河南省开封高级中学2026届高三下学期学情调研（三）数学试题

学情调研（三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，则关于这组数据的结论错误的是（ ） A. 平均数为2 B. 众数为1 C. 极差为3 D. 中位数为 4. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知，满足：，的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在等比数列中，，公比，也是中的项（），当最小时，对应的，，则的通项公式为（ ） 参考公式：． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（ ） A. 直线平面 B. C. 直线与直线所成的角为 D. 到平面距离为 10. 已知函数，则下列正确的有（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 是图象的一条对称轴 D. 的值域为 11. 已知等差数列满足：，公差，其前项和为，且，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，则实数的值为______． 13. 在正四棱台中，，，为线段的中点，则三棱锥的体积为______． 14. 如图，过作两条不同的直线，且分别交抛物线于四点，分别交轴于两点，以为直径作圆，过原点作的切线，则切线段的长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，实地测量中，在岸边选了3个位置在对岸处，下面得到了一些参数．已知：，，，． （1）求的长度； （2）求的值． 16. 在长方体中，，，为线段的中点，． （1）求的长度； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 甲、乙两人进行投篮，两人每次投进的概率分别为，． （1）若甲、乙两人各投篮一次，“两人总投进次数”，求的值； （2）若甲投篮3次，乙投篮2次，比较两人所投进的球数，进球多者胜出，求甲胜出的概率． 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点为，是双曲线上一点，轴，． （1）求双曲线的标准方程． （2）过点作斜率为的直线交该双曲线于两点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点不在直线上，且点满足：平分，求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）证明：． （2）对于任意的，求解下列问题． （ⅰ）已知函数，证明：有两个不同的实数根：； （ⅱ）若，证明：． 学情调研（三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】或2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【19题答案】 【答案】（1） 函数的定义域为，， 令，，故是减函数， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 故． （2） （ⅰ）， 在上，，所以单调递增. 在上，，所以单调递减. ，时，时，， 根据零点存在定理，在区间与上，各有一个零点， 故有两个不同的实数根：． （ⅱ）由（1）可知 所以，化为， 解此一元二次不等式得 ， 同理，． 故得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $