6.2.2 排列数 第2课时 综合应用（分层作业，7基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2 排列数 第2课时 综合应用 题型一 特珠元素（位置）优先排问题 1.（2026·广东·模拟预测）3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（    ）种． A．36 B．108 C．120 D．144 2.(多选)(25-26高二上·江西·阶段练习)某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为(    ) A． B． C． D． 3.（25-26高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ． 4.按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 题型二 相邻问题 1．（2025·甘肃白银·三模）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南商丘·期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（    ） A．8 B．12 C．16 D．10 4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有 种. 5．（25-26高二上·江西吉安·期末）某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段； (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 题型三 不相邻问题 1．（24-25高二下·河南·月考）若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 2．（25-26高二上·江西南昌·期末）三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 3．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ． 4．（25-26高二上·江西赣州·期末）某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. (1)若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ (2)若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数. (1)选5名同学排成一排： (2)全体站成一排，甲、乙不在两端： (3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (4)全体站成一排，男生彼此不相邻； (5)男、女生相间. 题型四 定序问题 1．（24-25高二下·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 2．（25-26高二·全国·课后作业）期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有 种． 3．（25-26高二上·江西景德镇·月考）2025年4月23日是第三十一个世界读书日．若将，，，，，，这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有 个 4．（24-25高二下·江苏盐城·月考）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 5．（25-26高二上·天津红桥·期末）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数： （1）甲必须在排头； （2）甲、乙相邻； （3）甲不在排头，并且乙不在排尾； （4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻． 题型五 排数模型 1．（24-25高二下·河北保定·月考）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（    ） A．36个 B．48个 C．66个 D．72个 2．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数有（    ）个. A．156 B．300 C．180 D．120 3（24-25高二下·山西忻州·月考）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（   ） A．48 B．96 C．60 D．120 4．(多选)（25-26高二上·全国·课后作业）用1，2，3，4，5这五个数字，组成三位数，则（    ） A．若允许重复，则可组成为125个 B．若不允许重复，则可组成为60个 C．可组成无重复数字的偶数为24个 D．可组成无重复数字的奇数为24个 5．（25-26高二上·四川成都·期末）用1，2，3，4，5这5个数字可以组成 个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有 个（用数字作答）． 6．（25-26高二上·江苏镇江·月考）用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 题型六 其他排列模型 1．（24-25高二下·山西·月考）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 2．（2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 3．（24-25高二下·湖北·期中）系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型七 排列与概率的综合 1．（24-25高二下·河南商丘·月考）5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知除颜色外完全相同的个小球，其中个白色，个红色，个黑色．现将它们从左至右随机排成一排，则个红球恰好排在一起的概率是 ． 4．（24-25高二下·上海金山·期中）某校高三年级举行一次演讲赛共有位同学参赛，其中一班有位，二班有位，其它班有位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的位同学没有被排在一起的概率为 . 5．（25-26高三·广东·月考）某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人.他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为 . 1.（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，8．将这4张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·吉林·阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 3．（24-25高二下·福建福州·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（    ） A．18 B．12 C．28 D．24 4（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 5．（24-25高二下·广东汕头·期中）年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 6．（25-26高三上·河南信阳·期末）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是（   ） A．75 B．66 C．60 D．36 7．（2025高三·全国·专题练习）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是，为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某数学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到大于的不同数字有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．(多选)（20-21高二下·重庆九龙坡·月考）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 9．(多选)（25-26高二·全国·课后作业）（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则（    ） A．可组成360个四位数 B．可组成216个是5的倍数的五位数 C．可组成270个比1325大的四位数 D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2310 10.(24-25高二下·湖北襄阳·期末)某班级有4名男生和2名女生参加一场座谈会，座位安排在一排的6个座位上，要求女生不能坐在最左端和最右端，且任意女生不能相邻，则满足条件的座位安排共有 种． 12．（25-26高三上·河北衡水·期末）将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 . 12.(2024·辽宁·模拟预测)若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” . 13．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 14．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知袋中共有7个黑球、m个白球，所有球除颜色外，其余均相同，甲和乙两人各从袋中随机且不放回地取出一球，若两球颜色不同，则甲胜；若两球颜色相同，则乙胜.要使甲取得胜利的概率高于乙，则正整数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·三模）已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（    ） A．360个 B．640个 C．960个 D．1920个 3．（24-25高三上·浙江·月考）抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南·月考）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为 ． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2 排列数 第2课时 综合应用 题型一 特珠元素（位置）优先排问题 1.（2026·广东·模拟预测）3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（    ）种． A．36 B．108 C．120 D．144 【答案】D 【解析】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种， 所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种， 最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种． 故选：D． 2.(多选)(25-26高二上·江西·阶段练习)某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：(1)不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． (2)从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确.故选：ABD 3.（25-26高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ． 【答案】 【解析】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排， 则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故答案为： 4.按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【解析】(1)方法一　(位置分析法)因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有 ＝480种站法． 方法二　(元素分析法)因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有 ＝480种站法． 方法三　(间接法)在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有 ＝480种站法． (2)方法一　(元素分析法)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有＝48种站法． 方法二　(位置分析法)首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有＝48种站法． (3)方法一　(间接法)甲在左端的站法有＝504种站法． 方法二　(直接法)从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲站右端有＝504种站法． 【技巧点拨】对于“人站队”问题，由于有顺序，所以是排列问题，又由于安排甲、乙时有限制，所以这又是有限制条件的排列问题，应先考虑特殊元素甲、乙或特殊位置左、右两端，再考虑其他的情况． 题型二 相邻问题 1．（2025·甘肃白银·三模）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】4位任课老师站在一起的排法种数为， 将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有， 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 2．（24-25高二下·河南商丘·期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【解析】第一步：甲、乙相邻且乙在甲的右边，这样的排列方式只有1种； 第二步：将甲乙看成一个整体，将其与其余3人站成一排，有种排法. 由分步乘法计数原理可得：满足条件的排法种数为：. 故选：A 3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（    ） A．8 B．12 C．16 D．10 【答案】B 【解析】先停放甲乙，共有停放方法，余下辆车，共有， 则共有种停法. 故选：B. 4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有 种. 【答案】 【解析】甲乙两人的排列方式有种，将甲乙看成一人，可选的位置有2种， 剩余3人的排列方式有种， 所以若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，不同的坐法有种. 5．（25-26高二上·江西吉安·期末）某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段； (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 【解析】（1）先安排第一个表演时段，有古筝演奏、相声、吉他弹唱3种选择； 剩下3个时段，对剩下3个节目全排列，有种， 所以总数为种； （2）将古筝演奏和相声看作一个“整体”，内部有种排列方式； 再把这个“整体”和吉他弹唱、民族舞进行全排列，有种排法， 所以总数为种. 题型三 不相邻问题 1．（24-25高二下·河南·月考）若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 【答案】B 【解析】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙， 再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法． 故选：B. 2．（25-26高二上·江西南昌·期末）三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 【答案】B 【解析】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法，所以不同的排法总数为种. 故选：B 3．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ． 【答案】 2903040 725760 【解析】（插空法）8名学生的排列方法有种，隔开了9个空位， 在9个空位中排列2位老师，方法数为，由分步乘法计数原理， 2位老师不相邻总的排法种数为， 2位老师相邻的排法种数为． 故答案为：2903040；725760 4．（25-26高二上·江西赣州·期末）某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. (1)若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ (2)若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 【解析】（1）2个语言类节目不能相邻的排法有种. （2）前4个节目中要有语言类节目的排法有种. 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数. (1)选5名同学排成一排： (2)全体站成一排，甲、乙不在两端： (3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (4)全体站成一排，男生彼此不相邻； (5)男、女生相间. 【解析】（1）无条件的排列问题,排法有种. （2）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列， 所以有种. （3）相邻问题，利用捆绑法，共有种. （4）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法， 所以共有种. (5)只有这样，才能使男女生相间：女男女男女男女 因此符合条件的不同排法共有=144种. 题型四 定序问题 1．（24-25高二下·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【答案】C 【解析】从6个位置中取3个让甲乙丙按指定顺序站位，有种方法； 再排余下3人，有种方法， 所以不同排法种数为. 故选：C 2．（25-26高二·全国·课后作业）期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有 种． 【答案】60480 【解析】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外 的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序 确定，只有一种方法，故共有60480种排法． 解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有 一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法． 解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因 为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法． 3．（25-26高二上·江西景德镇·月考）2025年4月23日是第三十一个世界读书日．若将，，，，，，这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有 个 【答案】 【解析】将七位数从左至右依次称作第一位，第二位，…，第七位， 易知不在第一位，则有个位置可以选择， 又数字中有三个， 将剩余个数字进行全排列共种排法， 所以排成不同的七位数共有种， 4．（24-25高二下·江苏盐城·月考）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】 【解析】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 5．（25-26高二上·天津红桥·期末）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数： （1）甲必须在排头； （2）甲、乙相邻； （3）甲不在排头，并且乙不在排尾； （4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻． 【解析】（1）让甲站排头，再排余下4人，所以甲必须在排头的不同排法种数是：； （2）把甲乙视为一个整体进行排列有种，而甲乙相邻有顺序性，他们之间有种， 所以甲、乙相邻的不同排法种数是：； （3）不考虑限制条件有种，甲在排头和乙在排尾的各有种，甲在排头且乙在排尾的有种， 所以甲不在排头，并且乙不在排尾的不同排法种数是：； （4）排除甲乙外的3人有种，再将甲、乙插入4个空位中有种， 所以甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻的不同排法种数是：. 题型五 排数模型 1．（24-25高二下·河北保定·月考）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（    ） A．36个 B．48个 C．66个 D．72个 【答案】A 【解析】先排末位数，有和在末位两种选法，再排千位有3种选法，十位和百位从剩余的个元素中选两个进行排列有种结果， 所以由分步乘法计数原理知共有四位奇数个， 故选：A 2．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数有（    ）个. A．156 B．300 C．180 D．120 【答案】A 【解析】组成四位偶数，分为两种情况： 第一类：个位数是0，则十位、百位、千位没有其他要求，共有种. 第二类：个位不是0，则个位有两个选择，千位有除0外的4个选择，十位、百位没有要求，共有种，则所有偶数有种. 故选：A. 3（24-25高二下·山西忻州·月考）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（   ） A．48 B．96 C．60 D．120 【答案】A 【解析】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位， 则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为， 所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为． 故选：A. 4．(多选)（25-26高二上·全国·课后作业）用1，2，3，4，5这五个数字，组成三位数，则（    ） A．若允许重复，则可组成为125个 B．若不允许重复，则可组成为60个 C．可组成无重复数字的偶数为24个 D．可组成无重复数字的奇数为24个 【答案】ABC 【解析】用1，2，3，4，5这五个数字，组成三位数， 若允许重复，则可组成53＝125个，A正确； 若不允许重复，则可组成个，B正确； 组成无重复数字的偶数分为两类， 一类是2作个位数，共有个， 另一类是4作个位数，也有个， 因此符合条件的偶数共有(个)，C正确； 组成无重复数字的奇数有(个)，D错误． 故选：ABC． 5．（25-26高二上·四川成都·期末）用1，2，3，4，5这5个数字可以组成 个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有 个（用数字作答）． 【答案】 60 24 【解析】从1，2，3，4，5中任取三个数全排列可得个无重复数字的三位数， 能被3整除的三位数，则数字之和为3的倍数，故有,2,，,3,，,3,，,4,,每组都有种， 根据分步计数原理可得，共有种， 6．（25-26高二上·江苏镇江·月考）用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 【解析】（1）从5个数字任取4个进行全排列，故有个； （2）首位不能为0，则有个； （3）由题意，是偶数个位数必须是. 分3种情况讨论： ①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有； ②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法； ③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况. 题型六 其他排列模型 1．（24-25高二下·山西·月考）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【解析】第一步：先从3个城市中各选1个仓储点作为中转站，有种选法， 第二步：南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，故中间排合肥，南京和杭州的仓储点在两段，排列方式有种， 所以符合条件的仓储点的排列种数为种． 故选：B. 2．（2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】A 【解析】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. 3．（24-25高二下·湖北·期中）系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 4．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】因为“”中字母共有种排法，所以该同学写错的情况有种， 故选：D. 题型七 排列与概率的综合 1．（24-25高二下·河南商丘·月考）5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】5名学生排成一排，共有种排法， 其中甲、乙、丙3人相邻有种， 所以甲、乙、丙3人相邻的概率为， 故选：A 2．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】5个人随机排成一排的总排列数为：种. 将甲乙看成一个整体（捆绑法），此时相当于有4个人随机排列，排列数为， 而甲乙两人之间又有种排列顺序. 根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种. 所以，甲乙不相邻的排列数为种. 根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知除颜色外完全相同的个小球，其中个白色，个红色，个黑色．现将它们从左至右随机排成一排，则个红球恰好排在一起的概率是 ． 【答案】 【解析】个小球随机排列，有种情况； 把个红球看成一个整体，有种情况，然后把这个整体与其他小球排序，有种情况； 个红球恰好排在一起的概率是：. 4．（24-25高二下·上海金山·期中）某校高三年级举行一次演讲赛共有位同学参赛，其中一班有位，二班有位，其它班有位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的位同学没有被排在一起的概率为 . 【答案】 【解析】将一班位同学捆绑在一起，形成一个大元素，与其它班位同学形成个元素，然后再将二班位同学插空， 由分步乘法计数原理以及古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为. 5．（25-26高三·广东·月考）某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人.他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为 . 【答案】 【解析】由捆绑法可得所求概率. 1.（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，8．将这4张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分两步完成，第一步先排4张卡片的顺序有种；第二步再排每一张卡的正反面有种，所以一共有种结果. 故选：A. 2．（24-25高二下·吉林·阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解析】根据题意，可分成两类情况： 第一类：乙在甲、丙之间，有种； 第二类：乙不在甲、丙之间，有种； 由分类加法计数原理，共有种方案. 故选：C 3．（24-25高二下·福建福州·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（    ） A．18 B．12 C．28 D．24 【答案】D 【解析】将哪吒和敖丙捆绑在一起，与鹿童进行排列，共有种， 再把太乙真人和申公豹利用插空法放到符合题意的3个空隙当中，共有种， 因此共有种不同的站法. 故选：D 4（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【解析】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 5．（24-25高二下·广东汕头·期中）年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 【答案】A 【解析】分三种情况： 第一种：《哪吒之魔童闹海》排最后一场，因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》 必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素， 剩下元素有种排法，所以共有种排法； 第二种：《哪吒之魔童闹海》排第二场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》只能排在第四、第三两场，《唐探 》排第一场，这种情况共种排法； 第三种：《哪吒之魔童闹海》排第三场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》排在前两场有种排法，《唐探》排最后一场，这种情况共有种排法. 综上符合条件的电影安排方法总数为种. 故选：A. 6．（25-26高三上·河南信阳·期末）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是（   ） A．75 B．66 C．60 D．36 【答案】C 【解析】满足条件的四位数需满足：千位为 7 或 8，且个位为偶数（即 2、4、8 之一）,分两类计算： （1）千位为 7：个位从 中任选，有 3 种选择； 中间两位从剩余 4 个数字中选并排列，有 种， 此类共有 个. （2）千位为 8：个位不能与千位重复， 只能从 中选，有 2 种选择； 中间两位从剩余 4 个数字中选并排列，有种， 此类共有 个. 总数为 . 故选：C 7．（2025高三·全国·专题练习）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是，为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某数学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到大于的不同数字有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】由于这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有， 而只有小数点后前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有， 故得到的数字大于3.14的不同情况有； 故选：C． 8．(多选)（20-21高二下·重庆九龙坡·月考）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 9．(多选)（25-26高二·全国·课后作业）（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则（    ） A．可组成360个四位数 B．可组成216个是5的倍数的五位数 C．可组成270个比1325大的四位数 D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2310 【答案】BC 【解析】对于A，可组成四位数的个数为，A错误； 对于B，有两类：个位上的数字是0，有个，个位上的数字是5，有个，则为5的倍数的五位数的个数是，B正确； 对于C，比1325大的四位数可分为三类：第一类，千位上数字比1大的四位数，共个， 第二类，千位上数字是1，百位上的数字是4，5之一的四位数，共个， 第三类，千位上数字是1，百位上的数字是3，十位上的数字是4，5之一的四位数，共个， 则比1325大的四位数的个数是，C正确； 对于D，千位上数字是1的四位数的个数是，千位上数字是2，百位上的数字是0，1之一的四位数的个数是， 于是得第85个数是2301，D错误． 故选：BC 10.(24-25高二下·湖北襄阳·期末)某班级有4名男生和2名女生参加一场座谈会，座位安排在一排的6个座位上，要求女生不能坐在最左端和最右端，且任意女生不能相邻，则满足条件的座位安排共有 种． 【答案】144 【解析】根据题意4名男生全排列：， 排好后除了最左端和最右端有3个空，选两个空位安排2名女生进去：， 故满足条件的座位安排共有种.故答案为：144. 11（2026高三·全国·专题练习）用这个数字，可以组成 个大于，且小于的数字不重复的四位数． 【答案】 【解析】若千位数字为3，4之一，则百、十、个位可以从除千位上的数字之外的5个数中任选3个进行排列，所以有个； 若千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一，则十位、个位可从除千位和百位选定的数字之外的4个数中任选2个进行排列，所以有个； 若千位数字为5，百位数字是4，十位数字是0，1之一，则个位可从除千位、百位和十位选定的数字之外的3个数中任选1个进行排列，所以有个； 最后还有5420也满足题意. 综上，所求四位数共有个. 故答案为：． 12．（25-26高三上·河北衡水·期末）将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 . 【答案】 【解析】总排列数：， 两个相邻的排列数：， 两个相邻的排列数：， 两个相邻且两个相邻的排列数：， 由容斥原理得：. 故答案为： 12.(2024·辽宁·模拟预测)若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” . 【答案】960 【解析】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，    则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法， 剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法； 所以“有序子集列”共有个. 13．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【解析】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； （2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； （3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 14．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【解析】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知袋中共有7个黑球、m个白球，所有球除颜色外，其余均相同，甲和乙两人各从袋中随机且不放回地取出一球，若两球颜色不同，则甲胜；若两球颜色相同，则乙胜.要使甲取得胜利的概率高于乙，则正整数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】甲取得胜利的概率为，这个值大于时符合题意，即， 则，解得，故，且. 故选：C. 2．（2025·河北秦皇岛·三模）已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（    ） A．360个 B．640个 C．960个 D．1920个 【答案】C 【解析】由，得从全集中选择3个元素分别作为中的元素，不同方法种数是， 余下的两个元素中的每一个元素只能是属于中的一个或都不属于这3个集合， 因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法， 所以所有的有序子集列有个. 故选：C 3．（24-25高三上·浙江·月考）抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记均匀的正四面体的4个面分别为， 抛掷3次的结果记为，所有不同结果有个，它们等可能， 抛掷3次，正四面体的每条棱都接触过地面，则互不相等，共有， 所以存在从未接触过地面的棱的概率是. 故选：D 4．（25-26高三上·河南·月考）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为 ． 【答案】60 【解析】由题意知均为不超过6的自然数，下面分情况讨论： ①当最大数为6时，，此时共有种情况； ，此时共有种情况； ②当最大数为5时，，此时共有种情况； ③当最大数为4时，，此时共有种情况； 综上，满足条件的有序自然数数组的个数为， 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $