考点02 排列与排列数（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

考点02 排列与排列数 考点一：排列的定义及排列数 1．排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． 2．排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示． 3．排列数公式:,并且．从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘． 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列． 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示．规定:, 考点二：排列数的应用 1．没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可． 2．有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法． 3．相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法 4．定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列． 题型一：排列数的化简 【例1】（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【变式1-1】若为正整数，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】________． 【变式1-3】计算：. 题型二：排列数的方程及不等式 【例3】若，则正整数=_________. 【例4】已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】不等式，其中的解集为__________； 【变式2-2】已知，则_______. 【变式2-3】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 题型三：全排列问题 【例5】某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 【例6】用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式3-1】教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排．这12位老师的坐法共有多少种？ 【变式3-2】已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．60 C．48 D．36 【变式3-3】10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？ 题型四：特殊元素的排列问题 【例7】有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【例8】某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 【变式4-1】中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（    ） A．28种 B．36种 C．48种 D．64种 【变式4-2】现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 【变式4-3】（多选）现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（   ） A．若数字可以重复使用，则共有256种填法 B．若4个数字均使用，则共有18种填法 C．若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法 D．若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法 题型五：（不）相邻问题 【例9】甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【例10】2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【变式5-1】7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______． 【变式5-2】春节期间，家家户户都会挂起寓意吉祥的装饰挂件，现有“福字挂饰”、“中国结挂饰”、“红灯笼挂饰”三种类型的挂件各2个（其中福字挂饰分别为刺绣款、剪纸款；中国结挂饰分别为桃木款、红绳款；红灯笼挂饰分别为宫灯款、纱灯款），将这6个挂件随机挂成一排，则仅有一种类型的挂件相邻的概率为___________. 【变式5-3】小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____． 题型六：定序问题 【例11】某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．21 B．30 C．42 D．60 【例12】将这5个字母排成一列，要求在排列中的顺序为“”或“”（可以不相邻），则有多少种不同的排列方法？ 【变式6-1】7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法． 【变式6-2】如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【变式6-3】7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 题型七：间接法 对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 【例13】小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【例14】某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 【变式7-1】有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中，并且甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有（   ）种 A．36 B．48 C．72 D．144 【变式7-2】将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 【变式7-3】从1，3，7，9这四个数中，每次取出两个不同的数作为a，b，共可得到的不同值的个数是____. 题型八：排数问题 排数字问题常见的解题方法： ①两优先排法:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. ②分类讨论法:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计数,要注意如下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类时要做到不重不漏. 【例15】从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（   ） A． B． C． D． 【例16】从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（    ） A．8个 B．54个 C．10个 D．60个 【变式8-1】从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论错误的是（   ） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个 【变式8-2】由数字，可以组成多少个不同的四位数（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 【变式8-3】“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是（   ） A．75 B．66 C．60 D．36 1．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．某种产品的加工需要经过道工序，如果其中的、两道工序必须相邻，则加工顺序共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．210 B．1200 C．4800 D．5040 4．从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（    ） A．10 B．16 C．18 D．20 5．如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 6．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 7．在啦啦操的某次队形变化时，六位同学要排成一个“三角形”队形，其中第一排站一位同学，第二排站两位同学，第三排站三位同学，请问这六位同学的站位有（    ） A．1080种 B．720种 C．360种 D．60种 8．有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（   ） A．42 B．50 C．54 D．60 9．某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．将甲、乙等6人排成一排，则甲不在最左边，乙不在最右边的不同排法共有______种.（用数字作答） 12．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 13．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 14．求证： (1)； (2). 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 排列与排列数 考点一：排列的定义及排列数 1．排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． 2．排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示． 3．排列数公式:,并且．从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘． 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列． 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示．规定:, 考点二：排列数的应用 1．没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可． 2．有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法． 3．相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法 4．定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列． 题型一：排列数的化简 【例1】（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 【例2】（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【详解】由题意得， 故选：A. 【变式1-1】若为正整数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为. 【变式1-2】________． 【答案】/ 【详解】由排列数的计算公式，可得. 故答案为：. 【变式1-3】计算：. 【答案】 【详解】法一：根据排列公式，可得． 法二：根据排列数公式，可得． 题型二：排列数的方程及不等式 【例3】若，则正整数=_________. 【答案】 【详解】因为，所以，且， 整理得到，解得， 故答案为：. 【例4】已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，根据排列数公式，可得，即，解得. 又因为，且，所以，即. 已知全集，根据补集的定义，可得. 故选：C. 【变式2-1】不等式，其中的解集为__________； 【答案】 【详解】由题知，，且， 又， 即， 解得，故或， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 【变式2-2】已知，则_______. 【答案】 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 【变式2-3】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 题型三：全排列问题 【例5】某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 【答案】C 【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有种. 故选：. 【例6】用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 【变式3-1】教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排．这12位老师的坐法共有多少种？ 【答案】. 【详解】12位老师的坐法共有. 【变式3-2】已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．60 C．48 D．36 【答案】C 【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种， 再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种. 故选：C 【变式3-3】10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？ 【答案】151200 【详解】坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人， 若把人抽象成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置， 则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置， 显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题， 从而不同的坐法共有200（种）． 题型四：特殊元素的排列问题 【例7】有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 【例8】某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 【答案】 【详解】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. 【变式4-1】中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（    ） A．28种 B．36种 C．48种 D．64种 【答案】D 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①若前庭功能排在最后一项，超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法，所以有3·=6种情况； 若前庭功能排在最后一项，超重耐力不排在第三项，则超重耐力有3种排法，此时失重飞行有2种排法， 所以有(3×2)·=12种情况.故共有18种情况. ②若前庭功能排在第三项，失重飞行有排在最后一项与不排在最后一项两种，情况同①.故共有18种情况. ③若前庭功能排在第2或第4位（2种情况），先排前庭功能，有2种排法，再排超重耐力， 若超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法； 若超重耐力不排在第三项，则超重耐力有2种排法， 此时失重飞行有2种排法.故共有2×(3+2×2)·=28种情况. 综上，共有18+18+28=64种安排方案. 【变式4-2】现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 【答案】 【详解】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种， 若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种， 故不同的安排方法有种. 【变式4-3】（多选）现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（   ） A．若数字可以重复使用，则共有256种填法 B．若4个数字均使用，则共有18种填法 C．若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法 D．若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法 【答案】ACD 【分析】 【详解】对于A，若数字可以重复使用，则共有种填法，故A正确； 对于B，若4个数字均使用，则共有种填法，故B错误； 对于C，若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和， 则可以1，2在第1行，3，4在第2行，或1，3在第1行，2，4在第2行， 共有种填法，故C正确； 对于D，分4步，设四宫格4个位置如下： ①（左上）、②（右上）、③（左下）、④（右下）， 第1步，填①，有1，2，3，4共4种选法； 第2步，填②，由于和①相邻，所以不能与①相同，故有3种选法； 第3步，填③，因其与①相邻，所以不能与①相同，故又分2种情况， 情况1，③与②数字相同，此时只限制③与①不同，而②本身就与①不同， 故仅1种选法（和②一致）， 情况2，③与②数字不同，此时③需同时满足与①不同、与②不同，所以有2种选法； 第4步，填④，因④与②、③都相邻，所以必须和②、③都不同， 所以选法由②和③是否相同决定， 情况1，②与③相同时，④只需与②（即③）不同，此时有3种选法， 情况2，②与③不同时，④需同时与②不同、与③不同，此时有2种选法 所以利用分步乘法与分类加法计数原理（种），故D正确 故选：ACD 题型五：（不）相邻问题 【例9】甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【答案】B 【详解】将甲、丙进行捆绑，形成一个“大元素”，再将这个“大元素”与其他3个人进行排序，共有种排法． 接下来考虑甲与乙、丙都相邻的情形， 需将甲、乙、丙进行捆绑，且甲位于中间， 然后将这个“大元素”与其他2个人进行排序，此时共有种排法． 综上，共有种不同的排法． 故选：B. 【例10】2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A 【变式5-1】7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______． 【答案】 【详解】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻， 则，， 则， 故答案为：. 【变式5-2】春节期间，家家户户都会挂起寓意吉祥的装饰挂件，现有“福字挂饰”、“中国结挂饰”、“红灯笼挂饰”三种类型的挂件各2个（其中福字挂饰分别为刺绣款、剪纸款；中国结挂饰分别为桃木款、红绳款；红灯笼挂饰分别为宫灯款、纱灯款），将这6个挂件随机挂成一排，则仅有一种类型的挂件相邻的概率为___________. 【答案】/ 【详解】总排列数：因为6个挂件互不相同，故总排列数为：； 再计算仅有一种类型的挂件相邻： 若“福字挂饰”相邻：将两个福字挂饰“捆绑”为一个整体，共有种， 但里面包含“福字挂饰”相邻与“中国结挂饰”相邻同时发生的情况、和“福字挂饰”相邻与“红灯笼挂饰”相邻同时发生的情况，分别有种， 同时多扣除了“福字挂饰”相邻与“中国结挂饰”相邻且“红灯笼挂饰”相邻同时发生的情况，有种， 所以仅“福字挂饰”相邻共有种； 同理，“仅中国结挂饰”相邻和“仅红灯笼挂饰”相邻的情况也各为96， 所以仅有一种类型的挂件相邻共有种，概率. 【变式5-3】小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____． 【答案】 【详解】如果六位密码中相邻，则先排， 再利用插空法可得不同的密码个数为， 如果六位密码中不相邻，则先排，此时有个空挡， 这5个空挡中有3个空挡可以插入，故此时不同的密码个数为， 故不同密码的个数为. 题型六：定序问题 【例11】某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．21 B．30 C．42 D．60 【答案】C 【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故选：C 【例12】将这5个字母排成一列，要求在排列中的顺序为“”或“”（可以不相邻），则有多少种不同的排列方法？ 【答案】40 【详解】方法一（整体法）5个元素无约束条件的全排列有种， 由于字母，，的排列顺序为“，，”或“，，”， 因此在上述的全排列中恰好符合“，，”或“，，”排列方式的排列有（种）． 方法二（插空法）若字母，，的排列顺序为“，，”， 将字母，插入形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母，相邻，则有种排法； 第二类，若字母，不相邻，则有种排法． 所以有（种）排法． 同理，若字母，，的排列顺序为“，，”，也有20种排法． 因此满足条件的排列有（种）． 【变式6-1】7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法． 【答案】20 【详解】解法1：甲站在中间，甲的左边和右边分别有3名同学，均按身高排列，排法只有1种． 先将6名同学分成两组，再排到甲的左边和右边去，排法共有种． 解法2：将除甲外的6名同学全排列，甲左边3名同学与右边3名同学顺序一定， 所以排法共有种． 故答案为：20. 【变式6-2】如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ， 故选：A 【变式6-3】7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 【答案】（种） 【详解】因为7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有种， 所以共有（种）不同的站法． 故共有种不同的站法. 题型七：间接法 对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 【例13】小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 【例14】某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 【答案】C 【详解】因为要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，所以只要考虑余下的5类选品即可； 因为新鲜助农水果和核心助农产品要作为相邻链接上架，所以将它们视为一个整体，其内部排列方式有（种）； 所以此整体与剩下的地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品3类选品的排列方式有（种）； 因此不考虑其他限制的排列方式有（种）； 当非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式有（种）； 所以新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架的上架顺序有（种）. 故选：C. 【变式7-1】有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中，并且甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有（   ）种 A．36 B．48 C．72 D．144 【答案】C 【详解】先将5辆车任意排放，停放方法共有种， 若甲车与乙车相邻停放，则停放方法共有种， 所以甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有种. 故选：C. 【变式7-2】将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 【答案】B 【详解】由题意，4名志愿者任意分配共有种分法， 若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有种分法， 所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有种. 故选:B. 【变式7-3】从1，3，7，9这四个数中，每次取出两个不同的数作为a，b，共可得到的不同值的个数是____. 【答案】10 【详解】从1，3，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b， 可以得到不同的差式，共计个， 但其中，，故不同的值只有10个. 故答案为：. 题型八：排数问题 排数字问题常见的解题方法： ①两优先排法:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. ②分类讨论法:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计数,要注意如下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类时要做到不重不漏. 【例15】从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当个位数是时，有种； 当个位数是或时，有种， 所以组成的四位数的偶数共有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求概率为. 【例16】从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（    ） A．8个 B．54个 C．10个 D．60个 【答案】B 【详解】由题意得至少有两个数为相邻的数的对立事件是三个数都不相邻， 则在中选数，共有符合，共个， 而从这五个数中任选三个数组成三位数，共有个， 可得符合题意的三位数共有个，故B正确. 故选：B 【变式8-1】从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论错误的是（   ） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个 【答案】C 【详解】选项A，从百位排起，百位有3种选择（1、2、3，因为不能为0），十位有3种选择，个位有2种选择.总数为个，故A正确； 选项B，百位固定为1，十位从0、2、3中选（3种选择），个位从剩下2个数字中选（2种选择），共有个，故B正确； 选项C，十位固定为1，百位不能为0，且不能为1，所以百位有2种选择（2、3），个位从剩下2个数字（包括0）中选（2种选择），共个，故C 错误； 选项D，因为个位数字为0，则百位和十位可以在中任取两个排列，共个.故D正确. 故选：C. 【变式8-2】由数字，可以组成多少个不同的四位数（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【详解】4个数字的全排列数为. 因为有2个相同的数字2 ，所以需除以重复数字的排列数， 故数字，可以组成不同的四位数的个数：. 【变式8-3】“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是（   ） A．75 B．66 C．60 D．36 【答案】C 【详解】满足条件的四位数需满足：千位为 7 或 8，且个位为偶数（即 2、4、8 之一）,分两类计算： （1）千位为 7：个位从 中任选，有 3 种选择； 中间两位从剩余 4 个数字中选并排列，有 种， 此类共有 个. （2）千位为 8：个位不能与千位重复， 只能从 中选，有 2 种选择； 中间两位从剩余 4 个数字中选并排列，有种， 此类共有 个. 总数为 . 故选：C 1．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 2．某种产品的加工需要经过道工序，如果其中的、两道工序必须相邻，则加工顺序共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】将、两道工序捆绑，形成一个大元素，与其他三个元素进行排序， 因此，不同的加工顺序种数为种. 故选：D. 3．将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．210 B．1200 C．4800 D．5040 【答案】D 【详解】依题意可得不同的分法种数为. 4．从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（    ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】总的有序数对的个数为,因为 ，所以不同值的个数即为不同比值的个数. 在20个比值中，由于 以及，存在两组比值相同的情况，因此实际不同值的个数为. 5．如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】C 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． 6．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 【答案】B 【详解】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法， 所以不同的排法总数为种. 故选：B 7．在啦啦操的某次队形变化时，六位同学要排成一个“三角形”队形，其中第一排站一位同学，第二排站两位同学，第三排站三位同学，请问这六位同学的站位有（    ） A．1080种 B．720种 C．360种 D．60种 【答案】B 【分析】 【详解】法本题相当于将6位同学排列到6个不同的位置，排列数即为6位同学的全排列数，故总排列数为； 法2：排队分为三步，第一步从6人中选1人排列，排列数为，第二步从剩下的5人中选2人并排列，排列数为， 第三步在前两排选完后，将剩下的3人排列，排列数为；故总排列数为. 故选：B. 8．有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（   ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【详解】根据题意，可分是第1名和不是第1名且不是第5名，两类情况讨论： 当是第1名时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1名且不是第5名时，先排第1名，从中选一人为第1名，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 故选：D. 9．某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据拿10元纸币的人是否相邻可分为两类： 第一类：拿10元纸币的2人不相邻，则先安排拿5元纸币的人共有种不同的排列； 拿10元纸币的2人只能排在除排头外的3个位置，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 第二类：拿10元纸币的2人相邻，看作一个元素，其内部排列有种不同排列； 先排拿5元纸币的3人有种不同的排列，则排列后从左往右形成4个空位， 再从3人排列后形成的最右边2个空位中选择一个排列相邻2人构成的元素，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 综上，这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序共个. 故选：D. 10．（多选）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：ABCD 11．将甲、乙等6人排成一排，则甲不在最左边，乙不在最右边的不同排法共有______种.（用数字作答） 【答案】504 【详解】人的全排列的方法数为, 甲在最左边，剩下人的全排列的方法数为, 乙在最右边，剩下人的全排列的方法数为, 甲在最左边且乙在最右边，剩下人的全排列的方法数为, 则符合题意的排列数为. 故答案为： 12．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 【答案】30 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 13．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474 【详解】从节课中任意安排节共有：种， 其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种， 老师一天课表的所有排法共有：种. 故答案为：474 14．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）左边右边； （2）左边右边. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $