数求导根据导数的几何意义写出切线的斜率，最后由点斜式写出直线方程. 【详解】因为函数，所以， 故切点坐标为， ， 切点处的导数值为切线的斜率，所以， 用点斜式写出切线方程：， 整理得：. 故答案为： 6．在曲线上的点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【详解】，， 所以过点的切线方程为：，即. 7．函数（为自然对数的底数）在处的切线方程为______． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得. 【详解】因为，所以， 则，， 所以在处的切线方程为，即. 故答案为： 8．已知函数，则函数在处的切线方程是_________________． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【分析】在等式两边求导，令，可求出的值，即可得出函数的解析式，再求出切点坐标，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以， 令可得，解得，故， 所以，即切点坐标为， 因此函数在处的切线方程是，即. 故答案为：. 三、已知切线方程求参数的值 1．若函数在处的切线平行于直线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式 【详解】由函数，得， 因为函数在处的切线平行于直线， 所以且，得. 2．若函数在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】0 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知直线垂直求参数 【分析】对函数求导，结合垂直关系有，即可求. 【详解】由题设，又在处的切线与直线垂直， 所以切线斜率为2，则，可得. 3．若直线与函数的图象相切，则__________. 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点为，根据导数的几何意义结合切点在直线与函数的图象上，列式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 直线与函数的图象相切，设切点为， 则，即； 而点既在直线，又在函数上， 故，，即得， 故，则， 则， 故答案为：1 4．若直线与曲线相切，则________. 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】对进行求导得，结合导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上列方程，即可求出答案. 【详解】由得， 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以. 故答案为：. 5．若直线与函数的图象相切，则______． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线与曲线相切，从而可得切点坐标，代入，可求得的值． 【详解】设直线与函数图象的切点为， ， ， ，， ， ，又在直线上， ，． 故答案为：． 6．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【详解】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或0. 故选：C. 7．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为，， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即 因两切线重合，则，解得． 故答案为：． 四、求过一点曲线的切线方程 1．已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】（1）利用导数的定义求出切线斜率，即可得出切点坐标； （2）设切点为，求出切线方程代入点，可解得，即可得解. 【详解】（1）. 设切点为，则，解得，， 切点坐标为. 即曲线上点的切线平行于直线. （2）点不在曲线上，设所求切线的切点为， 则切线的斜率，故所求的切线方程为. 将及代入上式得，解得或， 所以切点为或. 从而所求切线方程为或， 即切线方程为或. 2．已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程/. （2）设出过原点的切线与函数图象相切的切点坐标，表示出切线方程，进而求出切点坐标即可得解. 【详解】（1）由，得点在曲线上， 求导得，则， 所以所求切线的方程为，即. （2）设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为：， 由切线过点，得，整理得， 解得，，切线的斜率， 所以切线的方程为，切点坐标为. 五、素养提升 已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 微专题一---导数的几何意义的应用 一、导数的几何意义的理解 1．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 5．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 二、求曲线在某点处切线斜率或切线方程 1．已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．已知曲线上一点，则曲线C在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线在处的切线斜率为___________． 4．曲线在点处的切线的斜率为________. 5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________． 6．在曲线上的点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．函数（为自然对数的底数）在处的切线方程为______． 8．已知函数，则函数在处的切线方程是______________． 三、已知切线方程求参数的值 1.若函数在处的切线平行于直线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数在处的切线与直线垂直，则________． 3．若直线与函数的图象相切，则__________. 4．若直线与曲线相切，则________. 5．若直线与函数的图象相切，则______． 6．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 7．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____________. 四、求过一点曲线的切线方程 1．已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 2．已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 五、素养提升 已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $